一种分析微悬臂梁大挠度变形的新算法

２００８年第２７卷第７期传感器与微系统（ＴｒａｎｓｄｕｃｅｒａｎｄＭｉｃｒｏｓｙｓｔｅｍＴｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ）９３

彳铲ｐｐｐｐ妯§计算与测试譬■、■９一一一《＾、ｏ’

一种分析微悬臂梁大挠度变形的新算法唯陆静，向宇，马晓强（广西工学院汽车工程系。广西柳州５４５００６）

摘要：考虑静电力边缘效应的影响，建立了微悬臂梁大挠度变形的静态变形分析模型，通过梁弯曲理论将控制方程化为一阶非线性微分方程组，结合非线性方程组求根、迭代修正齐次扩容精细积分法和增量迭代法，提出了一种分析微悬臂梁大挠度变形的半解析、半数值算法。数值算例表明：该方法具有较高的精度和稳定性，是分析微悬臂梁变形的一种有效方法；通过对微梁静态特性的分析表明：考虑边缘效应后微梁的吸合电压减小，考虑大挠度变形的影响后微梁的吸合电压增加。关键词：微悬臂梁；打靶法；迭代修正齐次扩容精细积分法；增量迭代中图分类号：ＴＰ２１１文献标识码：Ａ文章编号：１０００－－９７８７（２００８）０７－－００９３－０３

Ｎｏｖｅｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒａｎａｌｙｚｉｎｇｌａｒｇｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ＾ｎ幂ｎｅｔｏｒｍａｔｉｏｎＯｒｍｉｃｒｏ－ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｓ

ＬＵＪｉｎｇ，ＸＩＡＮＧＹｕ，ＭＡＸｉａｏ－ｑｉａｎｇ

（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＡｕｔｏｍｏｂｉｌｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＧｕａｎｇｘｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉｕｚｈｏｕ

５４５００６，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｅｌｅｃｔｒｏｓｔａｔｉｃｆｏｒｃｅｅｄｇｅｅｆｆｅｃｔ，ａｍｏｄｅｌｉｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｔｏａｎａｌｙｚｅｔｈｅｓｔａｔｉｃ

ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｍｉｃｒｏ—ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｗｉｔｈｌａｒｇｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｃｈａｎｇｅｄｔｏｆｉｒｓｔｏｒｄｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓａｂｏｕｔｔｈｅｂｅａｍｂｅｎｄｉｎｇｔｈｅｏｒｙ．Ａｓｅｍｉ·ａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｅｍｉ·ｎｕｍｅｒｉｃＭｍｅｔｈｏｄｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｆｏｒａｎａｌｙｚｉｎｇｍｉｃｒｏ－ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｂｙｍｅａｎｓｏｆｔｈｅｈｉｇｈｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｔｅｒａｔｉｖｅｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔｅｘｔｅｎｄｅｄｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｃａｐａｃｉｔｙｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｓｏｌｕｔｉｏｎａｎｄｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌｉｔｅｒａｔｉｖｅａｌｇｏｒｉｔｈｍ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｈａｓｕｐｐｅｒｐｒｅｃｉｓｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈｉｓａｎｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ

ｔｏａｎａｌｙｚｅ

ｔｈｅｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｍｉｃｒｏ－ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ．Ｓｔａｔｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｕｌｌ－ｉｎｖｏｌｔａｇｅｄｅｃｒｅａｓｅｓｗｈｅｎ

ｅｄｇｅｅｆｆｅｃｔｓａｒｅｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，ａｎｄｔｈｅｐｕｌｌ—ｉｎ，≯ｏｈａｇｅｉｎｃｒｅａｓｅｓｗｈｅｎｔｈｅｉｎｆｌｕｅｎｃｅｏｆｌａｒｇｅｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｉｃｒｏ－ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ；ｓｈｏｏｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔｅｘｔｅｎｄｅｄｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｃａｐａｃｉｔｙｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ：ｉｎｃｒｅｍｅｎｔａｌｉｔｅｒａｔｉｖｅ

０引言近年来，微悬臂梁在光开关、微传感器等微机械器械中得到了广泛应用，精确地分析微梁的变形对于微机械装置的设计和更好地控制其工作特性有重要意义。微梁的变形是典型的静电一结构耦合问题，通常采用有限元求解¨’２１。有限元法应用广泛，但存在计算效率低，操作复杂的缺点，因此，一些学者提出了分析微梁变形的数值方法¨１，如贾建援等人建立了静电力作用下微悬臂梁的机一电耦合数学模型【４Ｊ，并利用叠加法的原理提出了一种数值方法，但由于未考虑边缘效应的影响。只适用于宽梁，而且，由于采用交错迭代，在某些情况下可能会导致计算无法收敛。本文考虑了静电力边缘效应和梁大挠度弯曲的影响，建立了静电致动微悬臂梁的力学模型，导出了微悬臂梁大挠度变形

收稿日期：２００８－－０３－１８·基金项目：广西自然科学基金资助项目（０４８１０２８）

的控制方程。同时，还根据打靶法的原理，结合迭代修正齐次扩容精细积分法和非线性代数方程组的求根，通过增量迭代方法提出了一种分析微悬臂梁变形的高精度算法，并采用该方法分析了微梁的变形。通过与有限元结果的比较，证明本文所提出的方法具有较高的精度，可以适合于任何宽度的微梁。１微梁静力学模型图１为微悬臂梁结构示意图，图中，Ｌ，ｈ，ｂ，ｄ分别为梁的长度、厚度、宽度和变形前梁与固定极板的距离。

图１微悬臂梁结构示意图Ｆｉｇ１Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄｉａｇｒａｍｏｆｍｉｃｒｏ－ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ

　传感器与微系统第２７卷考虑边缘效应的影响后，静电分布力的集度可以表示为‘５１ｇ＝茄鲁（１＋而ｄ－－ｌＡＪ），（１）式中ｙ为所加的电压；ｓ为介电常数；埘为梁的挠度。显然，式中第一项为不考虑边缘效应时平行板电容的静电力计算公式，第二项为边缘效应所产生的静电力附加项。由于微悬臂梁自由端在ｚ方向上不受约束，轴力为０，微梁在大挠度弯曲时的载荷、内力之间的关系与小挠度弯曲时相同ｍＪ，可表示为警邗訾＝Ｑ，（２）式中Ｑ，Ｍ分别为梁的剪力和弯矩。在大挠度弯曲时，梁的挠曲线微分方程为１ＭｐＥ／ｄ２埘血２［１＋（蝴手’由薄板大挠度弯曲时的物理方程得‘６］以。亩（Ｍ—川），（８）

岛２亩（以训），（９）

式中ｔ为板的厚度；ⅣＩ，Ｍ分别为ｚ和Ｙ方向上的中面内力。将薄板模型退化成一维梁模型，不考虑Ｙ方向的变形，由式（７）可知，占，＝Ｏ。悬臂梁自由端在ｘ方向上不受约束，Ｍ＝Ｏ。代入式（９）可得札＝Ｏ。由于Ｍ＝Ｍ＝０，由式（８）可得占，＝Ｏ，代入式（６）即可求出纵向位移的表达式ｕ＝一ｆｉ一２＼－ｄ—ｘ］２出＝一ｆｌ弘２，（１０）

式中ｚ为弯曲时纵向的实际长度；ｕ为梁在纵向的位移。令“＝沈，式（１０）可化为瓦＝一ｒ‘吾２鸳（３）２数值计算方法

式中伽为梁的挠度；Ｅ为弹性模量；，为惯性矩，对于矩形截面梁，，＝ｂｈ３／１２。梁弯曲时转角和挠度可表示为ｄｗ五２妒（４）

结合式（１）一式（４），并令髫＝弘，卸＝砚，妒＝－６，Ｑ＝

可ＥＩ－－ｕ，Ｊｌｆ＝ｉＥｌ肘－，则微悬臂梁的控制方程可化为料Ｏ０１００（１＋＿２）手ＯＯ６占￡ｙ２Ｅｈ３（ｄ／Ｌ一面）２料

（－＋而再ｄ／Ｌ丽－－ｗ）ＯＯ０

．（５）式（５）即是分析微梁大挠度变形的静力学方程。显然，微梁的控制方程是一个耦合的一阶非线性微分方程。微梁的长度会直接影响微梁静电力和边界条件，许多文献在建立微梁模型时采用小挠度弯曲模型，忽略梁的纵向位移，认为梁在弯曲时石方向的长度为定值。试验表明：微悬臂梁在吸合时，自由端挠度通常接近或超过梁的厚度，此时采用小挠度模型是不恰当的，在微悬臂粱的静态分析中，应该考虑大挠度变形时各点挠度所引起的纵向位移。由薄板大挠度弯曲时的几何方程可得哺。厶：譬＋下１Ｉｉ０１０１２，（６）厶２ｉ＋丁ＩｉＪ，（６’占，＝考＋÷（等）２．（，）（１１）微梁的变形是一个两点边值问题，微悬臂梁在固定端的转角和挠度均为零，剪力和弯矩未知；在自由端的转角和挠度未知，剪力和弯矩为零。设Ｇ＝【Ｑｌ川，ＭＩ刊】Ｔ，则微悬臂梁自由端的边界条件可表示为Ｇ＝Ｏ．（１２）本文作者近期提出的迭代修正齐次扩容精细积分法具有较高的计算精度和效率【７１，对于非齐次项没有任何的限制，非常适合于求解非线性方程组。但精细积分法只适用于初值问题，因此，采用打靶法的思想将微梁的边值问题转化为初值问题：先假设膏＝０处的剪力和弯矩值，令ｚ＝【Ｑ，Ｊ，ｌｏ，Ｍ，Ｉ。卸］７，则初始向量的值ｐ＝［ｚ，０，０］７为已知，即可利用迭代修正齐次扩容精细积分法解式（５），求出菇＝ｆ端的剪力、弯矩，即Ｇ＝【Ｑｌ州，肘Ｉ川】Ｔ。可见Ｇ是隐含：的非线性方程组。若计算出来的Ｇ不能满足式（１２），则调整ｚ重新计算，重复上述过程直至满足边界条件为止，即求式（１２）的根。本文采用逆Ｂｒｏｙｄｅｎ秩ｌ方法解式（１２），求根的迭代公式为Ｍ１∥“＝：‘一Ｈ｝ＧＩ（ｚ‘）Ｌ制圹鼢。）帛’０３’

式中ｋ为迭代的次数；仇为初始矩阵；ｓ。为变量误差；），。为函数误差，即第ｋ次和第ｋ－１次迭代计算出来的挠度和转角的差值。逆Ｂｒｏｙｄｅｎ秩１法对初值很敏感，只有当假定的初值靠近方程的解时才能保证计算的精度和稳定性。而且，在考虑了大挠度弯曲的影响后，粱的长度在加载过程中是不断变化的，静电力的大小和边界条件也会随之改变。为保证求解的可靠性，本文采用了增量迭代的方法，原理如下：

　第７期陆静，等：一种分析微悬臂梁大挠度变形的新算法将电压在［０，Ｖ］内均匀分成儿段，在ｖ０＝０时，粱没有载荷，向量‰＝［０，０，０，０］。一定是微梁初向量的真值，梁的长度为原长Ｌ，转角为０。给电压一个微小的增量ＡＶ，只要其值足够小，ｚ０。＝［０，０］１（上标表示在一个载荷步内的迭代次数，下标表示载荷步）一定在式（１２）根的较小邻域内，令ｆ＝￡，－６（石）＝ｏ，以：？为迭代初值，由打靶法求出在第一

个电压增星时的剪力和弯矩的真值：ｊ，将初向量真值ｖ？带入式（５）求出梁上的转角石（ｆ），代入式（１１）即可求出在第１个电压增量内梁的纵向位移，进而求出梁的实际长度２。；ｆ。，石。（ｆ）分别作为第二个增馈区间中梁的长度和转角函数，ｚ？为迭代初值乞０，利用打靶法求出第二个电压增量的刁，ｆ：和石。（ｆ）；…；通过逐步增加载荷的方式最终可求出Ｖｎ＝ｙ时ｘ＝Ｏ处的剪力和弯矩，从而得到固定端全部初向量值，最后，再通过迭代修正齐次扩容精细积分法就可以分析微梁的变形。具体求解步骤如下：１）将电压在［０，Ｖ］内均匀分成ｎ段，令％＝０，每段内的电压增量为ＡＶ＝Ｖ／ｎ；２）在电压的第一个增量中，ｆ－Ｌ，Ｖｌ＝％＋ＡＶ，石＝ｏ，迭代初始近似值ｚ：＝［０，０】７，将初向量ｖ？＝［：？，０，０】７和＿０（孝）代入式（５），用迭代修正齐次扩容精细积分法求出石＝ｆ处的Ｑ和肘。若不满足式（１２），则利用式（１２）修正，将第一次修正后的ｚ：代人ｐ：，再次计算互＝ｆ处的Ｑ和肘，若仍不满足边界条件则重新修正、计算直至满足式（１２）为止。通过以上方法，可求出在第一个电压增量内的【Ｑ。ｌ；Ｉ。，肘，Ｉ，；。］Ｔ，即：：，进而得到在第一个电压增量内的初向量真值ｖ？。将Ｖ？代人式（５），求出转角石。（ｆ），再将石。（ｆ）带入式（１１）求出ｕ。，则ｚ。＝￡（１一ｕ。）；３）增加电压，在第ｉ个电压增量中，２＝ｆ。一。，Ｋ＝ｖｏ＂４－ｉＡＶ，石＝石Ｈ（手），迭代初值。？＝ｆ一。，按第二步的方法求出第ｉ个电压增量的初向量真值ｙ。’，ｆｉ和蟊（ｆ）；４）增加电压，重复第三步直至Ｋ＝Ｖ，求出初向量真值ｙｆ，最后代人控制方程组分析微梁的静态特性。在上述算法中，只要选择合适的增量，就可以保证求解的精度和稳定性。３数值算例采用图１所示的微悬臂梁模型，材料几何参数如表１。表１材料几何参数表Ｔａｂ１Ｍａｔｅｒｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｓ微粱长度Ｌ微赡宽度６微梁厚度ｈ初始『日Ｊ距ｄ介中常数ｓ弹性梭虽Ｅ８５４×１０一］２Ｗｍ在不同的驱动电压下考虑边缘效应的影响，采用大挠度弯曲模型计算出的微梁挠曲线如图２所示。由图２可以看出：随着电压的增加，挠曲线的不均匀性逐渐增大，体现了微梁非线性耦合变形的特点。当电压增乒宝专ｘ／１０－％图２微悬臂梁的挠曲线Ｆｉｇ２Ｍｉｃｒｏ·ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ加到一临界值时，系统不能保持稳定平衡状态，在静电力的作用下微梁产生吸合现象。吸合电压是静电式微梁设计的一个重要参数，在不考虑边缘效应，采用小挠度模型时（非线性项只取第一项，传递矩阵中不考虑转角的影响，不考虑梁长度的变化），取不同宽度，采用本文算法所计算出来的吸合电压与文献［４］计算结果的比较如表２所示。表２吸合电压和文献值的比较Ｔａｂ２Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｐｕｌｌ·ｉｎｖｏｌｔａｇｅｗｉｔｈｄｏｃｕｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔ粱的宽度（ｍ）２×１０—１