双曲线方程及性质的应用

双曲线方程及性质的应用

(45分钟70分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.(优质试题·天津高二检测)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦

距的倍,且一个顶点的坐标为(0,2),则双曲线的标准方程为( )

A.-=1

B.-=1

C.-=1

D.-=1

【解析】选A.由题意知:a=2,a+b=c,又c2=a2+b2,且焦点在y轴上,选A.

2.(优质试题·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【解析】选 D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.

【补偿训练】(优质试题·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近

线平行的直线,所以符合要求的共有3条.

【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用

①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.

②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.

3.(优质试题·全国甲卷)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为( )

A.2

B.

C.

D.

【解析】选A.圆心到渐近线bx±ay=0距离为=,

所以=⇒c=2a⇒e=2.

4.(优质试题·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )

A.-12

B.-2

C.0

D.4

【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.

5.如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等差数列,则离心率e等于( )

A. B. C. D.

【解析】选D.因为2b=a+c,

所以4b2=a2+2ac+c2,

4(c2-a2)=a2+2ac+c2,

所以3e2-2e-5=0,所以e=.

6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O

为原点),则-的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.

【解析】选B.将y=1-x代入-=1,

得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则x1+x2=,x1x2=.

因为·=x1x2+y1y2

=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,

所以-+1=0,

即2a+2ab-2a+a-b=0,

即b-a=2ab,

所以-=2.

7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为( )

A.-=1

B.-=1

C.-y2=1

D.x2-=1

【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知

=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.

8.(优质试题·全国乙卷)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C 上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3).则△APF的面积为( )

A. B. C. D.

【解析】选D.由c2=a2+b2=4得c=2,所以F(2,0),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以PF=3,又A的坐标是(1,3),故△APF的面积为×3×(2-1)=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

9.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e∈[,2],在两条渐近线构成的角中,设以实轴为角平分线的角为θ,则θ的取值范围是________.

【解析】因为e2===1+,

e∈[,2],

所以2≤1+≤4,

所以1≤≤,

即1≤tan≤,

所以≤≤,

≤θ≤.

答案:

10.(2016·北京高考)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC 的边长为2,则a=__________.

【解析】因为正方形OABC的边长为2,所以B(2,0),渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2,所以a=b=2.

答案:2

【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),

所以垂直x轴,过点F的直线是x=5.

代入-=1,求得y=±,

所以此时弦长=+=.

不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,