不等关系和不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数值关系表示方法，它可以描述数字之间的大小关系。
与等式不同，不等式中的符号可以表示大于、小于、大于等于或小于等于的关系。
本文将介绍不等式的基本性质，包括不等式的性质、解不等式的方法以及一些常见不等式的应用。
一、1. 传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
这意味着如果不等式的两个数之间有大小关系，那么这种关系可以传递给第三个数。
2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。
这表示在不等式两边同时加上相同的数，不等式的方向不改变。
3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。
这表示在不等式两边同时减去相同的数，不等式的方向不改变。
4. 乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。
对于两个正数的乘法和两个负数的乘法，不等式的方向不改变。
5. 除法性：如果a>b且c>0，那么a/c>b/c。
对于两个正数的除法和两个负数的除法，不等式的方向不改变。
这些基本性质在解不等式及推导数学证明中有重要的应用，帮助我们简化运算和判断。
二、解不等式的方法要解决不等式，我们需要找出满足不等式条件的数值范围。
以下是常见的解不等式的方法：1. 加减法解不等式：通过加减法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。
2. 乘除法解不等式：通过乘除法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。
需要注意的是，若乘除以负数，则需要反转不等式的方向。
3. 绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，需要分情况讨论。
通常，将绝对值分为正数和负数两种情况，分别解出不等式。
4. 求解复合不等式：当不等式中存在多个不等关系时，需要将其分解为多个简单的不等式，并找出它们的交集或并集。
解不等式的过程中，保持不等式的严格性是很重要的。
当遇到平方、开方等操作时，需注意方程根与不等式的关系。
三、常见不等式的应用1. 一次不等式：一次不等式是指变量的指数为1的不等式，如ax+b>0。
第37讲 不等关系与不等式的性质、基本不等式
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理数
(2)显然 a≠4. 当 a>4 时，a－4>0， 3 3 所以 ＋a＝ ＋(a－4)＋4 a－4 a－4 3 ≥2 ×a－4＋4＝2 3＋4， a－4 3 当且仅当 ＝a－4，即 a＝4＋ 3时取等号． a－4 当 a<4 时，a－4<0. 3 3 3 所以 ＋a＝ ＋(a－4)＋4＝－[ ＋(4－a)]＋4 a－4 a－4 4－a 3 ≤－2 ×4－a＋4＝－2 3＋4. 4－a
30
＋2n
y 2x · ) x y
＝2 2，当且
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理数
31
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理数
1.(2013· 北京卷)设 a，b，c∈R，且 a>b，则( D ) A．ac>bc C．a2>b2 1 1 B. < a b D．a3>b3
32
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理数
解析：A 中，3>2，但是 3×(－1)<2×(－1)，故 A 不正 1 确；B 中，1>－2，但是 1>－ ，故 B 不正确；C 中，－1> 2 －2，但是(－1)2<(－2)2，故 C 不正确；D 中，因为 a>b，所 以 a3>b3，成立．故选 D.
35
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理数
3.(2013· 福建卷)若 2x＋2y＝1，则 x＋y 的取值范围 是( D ) A．[0,2] C．[－2，＋∞) B．[－2,0] D．(－∞，－2]
36
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理数
解析：因为1＝2 ＋2 ≥2· (2 · 2 )2，变形为2
x
y
x
y
1
x＋y
1 ≤4，即x
＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号，则x＋y的取值范围是 (－∞，－2]．故选D.
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的基本性质高中
步骤
大小的方法：
理论根据
作商比较法
步骤
二、不等式的性质
1、对称性： a b b a
2、传递性： a b,b c a c
abacbc
3、加法性质：a b
c
d
a
c
b
d
同向可加性
二、不等式的性质
4、乘法性质：
a c
b
0
ac
bc
a b 0
c
d
0
ac bd 0
同向同正可乘
5、乘方性质：
Q2a3
1 1 1 （倒数法则）
3a2
3 b2 8（乘法法则）
a
注意：
在求解过程中要避免犯如下错误：
由24
a b
3 3
得 8 ab 9
错因：用乘法法则时不符合其
“同向同正”的前提条件。
• 主要内容
小结
• 基本理论:
• a - b > 0 <=> a > b
• a - b = 0 <=> a = b
ba
解：（4）Q 4 b 3 3 b 4（乘法单调性）
Q2a3
6 ab 1（2 乘法法则）
-12 ab -6 （乘法单调性）
三、例题分析：
例5:已知 2 a 3, 4 b 3，求 a b, a b, a , ab, b2 的取值范围。
ba
解：（4）Q 4 b 3
9 b2 16（乘方法则）
ab
[( )2 ( )2 ] ( a b) a b
b
a
ba
a b b a（分组通分） (a b)( 1 1 )
ba
ba
(a b)( a b) ( a b)( a b)2
不等式的基本性质及求解方法
不等式的基本性质及求解方法在数学中，不等式是描述数值之间关系的一种表达方式。
与等式不同，不等式表达了两个数中的一个大于、小于或不等于另一个数的关系。
本文将介绍不等式的基本性质以及常见的求解方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式的关系具有传递性，即一个数大于另一个数，那么它也大于另一个与后者相等的数。
2. 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b。
这个性质说明了不等式的关系具有反对称性，即一个数小于等于另一个数，同时另一个数也小于等于前者，则这两个数相等。
3. 相反数性质：如果a>b，则-a<-b。
这个性质说明了不等式的两边取相反数后，不等号的方向会发生翻转。
4. 倍增性：如果a>b，并且c>0，则a*c>b*c。
这个性质说明了不等式在两边同时乘上正数的情况下，不等关系保持不变。
二、求解方法1. 加减法求解：如果a+b>c，则a>c-b；如果a-b>c，则a>c+b。
这种方法适用于对不等式进行加减运算求解的情况。
2. 乘除法求解：如果a*b>c (且b>0)，则a>c/b (其中b>0)；如果a*b<c (且b<0)，则a<c/b (其中b<0)。
这种方法适用于对不等式进行乘除运算求解的情况。
需要注意的是，在乘除法求解中，当乘（除）以负数时，不等号需要进行反向翻转。
3. 绝对值法求解：对于形如|a|>b的不等式，有两种情况：a>b 或 a<-b。
取其并集，即a>b 或 a<-b。
4. 平方法求解：对于形如x^2>a的不等式，有两种情况：x>√a 或 x<-√a。
取其并集，即x>√a 或 x<-√a。
5. 区间法求解：对于形如a<x<b的不等式，解集为(a, b)。
不等式的基本性质
不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
在学习不等式的过程中，了解不等式的基本性质是非常重要的。
本文将介绍不等式的基本概念、用于解不等式的基本性质以及不等式的图像表示方法。
1. 不等式的基本概念不等式是表示数或者代数式之间大小关系的数学符号。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
例如，对于实数a和b，a>b表示a大于b，a<b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。
在不等式中，等号“=”可以出现，表示两个数或者代数式相等。
2. 不等式的基本性质（1）加法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a+c>b+c。
同样地，如果a<b，则a+c<b+c。
也就是说，不等式两边同时加上同一个数，不等式的方向不变。
（2）减法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a-c>b-c。
同样地，如果a<b，则a-c<b-c。
也就是说，不等式两边同时减去同一个数，不等式的方向不变。
（3）乘法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。
如果a<b且c<0，则ac>bc。
也就是说，不等式两边同时乘以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等式的方向改变。
（4）除法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则a/c>b/c。
如果a<b且c<0，则a/c<b/c。
也就是说，不等式两边同时除以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时除以同一个负数，不等式的方向改变。
（5）取反性质：对于任意实数a和b，有a>b当且仅当-b<-a。
也就是说，不等式的两边取反，不等号的方向改变。
（6）传递性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且b>c，则a>c。
A035=第六章 第一节 不等关系与不等式
考 什 么 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2.了解不等式(组)的实际背景.
怎 么 考 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用
是命题的热点．
2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要 性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档． 3.考查题型多为选择、填空题.
A．大于0 C．小于0 B．等于0 D．不确定
(
)
解析：由a<0，ay>0知y<0，又x＋y>0，∴x>0.
故x－y>0.
答案： A
2．(教材习题改编)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0.那
么下列选项中一定成立的是 A．ab>ac C．cb2<ab2 ( B．c(b－a)<0 D．ac(a－c)>0 )
如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－3时，a－c<b－d.
答案： B
4．(教材习题改编) 3＋ 7与2 5的大小关系是________．
解析：( 3＋ 7)2－(2 5)2＝10＋2 21－20 ＝2 21－10＝2( 21－5)． ∵ 21< 25＝5，∴2( 21－5)<0. ∴ 3＋ 7<2 5.
b>a>0 ⇒x＋a>0，y＋b>0，bx>ay， 又 x>y>0 bx－ay x y ∴ >0，即 > 得证． x＋ay＋b x＋a y＋b
[精析考题] [例2] 条件是 A．a>b＋1 C．a2>b2 B．a>b－1 D．a3>b3 (2011· 全国卷)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的 ( )
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
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不等关系和不等式的基本性质【知识要点】①一般地，用符号“＜”或者“≤”、“＞”或者“≥”连接的式子叫做不等式。
②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。
③不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。
④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【典型例题】例1 用不等式表示（1）5与x 的3倍的差为正数。
（2）a 与b 两数和的平方不能大于3。
（3）x 2是非负数。
（4）x 的一半比－5大，比3小。
（5）3x 的绝对值不小于5。
（6）a 的6倍与3的差不大于1。
例2 判断下列结果对不对，为什么？ ①若323,2x x >>则 ②若36,2x x -<<-则③若12,12a a>->-则 ④若a>b ，则a>3b例3 根椐不等式的基本性质，把下列不等式化成“x >a ”或“x <a ”的形式。
①47x +> ②514x x <+ ③415x ->- ④2542x x +<-例4 设a<b ，用“<”或“>”填空。
（1）a+6 b+6 （2）4a 4b （3）8a -8b -例5 判断下列说法是否正确。
（1）若a>b ，则22ac bc > （2）若22,ac bc a b >>则 （3）若,c ab c a b>>则 （4）若,0a b a b ->>则 （5）若0,0,0ab a b >>>则例6 有一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m 与n 哪个大？【练习】1．用不等式表示下列数量关系。
①a 与b 的和大于a 的2倍。
②a 的12与b 的13的差是负数。
③x 与y 之和的绝对值不大于x 的一半的相反数。
2．比较数与式的大小，并用不等式连结。
①67-56-②2x - 3x - ③33a -43a - ④223a a -+ 23a -+⑤当m>n 时，n －m 0 ★⑥当a<b<0时，a - b -，3a3b3．已知x <y ，用“<”或“>”号填空。
（1）3x +1 3y+1 （2）－5x －5y （3）22x y - 0 4．下列不等式中一定成立的是（ ）A ．43a a >B ．34x x -<-C ．2a a ->-D ．32aa>★5．若a b >，且0c <，那么在下面不等式①a c b c +>+②ac bc >③a b cc->-④22ac bc <中成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4★6．已知a 、b 、c 都是实数，并且a>b>c ，那么下列式子中正确的是（ ） A ．ab bc > B ．a b b c +>+ C ．a b b c ->- D ．a b cc>7．填空。
（1）．若a b >，则12a -12b -，21a + 21b +（2）．当a 0时，0b <时，0ab <★（3）．若0,2x y x +<-则 2y-（4）．若22ac bc >，则3a - 3b -【作业】 一、 判断1．0,0,0x x y y><<则 （ ）2．若10,()02x y y x >>->则 （ ）★3．若0,22x y y x +><-则- （ ）4．若,x y xz x yz z <+<+则 （ ） ★5．若2101,,x x x x x<<><则 （ ）6．若22,0,0a b c ac bc <<-<则 （ ）7．若22,xz yz x y >>则 （ ） 8．若22,x y xz yz >>则 （ ） 二、 填空9．若,0,ac+c a b c <>且则 bc c + ★10．若0,0,0,)a b c a b c ><<-则( 0 11．若,42a b ->-则a 2b★12．若0,b a >>1则-a1b-★13．若32,a a -≥则a 0 三、 将下列不等式化成“m>a ”或“m<a ”的形式14．46m +< 15．765m m <- 16．133222m m +<+17．3212m m -->-四、 解答题★18．若,a b <试比较2ac 与2bc 的大小，ac 与bc 的大小。
19．若a ba <且a 是负数，求b 的取值范围。
同步练习1：1. 在数学表达式①-3<0;②4x+5>0; ③x=3; ④x 2+x; ⑤ x ≠-4;⑥ x+2>x+1是不等式的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2. x 的2倍减7的查不大于-1,可列关系式为( )A.2x-7≤-1B. 2x-7<-1C. 2x-7=-1D. 2x-7≥-4 3.下列列出的不等关系式中, 正确的是( )A.a 是负数可表示为a>0B. x 不大于3可表示为x<3C. m 与4的差是负数,可表示为m-4<0D. x 与2的和非负数可表示为x+2>0 4. 代数式3x+4的值不小于0,则可列不等式为( )A. 3x+4<0B. 3x+4>0C. 3x+4≥0D. 3x+4<10 5.下列由题意列出的不等关系中, 错误的是( )A.a 不是是负数可表示为a>0B. x 不大于3可表示为x ≤<3C. m 与4的差是非负数,可表示为x-4≥0D.代数式 x 2+3必大于3x-7,可表示为x 2+3>3x-7 6.用不等式表示“a 的5倍与b 的和不大于8”为 _______. 7.a 是个非负数可表示为_______.8.用适当的符号表示“小明的身体不比小刚轻” 为_______. 9. 用适当的符号表示下列关系: (1).x 的31与x 的2倍的和是非正数;(2).一枚炮弹的杀伤半径不小于300米;(3).三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元; (4).明天下雨的可能性不小于70%.10.某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分?11.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)答案： 1. C2.A3.C4.C5.A 6.5a+b ≤8 7. a ≥08.设小明的体重为a 千克, 小刚的体重为b 千克,则应有a ≥b 9.(1)31x+2x ≤0;(2)设炮弹的杀伤半径为r,则应有r ≥300;(3)设每件上衣为a 元, 每条长裤是b 元,应有3a+4b ≤268;(4)用P 表示明天下雨的可能性, 则有P ≥70%. 10. 设她在期末至少应考x 分, 则有40*85%+60*x ≥90%. 11. 设该同学至少应答对x 道题,依题意有6x-(16-x)*2≥60同步练习2：1． 判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×” （1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。
（ ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b 。
（ ） （3） 如果a 是有理数，那么－8a ＞－5a 。
（ ）（4） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2。
（ ） （5） 如果a 为有理数，则a ＞－a 。
（ ）（6） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2。
（ ） （7） 如果－x ＞８，那么x ＞－8。
（ ） （8） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c 。
（ ）2． 若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ ）A ．a ＞０B ．ａ＜０C ．ａ≥0D ．a ≤0 3．若m ＜ｎ，则下列各式中正确的是（ ）A ．m －3＞ｎ－3B 。
3m ＞3nC 。
－3m ＞－3nD 。
m ／3－1＞n ／3－1 4．若a ＜0，则下列不等关系错误的是（ ）A ．a ＋5＜a ＋7B 。
5a ＞7aC 。
5－a ＜7－aD 。
a ／5＞a ／7 5．下列各题中，结论正确的是（ ）A ．若a ＞0，b ＜0，则b ／a ＞0B ．若a ＞b ，则a －b ＞0C ．若a ＜0，b ＜0，则ab ＜0D ．若a ＞b ，a ＜0，则b ／a ＜0 ６．下列变形不正确的是（ ）A ．若a ＞b ，则b ＜aB ．－a ＞－b ，得b ＞aC ．由－2x ＞a ，得x ＞－a ／2D ．由x ／2＞－y ，得x ＞－2y７．有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ ）A ．小于或等于3的有理数B ．小于3的有理数C ．小于或等于－3的有理数D ．小于－3的有理数 8．若a －b ＜0，则下列各式中一定成立的是（ ）A ．a ＞bB ．ab ＞0C ．a ／b ＜0D ．－a ＞－b 9．绝对值不大于2的整数的个数有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 10．若a ＜0，则－2b a +____－2b11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：a －1____b －1， a ＋3____b ＋3， －2a____－2b ，3a ____3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b____0， a ＋b____0，ab____0，a 2____b 2，a1____b1，︱a ︱____︱b ︱13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）____0１４．根据不等式的性质，把下列不等式表示为x ＞a 或x ＜a 的形式： （1）10x －１＞9x （2）2x ＋2＜3 （3）5－6x ≥2１５．某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同一种商品40件。
如果商店销售这些商品时，每件定价为x 元，可获得大于12％的利润，用不等式表示问题中的不等关系，并检验x ＝14（元）是否使不等式成立？答案： 1．（1）× 注意当此整数为0时，此不等式变为等式了，当此整数为负数时，不等号应改变方向； （2）× 正确答案应为3－2a ＜3－2b ，这可由不等式的基本性质3得到； （3）× 当a ＜0时，－8a ＜－5a ；（4）× 当a ＝－4，b ＝1时，有a ＜b ，但a 2＞b 2； （5）× 当a ≤0时，a ≤－a ； （6）× 当c ＝0时，ac 2＝bc 2 ；（7）× 由不等式的基本性质3应有x ＜－8； （8）√ 这可由不等式的基本性质1得到。