概率论习题册答案

随机事件与概率 3.

(1)t n -

第六章 参数估计

6.1参数的点估计 一、选择题 1.A 2.A 二、解答题

1.解 （1）()()∑∑∞

=-∞

=-===11

11}{x x x p p x x X xP X E ∑∞

='???

? ??-==11x x q q p q dq d p p

1

=

()p q -=1 用X 代替()X E ，则得p 的矩估计量

X

p 1=

??? ?

?=∑=n i i X n X 11

（2）分布参数p 的似然函数

()()

∏∏=-=-===n

i x i n i p p x X P p L i 1

1

1

1}{()∑-=-=n

i i n

x n

p p 1

1

取对数 ()()p n x p n p L n i i -???

??-+=∑=1ln ln ln 1

解似然方程 ()011ln 1=??

?

??---=∑=n i i n x p p n dp p L d

得p 的极大似然估计量 X

p 1

=

???

?

?=∑=n i i X n X 11

2.解 （1）()()()26;3

2

θ

θθθθ

=-==

??

∞

+∞

-dx x x dx x xf X E ，用∑==n

i i X n X 1

1代替总

体均值()X E ，则得参数θ的矩估计量为.2X =θ

（2）

()

()()??? ??===∑=n i i X n D X D X D D 11442θ

()()()∑==

==n

i i

X D n

X nD n

X D n

1

2

2

4

4

4

因

为

()()()()?

∞

+∞

-??

?

??-=-=2

2

2

2

2;][θθdx x f x X E X

E X D ()?=-

-=θ

θθθθ02

2332046　dx x x 所以 ()

n

n D 52042

2θθθ==

3.解 取()()∑-=+-=1

1

2121,,,,n i i i n X X C X X X ?由定义

()]()???

????=???

-=∑-=+112121,,,n i i i n X X C E X X X E ?()∑-=+=-1121n i i i X X E C ]

[=+-∑-=++1

1

21212n i i i i i X X X X E C ()()()][∑-=++=+-1

1

21212n i i i i i X E X X E X E C

(

)()()()][=+-∑-=++1

1

21

2

1

2n i i

i

i i X E X E X E X

E C ()()()][∑-=+=

+-11

22

21

2n i i

i X E X E X E C

()

()21

1

22221σσσσ=-=+∑-=n i n C C

所以 ()

121

-=

n C

6.2 参数的区间估计 一、选择题

1. C

2. A

6.3 一个总体均值的估计

1.解 由于,99.01=-α 故,31,

01.0=-=n 又α查t 分布表得()0.012

3 5.841,t =又

%,03.0%,34.8==s x 故得μ的99%的置信区间为

][%428.8%,252.8)%403.0841.534.8()%,403.0841.534.8( =?

?

?????+?- 2.解 计算得样本均值16,0171.0,125.22===n s x

（1）0.12

0.10,

1.645,0.01,u ασ=== 总体均值μ的90%的置信区间为

]22 2.121, 2.129x u x u αα???-+=????

（2）.151,

10.0=-=n α查t 分布表得()0.12

15 1.753t =()753.11510.0=t ，总体均值

μ的90%的置信区间为

(

(

]2211 2.117, 2.133x t n x t n αα???--+-=????

3.解：计算得265,3000,0.05

x s α==

=， n -1=7，查t 分布表得()0.102

71.895

t =，计算得株高绝对降低值μ的95%的置信下限为(

2

128.298x t n α--=. 4.解 每20.10hm 的平均蓄积量为3

15m ，以及全林地的总蓄积量3

75000m ，估计精度为0.9505A =

5. [372.37, 452.67]

6.4 一个总体方差与频率的估计

1.解 由样本资料计算得3750.60=x ,3846.02

=s ,6202.0=s ,又由于05.0=α，

025.02=α，975.021=-α，151=-n 查2χ分布表得临界值,488.27)15(2

025.0=χ ,262.6)15

(2975.0=χ从而2σ及σ的置信概率为%95的置信区间分别为[0.2099，0.9213]与[0.4581，0.9598].

2. 解 （1）由于,14=n ,05.0=α查t 分布表得()0.052

13 2.16,t =又67.1,

7.8==s x ，

故得总体均值μ的95%的置信的区间为

(

(

]22117.736,9.664x t n x t n αα??

?--+-=????

（2）由于,10.0=α 05.0=２α，,95.021=-α,131=-n 查

2χ分布表得

()362.2213205.0=χ，(

)892.5132

95.0=χ，故得总体方差2σ的90%的置信区间为 ()()()()][153.6,621.111,112212

2

2

2

=?????

??

??

?

-----

n S n n S n ααχχ 3. 解

,41,95.021,05.02,10.0=-=-==n ααα查2χ分布表得

(),488

.942

05.0=χ ()711.04295.0=χ，又计算得1.21=x ，505.82=s ，故得该地年平均气温方差2

σ的90%的置信区间为

()()()()][85.47,58.311,112212

2

2

2

=?????

??

??

?

-----

n s n n s n ααχχ 4. 解 造林成活率的置信区间为[0.8754,0.9369] 6.5 两个总体均值差的估计

1. 解 由于182,

05.021=-+=n n α，查t 分布表得临界值()0.052

18 2.101.t =又

,8.126,

06.14,1021====y x n n ,96.71,93.162

221==s s 从而求得21μμ-的置

信概率为95%的置信区间为[7.536，20.064].即以95%的概率保证每块试验田甲稻种的平均产量比乙稻种的平均产量高7.536kg 到20.064kg.

2.解 由样本值计算得 5,5,27,

4.242

21=====A B A n n y x σ，82=B

σ，05.0=α，,96.105.0=u 故21μμ-的95%的置信区间为

(

)(

)]5.76,0.56A B A B x y x y ???---+=-???

3. 解 由样本值计算得 22

22

11.10,875.75,

30.11,

44.81====B B A A s y s x ，

,91=n ,82=n ,05.0=α 查t 分布表得()0.052

15 2.131,t =故得B A μμ-的95%的置信区

间为

4. [-13.93，-9.77]

6.6 两个总体方差比的估计

解 ,025.02

,

05.0,911===-=-α

αB A n n 查F 分布表得()=--1,12

B A n n F α

()(),03.49,91,1025.02

==--F n n F A B α故 2

221σσ的95%的置信区间为： ()()][????

?

=?

??

?

?

----6008

.3,2217.01,1·,

1,11

·222222 n n F s s n n F s s A B B

A B A

B A αα

第六章 测验

一、选择题

1.D

2.C

3.A

二、填空题 1.12α=

2.21?2

X θ-= 3. ][588.5,412.4 4. 21;1λλ 5. (

)

0.351t n k -=

三、计算题

()(

()(

122122

22 5.58,16.71.A B A B x y t n n x y t n n αα?

--+-??

???-++-=-?????

?

1.解 因为X ～N (

)

,4,2

　μ所以(),94

9222

2

χχ～S =于是，

?

?

?=???

>=>1.0169169}{22

σS P a S P 查2χ分布表得,684.14169=a 所以.105.26≈a 2.解 （1）()()λ

λ

λ-==∏∏==e

x x f x x x f n i n

i i

x i

n i

1

1

21!;,,, ∏=-∑==n

i i x n x e

n

i i

1

!·1

λ

λ

；

（2）()()()

λλ

λn

n S E n

X D X E n 1

,,

2

-=

=

=. 3.解 因为X ～N ()22,30　，于是()()

,)21(,30)162(,3022　＝N

～N X 从而()1,02130

　～N X U -=

，故 }{??????-<-<-=<<2/130312/1302/130293129X P X P

()()()9545.0197725.0212222221302=-?=???-Φ=-Φ-Φ=???<-<-=X P

4.解 （1）178320,314022====b x σμ ；

（2）1981332

2==s σ 5.解 设施肥与不施肥的收获量分别为总体,,Y X 且X ～N

()，，2

1

σμY ～N

)(~22σμ，N Y ,计算可得,1738.1,9227.0,7.9,

4.112

22221====s s y x 又

,05.0,162,10,82121==-+==αn n n n 查t 分布表得临界值()0.052

16 2.12,t =从

而计算均值差21μμ-的95%的置信区间为

()()][.7773.2,6227

.016810181738.199227.0712.27.94.11,16810181738

.199227.0712.27.94.112

22

2=??

????+?+-??

????+?--

故在置信概率0.95下，每201亩水稻平均收获量施肥比不施肥的增产0.6到2.8斤.

第七章 假设检验

7.1 假设检验概念和原理 一、填空题：

1、概率很小的事件在一次试验（抽样）中是不至于发生的。

2、0H 为真，通过一次抽样拒绝0H 所犯错误； 0H 为假，通过一次抽样接受0H 所犯错误。 二、选择题 1、B ；2、D 。

三、应用计算题

1、解：{}1232|1258P x x x p α=++≥==

{}1232|14364P x x x p β=++<==

2、解：（1）

、2

c u α

==

（2）

、因0.62c u α== 故拒绝原假设00:0H μμ==。

（3）、{

}1.

15P x

P

α?=≥=≥

[]3.6412(3.64)10.0003P ??

=≥=-Φ-=???

7.2 一个总体参数的假设检验 一、填空题： 1、

X U =

12(,,)n x x u α????

=≥????

。

3、1(,,)n R x x u α???

?=≥?????

?

二、选择题

1．A 2.D 3. B 三、应用计算题

1、（1）若根据以往资料已知σ=14 ；（2）σ未知。 解：（1）

01:500:500H

H μμ=?≠ 0.452x u =

=

=

因 20.452 1.96u u α=<= 故接受原假设0H . 从而包装机工作正常。 (2).先检验标准差 0010:=15:H H σσσσ≥?< 2

22

22

(1)(101)1610.2415

n S χσ--=

== 22110.24 3.325(1)n αχχ-=<=- 故拒绝原假设00:=15H σσ≥

其次检验0

1:500:500H

H μμ=?≠ 0.395x T =

=

=

因2T 0.395 2.262(1)t n α=<=- 故接受原假设0:500H μ= 所以，综合上述两个检验可知包装机工作正常。 2、解：0010:=0.3:=0.3H H σσσσ≤?<

2

22

22

(1)(251)(0.36)0.3456(0.3)

n S χσ--=

== 22

0.345636.415(1)n αχχ=<=- 故接受原假设。标准差没有明显增大。

3、解：0010:0.9:0.9H p p H p p ≤=?>= 440

0.88500

W =

=

1.49U =

==-

0.050.011.645, 2.33u u ==

0.05 1.645U u <= 0.01 2.33U u <= 故两个水平下均接受原假设。

7.3 两个总体参数的假设检验 一、填空题 1、等方差。 2、221222

12

S S F σσ=

服从12(1,1)F n n --.分布。

3

、U =

, 其中1122

12

nW n W W n n +=

+。

二、选择题 1、 B 2. A 三、应用计算题

1、解：012112::H H μμμμ=?≠

X Y

T =

0.206

==-

因

2

0.206 2.131(15)

T t

α

=<=故接受原假设。

2、解：检验

012112

::

H H

μμμμ

=?≠

1.5

X Y

U==-

因

2

1.5 1.96

U u

α

=<=故接受原假设即认为两种工艺下细纱强力无显著差异。

3、解：

012112

::

H p p H p p

≤?>

1

202000.1

W==

2

152000.75

W==1122

12

35

0.07

500

nW n W

W

n n

+

===

+

5.97

U==

因 5.97 1.645

U u

α

=>=故拒绝原假设，即认为乙厂产品的合格率显著低于甲厂。

7.4 非参数假设检验

一、填空题

1、1

m k

--

2、由抽样检验某种科学科学理论假设是否相符合。

3、(1)(1)

r c

--。

二、选择题

1. A；

2. C

三、应用计算题

1、解：

:

H该盒中的白球与黑球球的个数相等。

记总体X表示首次出现白球时所需摸球次数，则X服从几何分布{}1

(1)k

P X k p p

-

==-，1,2,

k=

其中p表示从盒中任摸一球为白球的概率。若何种黑球白球个数相等，则此时

1

2

p=

从而{}

1

112

p P X

===，{}

2

214

p P X

===，{}

3

318

p P X

===

{}

4

4116

p P X

===，{}

5

52116

k

k

P X

+∞

-

=

≥==

∑

25

2

1

() 3.2i i i i v np np χ=-=∑ 2

(4)9.488αχ=

22

3.29.488(4)αχχ<= 则接受原假设。

2、解：0:H X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤

{}100.250.0625p P X =<≤=，{}20.250.50.1875p P X =<≤=

{}30.50.750.3125p P X =<≤=，{}40.7510.4375p P X =<≤= 24

2

1

()64 1.82935i i i i v np np χ=-==∑ 2(3)7.815αχ=

因22

1.8297.815(3)αχχ<=

故接受原假设即认为X 的概率密度为()2f x x = (01)x <≤。 3、解：0:H 公民对这项提案的态度与性别相互独立

2

23

211

()2173.7ij ij i j ij

n e e χ==-==∑∑

因222173.7 5.991(2)αχχ>= 故拒绝0H ，

即认为公民对这项提案的态度与性别不独立。 4、略。

第七章 测验

一、填空题（每小题4分，共20分）

1

、12(,,):

n R x x u α????

=≥??????

2

、X T =

3、2

2

2

(1)n S χσ-=

；2χ；

4、2

122

S F S =；(){}22221

1221212

,,:,n

R x x S

S F S S F αα

-=

≥≤ 或；

5、 =14α； 916β=．

二、选择题（每空4分，共20分）

1、A ；

2、C ；

3、B ；

4、C ；

5、A

三、应用题（共60分）

1、解：检验01:70:70H H μμ=?≠

1.4x T =

=

=

因2T 1.4 2.02(1)t n α=<=- 故接受原假设0:70H μ= 2、解： 001:=8:8H H σσσ=?≠ 2

2

20

(1)(101)75.733

10.6564

n S χσ--?=

=

=

221210.65 2.7(1)n αχχ-=>=- 故拒绝原假设00:=8H σσ=

3、解：先检验2222

012112

::H H σσσσ=?≠ 2122 3.325 1.492.225

S F S == （2212S S >） 查表的212((1

),(1)) 5.35F n n α--= 因2121.49 5.35((1),(1))F F n n α=<=--故可认为方差相等。 其次检验012112::H H μμμμ≤?>

X Y

T =

3.52=

-

因 3.52 2.552(18)T t α=-<= 故接受原假设012:H μμ≤ 4、解：0010:0.2:H p p H p p ≤=?>，

3.5U =

==

因 3.5 1.645U u α=>= 故拒绝原假设。 5、解：

（1） 1.026α=

（2） 0.0132β=

第八章 方差分析与回归分析

8.1方差分析的概念与基本思想 一、名词解释

1. 因素：影响试验指标变化的原因。

2. 水平：因素所设置的不同等级

3. 单因素试验：在试验中仅考察一个因素的试验

4. 多因素试验：在试验中考察两个或两个以上因素的试验，这类试验一般可用因素的数目

来命名

5. 处理：一个试验中所考察因素不同水平的组合

6. 处理效应（组间误差）：试验中所考虑且加以控制的因素不同水平对试验指标的影响

7. 随机误差：试验中为考虑或未控制的随机因素所造成的试验指标的变异 二、问答题

1. 单因素试验中，因素的每一个水平即为一个处理，试验有几个水平，就相应地有几个

处理；多因素试验中，处理的数目是各因素水平的乘积。例如，三因素试验中，A 因素有a 个水平，B 因素有b 个水平，C 因素有c 个水平，则处理数为abc 个。 2. 方差分析的基本思想：将测量数据的总变异按照变异来源分解为处理效应和随机误差，

利用数理统计的相关原理建立适当的统计量，在一定显著性水平下比较处理效应和随机误差，从而检验处理效应是否显著。 8.2单因素方差分析 一、填空题

1. 平方根变换，角度（弧度）反正弦变换，对数变换；

2. 最小显著差数法，最小显著极差法；新复极差法，q 法；

3. 总平方和，随机误差平方和，组间平方和。 二、计算题 1.

2.解：11

2229i

n r

i j

i j T X

===

=∑∑，2

11

199327i

n r

ij i j X ===∑∑，

()2

22

11

2229199327589.3625i

n r

T ij i j T SS X n ===-=-=∑∑

()()2

2

2122291

200704219024174724495.36525r

i A i i

T T SS n n ==-=+++-=∑

589.36495.3694e T A SS SS SS =-=-=

方差分析表如下：

因为0.01=26.35 4.43(4,20)F F >=，所以，当显著性水平=0.01α，5个温度对产量的影响有显著差异。

3.该题属于单因素4水平等重复试验的方差分析。其方差分析表如下：

说明不同浓度氟化钠溶液处理种子后，对芽长有极显著的影响。 多重比较省略。

4.

母猪对仔猪体重存在极显著的影响作用。 8.3双因素方差分析

1.

F 检验结果表明，品种和室温对家兔血糖值的影响均达极显著水平。

2.

8.4回归分析的基本概念

1.如何用数学语言描述相关关系？

相关关系就是一个或一些变量X 与另一个或一些变量Y 之间有密切关系，但还没有确切到由其中一个可以唯一确定另一个的程度，其数学语言描述可为：如果给定变量X 任意一个具体取值0x ,存在变量Y 的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随0x 的不同而不同；同时给定变量Y 任意一个具体取值0y ,存在变量X 的一个概率分布与其对应，并且该概率分布随0y 的不同而不同，则称X 与Y 之间具有相关关系。相关关系是两个随机变量之间的平行相依关系。

2.什么是回归关系？回归关系与相关关系有何联系？

回归关系是指在相关关系中，如果X 容易测定或可人为控制，就将X 看成为非随机变量，并记为x （称为预报因子），这时x 与Y （称为预报量）之间的关系称为回归关系。 回归关系是相关关系的简化，是变量之间的因果关系。

8.5 一元线性回归模型的建立与检验 一、填空题 1.

()2

1

1?2n i i i Y y n =--∑。 2.

01

??y x ββ=- ， ()()()

1121

?=n

i i xy i n xx

i i x x Y Y L L x x β==--=-∑∑。 二、应用题

1. 解：2

11

112

11113755.68,11xx i i i i L x x ==??=-= ???∑∑

11

11111

1118708.58,11xy i i i i i i i L x y x y ===????

=-= ???????∑∑∑

2

11

112

1

116050.58311yy i i i i L y y ==??=-= ???∑∑

（1）先求回归方程，由于

1=

0.633,xy xx

L L β=

01=-38.97,y x ββ-=

所以Y 关于x 的回归方程为

?y

0.633-38.97,x =

（2）用相关系数检验法计算样本相关系数

00.955r =

=

因为()0.0190.7348,r =而()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的 （3）把0200x =代入回归直线方程，得

?0.633200-38.9787.63

y

=?=， 2. 略。 3. 证明略。

8.6预测、控制与残差分析

（1） 解：2

11

112

211113675051013104.55,1111xx i i i i L x x ==??=-=-?= ???∑∑

11

11111

1111

139105102143988.18,1111xy i i i i i i i L x y x y ===????=-=-??= ???????∑∑∑

2

11

112

21

11154222141258.731111yy i i i i L y y ==??=-=-?= ???∑∑

（1）先求回归方程，由于

13988.18

=

0.304,13104.55

xy xx

L L β=

=

01214510

=0.304 5.36,1111

y x ββ-=

-?= 所以Y 关于x 的回归方程为

?y

5.360.304,x =+ 在检验，用相关系数检验法计算样本相关系数

00.982r =

=

=

取=0.01α，查相关系数检验表得，()0.0190.7348,r =由于()00.019,r r >故可认为Y 与x 的线性相关关系是极显著的。

（2）把075x =代入回归直线方程，得

? 5.360.3047528.16

y =+?=，

? 2.301

σ==，

0.05

(9) 2.626

t=

，

故当

75

x s

=时，腐蚀深度Y的95%预测区间为

[]

28.16 2.262 2.3011.074,28.16 2.262 2.3011.074,

-??+??

即[]

22.57.7

，335.

（3）要使腐蚀深度在1020m

μ

之间，即

12

10,20,

y y Y

==的取值在区间[]

1020

，内时，则由方程组

1011

2012

?2

?2,

y x

y x

ββσ

ββσ

=+-

?

?

=++

?

解得

()()

()()

110

1

220

1

11

?210 5.362 2.30130.40,

0.304

11

?220 5.362 2.30133.02.

0.304

x y

x y

βσ

β

βσ

β

=-+=?-+?=

=--=?--?=

8.7可线性化的一元非线性回归

一、填空题

0011

ln,ln,ln,

Y Y x xββββ

''''

====；

0011

1

ln,,ln,

Y Y x

x

ββββ

''''

====；

ln,lg

Y Y x x

''

==。

二、解答题

解：做散点图如右图。由于Y与x散点图呈指数

曲线形状，于是有

?,

x

Y eβ

αε

=()2

ln0,

N

εσ

两边取对数，令

ln,ln,,,ln

Y Y a b x x

αβεε

'''

=====

模型转化为线性模型

()2

,0,

Y a bx N

εεσ

''''

=++

由公式计算可得

10

??0.29768,8.164585ββ=-= 所以Y '对x '的样本回归方程为

8.164585-0.29768Y x ''=

用t 检验法检验'Y 对'x 的回归效果是否显著，取显著性水平为0.05，可得

()

0.02532.36938 2.3060t t ==>=

即线性回归效果是显著的。代回原变量，得曲线回归方程

()0.29768??exp 3514.26x y

y e -'== 第八章 测验

一、选择题

1、A ；

2、C ；

3、B ；

4、D 二、填空题

1. 正态 ，独立， 等方差 。

2. ()

2

01,~0,Y x N ββεεσ=++。

3. ?r β= 三、解答题 1.提示与解答：

方差分析结果表明，农药的杀虫效果是极显著的。 2. 提示与解答：一元线性回归方程建立、检验、应用. 销售费用Y 与销售收入x 之间的经验回归方程为

? 3.140.108Y

x =+ 销售费用Y 与销售收入x 之间的线性回归关系是显著的。