《圆周角和圆心角的关系》第1课时示范课教学设计【九年级数学下册北师大】
九年级数学圆周角和圆心角的关系(1)说课稿
《圆周角和圆心角的关系》说课设计（第一课时）课题：圆周角和圆心角的关系课型：新授课各位领导、老师：大家好！今天我说课的内容是北师大版九年级下册第三章第三节《圆周角和圆心角的关系》第一课时。
下面我从教材分析、教法和学法、教学程序设计、教学评价和反思四个方面进行阐述。
一、教材分析1、教材的地位与作用本节课是在学生掌握了圆的有关性质和圆心角概念的基础上进行的，是前面学过的三角形内角和定理的推论和等腰三角形性质的延续，又是下一节课学习圆周角定理的三个推论的依据,还能使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法。
本节课的知识储备，在推理、论证和计算中应用比较广泛，并且它在研究圆和其他图形中起着桥梁和纽带作用，是本章重点内容之一。
2、教学目标依据课程标准要求，根据本节内容在教材中的地位和作用，以及九年级学生的认识结构和心理特征，我确定以下目标：（1）知识与能力目标理解圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。
体会用类比的方法探索新知识，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。
并能熟练地应用"圆周角与圆心角的关系"进行论证和计算。
（2）过程与方法目标经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，学会从特殊到一般的思维方法，体会类比、分类的数学思想方法。
（3）情感目标让学生在主动探索、合作交流的过程中，获得成功的喜悦，体验实现价值后的快乐。
能从多角度思考问题，敢于发表自己的观点。
培养学生以严谨求实的态度思考数学。
3、教学重点、难点根据新课程理念“经历过程带给学生的能力，比具体的结果更重要”，结合教材内容，我认为本节课的重点是：经历探索“圆周角与圆心角的关系”的过程，理解掌握“圆周角与圆心角的关系”。
难点是：用分类、化归思想验证“圆周角与圆心角的关系”。
二、教法和学法根据本节课的教学目标、教材内容以及学生的认知特点，利用情境导入，激发学生兴趣。
北师大版数学九年级下册第三章第4节——《圆周角与圆心角的关系》教学设计
北师大版数学九年级下册第三章第4节——《圆周角与圆心角的关系》教学设计一、教学内容分析本节课属于北师大版九年级下册第三章第4节，内容为《圆周角与圆心角的关系》第1课时。
学生在之前已经学习了圆的有关概念，了解了半径、圆弧、圆心角等基础知识，对圆的对称性、垂径定理等也已基本掌握。
圆周角定理是圆的一个重要定理，与圆的有关推理、论证和计算很多，近些年在中考中属于常考点。
在新课改的推动下，培养学生的发散思维及问题解决能力成为教学的重点，采用启发引导式的教法让学生探究圆周角与圆心角的关系，可以培养他们良好的思维品质。
二、学生分析学生在本章第二节的学习中，经过探索已经学习了同圆、等圆中弧、弦和圆心角的关系等基础知识，同时对垂径定理也进行了严谨的证明。
经过一系列的推导证明，已经基本具备了学习几何需要具备的“猜想—验证—证明”的过程，知晓了分类讨论思想的内涵，能用所学的圆知识解决生活中常见几何问题，获得了相关经验。
因此对学生学情分析来看，可以开始本节课的深度教学。
三、教学目标（一）知识与技能目标1.对圆周角的定义深入理解，掌握圆周角定理。
2.对圆周角与圆心角的关系进行科学探究，能运用其关系解决实际问题。
（二）过程与方法1.通过启发引导、类比教学等手段培养学生观察、分析和解决问题的能力。
2.让学生体会类比探索新知的方法，学会将特殊情况转化为一般性问题，掌握分类证明数学命题的方法。
（三）情感态度与价值观1.在合作探究中培养学生的集体主义精神，学习他人的优秀之处。
2.在探究中让学生感受成功的愉悦，培养问题解决能力。
四、教学重难点（一）教学重点：掌握圆周角的定义及其相关应用。
（二）教学难点：在证明圆周角定理时，渗透“分类讨论”思想。
五、教学方法手段（一）教法：结合本节课教学大纲、学生学情及课改要求，采用类比教学法、启发引导法。
（二）学法：根据新课改树立学生主体地位要求，采用动手实践、自主探究和合作交流等学习方式。
（三）教学手段：多媒体创设情境式教学、PPT课件演示。
北师大版数学九年级下册3.4圆周角和圆心角的关系教学设计
-指出学生在讨论过程中的优点和不足，鼓励他们积极参与和思考。
-通过讨论，帮助学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
（四）课堂练习
1.教师针对本节课的知识点，设计不同难度的练习题，让学生独立完成。
-练习题包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同学生的学习需求。
北师大版数学九年级下册3.4圆周角和圆心角的关系教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆周角和圆心角的概念，掌握它们之间的关系。
-学生能够回忆起圆的基本概念，理解圆周角是指圆上两条弧所对的角，圆心角是指以圆心为顶点的角，并能够指出它们的度数关系。
-学生能够运用圆规和直尺准确画出圆周角和圆心角，并能通过实际操作验证它们之间的关系。
-教师设计一系列由浅入深的问题，引导学生通过观察、实验、推理等数学活动，发现并验证圆周角和圆心角的规律。
-学生通过独立思考和集体讨论，学会运用逻辑推理和几何证明的方法，形成解决问题的策略。
3.通过数学写作和课堂展示，加强学生对知识内化的过程。
-学生通过撰写数学日记或小论文，总结圆周角和圆心角的学习心得，提高数学表达能力。
-通过学生的回答，巩固圆周角和圆心角的概念及性质。
2.教师强调圆周角和圆心角在几何证明和解题中的应用，提醒学生关注知识点的内在联系。
-指出圆周角和圆心角在解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ实际问题中的重要作用，激发学生的学习兴趣。
-鼓励学生在课后继续探索圆周角和圆心角的知识，提高几何综合能力。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角和圆心角的理解，以及提高他们运用这些概念解决实际问题的能力，特布置以下作业：
（二）过程与方法
圆周角和圆心角的关系教学设计
圆周角和圆心角的关系教学设计一情况，采取的策略是在学生独立思考的基础上，让学生观察、思考、动手操作获得解决问题的方法三、教学目标根据课程标准要求，结合学生现有认知水平和本节课教学内容确定以下目标（1）知识与技能：掌握圆周角的概念及圆周角与圆心角的关系。
体会用类比的方法探索新知，学会以特殊情况为依托，通过转化来解决一般性问题，了解分情况证明数学命题的思想方法。
并能熟练地应用”圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算（2）过程与方法：经历圆周角定理的探索、证明、应用的过程，养成自主探究、合作交流的学习习惯，体会类比、分类的数学思想方法（3）情感态度与价值观让学生在主动探索、合作交流的过程，获得成功的愉悦，体验实现价值后的快乐，锻炼锲而不舍的意志四、教学环境"□简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境□网络多媒体环境教学环境口移动学习□其他五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术在哪些教学环节如何使用这些技术使用这些技术的预期效果是）200字1•在导入环节中应用PPT展示。
以足球场上的实例入手，展示PPT课件，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义。
通过直观、形象的课件激发学生的学习兴趣。
2•在探索圆周角定理的过程中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强学生的参与程度，以提高学习的积极性。
3•在习题设计过程中，通过利用ppt课件、实物投影、白板等多媒体展示，进一步让学生巩固对圆周角定理的理解。
六、教学流程设计（可加行）教学环节教师活动学生活动1•圆心角的定义2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系信息技术支持（资源、方法、手段等）复习上节内容为本节做铺垫创设情境课件展示，让学生观察思考：球在如图中的点D、E的位置射门，成功的难易相同吗让学生自由发挥，相互交流以学生熟悉的足球射门游戏为背景（PPT 展示），在实物场景中，抽象出几何图形以境生问，以问激趣，导入新课新知学习1•圆周角的定义的学习问题1:将圆心角顶点向上移，直至与O O相交于点C观察得到的/ ACB有什么特征（课件展示）（师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点）问题2:请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角哪些不是，为什么观察并指出圆周角的特征，加深对圆周角概念的理解进一步巩固圆周角的两个特征。
北师大版(2012)数学九年级下册3.4圆周角与圆心角的关系(第一课时)说课稿
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的条理性和风格的清晰性。板书布局分为三个部分：
1.标题区：写明课题和课时，位于黑板顶部。
2.内容区：按照教学流程，依次写下圆周角和圆心角的定义、圆周角定理及其推论、例题分析等，每部分内容用不同颜色的粉笔标注，以突出重点。
3.总结区：在黑板的右侧，总结本节课的主要知识点和学习要点。
板书内容主要包括：
-圆周角和圆心角的定义及表示方法。
-圆周角定理及其推论。
-例题和练习题的解题步骤。
板书风格简洁明了，文字工整，图示清晰。在教学过程中，板书起到梳理思路、强化记忆的作用。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我会提前规划板书内容，避免冗余信息，并在教学过程中适时更新板书内容。
-培养学生对圆的性质和定理的兴趣，激发学生探究数学问题的欲望。
-培养学生合作学习、勇于质疑、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
-培养学生严谨的数学态度，形成正确的数学观念。
（三）教学重难点
1.教学重点：
-圆周角和圆心角的概念及其关系。
-圆周角定理及其推论的掌握和应用。
2.教学难点：
-圆周角定理的证明过程，特别是证明方法的选择和应用。
3.小组报告：每个小组将有机会向全班展示他们的探究成果，其他小组可以提出疑问或建议，促进生生之间的交流。
4.角色扮演：在证明圆周角定理时，可以让学生扮演不同的角色，如定理的发现者、证明者、评论者等，增加课堂的趣味性。
这些互动方式旨在促进学生积极参与课堂活动，培养他们的合作精神和批判性思维。
3.4圆周角和圆心角的关系教学设计2023-2024学年数学北师大版九年级下册
-鼓励学生在课后进行自主探究，尝试运用圆周角和圆心角的关系解决更复杂的问题。
-建议学生尝试设计一些有趣的几何图形，如正多边形和圆的组合，观察圆周角和圆心角在这些图形中的变化规律。
-引导学生关注生活中的圆形设计，如城市规划中的圆形广场、交通标志等，分析其中圆周角和圆心角的应用。
-鼓励学生进行小组合作，共同研究圆周角和圆心角在其他学科领域的应用，如物理中的圆周运动、天文学中的行星轨迹等。
解答：
连接OC，OA，OB。
由于O是弦AB的中点，根据圆的性质，OC垂直于AB。
在ΔOAC和ΔOBC中，OA=OB（半径相等），OC=OC（公共边），∠OAC=∠OBC（直角相等），所以ΔOAC≌ΔOBC（HL）。
因此，∠AOC=∠BOC，所以∠ACB=2∠AOC。
题型二：应用圆周角定理
题目：在圆中，弦AB和弦CD相交于点E，且∠AEC=80°，求∠BED的度数。
3.巩固练习（10分钟）
-设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。题目包括基础题、综合题和应用题，涵盖圆周角和圆心角的知识点。
-学生完成练习题后，教师选取部分答案进行展示和讲解，强调解题过程中的注意事项和易错点。
-组织学生进行小组讨论，共同分析题目，培养合作精神和问题解决能力。
4.课堂提问（5分钟）
2.讲授新课（20分钟）
-教师通过讲解和动态演示，介绍圆周角定理及其推论，解释圆周角等于其所对圆心角的一半。
-引导学生通过实际作图，观察圆内接四边形的对角互补现象，加深对圆周角推论的理解。
-讲解圆心角、弧、弦的关系，强调圆心角相等时，其所对的弧和弦也相等。
-结合实际例子，说明圆周角和圆心角在生活中的应用，激发学生学习兴趣。
教学资源拓展
4《圆周角和圆心角的关系》教学设计
第三章圆《圆周角和圆心角的关系（第1课时）》一、目标确定的依据1、课程标准的相关要求理解圆周角的概念，认识圆周角，探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论2、教材分析《圆周角与圆心角的关系》是北师大版九年级下册第三章第3小节的内容，本课是在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。
它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一3、学情分析学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆心角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法，获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力.二、目标1、理解圆周角的概念及其相关性质2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程3、体会由特殊到一般、分类、化归思想、并能熟练地应用“圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算。
三、评价任务本节共分2个课时，这是第1课时，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周角定理，并利用定理解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.2．会熟练运用定理解决问题.四、教学设计分析本节课设计了七个教学环节：知识回顾——探究新知1——定义的应用——探究新知2——方法小结——定理的应用——课堂小结（作业布置）.第一环节知识回顾活动内容：1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?如图：∠AOB弧AB的度数3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.练习1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；练习2和练习3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.活动的注意事项：题目以复习概念和定理为主，特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”，需要再特别向学生强调一遍，同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等.第二环节探究新知1活动内容：（1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?圆心角圆周角类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.活动目的：本环节的设置，需要学生类比圆心角的定义，采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.活动的注意事项：问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况，其实是点和圆的位置关系知识点的应用，老师在此应注意知识之间的联系，达到触类旁通的目的.第三环节定义的应用活动内容：（1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角解：圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC圆周角有∠BAC、∠ABC、∠ACB活动目的：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.活动的注意事项：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法.寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定.寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点.这里要注意，因为半径AO没有延长，所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意.第四环节探究新知2活动内容：（一）问题提出：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?教师提示：类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.（二）做一做：如图,∠AOB =80°，（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB =2∠ACB（三）议一议:改变圆心角∠A0B 的度数，上述结论还成立吗？成立（四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.符号语言： （五）证明定理：已知：如图，∠ACB 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角， 求证： 分析：1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB =∠C +∠A ∵OA=OCAB⌒12ACB AOB∠=∠AB ⌒ AB ⌒12ACB AOB∠=∠∴∠A =∠C∴∠AOB =2∠C2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况? 过点C 作直径CD .由1可得:3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C 作直径CD.由1可得:活动目的：本活动环节，首先有一个情景引出探究的问题，然后通过类比得出探究圆周角定理的方法，再通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理.活动的注意事项：本环节有不少的数学思想方法，教师在教学中要注意逐一渗透.在（一）中注意渗透类比思想，在（二）中注意渗透“分类讨论”思想，在（三）中注意渗透“特殊到一般”思想，在（四）（五）中注意渗透“猜想，试验，证明”的探究问题一般步骤.12ACB AOB ∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠12ACB AOB∠=∠即11,22ACD AOD BCD BOD∠=∠∠=∠()12ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=∠-∠12ACB AOB∠=∠即活动内容：思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用.活动的注意事项：多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工.第六环节 定理的应用活动内容：问题回顾：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?连接AO 、CO ,由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.活动目的：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理.活动的注意事项：这里要注意引导学生学以致用，通过作辅助线添加圆心角，把问题转化到定理的直接应用上.还要注意引导学生对得出的结论加以总结，从而得出新的定理.111,,,222ABC AOC ADC AOC AEC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠Q ABC ADC AEC ∴∠=∠=∠活动内容：(一) 这节课主要学习了两个知识点： 1.圆周角定义.2.圆周角定理及其定理应用.(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言.第八环节：附课后练习答案随堂练习1.如图，在⊙O 中，∠BOC =50°，求∠BAC 的大小 解：在⊙O 中，∠BOC =50°2.如图，哪个角与∠BAC 相等，你还能找到那些相等的角？ 解：∠BAC =∠BDC ∠ADB =∠ACB ∠CAD =∠CBD ∠ABD =∠ACD0011502522BAC BOC ∴∠=∠=⨯=习题1.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的直径，∠AOB =2 ∠BOC ，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系，为什么？ 解：∠BAC = 2 ∠ACB ，理由:又∵∠AOB =2 ∠BOC即∠BAC= 2∠ACB2.如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD =100°，求∠BOD 与∠BAD 的大小 解：∵∠BCD =100°∴优弧所对的圆心角∠BOD =2∠BCD =200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD =36O °-200°=160°3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性.答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.4.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁， 如图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形 区域内，优弧AB 上任一点C 都是有触礁危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角” 有怎样的大小关系？解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O 外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” .五、教学设计反思112AOB∠=∠Q 122BOC∠=∠11122222AOB BOC BOC ∴∠=∠=⨯∠=∠=∠o1802BAD BOD ∴∠=∠=1.根据学生特点灵活应用教案针对编者学校学生的特点，大部分学生能力相对较高，因此课堂的容量会比较大，而且在教学过程中渗透的思想方法也较多，如果碰到学习能力不足的学生群体，则要根据实际情况进行调整，注意突出渗透分类讨论的思想方法和体会探索问题的一般步骤即可.2.让学生有充分的探索机会，经历猜想，试验，证明的环节学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了，因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量，验证猜想，最后再进行严密的几何证明.。
2024北师大版数学九年级下册3.4.2《圆周角和圆心角的关系》教学设计
2024北师大版数学九年级下册3.4.2《圆周角和圆心角的关系》教学设计一. 教材分析《圆周角和圆心角的关系》是北师大版数学九年级下册第3章《圆》的第4节内容。
本节课主要通过探究圆周角和圆心角的关系，引导学生发现圆周角定理，从而加深学生对圆的性质的理解。
教材通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的基本性质和垂径定理，对几何图形的观察和分析能力有一定的基础。
但是，对于圆周角和圆心角的关系，学生可能初次接触，需要通过实例和动手操作来理解和掌握。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，以引导为主，让学生在探究中掌握知识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角定理，能运用圆周角定理解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：圆周角定理的理解和运用。
2.难点：圆周角定理的证明和圆心角、圆周角、弦的关系的理解。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生的思维。
2.小组合作法：学生分组讨论，培养团队协作能力。
3.实例分析法：通过生活中的实例，让学生理解圆周角定理的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示圆周角和圆心角的图片和动画。
2.学具：为学生准备圆规、直尺、剪刀等学具，方便学生动手操作。
3.实例：收集生活中的圆周角和圆心角的实例，用于课堂讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示圆周角和圆心角的图片，引导学生关注圆周角和圆心角的关系。
提问：你们观察过这些图片，发现有什么特点吗？2.呈现（10分钟）教师简要介绍圆周角定理，让学生尝试理解圆周角定理的含义。
提问：你们能用自己的语言解释一下圆周角定理吗？3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用学具进行动手操作，验证圆周角定理。
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第三章圆
3.4圆周角和圆心角的关系
第1课时
一、教学目标
1．经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程.
2．理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论.
3．体会分类、归纳等数学思想方法.
二、教学重点及难点
重点：圆周角的概念及圆周角定理．
难点：圆周角定理的证明．
三、教学用具
多媒体课件，圆规.
四、相关资源
微课，思维导图.
五、教学过程
【情境导入】
在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系呢？
师生活动：教师出示问题，学生思考，初步了解本节课所要研究的问题．
设计意图：通过射门问题，让学生从生活中发现数学问题，激发他们的好奇心和求知欲，为引出圆周角的概念作准备．
【探究新知】
想一想 观察图中的∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，你能发现它们有什么共同特征吗？
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，最后教师引导学生得出圆周角的概念． 答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有另一个交点．
归纳 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
设计意图：提出问题引起学生思考，让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角的概念．
做一做 如图，∠ AOB =80°．
（1）请你画出几个AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流．
（2）这些圆周角与圆心角∠ AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结论．
答：（1）能画出无数个，如下图所示．
通过度量可以发现：∠ ADB ，∠ ACB ，∠ AEB 这几个圆周角相等．
（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠ AOB 的一半．
E
C D
证明：如下图所示，在以点A，B为端点的优弧上任取一点C，连接AC，OC，BC，延长CO交AB于点M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5．又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB．
∴∠ACB=1
2
∠AOB=
1
2
×80°=40°．
结论：这样的圆周角有许多个，只要在ACB上任取一点且与点A，B分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB的一半．
设计意图：这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．
议一议在下图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？
师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果．
答：改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立．证明过程如下：
已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角．
求证：∠C=1
2
∠AOB．
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：（1）圆心O在∠C的一条边上，如下图（1）；
（2）圆心O在∠C的内部，如下图（2）；
（3）圆心O在∠C的外部，如下图（3）．
在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．
证明：（1）圆心O在∠C的一条边上，如图（1）．
∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C．
∴∠AOB=2∠C，即∠C=1
2
∠AOB．
情况（2）和情况（3）可以转化为情况（1）来证明，详细证明见PPT．
圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
设计意图：进一步将问题一般化，探索结论是否依然成立，向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法．
想一想在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
师生活动：教师出示问题，学生独立完成．
答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因为∠ABC，∠ADC和∠AEC都是同弧（AC）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于AC所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．
结论：推论同弧或等弧所对的圆周角相等．
设计意图：利用圆周角定理解决本节课开始提出的问题并得出圆周角定理的推论，提高学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力．
【典例精析】
例 如图，⊙O 的直径AB =8 cm ，∠CBD =30°，求弦DC 的长．
师生活动：教师出示例题，学生独立完成，教师给出规范解题步骤．
解：如图，连接OC ，OD ，则OC =OD =4 cm ，∠COD =2∠CBD =60°．
故△COD 是等边三角形．所以CD =4 cm ．
设计意图：培养学生正确应用所学知识的能力，增强应用意识．
【课堂练习】
1．如图，在⊙O 中，OD ⊥BC ，∠BOD =60°，则∠CAD 的度数
为（ ）．
A ．15°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
2．如图，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，点P 在劣弧CD
上，是不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（ ）．
A ．45°
B ．60°
C ．75°
D ．90°
3．如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是优弧AB 上一点，
D ，
E 是AB 上不同的两点（不与A ，B 两点重合），则∠D +∠E 的度
数为（ ）．
A ．m
B ．180°-
2m
C ．90°+2m
D ．2
m
4．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BD于点D，若∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．
5．如图，在⊙O中，∠O=50°，∠A= ．
6．如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD
和∠A的度数．
师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．
参考答案
1．D．2．A．3．B．4．70°．5．25°．
6．答：∠BDC=∠BAC；还能找到∠ABD=∠ACD，∠CAD=∠CBD，∠ADB=∠ACB．7．解：∵∠C=100°，∴BAD所对的圆心角=2∠C=200°．∴∠BOD=360°-200°=160°．
又∵∠A=1
2
∠BOD，∴∠A=
1
2
×160°=80°．
设计意图：通过对本题的学习，加深对本节课所学知识的理解．六、课堂小结
1．圆周角的概念
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
3．圆周角定理的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等．
师生活动：教师引导学生归纳总结本节课所学内容．
设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
七、板书设计
3.4圆周角和圆心角的关系（1）
1．圆周角
2．圆周角定理
3．圆周角定理的推论。