控制系统的时域
实践四 控制系统的时域、频域和根轨迹分析
一、 设计目的
1、掌握如何使用Matlab 进行系统的时域分析
2、掌握如何使用Matlab 进行系统的频域分析
3、掌握如何使用Matlab 进行系统的根轨迹分析
二、 设计原理：
时域分析
1.某系统的开环传递函数为
4
3
2
20
G (s)=
83640s
s
s
s
+++
试编程求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线，并求最大超调量。
最大超调为: sigma =
0.0255
2.典型二阶系统
22
2G ()2n
n n
s s s ωξωω
=
++
编程求当ωn =6,ζ取0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.5、2.0时的单位阶跃响应曲线。
从图中不难看出固定自然角频率后，改变二阶系统的阻尼比系数ζ，在ζ<1时并不会改变阶跃响应的振荡频率；而当ζ>1时，阶跃响应曲线不在振荡，系统过阻尼。
此外，当阻尼系数ζ为0时，系统的阶跃响应为等幅振荡；当0<ζ<1时，系统欠阻尼，阶跃响应曲线的振荡幅度随ζ的增大而减小，动态性能变好；当ζ>1时,系统的过渡过程时间随着ζ的增加而逐渐增长,系统响应变慢,动态性能反而下降.
3.典型二阶系统传递函数为：
2
2
2
2)(n
n n
s s s G ωξωω++=
绘制当ζ=0.7,ωn 取2、4、6、8、10、12时的单位阶跃响应曲线。
从图中可知，当自然角频率ωn 从2变到12时,系统的振荡频率加快,上升时间减少,过渡过程时间减少;系统响应更加迅速,动态性能变好.
自然角频率ωn 决定了系统跃响应的振荡频率；ωn 越大,系统的振荡频率越高,响应速度也越快;阻尼系数ζ决定了系统的振荡幅度;当ζ<1时，系统欠阻尼，响应阶跃有超调;当ζ>1时,系统过阻尼,阶跃响应没有超调,但是响应速度大大减缓,过渡过程时间很长. 根轨迹分析
根据下面负反馈系统的开环传递函数，绘制系统根轨迹，并分析使系统稳定的K 值范围。
)
2)(1()()(++=
s s s K s H s G
根据题目要求,需要求得根轨迹穿越虚轴时的系统增益,以此确定稳定的增益范围.
k = 6.3394 poles =
-3.0303 0.0152 + 1.4463i 0.0152 - 1.4463i
可见,当增益k>6时,闭环系统的极点都位于虚轴的左部,处于稳定态. 频域分析
1. 典型二阶系统传递函数为：
2
2
2
2)(n
n n
c s s s G ωξωω++=
绘制当ζ=0.7,ωn 取2、4、6、8、10、12时的伯德图
2.典型二阶系统传递函数为：
2
2
2
2)(n
n n
c s s s G ωξωω++=
绘制当ωn =6,ζ取0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.5、2.0时的伯德图。
三、运行效果：
设计完全符合题目要求，运行结果完全正确。
四、设计心得：
通过这次课程实践,使我对控制系统的时域、频域和根轨迹分析有了更深刻的理解，并且熟练的掌握了自动控制在MATLAB中的仿真与运用，在做课题实践的过程中让我学到了许多知识，并且培养了我自主学习的能力，这不论是对我以后的学习或工作中都打下了坚实的基础，最后感谢杜老师的指导和同学们对我的帮助，使我能顺利完成这次课程实践。
2-1控制系统的时域数学模型
(2)消去中间变量 i(t) (2) (t)
duo (t ) ui (t ) = RC + uo (t ) dt
(3)标准化
duo (t ) RC + uo (t ) = ui (t ) dt
例2 对两级RC无源网络，列写以ui(t)为输入 量，uo(t)为输出量的网络微分方程式。
由基尔霍夫电压定律
机械力学系统的数学模型： 机械力学系统的数学模型：
d 2 y (t ) dy (t ) m + f + ky (t ) = F (t ) 2 dt dt
相似系统 相似系统便于用一个简单的系统去研究与其相似的 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。 复杂系统，也为控制系统计算机仿真提供了基础。
小结
取一次近似， 取一次近似，且令
∆y( x) = y( x) − y( x0 ) ≈ −E0 sin x0 ⋅ ( x − x0 )
既有
∆y = −E0 sin x0 ⋅ ∆x
例：单摆系统的运动方程为
试列写其线性化方程。 试列写其线性化方程。 解：运动方程中的非线性项为
预定工作点为 [θ0 ,ϕ0 ]
Class is over. ByeBye-bye!
式中：
T1 = R1C1
T2 = R2C2
T3 = R1C2
牛顿定律约束
机械系统
例3 一个由弹簧、质量、 阻尼器组成的做直线运动的 力学系统。图中，m为物体 的质量，k为弹簧系数，f为 粘性摩擦系数，F(t)为物体受 到的外作用力，y(t)为物体的 位移。试列写质量m在外力 F(t)作用下，位移y(t)的运动 方程。
元件约束
d 2uo (t ) duo (t ) R1C1 R2C2 + ( R1C1 + R2C2 + R1C2 ) + uo (t ) = ui (t ) 2 dt dt dt
自动控制原理时域指标
自动控制原理时域指标自动控制原理是研究如何设计和优化自动控制系统的学科。
在自动控制系统设计中，需要对系统在时域上的行为进行分析和评估。
时域是指系统随时间变化的过程，在自动控制中通常关注系统的稳定性、动态响应和误差性能等指标。
自动控制系统的时域指标主要包括系统的稳定性、阶跃响应、过渡过程、超调量和稳态误差等。
首先，系统的稳定性是指系统在输入信号与外部干扰的作用下，输出信号是否趋向于稳定的状态。
稳定性是一个基本的要求，对于开环控制系统来说，需要系统的传递函数的所有极点的实部都小于0；对于闭环控制系统来说，需要系统的传递函数的所有极点的实部都小于零，且没有极点位于虚轴上。
其次，阶跃响应是指系统对于单位阶跃输入信号的响应。
通过分析系统的阶跃响应，可以得到系统的动态性能指标，如上升时间、峰值时间、峰值过冲和调节时间等。
上升时间是指系统从初始状态到达稳态所需的时间；峰值时间是指系统输出达到峰值的时间；峰值过冲是指系统输出超过稳态值的最大幅度；调节时间是指系统从初始状态到达稳态的时间。
过渡过程是指系统由一个状态转移到另一个状态的过程，可以通过系统的阶跃响应曲线来观察。
过渡过程中，一般通过衡量系统的快速性、稳定性和平稳性来评估系统的性能。
超调量是指系统在过渡过程中，输出信号超过稳态值的最大幅度。
超调量的大小反映了系统的稳定性和响应速度之间的平衡关系。
稳态误差是指系统在稳态下，输出信号与期望信号的差值。
稳态误差用于评估系统对不同输入信号的跟踪能力和稳定性。
在实际的自动控制系统设计中，需要根据具体的应用要求，对不同的时域指标进行权衡和优化。
通过选择合适的控制器参数和调节算法，可以提高系统的稳定性、动态响应和误差性能。
同时，通过对系统的时域指标进行分析和优化，可以满足不同控制任务的要求，提高自动控制系统的性能和效果。
时域分析方法
x1(t) r(t) y(t),
X1(s) R(s) Y (s)
x2(t)
d
x1 (t ) dt
k1 x1(t),
X2(s) sX1(s) k1X1(s)
x3(t) k2 x2(t),
X3(s) k2X2(s)
x4(t) x3(t) x5(t) k5 y(t), X4(s) X3(s) X5(s) k5Y (s)
y(0)
y(t ) t0
0
y()
y(t ) t
1
t＝T时，y(T)＝1-e-1＝0.632 t＝2T时, y(2T)＝0.865
t＝3T时, y(3T)＝0.95 t＝4T时, y(4T)＝0.982 t＝5T时, y(5T)＝0.993…
y(t)
1
0.632
B A86.5％ 98.2％ 63.2％ 95％ 99.3％
R
U1(t) i(t) C U2(t)
T 设 T RC
RC
dU 2 (t dt
)
U
2
(
t
)
U1
(t
)
描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：
T dy(t) y(t) Kr(t) dt
T RC,
K 1,
T duc dt
uc
u
dh T AR, K R, T dt h KQin
(t)
0
t0
0 t t
1
E
t
(b) 脉冲信号
• 用来表示冲击型的脉冲扰动 • 理想的δ(t)函数无法得到，持续时间非常短的脉
控制系统的时域瞬态响应分析ppt
二阶系统的瞬态响应
零阻尼(=0)二阶系统的单位阶跃响应：图3-13
系统响应为无阻尼等幅振荡。
二阶系统的瞬态响应
负阻尼(<0)二阶系统的单位阶跃响应：图3-14、15
随着时间 t ，其输出 xo(t)
二阶系统的瞬态响应指标
上升时间 tr 峰值时间 tp 最大超调量 Mp 调整时间 ts 延迟时间Байду номын сангаасtd 振荡次数
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二阶系统的瞬态响应
临界阻尼(=1)二阶系统的单位脉冲响应：图3-23
二阶系统的瞬态响应
过阻尼(>1)二阶系统的单位脉冲响应：图3-23
二阶系统的瞬态响应
欠阻尼(0<<1)二阶系统的单位斜坡响应：图3-24
二阶系统的瞬态响应
临界阻尼(=1)二阶系统的单位斜坡响应：图3-25
二阶系统的瞬态响应
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第三章 控制系统稳定性的时域分析
（3-1）
式中
dk nk 1 2
式（3-1）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量 都是衰减的，且有 lim C (t ) 0 ，此时系统是稳定的。
t
如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根 对应的瞬态分量是发散的，此时有 lim C (t ) ，系统是 t 不稳定的。
t
该系统就是稳定的。 系统稳定的充要条件？ 设系统的闭环传递函数为
bm s m bm1 s m1 ... b0 ( s ) a n s n a n 1 s n 1 ... a0
特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实 数根 i 和r对共轭复数根 k nk j nk 1 2 ,则在 单位脉冲函数 (t ) 的作用下，系统输出量为
C ( s) K r (s Z j )
j 1 2 2 ( s P ) ( s 2 s nk ) i k nk i 1 k 1 q r m
an s n an1 s n1 ... a0 0
1
将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得
C (t ) i e it e k nkt ( k cos dk t C k sin dk t )
e2
计算劳斯表的各系数
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a n1a n6 a n a n7 b3 a n1
……
a n1a n2 a n a n3 b1 a n1
bi
系数的计算一直进行到其余的b值全部等于零为止。 用同样的前两行系数交叉相乘的方法，可以计算c , d, … …e , f , g各行的系数。
《自控》第3章
响应称为单位抛物线响应。
C(s )
(s )
R(s )
(s )
1
s3
单位抛物线的时间响应为
c(t )
L1(s )
1
s
3
抛物线信号可模拟以恒定加速度变化的物理量
4. 单位脉冲信号及其时间响应
脉冲信号可看作一个持续时间极短的信号。
0
r(t
)
H
t 0,t 0t
若令脉宽ε→0，则称其为单位理想脉冲函数
号、脉冲信号、正弦信号等。它们的典型时间响应是指初始状态为零的系
ห้องสมุดไป่ตู้
统在典型输入信号作用下输出量的动态响应。
1.单位阶跃信号的时间响应 L[1(t)] L[1] 1
s
控制系统在单位阶跃信号作用下的时间响应称为
单位阶跃响应。
C(s )
(s )
R(s )
(s )
1
s
c(t )
L1(s )
1
s
在时域分析中，阶跃信号用得最为广泛。如实际应用中电源的突然接通、
响应
响应
微分
微分
微分
响应
5. 正弦信号及其时间响应 正弦信号的数学表达式为
r(t )
0
A
sin t
t 0 t 0
L r(t )
L[A
sin t]
A s2 2
正弦信号主要用于求系统的频率响应。在实际控制过程中，电源及
振动的噪声、海浪对船舶的扰动力等，均可近似为正弦信号作用。
C(s )
(s )
R(s )
(s )
A
s2 2
c(t )
L1(s )
s
自动控制原理(3)
# 3—3 一阶系统分析 四、一阶系统的单位脉冲响应 R(s)=1 C(s)=[1/(Ts+1)]*1 -1 Ct(t)=L [1/(Ts+1)] --t/T K(t)=(1/T)*e (t > 0) 响应初始斜率： 响应初始斜率： 1/T dk(t)/dt|t=0 --t/T 2 = --(1/T )*e 1/2T 2 = --1/T
# 3—3 一阶系统分析 3— 3、性能指标 、 1）暂态性能 ） 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 所以性能指标主要 是调节时间ts，它表征 系统过渡过程的快慢。由于t=3T时，输 系统过渡过程的快慢。由于 时 出响应可达稳定值的95%；t=4T时，输 出响应可达稳定值的 ； 时 出响应可达稳定值的98%，故一般取： 出响应可达稳定值的 ，故一般取： ts=3T（s）（对应误差带为 ） ）（对应误差带为 （ ）（对应误差带为5%） ts=4T（s）（对应误差带为 ） ）（对应误差带为 （ ）（对应误差带为2%） 显然，系统的时间常数T越小，调节 显然，系统的时间常数 越小， 越小 就越小，响应过程的快速性也好。 时间ts就越小，响应过程的快速性也好。
0 T 2T 3T 4T 3/2T
# 3—3 一阶系统分析 五、三种响应之间的关系 Ct(t) = ∫ = ∫ (1-e )dt (t > 0 ) 0 --t/T = t – T+Te
超调 量 0.9 0.5 0.1 tr 峰值 tp ts td
误差带
# 3—3 一阶系统分析 3—
由一阶微分方程描述的系统即 为一阶系统，一些控制元、 为一阶系统，一些控制元、部件 及简单系统如R——C网络，发 网络， 及简单系统如 网络 电机，空气加热器， 电机，空气加热器，液面控制系 统等。 统等。
第3章 控系统的时域分析习题
第三章 控制系统的时域分析习题3-1 已知系统脉冲响应如下，试求系统闭环传递函数Φ(s)。
t e t k 25.10125.0)(-=3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程近似描述T c t c t r t r t ••+=+()()()()τ其中，0<(T-τ)<1。
试证系统的动态性能指标为 TT T t d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=τln 693.0t T r =22. T T T t s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=)ln(3τ 3-3 一阶系统结构图如题3-3图所示。
要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t （s ），试确定参数21,K K 的值。
3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 题3-4图（a ）和（b ）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K 值为1。
（1） 若)(1)(t t r =，0)(=t n 两种系统从开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？ （2） 当有阶跃扰动1.0)(=t n 时，求扰动对两种系统的温度的影响。
3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如题3-5图）和所测数据,并假设传递函数为)()()()(assKsVssG+=Θ=可求得K和a的值。
若实测结果是：加10伏电压可得每分钟1200转的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2秒，试求电机传递函数。
[提示：注意)()(sVsΩ=asK+，其中dtdtθω=)(，单位是弧度/秒]3-6单位反馈系统的开环传递函数)5(4)(+=sssG，求单位阶跃响应)(th和调节时间ts。
3-7设角速度指示随动系统结构图如题3-7图。
若要求系统单位阶跃响应无超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间s t是多少？3-8给定典型二阶系统的设计指标：超调量σ%5≤%，调节时间st3<（s），峰值时间1<pt（s），试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
控制系统的微分方程-时域数学模型
x
Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工
作点附近展开。
⑵该系统的输出量是 ，输入量是ug，扰动量是 M c
⑶速度控制系统方块图：
u u u g
e
-
运放Ⅰ
1 运放Ⅱ
u2
功放
ua
Mc
电动机
uf
测速
⑷各环节微分方程：
运放Ⅰ：u1 k1(ug u f ) k1ue ， 运放Ⅱ：u2 k2( u1 u1)
功率放大：ua k3u2 ，反馈环节：u f k f
控制系统的微分方程---控制系统的时域数学模型
微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型， 微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。 1、控制系统微分方程的建立
例1: 图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以ui(t) 为输入量，以 uo(t)为输出量的网络微分方程。
图3.1 RLC无源网络
叠加性 均匀性
3、线性方程的求解 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。
方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏 变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代 数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
4、非线性微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果 描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为 线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理， 即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的 系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典 控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中， 除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一 般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近 用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。
控制系统时域及频域性能指标的联系
控制系统时域与频域性能指标的联系经典控制理论中,系统分析与校正方法一般有时域法、复域法、频域法.时域响应法是一种直接法，它以传递函数为系统的数学模型,以拉氏变换为数学工具，直接可以求出变量的解析解.这种方法虽然直观，分析时域性能十分有用，但是方法的应用需要两个前提,一是必须已知控制系统的闭环传递函数,另外系统的阶次不能很高。
如果系统的开环传递函数未知，或者系统的阶次较高,就需采用频域分析法。
频域分析法不仅是一种通过开环传递函数研究系统闭环传递函数性能的分析方法,而且当系统的数学模型未知时，还可以通过实验的方法建立。
此外，大量丰富的图形方法使得频域分析法分析高阶系统时，分析的复杂性并不随阶次的增加而显著增加。
在进行控制系统分析时，可以根据实际情况，针对不同数学模型选用最简洁、最合适的方法,从而使用相应的分析方法，达到预期的实验目的.系统的时域性能指标与频域性能指标有着很大的关系，研究其内在联系在工程中有着很大的意义.一、系统的时域性能指标延迟时间t d阶跃响应第一次达到终值h （∞）的50％所需的时间上升时间t r阶跃响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间;对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间峰值时间tp阶跃响应越过终值h （∞)达到第一个峰值所需的时间调节时间ts阶跃响应到达并保持在终值h （∞)的±5％误差带内所需的最短时间超调量%σ 峰值h(tp）超出终值h(∞）的百分比，即%σ=()()()∞∞-h h h t p ⨯100%二、系统频率特性的性能指标采用频域方法进行线性控制系统设计时,时域内采用的诸如超调量,调整时间等描述系统性能的指标不能直接使用，需要在频域内定义频域性能指标。
1、零频振幅比M （0)：即ω为0时闭环幅频特性值。
它反映了系统 的稳态精度， M(0）越接近于1，系统的精度越高.M(0）≠1时，表明系统有稳态误差。
2、谐振峰值Mr ：为幅频特性曲线的A （ω）的最大值.一般说来，Mr 的大小表明闭环控制系统相对稳定性的好坏。