平面曲线的曲率

知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法

在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ⋅欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一.

1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ⋅达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）.

大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间夹角

α∆关于弧长s ∆的变化率||

lim 0

s

s ∆∆→∆α

引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）.

2 该知识点讲解方法

2.1讲解方法一：

曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义.

2.1.1曲率圆

1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L,这样就可以用圆周运动的知识来分析

这点处的曲线运动.

（问题：什么样的圆周曲线在点M 更接近曲线L 呢？）

2、试求一个圆周曲线C ： 222()()x y αβρ-+-= （1） 使之满足C 过点))(,(00x f x M ： 22200()()x y αβρ-+-= （2） C 与L 在点M 有相同斜率： )(00

0x f y y y x x '='== （3）

C 与L 在点M 有相同凹性： 000

0≠''=''==)(x f y y y x x （4）

（1）式两边对x 求二阶导： 0)(2)(2='-+-y y x βα

0)(2)(222=''-+'+y y y β

（3）（4）式代入上面两式有：0)(])([)(000='-+-x f x f x βα （5） 0)(])([)]([10020=''-+'+x f x f x f β （6）

从（6）式解出： )

()]([1)(0200x f x f x f '''++=β 将其代入（5）式解出

2

00001[()]()

()

f x x f x f x α'+'=-'' βα,代入（2）式解出：|

)(|])(1[02

/320x f x f '''+=

ρ. 3、定义： 曲线L 即 )(x f y =上的点)(,(00x f x M 处，在其凹向一侧的法线上取一点),(βαD 为圆心,以)

()]

([02

302

1x f x f MD '''+==ρ为半径所得到的圆为L 在点M 处的曲率

圆,ρ为曲率半径.

2.1.2曲率

1、曲率就是曲线在某点处的弯曲程度.如路弯度大,车子离心率越大；梁一般在弯的最厉害的地方断裂；……圆的半径越小弯的越厉害,于是

2、定义：2

302

0)]

(1[)(1

x f x f k '+''=

=ρ

为曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处曲率.

2.2讲解方法二：通常与分析曲线弯曲程度与曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +∆之间的夹角α∆大小有关,当转角相同时,又与弧段的长短有关,于是曲率由α∆关于s ∆的变化率0

lim s s

α

∆→∆∆来叙述.

2.2.1弧微分 （这里只介绍弧微分公式的初等几何解释）

设函数()f x 在区间(,)a b 内具有连续导数.基点为00(,)A x y ,(,)M x y 为曲线上任意点,规定：

（1） 曲线的正向与x 增大的方向一致； （2） 有向弧段AM 的值表为：

s AM =；当AM 的方向与曲线的

正向一致时, s 取正号；相反时, s 取负号.

设弧MN 是从点(,)M x y 起弧长的改变量

s ∆，而x ∆和y ∆是相应的y x 和的改变量，由直角三角形得到：

,)()()(222

y x MN ∆+∆=

由此，

,)(1)()(2

2

2

x

y x MN ∆∆+=∆ 当0x ∆→时，假定这条曲线具有连续导数，可用弧长代替,MN 再对0x ∆→时取极限，得到

22)d d (1)d d (x

y x s +=

由此得到弧长微分表达式

x y s d 1d 2'+±=

或

22)d ()d (d y x s +±=

如果弧长是朝增加的方向变化的，则s d 取正号，反之取负号.

2.2.2曲率及其计算公式

1、曲率的定义

1、曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. 设曲线

C

是光滑的,0M 是基

点.Δs ='M M ,'M M →切线转角为α∆.

定义：弧段M M '的平均曲率为s

K ∆∆=

α

,曲线C 在点M 处的曲率0

lim

s K s

α

∆→∆=∆. 在0lim

s d s ds

αα

∆→∆=∆存在的条件下,s K d d α=.

注 意：（1）直线的曲率处处为零；

（2）圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.