2008年高考数学浙江卷(理)全解全析

2008年浙江理科数学全解全析

本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

第Ⅰ卷（共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么

P （A ·B ）=P （A ）·（B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率： k n k k n n p p C k P --=)1()(

球的表面积公式

S=42R π 其中R 表示球的半径

求的体积公式V=33

4R π 其中R 表示球的半径

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a 是实数，1a i i

-+是纯虚数，则a =( A ) （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2 解析：本小题主要考查复数的概念。由()(1)111(1)(1)22

a i a i i a a i i i i ----+==-++-是纯虚数， 则102a -=且10,2

a +≠故a =1. （2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()u u A C B B C A = ( D )

（A ）? （B ）{}|0x x ≤

（C ）{}|1x x >- （D ）{}|01x x x >≤-或

解析：本小题主要考查集合运算。u A C B ={}|0x x >u B C A ={}|1x x ≤-

()()u u A C B B C A ∴={}|01x x x >≤-或

（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的( D )

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

解析：本小题主要考查充要条件相关知识。依题“22b a >”既不能推出 “a >b ”；反之，由“a >b ”

也不能推出“22b a >”。故“22b a >”是“a >b ”的既不充分也不必要条件。

（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( A )

（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274

解析：本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题。本题可通过选括号

（即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成。故含4x

的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=-

（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+

=x x y 的图象 和直线2

1=y 的交点个数是( C ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4

解析：本小题主要考查三角函数图像的性质问题。原函数可化为： ])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2x x π∈作出原函数图像， 截取[0,2]x π∈部分，其与直线21=y 的交点个数是2个. （6）已知{}n a 是等比数列，4

1252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=( C ) （A ）16（n --4

1） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）3

32（n --21） 解析：本小题主要考查等比数列通项的性质。由3352124

a a q q ==?=?，解得1.2q = 数列{}1n n a a +仍是等比数列:其首项是128,a a =公比为1.4

所以,

1223118[1()]324(14)1314

n n n n a a a a a a -+-+++==-- （7）若双曲线122

22=-b

y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 则双曲线的离心率是( D )

（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 解析：本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题。依题不妨取双曲线的右准线2

a x c

=， 则左焦点1F 到右准线的距离为222

a a c c c c

++=，左焦点1F 到右准线的距离 为2a c c -22c a c -=，依题22

2222223,2c a c a c c a c a c

++==--即225c a

=，

∴双曲线的离心率c e a

== （8

）若cos 2sin αα+=则tan α=( B )

（A ）21 （B ）2 （C ）2

1- （D ）2-

解析：本小题主要考查三角函数的求值问题。由cos 2sin αα+=

cos 0,α≠两边同时除以cos α

得12tan ,αα+=平方得

222(12tan )5sec 5(1tan ),ααα+==+

2

tan 4tan 40αα∴-+=,解得tan 2.α=或用观察法.

（9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -?-=, 则c 的最大值是( C ) （A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2

2 解析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题。||||1,0,a b a b ==?=

展开2()()0||()||||cos ,a c b c c c a b c a b θ-?-=?=?+=?+

||||cos 2,c a b θθ∴=+=则c 的最大值是2;

或者利用数形结合, a ，b 对应的点A,B 在圆22

1x y +=上, c 对应的点C 在圆222x y +=上即可.

（10）如图，AB 是平面a 的斜线段．．．

，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动， 使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( B )

（A ）圆 （B ）椭圆

（C ）一条直线 （D ）两条平行直线

解析：本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。

考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线

AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则P 轨迹类

似为一以AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！

还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大，

故面积也为无穷大，从而排除C 与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂 直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！

2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷

数学（理科）

第Ⅱ卷（共100分）

注意事项：

1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2．在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

（11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =____12解析：本小题主要考查三点共线问题。

2(1,),AB a a =+32(1,),BC a a =- 2322210,a a a a a a ?+=-?--=12a ∴=+舍负).

（12）已知21F F 、为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点 若1222=+B F A F ，则AB =______8______。

解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用。依题直线AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ?

A B C D 中，22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =

（13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()

C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。

解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用。依题由正弦定理得：

sin )cos sin cos B C A A C -?=?,

cos sin()sin B A A C B ?=+=,

∴cos 3

A = （14）如图，已知球O 点面上四点A 、

B 、

C 、

D ，

DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，

则球O 点体积等于___________。9π2

解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出

球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC 都

是直角三角形，且有公共斜边。所以DC 边的中点就是球心（到

D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半。

（15）已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t=____1____ 解析：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为1,x =下方图像翻到x 轴上方.由区间[0，3]

上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15,t =或检验5t =时,

(0)52f =>不符,而1t =时满足题意.

（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性

不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是____40 ______（用数字作答)。

解析：本小题主要考查排列组合知识。依题先排除1和2的剩余4个元素有222228A A ?=

种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有1

5A 种插法，

∴不同的安排方案共有221225240A A A ??=种。 （17）若0,0≥≥b a ，且当??

???≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b

为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于_______1_____。

解析：本小题主要考查线性规划的相关知识。由1ax by +≤恒成立知，当0x =时，

1by ≤恒成立，∴01b ≤≤；同理01a ≤≤，∴以a ,b 为坐标点(,)P a b

A B C D E F 所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.

三．解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（18）（本题14分）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，

BE//CF ，∠BCF=∠CEF=?90,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ； （Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为?60？

18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等

基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．

方法一：

（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，

可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD EG ∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．因为AE ?平面DCF ，DG ?平面DCF ，

所以AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ．

由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ，

从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．

在Rt EFG △

中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =，

从而3BE CG ==．

于是sin 2BH BE BEH =∠=． 因为tan AB BH AHB =∠，

所以当AB 为92

时，二面角A EF C --的大小为60． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，

建立空间直角坐标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，，

则(000)C ，，

，)A a ，

，0)B ，

，0)E b ，，(00)F c ，，．

（Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥，

所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ．

故AE ∥平面DCF ．

（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =--，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =，从而 D A

B

E F C H

G

3()02b c b -+-=?=，，

解得34b c ==，

．所以0)E ，，(040)F ，，． 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直，则0n AE =，0n EF =， 解得(1n a

=，．又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，，

所以||1|cos |2||||4BA n n BA BA n a <>===，，得到92a =． 所以当AB 为92

时，二面角A EF C --的大小为60．

（19）（本题14分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出

1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97。 （Ⅰ）若袋中共有10个球，

（i ）求白球的个数；

（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。 （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于10

7。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，

设袋中白球的个数为x ，则2102107()19

x C P A C -=-=， 得到5x =．故白球有5个．

（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是

ξ的数学期望

155130123121212122

E ξ=?+?+?+?=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =

，