2021年浙江省高职考试研究联合体高考数学第三次联考试卷(2021.03)(解析版)
2021-2021高考浙江理科数学真题及答案详解(精校版)
2021-2021高考浙江理科数学真题及答案详解（精校版）2021年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数f(x)????x,x?0,?x,x?0.2若f(?)?4,则实数?=C．-2或4D．-2或2A．-4或-2 B．-4或22．把复数z的共轭复数记作z，i为虚数单位，若z?1?i,则(1?z)?z= A．3-i B．3+i C．1+3i 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4．下列命题中错误的是．．D．3A．如果平面??平面?，那么平面?内一定存在直线平行于平面? B．如果平面α不垂直于平面?，那么平面?内一定不存在直线垂直于平面? C．如果平面??平面?，平面??平面?，???=l，那么l?平面? D．如果平面??平面?，那么平面?内所有直线都垂直于平面??x?2y?5＞0?5．设实数x,y满足不等式组?2x?y?7＞0,若x,y为整数，则3x?4y的最小值是?x≥0，y≥0，?A．14B．16C．17D．196．若0＜?＜?2，-??1???3＜?＜0，cos(??)?，cos(?)?，则cos(??)? 2432423B．? A．3 33 31bC．53 9D．?6 91m”是a＜或b＞的 7．若a,b为实数，则“0＜ab＜A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件1a第 - 1 - 页共 34 页C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件x2y2y22?1有公共的焦点，C1的一条渐8．已知椭圆C1:2?2?1(a＞b＞0)与双曲线C1:x?ab4近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则2A．a?13 2B．a2?13 2C．b?1 2D．b2?29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率A．1 5B．2 5C．34 D 5510．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）(x2?bx?c),g(x)?(ax?1)(ax2?bx?1)．记集合S=xf(x)?0,x?R,T?xg(x)?0,x?R,若S，T分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是．．．A．S=1且T=0 C．S=2且T=2B．S?1且T=1 D．S=2且T=3非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．若函数f(x)?x?x?a为偶函数，则实数a? = 。
2021年全国统一高考数学试卷(浙江卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷（浙江卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共10题；共40分）1. ( 4分 ) 设集合 A ={x|x ≥1} ， B ={x|−1<x <2} ，则 A ∩B = （ ） A. {x|x >−1} B. {x|x ≥1} C. {x|−1<x <1} D. {x|1≤x <2}2. ( 4分 ) 已知 a ∈R ， (1+ai)i =3+i ，(i 为虚数单位)，则 a = （ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 33. ( 4分 ) 已知非零向量 a ⃗,b ⃗⃗,c ⃗ ，则“ a ⃗⋅c ⃗=b ⃗⃗⋅c ⃗ ”是“ a ⃗=b⃗⃗ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. ( 4分 ) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 32 B.3 C. 3√22D. 3√25. ( 4分) 若实数x，y满足约束条件{x+1≥0 x−y≤02x+3y−1≤0，则z=x−12y的最小值是（）A. -2B. −32C. −12D. 1106. ( 4分) 如图已知正方体ABCD−A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A. 直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB. 直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1C. 直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD. 直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B17. ( 4分) 已知函数f(x)=x2+14,g(x)=sinx，则图象为如图的函数可能是（）A. y=f(x)+g(x)−14B. y=f(x)−g(x)−14C. y=f(x)g(x)D. y=g(x)f(x)8. ( 4分) 已知α,β,γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ,sinβcosγ,sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 39. ( 4分) 已知a,b∈R,ab>0，函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s−t),f(s),f(s+t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是（）A. 直线和圆B. 直线和椭圆C. 直线和双曲线D. 直线和抛物线10. ( 4分) 已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=n1+√a ∈N∗).记数列{an}的前n项和为S n，则（）A. 12<S100<3 B. 3<S100<4 C. 4<S100<92D. 92<S100<5二、填空题（共7题；共36分）11. ( 4分) 我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则S1S1=________.12. ( 4分) 已知a∈R，函数f(x)={x2−4,x>2|x−3|+a,x≤2,若f[f(√6)]=3，则a=________.13. ( 4分) 已知平面向量a⃗,b⃗⃗,c⃗,(c⃗≠0)满足|a⃗|=1,|b⃗⃗|=2,a⃗⋅b⃗⃗=0,(a⃗−b⃗⃗)⋅c⃗=0.记向量d⃗在a⃗,b⃗⃗方向上的投影分别为x，y，d⃗−a⃗在c⃗方向上的投影为z，则x2+y2+z2的最小值为________.14. ( 6分) 已知多项式(x−1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1=________，a2+ a3+a4=________.15. ( 6分) 在△ABC中，∠B=60°,AB=2，M是BC的中点，AM=2√3，则AC=________，cos∠MAC=________.16. ( 6分) 袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m−n=________，E(ξ)=________.17. ( 6分) 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦点F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)，若过F1的直线和圆(x−12c)2+y2=c2相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2021年浙江省普通高职单独考试温州市三模数学试卷(附答案)
2021年浙江省普通高职单独考试温州市三模数 学 试 卷 2021.5本试卷共三大题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（本大题共20小题，1—10小题每小题2分，11—20小题每小题3分，共50分） 1. 已知全集{0,1,2,3,4,5,6}U ，集合{1,2,3,4}M ，则集合M 的补集U M （ ）A. {0,6}B. {0,1,2,3,4,5,6}C. {1,2,3,4}D. {0,5,6}2. 函数lg(1)()2x f x x 的定义域为（ ） A. (1,)B. (2,)C. (1,2)(2,)D. (1,2)3. 已知二次函数2()25f x x x ，则(1)f ，(1)f ，(2)f 的大小关系为（ ）A. (1)(2)(1)f f fB. (1)(1)(2)f f fC. (2)(1)(1)f f fD. (1)(1)(2)f f f4. 直线2021x y 的倾斜角为（ ） A. 0°B. 41°C. 45°D. 135°5. 计算：sin5cos55cos175sin55的结果是（ ）A.12B.12C.32D.6. 如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，则AB BC （ ）A. 0B.C. 2D. 7. 若角的终边经过点(3,4)P ，则下列式子正确的是（ ）A. 3sin5B. 3cos4C. 3sincos 4D. 22sin 1cos8. 甲、乙两颗质地均匀的骰子，它们的六个面的点数都依次为1，2，3，4，5，6. 现将甲、乙两颗骰 子先后各抛掷一次，a ，b 表示甲、乙两颗骰子所出现的向上的点数，则点(,)M a b 落在直线6x y 上的概率为（ ） A.136B.19C.536D.169. 双曲线229436x y 与直线320x y 公共点的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4ABCD（第6题图）10. 下列四个论断：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行； ④过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 其中正确的是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④11. 设x R ，则“24x ”是“2x ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件12. 已知32，x ，y ，12成等比数列，则x y 的值为（ ） A. 6B. 9C.272D. 1813. 若点P 与点(2,3)M 关于x 轴对称，则点P 的坐标是（ ） A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (2,3)14. 已知圆C 以点(2,0)为圆心，且经过原点，则圆C 的标准方程为（ ） A. 22(2)4x yB. 22(2)4x yC. 22(2)2x yD. 22(2)2x y15. 已知a b c ，则下列不等式成立的是（ ） A. ac bcB. 22ac bcC. c a c bD.c c a b16. 设函数()sin 3cos f x x x ，x R ，则()f x 的最大值为（ ）A.1B. 2C.D. 117. 下列关于抛物线212yx 的说法中，正确的是（ ） A. 焦点坐标为1(,0)4B. 准线方程为1yC. 焦点坐标为1(,0)8D. 焦点到准线的距离为118. 用数字2，3组成一个四位数（数字可以重复），且数字2，3都至少出现一次，这样的四位数的个数为（ ） A. 20B. 16C. 14D. 1019. 函数||x y xx 的图像大致是（ ）A.B.C.20. 动圆与圆C 1：22(5)49x y 和圆C 2：22(5)1x y 都外切，则该动圆的圆心P 的轨迹是（ ）A. 半圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 若函数2 1 (0)()2 (0)x x f x x x ，则[(1)]f f .22. 已知为锐角，1sin()2，则cos .23. 已知0a ，0b ，且21a b ，则ab 的最大值为 .24. 数列{}n a 满足11 1 (2)n n a n a ，352a ，则1a . 25. 在6(1)x x 的展开式中，含3x 的项的系数为 .26. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C 中，11ABACAA ，2BC，则异面直线1A C 与11B C 所成角的大小为 .27. 已知1F ，2F 分别为椭圆22197xy 的左、右焦点，点P 在椭圆上，若12||2||PF PF ，则12sin F PF .三、解答题（本大题共8小题，共72分）28.（本题满分7分）计算：212ln120203220211lg 2lg [(4)]27(3)tan54C .29.（本题满分9分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2a ，2b，45A . 求：（1）∠B 的大小；（4分） （2）△ABC 的面积.（5分）B BC 1（第26题图）30.（本题满分9分）已知5cos5，(,)2. 求：（1）sin，tan的值；（4分）（2）tan3的值.（5分）31.（本题满分9分）已知圆C：22(1)9x y和点(2,2)P，过点P作直线l.（1）当直线l经过圆心C时，求直线l的方程；（4分）（2）当直线l的倾斜角为45°时，直线l与圆C交于A、B两点，求弦||AB的长.（5分）32.（本题满分9分）如图所示，某组合体由一个半球和一个圆锥CO（底面为半球的大圆）组成，点C，O，D在同一直线上，半球半径和圆锥的高均为r.（1）求这个组合体的体积V（用r表示）；（4分）（2）已知A，B 为圆锥底面圆周上的两点，且3AB r ，求二面角A CD B的大小.（5分）ABCOD（第32题图）33.（本题满分9分）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，然后将两段铁丝各围成一个正方形（铁丝无多余）.（1）若其中一个正方形的面积为9cm 2，求另一个正方形的面积；（4分） （2）求两个正方形的面积之和的最小值，并指出此时两段铁丝的长度.（5分）34.（本题满分10分）如图所示，椭圆22221x y a b 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 为椭圆的上顶点，已知△12AF F 是边长为2的正三角形. （1）求该椭圆的标准方程；（4分）（2）延长线段2AF 交椭圆于点B ，连接B ，1F ，求1||BF 的长.（6分）（第34题图）35.（本题满分10分）为了更好地节约能源和保护环境，某市从2018年开始计划将5000辆燃油动力的旧公交车逐步更换为纯电力或混合动力新车（每投入一辆新车，则淘汰一辆旧车）. 2018年投入纯电力公交车为64辆，混合动力公交车为400辆，已知今后纯电力车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力车每年投入量比上一年多75辆.（1）该市在2020年这一年更换了多少辆燃油动力公交车？（3分）（2）前三年总共更换了多少辆燃油动力公交车？（3分）（3）到哪一年，5000辆燃油动力公交车将全部更换完毕？（4分）答案一、单项选择题1. D2. C3. A4. D5. D6. B7. D8. C9. A 10. B 11. A 12. B 13. D 14. B 15. C 16. B 17. D 18. C 19. C 20. C 二、填空题 21. 422.23. 1824. 3 25. 15 26. 60°27.三、解答题 28. 203729.（1）30°；（230.（1）25sin5，tan 2；（2）21131.（1）22y x ；（232.（1）3Vr ；（2）120° 33.（1）4cm 2；（2）当两段铁丝长都为10cm 时，两个正方形的面积之和最小，最小值为12.5cm 2.34.（1）22143x y ；（2）14535.（1）694辆；（2）1729辆；（2）到2024年.。
2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷(3月份)-普通用卷
2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷（3月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|x2<4}，Q={x|−1<x<3}，则P∩Q=()A. {x|2<x<3}B. {x|−2<x<3}C. {x|−1<x<2}D. {x|−1<x<3}2.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e为自然底数，i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e2i在复平面内对应点所在的象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若实数x，y满足约束条件{y−2x−1≤02y−x+1≥0x+y−1≤0，则z=x+2y的取值范围是()A. [−3,2]B. [−3,1]C. [2,+∞)D. [−3,+∞)4.已知a，b都大于零且不等于1，则“log a b>1”是“(a−1)(b−1)>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=|x|−1xln|x|，其图象大致为()A. B.C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 3√32B. 2√3 C. 5√32D. 3√37.在直角坐标系中，已知O为坐标原点，A(−1,0)，B(1,0).点P满足k PA⋅k PB=3且|PA|+|PB|=4，则|OP|=()A. 7√1313B. √855C. 5√1313D. √1328.已知离散型随机变量ξ1，ξ2的分布列为：ξ1135P a 12bξ21245P b 1414a则下列说法一定正确的是()A. E(ξ1)>E(ξ2)B. E(ξ1)<E(ξ2)C. D(ξ1)>D(ξ2)D. D(ξ1)<D(ξ2)9.如图，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，BC=2，D为线段BC上一点，沿AD将△ABD翻转至△AB′D，若点B′在平面ADC内的射影H恰好落在线段AC上，则二面角B′−DC−A的正切的最大值为()A. √33B. 1C. √2D. √310.设数列{x n}满足x n+1=x n2−2x n，n∈N∗，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得x n≥m，则实数m的最大值为()A. 1−√52B. 1+√52C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.函数f(x)=cos2x+sinxcosx，则f(x)的最小正周期为______ ，对称轴方程为______ ．12.二项展开式(1−2x)5=a0−a1x+a2x2−a3x3+a4x4−a5x5，则a3=______ ，a1 2+a222+a323+a424+a525=______ ．13.已知圆内接四边形ABCD的边长BC=2AB=2，CD=DA=√7，则AC=______ ，四边形ABCD的面积为______ ．14.已知直线l：y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1相切，且被圆(x−4)2+y2=4截得的弦长为2√3，则k=______ ，b=______ ．15.已知实数x，y满足x2+y2−xy=3，则S=x2y2−4xy的最大值为______ ．16.某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有______ 种不同的答题顺序．17.已知非零向量a⃗,b⃗ 的夹角为π6，若存在两不相等的正实数λ1，λ2，使得(a⃗−λ1b⃗ )⋅(λ2a⃗−b⃗ )=0，则λ1⋅λ2的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知锐角△ABC中，asinA+√3bsinC=csinC+bsinB．(Ⅰ)求A；(Ⅱ)求sinB+cosC的取值范围．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=√3，PA=2，PB=AC=1，F为线段BC的中点.已知AC⊥AB，且二面角P−AB−C的平面角大小为60°．(Ⅰ)求证：AC⊥PF；(Ⅱ)求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．20.已知{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列，a1=b1=1，a2=b2>0，且a1≠a2，n∈N∗．(Ⅰ)若a2，b3，a3成等差数列，求{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)当n>2时，证明：a n<b n．21.如图，已知点A1，A2分别是椭圆C1：x24+y2=1的左、右顶点，点P是椭圆C1与抛物线C2：y2=2px(p>0)的交点，直线A1P，A2P分别与抛物线C2交于M，N两点(M,N不同于P)．(Ⅰ)求证：直线MN垂直x轴；(Ⅱ)设坐标原点为O，分别记△OPM，△OMN的面积为S1，S2，当∠OPA2为钝角时，求S1S2的最大值．22.已知a>0，函数f(x)=e xx2+a．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)已知函数f(x)存在极值点x1，x2，求证：|f(x1)−f(x2)|<e2⋅1−aa．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵P ={x|−2<x <2}，Q ={x|−1<x <3}， ∴P ∩Q ={x|−1<x <2}． 故选：C ．可求出集合P ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由题意得：e 2i =cos2+isin2， 而cos2<0，sin2>0， 故点(cos2,sin2)在第二象限， 故选：B ．利用欧拉公式以及三角函数值即可得出．本题考查了欧拉公式的应用，考查三角函数问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可得，B(0,1)，联立{2y −x +1=0y −2x −1=0，解得A(−1,−1)，作出直线x +2y =0，由图可知，平移直线x +2y =0至A 时，z =x +2y 有最小值为−3， 至B 时，z 有最大值为2．∴z =x +2y 的取值范围是[−3,2]． 故选：A ．由约束条件作出可行域，求出最优解的坐标，平移直线x +2y =0，即可求得z =x +2y 的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．4.【答案】A【解析】解：a ，b 都大于零且不等于1，log a b >1=log a a ， 若0<a <1时，则1>a >b >0，所以(a −1)(b −1)>0， 若a >1时，则b >a >1，所以(a −1)(b −1)>0，所以“log a b >1”可以推出“(a −1)(b −1)>0”，满足充分性； 因为(a −1)(b −1)>0，所以a >1，b >1或0<a <1，0<b <1， 只能推出log a b >0，不能推出log a b >1，不满足必要性； 所以“log a b >1”是“(a −1)(b −1)>0”的充分不必要条件． 故选：A ．讨论0<a <1与a >1两种情形，利用单调性可得b 的范围，从而可判定是否满足(a −1)(b −1)>0，反之(a −1)(b −1)>0，只能推出log a b >0，不能推出log a b >1，结合充分条件、必要条件的定义可得结论．本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及对数不等式的解法，同时考查了逻辑推理的能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)， 函数f(−x)=|−x|−1−xln|−x|=−|x|−1xln|x|=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故排除BD ， 因为f(1)=0，f(12)=−ln 12=ln2>0， 故排除C ， 故选：A ．先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可判断． 本题考查了函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥C −ABD ，侧棱与底面垂直，底面是以2为边长的等边三角形，高为3， 且D 是中点，则BD =1，∴几何体的体积V =12×2×√3×3−13×12×1×√3×3 =3√3−√32=5√32，故选：C ．由三视图知几何体是一个三棱柱，且在一个角上截去一个三棱锥，并求出几何元素的长度，利用柱体、椎体的体积公式计算即可．本题考查三视图求几何体的体积，三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7.【答案】B【解析】解：设点P(x,y)，A(−1,0)，B(1,0)， k PA =yx+1，k PB =yx−1， 所以k PA ⋅k PB =yx+1⋅yx−1=3， x 2−y 23=1，x ≠0，…①又|PA|+|PB|=4，所以点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆， 所以2a =4，a =2，c =1，b 2=a 2−b 2=3， 椭圆方程为x 24+y 23=1，…②由①②解得{x 2=85y 2=95， 则|OP|=√x 2+y 2=√85+95=√855．故选：B ．设出点P(x,y)，根据k PA ⋅k PB =3得出x 2−y 23=1(x ≠0)，根据|PA|+|PB|=4得出x 24+y 23=1，两方程联立得出x 2、y 2的值，计算OP 的值．本题考查了椭圆与双曲线的定义与标准方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意可得：a +b =12，a ，b ∈(0,12). E(ξ1)=a +3×12+5×b =2+4b ， E(ξ2)=b +2×14+4×14+5a =2+4a ，由a 与b 的大小关系不确定，因此E(ξ1)与E(ξ2)大小关系不确定．D(ξ1)=(1−2−4b)2a +(3−2−4b)2×12+(5−2−4b)2×b =−(4b −1)2≤0，E(ξ2)=4−4b ，D(ξ2)=(4−4b −1)2b +(4−4b −2)2×14+(4−4b −4)2×14+(4−4b −5)2(12−b)=−20(b −15)2+2310∈(12,2310)，∴D(ξ1)<D(ξ2).故选：D ．由题意可得：a +b =12，a ，b ∈(0,12).可得E(ξ1)，E(ξ2)，D(ξ1)，D(ξ2)，进而比较出大小关系．本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、方差、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：过H 作HM ⊥CD 于M ，连接B′M ， 过H 作HN ⊥AD 于N ，连接B′N ，因为点B′在平面ADC 内的射影是H 点，所以B′H ⊥平面ACD ，由三垂线定理知B′M ⊥CD ，B′N ⊥AD ， 所以∠B′MH 为二面角B′−DC −A 的平面角，设∠B′MH =θ，∠CAD =α，则BAD =90°−α，α∈(0,π4)， 所以AN =1⋅cos(90°−α)=sinα，AN =AH ⋅cosα， 所以AH =ANcosα=tanα，于是B′H =√1−tan 2α，因为∠BAC=90°，AB=1，BC=2，所以AC=√3，∠ACD=30°，又因为HC=√3−tanα，所以HM=HCsin30°=12(√3−tanα)，所以tanθ=B′HHM =2√1−tan2α√3−tanα，令√3−tanα=t，则tanθ=2√−2−t2+2√3tt =2√12−2(1t−√32)2≤√2，当t=2√33时等号成立，所以二面角B′−DC−A的正切的最大值为√2．故选：C．寻找二面角的平面角，引入角变量，通过变量代换与配方，用变量表示二面角的正切值，再用不等式法求最大值．本题考查了空间直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：∵数列{x n}满足x n+1=x n2−2x n，n∈N∗，且对于任意x1≠0，都存在正整数n使得x n≥m，∴①若数列{x n}是递增数列，则x n+1=x n2−2x n>x n⇒x n>3或x n<0，∵存在正整数n使得x n≥m，故需m≤3，此时m的最大值为3，②若数列{x n}是递减数列，则x n+1=x n2−2x n<x n⇒0<x n<3，∵存在正整数n使得x n≥m，故需m≤0，此时m的最大值为0，综上可得：m的最大值为3，故选：D．分数列递增和递减分别求解m的最大值，即可求解结论．本题主要考查数列递推关系式的应用，以及数列单调性的应用，属于中档题目．11.【答案】πx=12kπ+π8，(k∈Z)【解析】解：因为f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=√22sin(2x+π4)+12，所以函数的最小正周期T=2π2=π，令2x+π4=kπ+π2(k∈Z)，解得：x=12kπ+π8(k∈Z)，所以函数的对称轴方程为：x =12kπ+π8，(k ∈Z)． 故答案为：π，x =12kπ+π8，(k ∈Z)．直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进而利用函数的关系式利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.【答案】−80 31【解析】解：二项展开式(1−2x)5=a 0−a 1x +a 2x 2−a 3x 3+a 4x 4−a 5x 5，则a 3=−80，令x =0，可得a 0=1．而且(1+2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5， 再令x =−12，可得，1+a 12+a 222+a 323+a 424+a 525=32，∴a 12+a 222+a 323+a 424+a 525=31，故答案为：−80；31．由题意利用通项公式，求出a 3，令x =0，可得a 0=1.根据(1+2x)5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，再令x =−12，可得a 12+a 222+a 323+a 424+a525的值．本题主要考查二项式定理的应用，通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．13.【答案】√7 9√34【解析】解：由于B +D =180°，则cosB =−cosD ， 由题设及余弦定理得，在△ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =5−4cosB ，…①在△ACD 中，AC 2=AD 2+DC 2−2AD ⋅DC ⋅cosD =14+14cosB ，…②由①②得cosB =−12，故B =120°，D =60°， 则AC =√7．由于B +D =180°，∴sinB =sinD =√32，由以上的结果及题设，可知四边形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ACD =12AB ⋅BC ⋅sinB +12AD ⋅CD ⋅sinD =12(1×2+√7×√7)×√32=9√34，故答案为：√7，9√34．连结BD ，由于A +C =180°，则cosA =−cosC ，在△BCD 中，和在△ABD 中分别应用余弦定理即可求得BD 和角C ；由于B +D =180°，则sinB =sinD ，由四边形ABCD 的面积为S △ABC +S △ACD ，应用面积公式，即可得到面积．本题考查余弦定理以及应用，三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直径，考查运算能力，属于中档题．14.【答案】√33 −2√33【解析】解：由直线l ：y =kx +b(k >0)与圆x 2+y 2=1相切， 得√k 2+1=1，①又直线l ：y =kx +b(k >0)被圆(x −4)2+y 2=4截得的弦长为2√3， ∴(√k 2+1)2+(√3)2=4，②联立①②可得，k =√33(k >0)，b =−2k =−2√33．故答案为：√33，−2√33． 由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，再由垂径定理求弦长，可得关于k 与b 的方程组，求解得答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．15.【答案】5【解析】解∵x 2+y 2−xy =3，∴x 2+y 2=xy +3， 又∵x 2+y 2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy| ∴xy +3≥2|xy|①若xy ≥0时，xy +3≥2xy ，∴xy ≤3， ②xy <0时，xy +3≥−2xy ，∴xy ≥−1 ∴−1≤xy ≤3设t=xy，则S=t2−4t=(t−2)2−4，t∈[−1,3]，∴当t=−1时，S max=9−4=5，∴S的最大值为5．故答案5．由x2+y2−xy=3，x2+y2=|x|2+|y|2≥2|x||y|=2|xy|得出xy的范围，再用换元法转化为二次函数，利用二次函数求最值．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．16.【答案】60【解析】解：由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共6只灯笼，第一步，从6个选3个，第二步，从3个选2个，最后回答剩下的哪一个，故有C63C32C11=60种，故答案为：60．只需要同一列顺序为从下到上即可，分三步即可完成．本题主要考查组合问题和分步计数原理的实际应用，属于基础题．]∪[3,+∞)17.【答案】(0,13【解析】解：由(a⃗−λ1b⃗ )⋅(λ2a⃗−b⃗ )=0，可得λa⃗2−(1+λ1λ2)a⃗⋅b⃗ +λ1b⃗ 2=0，2即λa⃗2+λ1b⃗ 2=(1+λ1λ2)a⃗⋅b⃗ ，2∵λ2a⃗2+λ1b⃗ 2≥2√λ1λ2|a⃗|⋅|b⃗ |，≥2√λ1λ2|a⃗|⋅|b⃗ |，∴(1+λ1λ2)|a⃗|⋅|b⃗ |⋅cosπ6即√3(1+λ1λ2)≥4√λ1λ2，设√λ1λ2=t，t>0，可得√3t2−4t+√3≥0，或t≥√3解得0<t≤√33或λ1λ2≥3；即0<λ1λ2≤13]∪[3,+∞)．故答案为：(0,13由(a⃗−λ1b⃗ )⋅(λ2a⃗−b⃗ )=0，可得λa⃗2−(1+λ1λ2)a⃗⋅b⃗ +λ1b⃗ 2=0，利用基本不等2式，即可求解范围．本题考查了平面向量的数量积的运算问题，基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵asinA+√3bsinC=csinC+bsinB．∴a2+√3bc=c2+b2．即b2+c2−a2=√3bc，得cosA=b2+c2−a22bc =√3bc2bc=√32，则A=π6，(Ⅱ)sinB+cosC=sinB+cos(π−π6−B)=sinB−cos(π6+B)=sinB−√32cosB+12sinB=32sinB−√32cosB=√3(√32sinB−12cosB)=√3sin(B−π6)，∵三角形是锐角三角形，∴0<B<π2，0<C<π2，A=π6，∵B+C=5π6，∴C=5π6−B<π2，∴π3<B<π2，则π6<B−π6<π3，则sinπ6<sin(B−π6)<sinπ3，即12<sin(B−π6)<√32，则√32<√3sin(B−π6)<32，即sinB+cosC的取值范围是(√32,3 2 ).【解析】(Ⅰ)利用正弦定理以及余弦定理进行求解即可．(Ⅱ)利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的图像和性质进行求解即可．本题主要考查三角函数的图像和性质以及解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及辅助角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】(1)证明：在平面ABC内，过B点作BD⊥AB，使BD=AC，取BD中点E，连接CD、EF、PE、PD，因为PA2=AB2+PC2，所以AB⊥PB，所以∠PBD 为二面角P −AB −C 的平面角，于是∠PBD =60°， 又PB =BD =1，所以△PBD 为正三角形， 所以PE ⊥BD ，即BD ⊥PE ， 因为EF//CD//AB ，所以BD ⊥EF ，又因为PE ∩EF =E ，EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ， 所以BD ⊥平面PDE ，又因为PF ⊂平面PDE ，所以BD ⊥PF ， 又因为AC//BD ，所以AC ⊥PF ． (2)解；建立如图所示的空间直角坐标系， PE =PA ⋅sin60°=1⋅√32=√32， 因为AB ⊥BC ，AB ⊥PB ，所以AB ⊥平面PBD ， 因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PCD ， 又因为PE ⊥CD ，平面ABCD ∩平面PCD =CD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，所以各点坐标如下：A(0,0，0)，B(0,√3,0)，C(1,0，0)，P(12,√3,√32)，F(12,√32,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√3,√32)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√3,√32)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,√32)， 设平面PAC 法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =12x +√3y +√32z =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−12x +√3y +√32z =0，令y =1，m⃗⃗⃗ =(0,1，−2)， 所以直线PF 与平面PAC 所成角的正弦值为|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||FP ⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗ |=√32√62⋅√5=√1010．【解析】(1)证明直线垂直于另一条直线所在平面即可；(2)用向量数量积计算直线与平面所成角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题． 20.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d ≠0，q >0且q ≠1， a 1=b 1=1，a 2=b 2，即1+d =q ，又a 2，b 3，a 3成等差数列，可得2b 3=a 2+a 3，即2q 2=2+3d ， 解得d =−12，q =12， 则a n =1−12(n −1)=3−n 2；b n =(12)n−1；(Ⅱ)证明：由a 1=b 1=1，a 2=b 2，即1+d =q ，d ≠0，q >0且q ≠1，则n >2时，b n =q n−1=(1+d)n−1=1+C n−11d +C n−12d 2+...+d n−1>1+(n −1)d =a n ，所以当n >2时，a n <b n ．【解析】(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d ≠0，q >0且q ≠1，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求； (Ⅱ)n >2时，b n =q n−1=(1+d)n−1，运用二项式定理和不等式的性质，即可得证． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，以及数列不等式的证明，考查方程思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)证明：根据题意可得A 1(−2,0)，A 2(2,0)，设P(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则直线A 1P 为x =x 0+2y 0y −2，联立{x =x 0+2y 0y −2y 2=2px，消去x 得y 2−2p(x 0+2)y 0⋅y +4p =0，所以y 1y 0=4p ， 所以y 1=4p y 0，x 1=y 122p =8py 02，直线A 2P 的方程为x =x 0−2y 0y +2，同理可得联立直线A 2P 与抛物线的方程，得y 2y 0=−4p ， 所以y 2=−4p y 0，x 2=8py 02，所以x 1=x 2，所以直线MN 垂直于x 轴．(Ⅱ)设P(x 0,y 0)是抛物线于椭圆的交点，所以{x 024+y 02=1y 02=2px 0，所以S 1=S △OPM =S △OA 1M −S △OA 1P =12|OA||y 1|−12|OA 1||y 0|=|4p−y 02y 0|，S 2=S △OMN =12|x 1||2y 1|=|32p 2y 02|，所以S1S 2=|4p−y 0232p ⋅y 02|=12|−(y 024p )2+y 024p |=|−x 028+x 04|，因为∠OPA 2为钝角，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0，即x 02−2x 0+y 02<0， 将y 02=1−x 024代入x 02−2x o +1−x 024<0，解得23<x 0<2，令f(x)=|−x 28+x4|，23<x <2，当x =1时，f(x)最大值为18． 所以x 0=1时，S 1S 2最大值为18．【解析】(Ⅰ)设P(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，写出直线A 1P 方程，并联立抛物线的方程，结合韦达定理可得y 1y 0，解得y 1，x 1，联立直线A 2P 与抛物线的方程，解得y 2，x 2，进而可得答案．(Ⅱ)设P(x 0,y 0)是抛物线于椭圆的交点，联立椭圆与抛物线的方程，计算S 1=|4p−y 02y 0|，S 2=|32p 2y 02|，再计算S1S 2=|−x 028+x 04|，转化成函数求最值，即可得出答案．本题考查直线与抛物线的相交问题，最值问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)∵f(x)=e xx 2+a ，∴f′(x)=e x (a+x 2−2x)(a+x )=e x [(x−1)2+a−1](a+x )，因为a >0，函数的定义域为R ，若a ≥1，f′(x)>0恒成立，故f(x)在R 上单调递增，若0<a <1，则当x <1−√1−a 时，当x >1+√1−a 时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当1−√1−a <x <1+√1−a 时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 故a ≥1时，f(x)在R 上单调递增，若0<a <1，f(x)在(−∞,1−√1−a)，(1+√1−a,+∞)上单调递增，在(1−√1−a,1+√1−a)上单调递减；(II)由函数f(x)存在极值点x 1，x 2，结合(I)得，x 1=1−√1−a ，x 2=1+√1−a ，∵a +x 12=2x 1，x 22+a =2x 2，∴f(x 1)=e x 12x 1，f(x 2)=e x 22x 2，设m =√1−a ，则1−a =m 2， 因为e x ≥x +1，则e √1−a +√1−a)+e √1−a (√1−a −1)]=1e m (1+m)−e m (1−m)<1+m1+m −(1+m)(1−m)=m2=1−a，∴f(x1)−f(x2)=e x1−e x22x1x2=e⋅e−√1−a(1+√1−a)−e⋅e√1−a(1−√1−a)2a，=e2a [e−1√1−a+√1−a)+e√1−a(√1−a−1)]<e2⋅1−aa．【解析】(I)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论即可求解；(II)结合(I)及函数极值存在的条件得，x1=1−√1−a，x2=1+√1−a，从而得a+x12=2x1，x22+a=2x2，代入得f(x1)=e x12x1，f(x2)=e x22x2，然后利用换元法，结合e x≥x+1可证明．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及证明不等式，体现了分类讨论及转化思想的应用．。
2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷(3月份)(含解析)
2021年浙江省“超级全能生”高考数学联考试卷(3月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x<5}，B={−1,3，5，7}，则A∩B=()A. {−1,3，5}B. {−1,3}C. {3,5}D. {5,7}2.若复数Z满足Z=2−ii−1(i为虚数单位)，则下列说法正确的是()A. 复数Z的虚部为1B. |Z|=√5C. Z−=1−2iD. 复平面内与复数Z对应的点在第三象限3.设变量x，y满足约束条件{x+2y≥2,2x+y≤4,4x−y≥−1,则目标函数z=3x−y的取值范围是()A. [−32,−1] B. [−32,6] C. [−1,6] D. [−6,32]4.对于实数x，“|x|<1”是“x<1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5.已f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则有()A. b<0B. 0<b<1C. 1<b<2D. b>26.某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的体积为()A. 80+10πB. 80+20πC. 92+14πD. 120+10π7. 在平面上∠AOB =60°，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.动点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ2+λμ+μ2=1，则点C 的轨迹是( )A. 线段B. 圆C. 椭圆D. 双曲线8. 已知随机变量X 的分布列如表，则m 的值为( )X 123 4P113213m613A. 213B. 313C. 413D. 5139. 如图在棱长均为2的正四棱锥中，点为的中点，则下列命题正确的是( )A. 平行面，且直线到面距离为B. 平行面，且直线到面距离为C. 不平行面，且与平面所成角大于D.不平行面，且与面所成角小于10. 已知函数y =f(x)的定义域为R ，当x <0时，f(x)>1，且对任意的实数x ，y ，等式f(x)⋅f(y)=f(x +y)恒成立，若数列{a n }满足a 1=f(0)，且f(a n+1)=1f(−2−a n)，n ∈N +，则a 2019的值为( )A. 4037B. 4038C. 4027D. 4028二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 已知函数f(x)=sin 2x +2sinxcosx +3cos 2x ，(x ∈R)则函数f(x)的单调增区间为______ ． 12. 在(2x −1)5的展开式中，第四项的系数为______． 13. 在△ABC 中，已知A =π3，a =√3，b =1，则B =______． 14. 已知点P(x,y)在圆x 2+y 2=1上运动，则yx+2的最大值为______ ． 15. 下列四个命题中假命题的为 (将你认为是假命题的序号都填上)①“k =1”是“函数y =cos 2kx −sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件；②“a =3”是“直线ax +2y +3a =0与直线3x +(a −1)y =a −7相互垂直”的充要条件；③函数y =2√x 2+3的最小值为216. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有______种(用数字作答)．17. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =3，AC =1，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=sin(π2+x)cosx −sinxcos(π−x)，(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)在△ABC 中，已知A 为锐角，f(A)=1，BC =2,B =π3，求AC 边的长．19. 如图，已知四棱锥A −BCDE ，BE ⊥平面ABC ，DE//BC ，DE =EB =AB =3BC =3，AC =√10． (1)求证：DE ⊥平面ABE ；(2)求证：在线段AD 上存在一点M ，使得CM ⊥AE ，并指明点M 的位置； (3)求二面角B −AD −E 的大小20.已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n=log2(a n+1)，a1=1且对于任意n≥2，n∈N+有a n=2a n−1+1．(1)证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)若c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．21.已知抛物线C：y2=4x.点P是其准线与x轴的交点，过点P的直线L与抛物线C交于A，B两点．(1)当线段AB的中点在直线x=7上，求直线L的方程；(2)设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB的中点时，求△FAB的面积．22.已知函数f(x)=e ax⋅sinx−1，其中a>0．(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(Ⅱ)证明：f(x)在区间[0,π]上恰有2个零点．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A ={x|x <5}，B ={−1,3，5，7}， 则A ∩B ={x|x <5}∩{−1,3，5，7}={−1，3}． 故选：B ．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础的概念题．2.答案：D解析：解：由Z =2−ii−1=(2−i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−32−12i ， 可得复数Z 的虚部为−12，故A 错误； |Z|=√(−32)2+(−12)2=√102，故B 错误；Z −=−32+12i ，故C 错误；复平面内与复数Z 对应的点的坐标为(−32,−12)，在第三象限．故D 正确． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论． 解：不等式组对应的平面区域如图：由z =3x −y 得y =3x −z ， 平移直线y =3x −z ，由图象可知：当直线y =3x −z 经过点A 时，直线y =3x −z 的截距最大，此时z 最小， 由{4x −y =−12x +y =4， 解得{x =12y =3，即A(12,3)，此时z min =3×12−3=−32，当直线y =3x −z 经过点B(2,0)时，直线y =3x −z 的截距最小，此时z 最大， 此时z max =3×2−0=6， 故−32≤z ≤6， 故选B ．4.答案：A解析：该题目考查命题充要性的判断，要注意准确理解概念和方法，属于基础题． 双向推理，即从左右互推进行判断即可得解． 解：当|x|<1时，显然有x <1成立，但是由x <1，未必有|x|<1，如x =−2<1，但|x|>1， 故“|x|<1”是“x <1”的充分不必要条件； 故选：A ．5.答案：A解析：解：∵函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点的纵坐标为负，故d<0；∵f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象有两个递增区间，有一个递减区间，∴f′(x)=3ax2+2bx+c的图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故a>0，又∵f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象的极小值点和极大值点在y轴右侧，∴f′(x)=3ax2+2bx+c=0的两根x1，x2满足，x1+x2>0，则b<0，x1⋅x2>0，则c>0，综上a>0，b<0，c>0，d<0，故选：A．由已知中函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象，根据其与y轴交点的位置，可以判断d的符号，进而根据其单调性和极值点的位置，可以判断出其中导函数图象的开口方向(可判断a的符号)及对应函数两个根的情况，结合韦达定理，可分析出b，c的符号，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中根据图象的形状分析其导函数的性质是解答本题的关键，同时由于本题涉及到导数，二次函数的图象和性质，函数的单调性，函数取极值的条件等诸多难点，属于中档题．6.答案：A解析：解：由三视图知：几何体是半圆柱与长方体的组合体，下面长方体的长、宽、高分别为4、5、4，体积为4×5×4=80⋅π⋅4⋅5=10π上面半圆柱的半径为2，高为5，体积为12∴几何体的体积V=V半圆柱+V长方体=80+10π．故选：A．几何体是半圆柱与长方体的组合体，根据三视图判断长方体的长、宽、高及半圆柱的半径和高，把数据代入，即可计算体积．本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．7.答案：B解析：本题主要考察利用向量知识求动点的轨迹。
2021届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三下学期2月返校联考数学试题(解析版)
2021届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三下学期2月返校联考数学试题一、单选题1．已知集合{}2{|04},|230M x x N x x x =<<=-++>，则M N ⋃=（ ） A ．()(),10,-∞-+∞B ．(0，3)C ．(-3，4)D ．(-1，4)【答案】D【分析】解一元二次方程求集合N ，应用集合的并运算求M N ⋃即可. 【详解】由题意，{|13}N x x =-<<，而{|04}M x x =<<， ∴{|14}M N x x ⋃=-<<. 故选：D2．已知i 是虚数单位，复数()3a ia R i-∈的虚部为1，则复数2z ai =+的模为（ ）ABCD ．3【答案】B【分析】根据复数的除法运算，化简3a ii-，由题中条件，求出a ，再由模的计算公式，即可求出结果.【详解】因为22333a i ai i ai i i--+==---，又其虚部为1，则1a -=，所以1a =-， 因此22z ai i =+=-，所以z ==.故选：B.3．已知实,x y 满足约束条件121050x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值是（ ） A ．-4 B ．-1C ．2D ．-5【答案】A【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2z x y =-+化为2y x z =+，观察图形可得，当直线2y x z =+过点C 时，z 最小，联立方程21050x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得()3,2C ，则min 2324z =-⨯+=-.故选：A.4．已知m ，n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由//m n 能根据面面垂直的判定定理推出αβ⊥，但由αβ⊥，不能确定m ，n 的位置关系.【详解】若//m n ，则由m α⊥，可知n α⊥，又n β⊂，故αβ⊥ 若,m n αβ⊥⊂，αβ⊥，则m ，n 位置关系不确定. “αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件 故选：B【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．某几何体的三视图如图所示，若棱长为a 的正方体的外接球表面积为12π，则该几何体的体积为（ ）A ．103B ．10C ．143D ．263【答案】A【分析】有三视图还原几何体的直观图，由正方体外接球表面积，求棱长a ，进而求几何体的体积即可.【详解】由三视图可得几何体为正方体中的ABD ECF -部分，如下图示：由题意知：图示正方体的外接球表面积2412ππ==S r ，即3r =，∴223412a r ==，即2a =，∴几何体体积为32315102322123a a a a V =-⋅==.故选：A6．函数()sin 1a xx xf x a ⋅=-的图像不可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】结合题中所给的函数解析式，对选项中所给的函数图象逐一分析，得到在什么情况下可取，利用sin [1,1]x ∈-，得到C 项不可能，得到答案. 【详解】当a 为正偶数时，()f x 为奇函数，图象关于原点对称， 且()f x 的符号与sin x 的符号相同，所以A 项可以； 当1a n=，且n 为偶数时，其定义域为(0,)+∞， 此时01a <<，所以10x a -<，而0a x >，所以当sin 0x >时，()0f x <，当sin 0x <时，()0f x >，所以B 项可以； 当a 为不等于1的正奇数时，()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称， 且()f x 的符号与sin x 的符号相同，所以D 项可以；因为只要a 的值确定了，1a x xa -的符号就可以确定，而sin x 的符号是不确定的，所以()f x 的图象不会都落在x 轴的上方，所以C 项不可以； 故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关图象识别问题，解题思路如下：（1）观察题中所给的函数解析式，对选项中的图象逐一分析，得到对应参数取哪些值时可以得到相应的图，即可认为是可以的；（2）对参数的值进行对比，得到部分式子的符号，结合正弦函数的值域，得到其应该有零点，且函数值即有正值也有负值，分析得到结果； （3）对比得到答案.7．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2c =. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±， ∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =，∴24c ==当且仅当22a =时等号成立. 故选：C【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方8．十三世纪意大利数学家列昂那多.斐波那契从兔子繁殖中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列{}n a 满足以下关系：()*12121,1,3,n n n a a a a a n n N--===+≥∈，记其前n 项和为n S ，若2020(a m m =为常数)，则2018S 的值为（ ）A ．2m -B ．1m -C ．mD ．1m +【答案】B【分析】由()*123,n n n a a a n n N--=+≥∈关系，可得202022018aa S =+，结合已知条件即可求2018S .【详解】202020192018a a a m =+=，201920182017a a a =+，201820172016a a a =+，…，3212a a a =+=，∴20202123201822018...a a a a a a a S m =+++++=+=，而21a =， ∴20181S m =-. 故选：B9．在正三棱台111ABC A B C -中，1113362AB AA A B ===，D 是BC 的中点，设1A D 与1,,BC BB BA 所成角分别为,,αβγ，则（ ）A ．αγβ<<B ．αβγ<<C ．βγα<<D ．γβα<<【答案】D【分析】设111ABC A B C 、的中心分别为1O O ，，所以1OO 垂直于上下底面， D 是BC 的中点，所以DO BC ⊥，取BA 的中点N ，则ON AB ⊥，分别以1ON OD OO 、、为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，利用夹角公式可得答案. 【详解】如图正三棱台111ABC A B C -中，111ABC A B C 、均为正三角形，设111ABC A B C 、的中心分别为1O O ，，所以1OO 垂直于上下底面， D 是BC 的中点，所以DO BC ⊥，取BA 的中点N ，则ON AB ⊥，分别以1ON OD OO 、、为x 、y 、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，因为1113362AB AA A B ===，所以1116243AB AA A B BD ====，，， ，2226933AD AB BD =-=-=，取11B C 中点F ，则2211116423A F A B B F =-=-=，因为1O O ，为正三角形111ABC A B C 、的中心，所以111:2:1:2:1AO OD AO O F ==，，所以233AO OD ==，，1114323AO O F ==，，作1A G AD ⊥交AD 于G ，则11GO A O =，234323AG AO GO ==-=-，所以222112326433AG AA AG ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()()14326023,0,03,0,33,0,33,0,0,33A D B C A ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 所以173260,A D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，()60,0BC =-，，13261,BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，-，()333,0BA =--，，所以11cos 0A D BC A D BCα⋅==⋅，11111519cos 419194A D BB A D BB β⋅===⨯⋅⨯， 11212119cos 2196A D BA A D BAγ⋅===⨯⋅⨯， 综上所述，cos cos cos αβγ<<，αβγ>>. 故选：D.【点睛】本题考查了线线角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量数量积公式求得答案，考查了学生的空间想象力和运算能力.10．已知实数,x y 满足221,01,01x y x y +=<<<<，当41x y +取最小值时，x y的值为（ ）A B C D ．1【答案】A 【分析】先设(0)x m m y =>，即x my =，结合题的条件，得到2211y m =+，将题中式子进行变形41414m x y my y my ++=+==到22816()817f m m m m m=++++，利用导数研究函数的最值即可得结果. 【详解】设(0)xm m y=>，即x my =，因为221,01,01x y x y +=<<<<， 所以2221m y y +=，所以2211y m =+，所以41414m x y my y my ++=+== 令22222222(4)(1)(816)(1)816()817m m m m m f m m m m m m m +++++===++++， 23338328(4)8'()282(4)(2)(4)m f m m m m m m m m +=+--=+-=-+，因为0m >，所以当0m <<'()0f m <，当m >'()0f m >()f m 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当m =时，()f m 取得最小值，故选：A.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关与最值相联系的问题，在解题的过程中，(0)xm m y=>，将其转化为求关于m 的函数的最值问题解决是解题的关键.二、填空题11．在一个不透明的摸奖箱中有五个分别标有1，2，3，4，5号码的大小相同的小球，现甲､乙､丙三个人依次参加摸奖活动，规定：每个人连续有放回地摸三次，若得到的三个球编号之和恰为4的倍数，则算作获奖，记获奖的人数为X ，则X 的数学期望为___________. 【答案】93125【分析】由题意可知抽得三球编号和为4,8,12三种情况的基本事件有31种，而总事件有125种，即三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，则有31~(3,)125X B ，根据二项分布的期望公式求期望即可.【详解】三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件：(1,1,2)有3种、(1,2,5)有6种、(1,3,4)有6种、(2,2,4)有3种、(2,3,3)有3种、(2,5,5)有3种、(3,4,5)有6种、(4,4,4)有1种，而总共有555125⨯⨯=，∴三个球编号之和恰为4的倍数的概率为31125，由题意31~(3,)125X B ， ∴X 的数学期望：3193()3125125E X =⨯=. 故答案为：93125. 【点睛】关键点点睛：根据编号和分组得到三个球编号之和恰为4的倍数的基本事件数，进而确定其概率，由人数为X 服从31(3,)125B 的二项分布，求期望. 12．已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1-【分析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值.【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-，当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-， 令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-；当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.【点睛】关键点点睛：分类讨论参数a 的取值范围，根据函数不等式恒成立求代数式范围，其中综合应用二次函数、三角函数的性质研究复合函数的单调性，进而确定代数式的最大值.13．已知||||1OA OB ==，若存在,m n R ∈，使得mAB OA +与nAB OB +夹角为60，且()()12mAB OA nAB OB +-+=，则AB 的最小值为___________. 【答案】132【分析】设a OA mAB OA '==+，b OB nAB OB '==+可得,,,A A B B ''共线，又1||||2a b B A ''-==，当1||2B A ''=为最小时AB 最小，而此时A '、B '关于y 轴对称，结合已知即可求AB 的最小值. 【详解】由题意，AB OB OA =-，∴令(1)a OA mAB OA m OA mOB '==+=-+，(1)b OB nAB OB n OB nOA '==+=+-，故有,,,A A B B ''共线，∵12a b B A '='-=，故当且仅当1||2B A ''=为最小时，AB 最小， ∴有A '、B '关于y 轴对称时，AB 最小，此时O 到AB ||3324B A ''=， ∴||3131216AB =-=，即132AB =.13. 【点睛】关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知a OA mAB OA '==+，b OB nAB OB '==+、OA 、OB 的终点共线，且1||||2a b B A ''-==可分析得A '、B '关于y 轴对称时，AB 最小，进而求最小值即可.三、双空题14．设等差数列{}n a 的公差为非零常数d ，且12a =，若124,,a a a 成等比数列，则公差d =___________，n a =___________. 【答案】2 2n【分析】由等差数列通项及等比数列的性质可得2(2)2(32)d d +=+，即可求d ，并写出通项公式n a .【详解】由题意，2141,3a a d a a d =+=+，又12a =且124,,a a a 成等比数列， ∴2(2)2(32)d d +=+，即220d d -=且0d ≠，故2d =， ∴1(1)2n a a n d n =+-=. 故答案为：2，2n15．圆22:430C x y x +-+=的半径为___________，若直线1y kx =+与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】1 4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）把圆的一般方程化成标准式即得圆的半径； （21≤即得解.【详解】（1）由题得圆的方程为22(2)1x y -+=，所以圆的半径为1； （2）因为直线10kx y -+=与圆C 有公共点， 221,4411k k k ≤∴++≤+，所以24340,(34)0,03k k k k k +≤∴+≤∴-≤≤. 故答案为：1；4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】方法点睛：判断直线和圆的位置关系常用的有两种方法：（1）判别式法（利用二次方程的判别式∆判断）；（2）几何法（比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小）.要根据已知条件灵活选择方法求解.16．二项式7x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和为___________，含3x 项的系数是___________.【答案】1- 280-【分析】令1x =，可得各项系数和；写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为3，解出参数r 的值，代入计算，即可得出含3x 项的系数． 【详解】令1x =，则各项系数和为()7121-=-设()()14773317722rr r r r r rr T C x x C x ---+⎛⎫=⋅⋅-⋅=⋅-⋅ ⎪⎝⎭令4733r -=，解得3r =，即()3333472280T C x x =⋅-⋅=-， 故答案为：1-；280-17．在ABC 中，()cos 2cos 0a C c b A +-=，2b =，,43B ππ≤≤则A =___________边长c 的取值范围为___________.【答案】3π1⎡⎤+⎣⎦ 【分析】首先根据正弦定理边化角公式得到()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=，再利用正弦两角和公式即可得到1cos2A=，从而得到3Aπ=，利用正弦定理得到2sin1sinCcB==+，再求边长c的取值范围即可.【详解】因为()cos2cos0a C cb A+-=，所以()sin cos sin2sin cos0A C CB A+-=，即sin cos cos sin2sin cos0A C A CB A+-=，()sin2sin cos0A CB A+-=，sin2sin cos0B B A-=，因为sin0B>，所以1cos2A=，0Aπ<<，所以3Aπ=.由正弦定理得：2sin sincB C=，解得22sin2sin31sin sinBCcB Bπ⎛⎫-⎪⎝⎭====+，因为43Bππ≤≤，所以1tan B≤211tan B≤+≤，即1c⎡⎤∈⎣⎦.故答案为：3π；1⎡⎤+⎣⎦四、解答题18．已知()()()0,3sin,cos,cos,cos,a x xb x x f x a bωωωωω>=-==⋅，12,x x是()12y f x=-的其中两个零点，且12minx xπ-=（1）求()f x的单调递增区间；（2）若10,,2210fπαα⎛⎫⎛⎫∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求sin2α的值.【答案】（1）(),63k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）2450+.【分析】（1）化简可得()1sin262f x xπω⎛⎫=--⎪⎝⎭，由12minx xπ-=可得Tπ=，则可得1ω=，令222,,262k x k k Zπππππ-+≤-≤+∈可解得单调递增区间；（2）由题可得3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，进而4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则可求出sin α和cos α的值，即可求出所得.【详解】解：（1）()21cos2cos cos 2xf x x x x x ωωωωω+=-=-111cos2sin 22262x x x πωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 12,x x 是函数()1sin 2126y f x x πω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的两个零点， 即12,x x 是方程sin 216x πω⎛⎫-= ⎪⎝⎭的两个实根，且12min x x π-= T π∴=，222πωπ∴==，则1ω=，()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭令222,,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得,.63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为(),.63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）113sin ,sin 2621065f αππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=∴-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.40,,cos 266365πππππααα⎛⎫<<∴-<-<∴-= ⎪⎝⎭4sin sin sin cos cos sin 66666610ππππππαααα⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4334332473sin22sin cos 2101050ααα+-+∴==⨯⨯=. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，解题的关键是正确利用二倍角公式、辅助角公式、和差化积公式进行化简.19．如图1，在矩形ABCD 中，22,BC AB E ==是AD 中点，将CDE △沿直线CE 翻折到CPE △的位置，使得3PB =，如图2.（1）求证：面PCE ⊥面ABCE ； （2）求PC 与面ABP 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）22211. 【分析】（1）连结BE ，可得BE EC ⊥，结合两图，可得BE EC ⊥，BE PE ⊥，又EC PE E ⋂=，根据线面垂直的判定定理证得BE ⊥面PEC ，再利用面面垂直的判定定理证得结果；（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结BE ，由图1可得BE EC ⊥在图2中2,1,3,BE PE PB BE PE ===∴⊥又EC PE E BE ⋂=∴⊥面PECBE ∴⊂面ABCE ∴面PCE ⊥面ABCE（2）以点A 为原点，分别以,AB AE 直线为x 轴，y 轴，以经过点A 且垂直于平面ABCE 的直线为z 轴建立直角坐标系.由题意可知，()()()1321,0,0,1,2,0,0,1,0,,,222B C E P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()132,,,1,0,0222AP AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭设面ABP 的法向量为(),,n x y z =则0,0n AP n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩令2,y =得3,z =-所以()0,2,3n =-11,,222PC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 222sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅∴===⨯ 所以直线PC 与面ABP 所成角的正弦值为11. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下：（1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直； （2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值.20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*2(2),n n S a n n N =--∈（1）求证：数列{}21n a n +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：*8,3n T n N <∈.【答案】（1）证明见解析，221nn a n =-+；（2）证明见解析.【分析】（1）构造等式2112(3)n n S a n --=--(2)n ≥，利用两式相减可得()12252n n a a n n -=+-≥，再根据等比数列的定义和通项公式可得解；（2）当1,2n n ==时，不等式显然成立，当3n ≥时，利用1118215322(1)2(1)28n n n n n n a =<=-⨯--放大后，根据等比数列的求和公式求和，然后再放大即可得证.【详解】（1）22(2),n n S a n =--当1n =时，1111211S a a a ==-⇒=2n ≥时2112(3)n n S a n --=--.两式相减，得221122(2)(3)n n n n n S S a a a n n ---==---+-得()12252n n a a n n -=+-≥，则()()11111223212252122112323n n n n n n a n a n a n n a n a n a n -----+-+-+-+-===+--+-+-为常数 ∴数列{}21n a n +-是等比数列，首项为1212a +-=，121222n n n a n -∴+-=⋅=，所以221n n a n =-+，（2）当1n =时，111813T a ==<， 当2n =时，2121181123T a a =+=+=<， 当3n ≥时，11121221212n n n n n a n ==--+⎛⎫- ⎪⎝⎭， 令212n nn b -=，则11212n n n b +++=，1121212212(21)2n n n nn b n n b n ++++==--， 因为3n ≥，所以212(21)320n n n +--=-<，所以212(21)n n +<-，所以11n nb b +<，所以1n n b b +<，所以当3n ≥时，数列{}n b 单调递减， 所以当3n ≥时，3212315228n n n b -⨯-=<=， 所以当3n ≥时，1118215322(1)2(1)28nn nn n n a =<=-⨯--， 所以当3n ≥时，348111113222n nT ⎛⎫≤+++++⎪⎝⎭21118288182221338312n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⨯<+⨯⨯=-，综上所述：*8,3n T n N <∈. 【点睛】关键点点睛：当3n ≥时，利用1118215322(1)2(1)28nn nn n n a =<=-⨯--放大后再求和是解题关键.21．已知椭圆221:12y C x +=，拋物线22:2(0)C y px p =>，点()1,0A -，斜率为k的直线1l 交拋物线于B C 、两点，且12AC CB =，经过点C 的斜率为12-k 的直线2l 与椭圆相交于P Q 、两点.（1）若拋物线的准线经过点A ，求拋物线的标准方程和焦点坐标：（2）是否存在p ，使得四边形APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及p 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）标准方程为24y x =，焦点(1，0)；（2）存在，面积最大为226451p =. 【分析】(1)由抛物线的准线方程,2px =-根据条件可得1,2p -=-可求出p 的值，从而得到答案.(2) 设()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y ，由12AC CB =，即得到211,3y y =设点A 到2l 的距离d ，则四边形APBQ 的面积332APQS SPQ d ==，然后方程联立求出弦长PQ ，由点到直线的距离公式求出d ，从而求出答案.【详解】解：（1）抛物线的准线方程,2p x =-焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 则1,2,2pp -=-=抛物线的标准方程为24,y x =焦点(1，0) （2）设()()()()11223344,,,,,,,B x y C x y P x y Q x y由1,2AC CB =得点()1,0A -在直线1l 上，且121112,1312y y y ==+ 设点A 到2l 的距离d ，四边形APBQ 的面积332APQS SPQ d ==. ()()1233:1,:2kl y k x l y x x y =+=--+由()212y k x y px⎧=+⎨=⎩,得2220py y p k-+= 则2224Δ80,2p pp k k =-><,则 12122,2p y y y y p k +== 因为123,y y =所以2222221,,323y y p x p === 所以21,,3C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 22222233,822y y p k p x === 由12,l l 的斜率分别为1,2k k -、可设221:,23k l y x y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有2231413AC y yk k ===+ 故直线22239:88y y l y x =-+，令283t y =- 则直线2:3l x ty =+代入椭圆方程2212y x +=，得()221212160t y ty +++=()23434221216Δ1640,,1212t t y y y y t t =->+=-=++34PQ y y =-=点A 到2l 的距离d =四边形的面积289S t ==≤=-+当且仅当21764,251t p==时面积最大为【点睛】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和求四边形面积的最值问题，解答本题的关键是用点的坐标表示出故直线22239:88y y l y x =-+，令283t y =-，进一步表示出34PQ y y =-=，再求出点A 到2l 的距离d =，得到S =，属于难题.22．已知函数()1xf x e ax =--（1）讨论函数()()f xg x x=在其定义域内的单调性； （2）若()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，设()()xh x e f x =，证明：()h x 在R 上存在唯一的极大值点t ，且()3.16h t <【答案】（1）在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】（1）先对函数()g x 求导，得()()211x x e g x x '-+=，令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=，得到()x ϕ在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，结合其定义域，得到()()00ϕϕ>=x ，进而求得()g x 的单调区间； （2）根据()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，可确定1a =，()()()()1,22x x x x h x e e x h x e e x '=--=--，利用导数研究函数的图象的走向，研究得其极值点以及极值的范围，证得结果.【详解】（1）由题意()1x e ax g x x--=，定义域为()()()()211,00,,x x e g x x ∞∞'-+-⋃+=令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=当0x <时，()0;x ϕ'<当0x >时，()0x ϕ'>()x ϕ∴在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增()()00,x ϕϕ∴>=即()g x '在(),0-∞和()0,∞+上均大于零 ()g x ∴在(),0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增（2）易知()x f x e a '=-，由()10xf x e ax =--≥对任意的x ∈R 恒成立，即1x ax e ≤-恒成立，当0x =时显然成立，当0x >时，1x e a x-≤恒成立，当0x <时，1x e a x -≥恒成立，令1()x e u x x -=，则22(1)(1)1'()x x x e x e x e u x x x ⋅---+==， ()(1)1x v x x e =-+，'()x v x e =，可知'()0v x >，()v x 在R 上单调递增，且(0)110v =-+=，所以当0x <时，'()0u x <，当0x >时，'()0u x >，所以1()x e u x x -=在(,0)-∞上单调减，在(0,)+∞上单调增，且001lim lim 11x xx x e e x →→-==，所以1a =， 此时()()()()1,22xxx x h x eex h x e e x '=--=--令()22,xx e x τ=--则()21xx e τ='-当ln2x <-时，()0;x τ'<当ln2x >-时，()0x τ'>()x τ∴在(),ln2∞--上单调递减，在()ln2,∞-+上单调递增又()()3322223212200,20,0224e ee τττ⎛⎫=-=>-=-=-< ⎪⎝⎭∴存在唯一实数32,,2t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭使得()220t t e t τ=--=()h x ∴在(),t -∞上递增，(),0t 上递减，()0,∞+上递增 ()h x ∴在R 上唯一的极大值点，即为.t()()222231122416ttt t t t h t e e t t ++--⎛⎫∴=--=--=<⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题思路如下： （1）对函数求导，之后对其导数再求导，结合导数的符号确定函数的单调性，从而确定出导函数的符号，进而求得函数的单调区间；（2）首先利用导数研究恒成立问题，像最值靠拢，利用极限的思想，结合洛必达法则求得参数的值；（3）将参数的值代入函数解析式，利用导数研究其极值点，结合其范围证得结果.。
浙江省丽水市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
浙江省丽水市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-【答案】B 【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，找到使直线4y x z =-+的截距取最值得点，相应坐标代入4z x y =+即可求得取值范围. 【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线4z x y =+经过点()1,1A --时，z 取得最小值－5；经过点()1,1B 时，z 取得最大值5，故55z -剟. 故选：B 【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )A ．28cmB ．212cmC ．()2452cmD ．()2454cm【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.22215+1425452⨯⨯=所以该几何体的表面积是()2454cm .故选：D 【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题.3．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,1--B ．()2,1--C ．(],3-∞-D ．(],2-∞-【答案】D 【解析】 【分析】求解()f x 的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数12,x x ，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()()2221224ax a a f x ax x x+++'=+=，当1a <-时，()0f x '<，故()f x 在()0,∞+单调递减； 不妨设12x x <，而1a <-，知()f x 在()0,∞+单调递减， 从而对任意1x 、()20,x ∈+∞，恒有()()12128f x f x x x -≥-，即()()12128f x f x x x -≥-，()()()12218f x f x x x -≥-，()()112288f x x f x x ≥++，令()()8g x f x x =+，则()2248a g x ax x+'=++，原不等式等价于()g x 在()0,∞+单调递减，即1240a ax x+++≤， 从而()222214122121x x a x x ---≤=-++，因为()22212221x x --≥-+， 所以实数a 的取值范围是(],2-∞- 故选：D. 【点睛】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.4．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A 【解析】 【分析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()123210111233S xx dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.5．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14【答案】D 【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【详解】由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确；令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U . 因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知y ax b =+与函数()2ln 5f x x =+和2()4g x x =+都相切，则不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的面积为（ ） A ．2π B ．3πC ．6πD ．12π【答案】B 【解析】 【分析】根据直线y ax b =+与()f x 和()g x 都相切，求得,a b 的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆2222220x y x y ++--=，由此求得正确选项.【详解】()()''2,2f x g x x x==.设直线y ax b =+与()f x 相切于点()00,2ln 5A x x +，斜率为02x ，所以切线方程为()()00022ln 5y x x x x -+=-，化简得0022ln 3y x x x =++①.令()'022g x x x ==，解得01x x =，200114g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以切线方程为20001214y x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得200214y x x x =-+②.由①②对比系数得02012ln 34x x +=-+，化简得02012ln 10x x +-=③.构造函数()()212ln 10h x x x x =+->，()()()'3321122x x h x x x x+-=-=，所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()h x 在1x =处取得极小值也即是最小值，而()10h =，所以()0h x =有唯一解.也即方程③有唯一解01x =.所以切线方程为23y x =+.即2,3a b ==.不等式组3020x ay x by -+≥⎧⎨+-≥⎩即230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩，画出其对应的区域如下图所示.圆2222220x y x y ++--=可化为()()221124x y ++-=，圆心为()1,1A -.而方程组230320x y x y -+=⎧⎨+-=⎩的解也是11x y =-⎧⎨=⎩.画出图像如下图所示，不等式组230320x y x y -+≥⎧⎨+-≥⎩所确定的平面区域在2222220x y x y ++--=内的部分如下图阴影部分所示.直线230x y -+=的斜率为12，直线320x y +-=的斜率为13-.所以()tan tan BAC AED ADE ∠=∠+∠1123111123+==-⨯，所以4BAC π∠=，而圆A 的半径为2426=，所以阴影部分的面积是()2126324ππ⨯⨯=.故选：B【点睛】本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题. 9．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A 【解析】 【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率． 【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数， 基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．10．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA +的最小值为（ ）A ．132B ．102C ．3D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由2PQ PF =-,再运用,,P F A 三点共线时和最小，即可求解. 【详解】22523PQ PA PF PA FA +=-+≥-=-=.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．11．在ABC ∆中，“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】通过列举法可求解，如两角分别为2,63ππ时【详解】当2,36A B ππ==时，sin sin A B >，但tan tan A B <，故充分条件推不出； 当2,63A B ππ==时，tan tan A B >，但sin sin A B <，故必要条件推不出；所以“sin sin A B >”是“tan tan A B >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题 12．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国卷2021年高考第三次联考三模数学试题(理)含答案
姓名 准考证号 绝密★启用前2022届高中毕业班联考理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥。
根据欧拉公式.则复数i e41π在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合:A = {0)2)(2(|≤+-x x x },B= {16|22=+y x y }，则=B A A.[-3, -3] B.[-2,2]C.[-4,4]D. 03.等差数列{n a }的公差不为0, 210282624a a a a +=+}，则S 13 =A. -1B.OC.-2D.-34.如图正方体AC 1，点M 为线段BB 1的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为5.已知两个随机变量y x ,之间的相关关系如下表所示：根据上述数据得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则大致可以判断 A.a ˆ>0，b ˆ<0 B.a ˆ<0，b ˆ<0 C. aˆ>0，b ˆ>0 D.a ˆ<0,b ˆ>0 6.已知椭圆12222=+b y a x （a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若21F AF ∆的周长为6且面积的最大值为12222=-by a x ，则椭圆的标准方程为A.13422=+y xB.12322=+y xC.1222=+y x D.1422=+y x7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为 A. 55 B. 45 C. 66 D. 408.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多。
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2021年浙江省高职考试研究联合体高考数学第三次联考试卷（3月份） 一、单项选择题（1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分） 1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{1，2，5}，则集合A等于（ ）
A．{0，1，2} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{0，3，4} 2．下列选项一定正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若，则a＞b C．若a2＞b2，则a＞b D．若，则a＞b 3．已知x∈（3π，），则（ ）
A．sinx＞0 B．cosx＞0 C．tanx＜0 D．sin2x＞0 4．若x＜0，则x+的最大值为（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2 5．函数y＝的定义域为（ ）
A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）
6．抛物线2y+3x2＝0的准线方程为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．y＝ D．y＝﹣
7．已知f（x）＝x2﹣2021x，若f（m）＝f（n），m≠n，则f（m+n）等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．0 D．10021 8．已知A（﹣2，1），B（3，﹣2）两点，且，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．已知平面α∥平面β，且直线l⊂α，直线m⊂β，则l与m的位置关系不可能是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面
10．在△ABC中，“∠A＞”是“cosA＜”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ ） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
12．如果角α的终边在直线y＝﹣2x上，则sinα等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
13．的值是（ ）
A． B． C． D．
14．若把英文单词“book”的字母顺序写错了，则出现的错误可能有（ ）
A．6种 B．11种 C．23种 D．24种
15．圆心在直线3x﹣y﹣4＝0上，与两个坐标轴都相切的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
16．若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的值可以是（ ）
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝﹣ C．ω＝1，φ＝ D．ω＝1，φ＝﹣
17．已知双曲线C：的焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．y＝±2x C．y＝±3x D．
18．已知扇形的周长为100cm，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．100cm2 B．625cm2 C．1250cm2 D．2500cm2 19．袋中有4个红球和6个白球，它们除颜色外其余完全相同，若从袋中任意摸取4个球，
则“取出红球的个数不少于白球的个数”的概率是（ ） A． B． C． D．
20．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚
痛减一半，如此六日过其关．”下列说法中，错误的是（ ） A．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
B．此人第二天走了96里
C．此人后三天共走了42里 D．此人第三天走的路程占全程的
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21．不等式|1﹣3x|≤3的解集是 ．
22．直线x+y+2021＝0的倾斜角为 .（用角度制表示）
23．若（a+b）n的展开式中第5项和第11项的二项式系数相等，则n的值为 ．
24．如图所示为由三个高为1m的圆柱组成的图形，底面半径分别为3m，2m和1m，则它
的表面积是 .（结果用π表示）
25．已知，则x＝ ．
26．＝ ．
27．当α∈[0，π]时，方程x2+y2cosα＝1可能表示 .（填写正确答案的序号：①直线；
②圆；③椭圆；④双曲线；⑤抛物线） 三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤。 28．已知函数f（x）的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．
（1）写出函数f（x）的定义域和值域； （2）求f[f（﹣1）]的值．
29．已知O（0，0），A（1，1），B（4，2）三点．求：
（1）线段AB的垂直平分线所在直线的方程； （2）△ABO的外接圆的方程． 30．已知在△ABC中，sinA+cosA＝．
（Ⅰ）求sin2A； （Ⅱ）判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； （Ⅲ）求tanA． 31．在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，
（1）求数列{an}的通项公式； （2）求当n取何值时，Sn取得最大值，并求它的最大值． 32．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D．沿AD折成直二面角
B﹣AD﹣C．求：
（1）二面角B﹣AC﹣D的正切值； （2）三棱锥B﹣ADC的体积．
33．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，AC＝7，且∠B+∠D＝π．
（1）求cosD的值及△ABC的面积； （2）若AC是∠DAB的平分线，求DC的长．
34．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，且|PF1|+|PF2|＝8，椭圆的离心率e＝，经过椭圆的右焦点F2作与x轴垂直的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若△PAB的面积为15，求点P的坐标； （3）求△PAB的面积的最大值． 35．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳
增长．记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（单位：万件）之间的关系如表所示． x 1 2 3 4 f（x） 4.00 5.58 7.00 8.44
若f（x）近似符合以下三种函数模型之一： ①f（x）＝ax+b；②f（x）＝2x
+a；③f（x）＝x+a．
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2016年和2018年的数据求出相应的解析式； （2）因受新冠疫情影响，2020年的年产量比预计减少了30%，试根据所建立的函数模型，求出2020年的年产量； （3）若自2021年起每年的年产量仍然按照所选函数模型平稳增长，试求出2021﹣2029年这九年的总产量． 参考答案 一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。错涂、多涂或未涂均无分。 1．已知全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{1，2，5}，则集合A等于（ ）
A．{0，1，2} B．{2，3，4} C．{3，4} D．{0，3，4} 解：因为全集U＝{x∈N|0≤x≤5}，∁UA＝{1，2，5}， 由补集的定义可知集合A＝{0，3，4}． 故选：D． 2．下列选项一定正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac＞bc B．若，则a＞b C．若a2＞b2，则a＞b D．若，则a＞b 解：对于A，a＞b，若c＝0，则ac＝bc，选项A错误； 对于B，若，则，即a＞b，选项B正确； 对于C，（﹣3）2＞22，﹣3＜2，选项C错误； 对于D，，﹣2＜2，选项D错误． 故选：B． 3．已知x∈（3π，），则（ ）
A．sinx＞0 B．cosx＞0 C．tanx＜0 D．sin2x＞0 解：∵x∈（3π，），∴x是第三象限角， 则sinx＜0，故A错误； cosx＜0，故B错误；
tanx＞0，故C错误；
sin2x＝2sinxcosx＞0，故D正确．
故选：D． 4．若x＜0，则x+的最大值为（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．﹣4 D．﹣2 解：因为x＜0，则﹣x＞0， 则x+＝﹣[（﹣x）+（﹣）]＝﹣4， 当且仅当﹣x＝﹣，即x＝﹣2时取等号，此时取得最大值﹣4． 故选：C． 5．函数y＝的定义域为（ ）
A．[﹣2，3] B．[﹣2，1）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，3）
解：由题意得：， 解得：﹣2≤x＜1且1＜x≤3， 故选：B． 6．抛物线2y+3x2＝0的准线方程为（ ）
A．x＝ B．x＝ C．y＝ D．y＝﹣
解：抛物线2y+3x2＝0的标准方程为：x2＝﹣y，p＝，抛物线的准线方程为：y＝， 故选：C． 7．已知f（x）＝x2﹣2021x，若f（m）＝f（n），m≠n，则f（m+n）等于（ ）
A．2021 B．﹣2021 C．0 D．10021 解：函数f（x）＝x2﹣2021x 的对称轴为直线 x＝， ∵f（m）＝f（n），∴m，n关于函数 f（x）＝x2﹣2021x图象的对称轴对称， ∴m+n＝2×＝2021，∴f（m+n）＝f（2021）＝0． 故选：C． 8．已知A（﹣2，1），B（3，﹣2）两点，且，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
解：设P（x，y），则＝（x+2，y﹣1），＝（3﹣x，﹣2﹣y）， ∵，