奈氏判据半包围和对数判据判断系统稳定性
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奈奎斯特稳定判据及应用
奈奎斯特稳定判据及应用奈奎斯特稳定判据是一种用于分析线性时不变系统稳定性的常用方法。
该方法的基本思想是通过对系统的频率响应进行分析，判断系统的稳定性。
下面我将详细介绍奈奎斯特稳定判据及其应用。
奈奎斯特稳定判据是由德国数学家埃尔温·奈奎斯特（Ernst Siegfried H Stabilization）在20世纪20年代提出的。
该判据基于系统的开环频率响应曲线和频率扰动的关系，通过分析系统的极点和奈奎斯特曲线的特性来判断系统的稳定性。
在分析一个系统的稳定性时，首先需要了解系统的传递函数。
传递函数是描述系统输入和输出之间关系的数学模型，通常表示为H(s)，其中s是复频率。
传递函数中的极点（也称为极值）是指使传递函数无穷大的复频率值。
对于线性时不变系统，只有当所有的极点都位于s平面的左半平面时，系统才是稳定的。
根据奈奎斯特稳定判据，一个线性时不变系统是稳定的，当且仅当奈奎斯特曲线上的点环绕虚轴的次数等于系统极点位于虚轴右侧的个数。
这可以通过两个主要步骤来实现。
首先，我们需要绘制系统的开环频率响应曲线。
开环频率响应曲线是指系统传递函数H(s)的模量和幅角随频率变化的曲线。
我们可以通过画出传递函数的特定频率响应曲线来获得。
其次，我们需要绘制奈奎斯特曲线。
奈奎斯特曲线是通过将开环频率响应曲线绕过s 轴上方的点连接而得到的曲线。
具体来说，奈奎斯特曲线的性质如下：- 如果系统的开环频率响应曲线没有通过-1+j0（虚轴上的-1点），则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统的开环频率响应曲线通过-1+j0，但未环绕虚轴上的任何点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0；- 如果系统开环频率响应曲线经过-1+j0，并绕过了虚轴上的n 个点，则奈奎斯特曲线将通过-1+j0并绕过虚轴上的n 个点。
通过绘制奈奎斯特曲线，我们可以根据它的形状和特性判断系统的稳定性。
奈奎斯特稳定判据的应用广泛，尤其在控制系统设计和分析方面。
用Nyquist判据判断系统稳定性
用Nyquist判据判断系统稳定性Nyquist判据是一种经典的判断系统稳定性的方法，被广泛应用于控制工程和通信工程中。
该方法通过绘制系统的Nyquist图，判断系统的极点和零点在复平面上所处的位置，从而判断系统的稳定性。
本文将介绍Nyquist判据的基本原理、具体操作步骤以及注意事项，以帮助读者更好地理解和应用这一方法。
一、Nyquist判据的基本原理在控制系统中，我们通常将系统的传递函数写成如下形式：G(s) = N(s) / D(s)其中，N(s)和D(s)分别为系统的分子和分母多项式，s为复变量。
我们知道，当系统传递函数G(s)的阶数为n时，该函数在复平面上有n个极点和/或零点。
Nyquist判据的基本思想是：绘制系统的Nyquist图，即将系统的G(s)函数沿着复平面上的一个可变的圈线进行连续变形，并记录圈线变形前和变形后所经过的原点和极点个数及情况。
通过比较圈线变形前后绕圆点的圈数，就可以判断系统的稳定性。
具体地说，Nyquist判据有以下两个重要的结论：1.当系统的Nyquist图绕复平面上的所有极点时，如果围绕极点的圈数全都是负数，则该系统是稳定的；相反，如果存在围绕极点的圈数为正数，则该系统是不稳定的。
这两个结论形象地表现了系统稳定性与Nyquist图绕复平面上点的情况之间的关系，为我们判断系统稳定性提供了有力的理论支持。
在具体应用Nyquist判据时，我们可以按照以下步骤进行：1.绘制系统的G(s)函数的Nyquist图。
2.确定系统的极点和零点在复平面上的位置，并标记在Nyquist图中。
3.确定绘制Nyquist图时的路径，通常采用右半平面或左半平面的路径。
对于一些特殊系统，比如共轭复极点或共轭复零点，我们需要构造一些特殊路径。
4.通过沿着路径将Nyquist图绘制出来，并标记绕圆点的圈数。
一般情况下，我们可以按照路径的方向来计算围绕圆点的圈数。
5.根据Nyquist图绕极点和零点的情况，结合Nyquist判据的两个结论，判断系统的稳定性。
10 系统的稳定性分析Nyquist稳定判据
开环稳定时
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n
2
2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im
-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。
Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据
根据米哈伊洛夫定理推论： arg DK ( j ) n 若闭环也稳定，当由0变化到时：
arg DB ( j ) n
2
2
从而：
argF ( j) argDB ( j) argDK ( j) 0
上式表明，若系统开环稳定，则当由0变化到时， F(j) 的相角变化量等于0 时，系统闭环也稳定。
注意到： F ( j) 1 G( j) H ( j) 即：
G( j ) H ( j ) F ( j ) 1
上式表明，在复平面上将F(j)的轨迹向左移动一 个单位，便得到G(j)H(j) 的轨迹。
Im
=
-1 0
=0
Re
1
G(j)H(j)
F(j)
7.4 乃奎斯特稳定性判据
7.4 乃奎斯特稳定性判据 Im
D(j)
Im
-p
j 0
'
-p
Re
由图易知，当由0变化到时， D(j)逆时针旋转 90°，即相角变化了 /2。 arg D ( j )
2
若特征根为正实根，则当由0变化到时：
arg D ( j )
2
7.4 乃奎斯特稳定性判据
代数稳定性判据判别系统的稳定性，要求必须知 道闭环系统的特征方程，而实际系统的特征方程是 难以写出来的，另外它很难判别系统稳定或不稳定 的程度，也很难知道系统中的各个参数对系统性能 的影响。
两种常用的频域稳定判据：Nyquist稳定判据（简称
乃氏判据）和对数频率稳定判据。
Nyquist判据根据开环幅相曲线判别闭环系统稳定性；
7.4 乃奎斯特稳定性判据
奈氏判据和稳定裕度
(n m)
F (s) 1 G(s)H (s) 1 K (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
(s s1)(s s2 ) (s sn ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
• 辅助函数特点：
① 辅助函数是闭环与开环特征多项式之比。F(s)旳零 点为系统特征方程旳根（闭环极点）s1、s2、…sn ，而F(s) 旳极点则为系统旳开环极点p1、p2、…pn 。
– Nyquist判据根据开环幅相曲线鉴别闭环系统稳定性； – 对数频率稳定判据根据开环对数频率特征曲线判断闭环系
统稳定性； – 两种频率稳定判据没有本质区别。
• 频域稳定判据旳特点：根据开环系统频率特征曲线鉴 定闭环系统旳稳定性，并能拟定系统旳相对稳定性。
• Nyquist稳定判据旳优点 – 图解法、几何判据，简朴、直观、计算量小（ 劳斯/赫尔维茨判据是代数判据）。 – 能够不必懂得系统旳微分方程和传递函数，而 只依托解析法或试验法取得旳开环频率特征便 可应用。 – 有利于建立相对稳定性旳概念。
• 可见，F平面上曲线绕原点旳周数和方向与s平面上 封闭曲线包围F(s)旳零极点数目有关。
二、Nyquist稳定性判据 1. 辅助函数 设系统旳开环传递函数
G(s)H (s) K (s z1)(s z2 ) (s zm ) (s p1)(s p2 ) (s pn )
称如下F(s)为辅助函数
: A() 0,() 270 起点在第Ⅲ象限，在第Ⅱ象限趋向终点(0, j0)
因为相角范围从－90°到－270°，所以必有与负实轴
旳交点。由(ω)=－180°得
90 arctg arctg0.5 180
即ω= 1.414，此时A(ω)=1.67。所以乃氏图与实轴 旳交点为(－1.67，j0) • 系统开环传递函数有一极点在s 平面旳原点处，所 以乃氏回线中半径为无穷小量ε 旳半圆弧相应旳映 射曲线是一种半径为无穷大旳圆弧：
bode判据
开环稳定性和闭环稳定性是两个概念，二者 不容混淆。
22
5.3 奈氏稳定性判据
例4、 ( s ) K (T2 s 1) G 2
s (T1s 1)
j
j
ω
(-1,j0)
ω=∞
ω ω=0
(-1,j0)
ω=∞
T1<T2
T1=T2
闭环系统稳定
闭环系统临界稳定
23
5.3 奈氏稳定性判据
j
ω ω =0
Ts 1 K 0
20
T 0 1 K 0 K 1
5.3 奈氏稳定性判据
例3、已知 P=2
(-1,j0)
j
奈氏曲线逆时针包围
(1, j 0) 点一圈，N=1
闭环稳定的充要条件
P 2 N 1 2 2
故闭环稳定
21
5.3 奈氏稳定性判据
可见： 系统开环稳定，但各个部件及其受控对象的参数匹配不当， 很可能闭环系统不稳定 。 开环不稳定，只要合理地选择控制装置，完全能调出稳定 的闭环系统。
另外，实际系统的参数在工作过程中会发生 波动，故系统必须有一定的稳定裕度。
5.5 控制系统的相对稳定性
j
c(t)
（-1，j0)
t
j
c(t)
（-1，j0)
t
结论：离 (1, j 0) 点远一些好。
5.5 控制系统的相对稳定性
j
在幅相平面上画一个以原点为圆心， 1为半径的圆。
5.3 奈氏稳定性判据
[ F ( j )] 平面的坐标原点相当于[G( j ) H ( j )] 平面的(1, j 0 ) 点，则 F ( j ) 1 G( j ) H ( j ) 向量对其原点的转角相当于
奈奎斯特稳定判据09
s平面
F (s )平面
C 顺时针
s
示意图
C F 顺时针
在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切 形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围 线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否 包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数 的信息。
(0 45) (180 135) 90
现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点s沿 CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线 CF 。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时 针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射 而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。
C S 顺时针
同理，对未被包围的极点也是一样，因子项 (s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变 化也等于0°。 于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1
F (s) F (s2 ) F (s1 ) ( s2 zi ) ( s2 p j ) ( s1 zi ) ( s1 p j ) ( s2 zi ) ( s1 zi ) ( s2 p j ) ( s1 p j )
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS顺时针绕 行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到 F(s)平面上，围线CF 应逆时针包围原点一次。 2
F (s )平面
C 顺时针
s
示意图
C F 顺时针
在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切 形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围 线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否 包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数 的信息。
(0 45) (180 135) 90
现考虑s平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点s沿 CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线 CF 。在s平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时 针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射 而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。
C S 顺时针
同理，对未被包围的极点也是一样，因子项 (s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变 化也等于0°。 于是，映射到F(s)平面上，当变点F(s)沿CF 绕行一周后的幅角变化也应等于0°。这表 明，围线CF此时不包围原点。
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -1 -0.5 0 0.5 1
F (s) F (s2 ) F (s1 ) ( s2 zi ) ( s2 p j ) ( s1 zi ) ( s1 p j ) ( s2 zi ) ( s1 zi ) ( s2 p j ) ( s1 p j )
这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS顺时针绕 行一周时，因子(s+0)–1的幅角–b将变化360°。映射到 F(s)平面上，围线CF 应逆时针包围原点一次。 2
《工程控制基础》频域：奈氏 判据
24
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越，
2次负穿越，
N 2(N N ) 1 2 2
求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
（a）P=0 0
Im P0
0
R
Re (b)P=1
0
P 1 Im
R
K
0
Re
26
例5-12
(b)若b>1, N= 2(N+ - N–)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。
若b<1<a, N= 2(N+ - N–)=2(1-1)=0，且 P=1，所以 Z=P+N=1 系统不稳定。
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。
N=2(N+-N-) 注意：这里对应的ω变化范围 0 。
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
s平面
s=σ+jω.
F(s)
F(s) 复平面
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点
例:已知某系统G(jω)H(jω)轨迹，有2个开环极点分
布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。
解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2），
G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有1次正穿越，
2次负穿越，
N 2(N N ) 1 2 2
求得：Z=P+N=2-2=0 所以系统是稳定系统。
K=1时，奈氏曲线穿过 (-1, j0) 点两次，系统临界稳定。
（a）P=0 0
Im P0
0
R
Re (b)P=1
0
P 1 Im
R
K
0
Re
26
例5-12
(b)若b>1, N= 2(N+ - N–)=2(2-1)=2，且 P=1，所以 Z=P+N=3 系统不稳定。
若b<1<a, N= 2(N+ - N–)=2(1-1)=0，且 P=1，所以 Z=P+N=1 系统不稳定。
(1, j0)
_
0
0
Re
G( j )H ( j )
G( j )H ( j )
23
如果G(jω)H(jω)按顺时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按逆时针方 向包围点 (-1, j0) 一周，则必负穿越一次。 这种正负穿越之和即为G(jω)H(jω)包围的圈 数。
N=2(N+-N-) 注意：这里对应的ω变化范围 0 。
3
5.3.2 幅角原理
1.映射
复数s
s平面
s=σ+jω.
F(s)
F(s) 复平面
F(s)= u+jv.
在s平面上除了F(s)零点和极点外的任意点si ，经过复变函 数F(s)的映射，均可在F(s)平面上可以找到对应的点
54奈魁斯特稳定判据1汇总
Friday, February 21, 2020
10
注意：若有v个积分环节的系统，则在∠G(j0+)延长 至∠G(j0+)+v×90°处，其延长线也为相频 曲线一部分。
Friday, February 21, 2020
11
三、最小相位系统的奈氏判据：
开环频率特性Gk (s)在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相 位系统。最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为：奈氏图
正穿越 负穿越
1
这时奈魁斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk (s) 在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当 从 0 时，频率特性曲线在实轴 (,1) 段的正负穿越次数
差为 P。
2
Friday, February 21, 2020
8
二、在对数坐标图上判断系统的稳定性：
Friday, February 21, 2020
3
[例5-6]开环传递函数为：Gk 断闭环系统的稳定性。
(s)
(T1s
k 1)(T2 s
，试用奈氏判据判
1)
[解]：开环系统的奈氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Zk N Pk 0。故闭环 系统是稳定的。
Friday, February 21, 2020
21
带有延迟环节系统的相位裕度的求法：
设系统的开环传递函数为：Gk (s)es ，我们知道增加了延迟环节
后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 。表现在奈氏图和
波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
L( )
乃氏判据
已知反馈控制系统的开环传递函数为
G( j ) H ( j ) 1800 arctgT arctg 当 T 时， arctgT arctg , 当ω由0变至+∞时， G( j ) H ( j )由∞变
至0， G( j ) H ( j )由-180o在第III象限内变化为-180o，其对应的奈氏曲线如图 （a）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平 (1, j ) 面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围 点 （R=0），系统无S平面右半部的开环极点（P=0），由奈氏判据知，当 T 时，该系统是稳定的。
以极点为圆心，做半径为无穷小的右半圆， 使奈氏路径不通过虚轴上极点（确保满足 柯西幅角定理条件），但仍能包围整个s右 半平面。映射情况，由于较复杂，略。
0 0
2、如果开环频率特性曲线通过(-1,j0)点，说明闭环系统处于临 界稳定状态，闭环系统在虚轴上有极点。
例:
s s
A
Im F (s)
F ( s)
F (s)
B
F
Re F (s)
zi
0
F ( s)
0
设s平面闭合曲线 包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿 一周时，在F(s)平面上， F(s)闭合曲线 F 包围原点的圈数 R=Z-P
顺时针运动
R>0表示 F 逆时针包围F(s) 平面的原点
[解]：首先画出完整的奈氏 曲线的映射曲线。如右图：
从图上可以看出：映射曲线顺时 针包围(-1,j0)两圈。因 P 0 ，所 0 以Z k P R 2 ，闭环系统是不 稳定的。
自动控制原理 第十九章 奈魁斯特稳定判据
①中由，分Gk母( j阶)可数求比得分F子( j阶)数，高而，Gk所( j以)是当开s 环 频 率e特j 性时。，G一k (般s) 在G0k
( j
，
)
即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）
奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk (s)曲线向右移1；第Ⅱ部分 的映射对应 Gk (s) 0，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射 的关于实轴的对称。
第五节 奈魁斯特稳定判据
主要内容
幅角定理 奈魁斯特稳定判据 奈氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ 型系统中的应用 在波德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定 性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概 念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。
当k=1时，奈氏曲线通过(-1,j0)点，属临界稳定状态。 当k<1时，奈氏曲线不包围(-1,j0)点，N=0，Pk 1 ，所以Zk 1， 闭环系统不稳定。
上面讨论的奈魁斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环 极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条 件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有 极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。 为了解决这一问题，需要重构奈魁斯特路径。
2
2，R
得第二部分的映射；令
从
0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N Zk Pk ，式中：
Zk , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk N Pk 。当 ZR 0 时，系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的 辅助方程为 F(s) 1 Gk (s)，Gk (s)为开环频率特性。因此，有以下 三点是明显的：
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-1 -1
-1.5 -0.15K
j
--0.5 0 0.05K
ω
、－0.15、－ 、－0.05 、－ 、－ 当K=1时，三个交点参数为： －0.2、－ 时 三个交点参数为： K没确定时，三个交点参数为： 0.2K、－ 没确定时， 没确定时 三个交点参数为： 、－0.15K、－ 、－0.05K － 、－ 、－ 0.15K>1同时 同时0.05K<1系统稳定 同时 系统稳定 20 0.2K<1时系统也稳定 答案： 0 < k < 5和 < k < 20 时系统也稳定 答案：
− 180o
− 270o
− 360 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
ϕ(ω) ω
360 o
180o
0o
ωc1
ωc
ω
− 180o
5(s + 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = 2 s(s + 2s − a )
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 的取值范围
5 + G ( j0 ) = − = ∞∠ − 270o as
j
5 G ( j∞) = 2 = 0∠ − 180o s
5-5 频率域稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数 闭环特征根在 右半平面的个数
z=0
系统稳定
z = p _2N
开环极点在s右半平面的个数 开环极点在 右半平面的个数 开环幅相曲线穿越－ 之左实轴的次数 开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越， 表示； 自上向下为正穿越，用N＋表示；
G(j0 ) = ∞∠− 180 o G(jω) = 0∠ − 90
+
o
5(5 + j5) G(j1) = = −25与负实轴相交于 25处。 − − (1 + j)
Im[G(jω)] MATLAB绘制的图 绘制的图
ω=1
-25 0
Re[G(jω)]
判稳例题c-5-3
单位反馈系统开环幅相曲线如图， 单位反馈系统开环幅相曲线如图， 1 2 当输入 r(t ) = 1 + 5t + t 时，系统
− 360
o
ωc < ωc1时
系统稳定
− 540 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
50 G(s)H(s) = s(s − 1)(s + 2)
ωc
0dB
ω
− 180o
1 z=1- 2× − ) =2 不稳定 （ 2
ω
−270
2
-3 -2 -5
j ω
-1 0
稳态误差e 稳态误差 ss=-0.125,试确定系统 试确定系统 k 临界稳定的k值 临界稳定的 值。 4
o
解： 因为ess=-0.125， ， 所以系统稳定(z=0)且ν=2， K= -8 所以系统稳定 且 ，
3 3 可见 = 得图， ν = 2, 补180 得图， N + = ，N − = ∴N= 0 2 2
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时 时
1 Z = 1 − 2(1 − ) = 0 2 系统稳定
5(1 + ω ) G( jω) = 2 2 jω[jω(2 + a + ω ) − (a − ω )]
s+2 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = s(s + 1）s + 2) + k ( 试用奈氏判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。 试用奈氏判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。
Z = p − 2N
0= P−0
∴P = 0
k 这一点先缩小－ 倍 即取 即取k=1) ,再扩大 倍,得该点坐标为 再扩大k倍 得该点坐标为 将－2这一点先缩小－8倍(即取 这一点先缩小 4 k 令 < −1 才能保持 = 0 最终得 N= 最终得k<-4时系统稳定。 时系统稳定。 时系统稳定 4
绘制奈氏曲线无需知道开环极点
自下向上为负穿越， 表示； -1 自下向上为负穿越，用N－表示； G(jω)H (jω)起于－1之左实轴，为半次穿越 起于－ 之左实轴， 半次穿越 之左实轴
-1
N+ = 1 2
-1
N− =1 2Βιβλιοθήκη N=N＋-N－例题
已知单位反馈系统 开环幅相曲线 -1 (K=10,P=0,ν=0)如图所 如图所 -2 -0.2K 示，试确定闭环稳定 的取值范围。 时K的取值范围。 的取值范围 解：G(s)=kG0(s) G(jω)=kG0(jω)
从上向下为负穿越
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
180o
ϕ(ω) ω
90o
0
o
ω c ωc1
ωc2
ω
ωc < ωc1或
系统稳定
− 90 o
ωc > ωc2时
3
用奈氏判据判稳
1 G (s ) = Ts − 2
j
2 G (s ) = Ts − 1
j
-1 -0.5
0
-2
-1
0
Z=P-2N=1-0=1
系统不稳定
1 Z=P-2N = 1 − 2 × = 0 2
系统稳定
关于补圆
jω
0+ 0-
0 原来s=jω， ω ：～ ∞ ， 原来
0 现在 ω ： σ ～ 0 ＋ ～ ∞
σ
0σ
0 0 频段， 在ω＝ σ ～ ＋频段， = εe s
jθ
θ： 0 ~ 90
o
o
在ω＝0＋ ～∞频段，仍为 s = jω 频段，
jIm[G(jω)] Re[G(jω)] 0
k G (s ) = s(Ts + 1)
G ( j0 + )
解：
5(s + 2)(s + 3) 例题1： 例题 ：绘制 G (s ) = 的幅相曲线。 2 s (s + 1)
特征方程为1＋ 特征方程为 ＋G(s)=0
s(s+1)(s+2)+k+(s+2)=0
k 1 ＋ =0 2 (s + 2)(s + s + 1)
k 2
2 G ( j0 ) = ∠ 0 o k
k G( j∞) = 3 s
G(jω) =
k (2 − 3ω2 ) + jω(3 − ω2 )
G(j1.732) = − k 7
G(j0.816) = −j0.525k
−k 7
k − > −1 7
k > −1 2
− 2 < k < 7时系统稳定
k 2
−k 7
对数判据
j 0dB A D 0
L(ω)
-1
B C
ωb
φ(ω)
ωc ωd
ω
ω 0o ω
z= p
2N
-90 -180
-270
的频段， 穿越(2k+1)π线的次数。 线的次数。 在L(ω)>0dB的频段，看φ(ω)穿越 的频段 穿越 线的次数
-1.5 -0.15K
j
--0.5 0 0.05K
ω
、－0.15、－ 、－0.05 、－ 、－ 当K=1时，三个交点参数为： －0.2、－ 时 三个交点参数为： K没确定时，三个交点参数为： 0.2K、－ 没确定时， 没确定时 三个交点参数为： 、－0.15K、－ 、－0.05K － 、－ 、－ 0.15K>1同时 同时0.05K<1系统稳定 同时 系统稳定 20 0.2K<1时系统也稳定 答案： 0 < k < 5和 < k < 20 时系统也稳定 答案：
− 180o
− 270o
− 360 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
ϕ(ω) ω
360 o
180o
0o
ωc1
ωc
ω
− 180o
5(s + 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = 2 s(s + 2s − a )
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a(a>0)的取值范围。 的取值范围
5 + G ( j0 ) = − = ∞∠ − 270o as
j
5 G ( j∞) = 2 = 0∠ − 180o s
5-5 频率域稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数 闭环特征根在 右半平面的个数
z=0
系统稳定
z = p _2N
开环极点在s右半平面的个数 开环极点在 右半平面的个数 开环幅相曲线穿越－ 之左实轴的次数 开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越， 表示； 自上向下为正穿越，用N＋表示；
G(j0 ) = ∞∠− 180 o G(jω) = 0∠ − 90
+
o
5(5 + j5) G(j1) = = −25与负实轴相交于 25处。 − − (1 + j)
Im[G(jω)] MATLAB绘制的图 绘制的图
ω=1
-25 0
Re[G(jω)]
判稳例题c-5-3
单位反馈系统开环幅相曲线如图， 单位反馈系统开环幅相曲线如图， 1 2 当输入 r(t ) = 1 + 5t + t 时，系统
− 360
o
ωc < ωc1时
系统稳定
− 540 o
最小相位系统开环对数相频特性曲线
对数判据例题
50 G(s)H(s) = s(s − 1)(s + 2)
ωc
0dB
ω
− 180o
1 z=1- 2× − ) =2 不稳定 （ 2
ω
−270
2
-3 -2 -5
j ω
-1 0
稳态误差e 稳态误差 ss=-0.125,试确定系统 试确定系统 k 临界稳定的k值 临界稳定的 值。 4
o
解： 因为ess=-0.125， ， 所以系统稳定(z=0)且ν=2， K= -8 所以系统稳定 且 ，
3 3 可见 = 得图， ν = 2, 补180 得图， N + = ，N − = ∴N= 0 2 2
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时 时
1 Z = 1 − 2(1 − ) = 0 2 系统稳定
5(1 + ω ) G( jω) = 2 2 jω[jω(2 + a + ω ) − (a − ω )]
s+2 已知单位反馈系统开环传递函数 G (s ) = s(s + 1）s + 2) + k ( 试用奈氏判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。 试用奈氏判据确定闭环系统稳定时k的取值范围。
Z = p − 2N
0= P−0
∴P = 0
k 这一点先缩小－ 倍 即取 即取k=1) ,再扩大 倍,得该点坐标为 再扩大k倍 得该点坐标为 将－2这一点先缩小－8倍(即取 这一点先缩小 4 k 令 < −1 才能保持 = 0 最终得 N= 最终得k<-4时系统稳定。 时系统稳定。 时系统稳定 4
绘制奈氏曲线无需知道开环极点
自下向上为负穿越， 表示； -1 自下向上为负穿越，用N－表示； G(jω)H (jω)起于－1之左实轴，为半次穿越 起于－ 之左实轴， 半次穿越 之左实轴
-1
N+ = 1 2
-1
N− =1 2Βιβλιοθήκη N=N＋-N－例题
已知单位反馈系统 开环幅相曲线 -1 (K=10,P=0,ν=0)如图所 如图所 -2 -0.2K 示，试确定闭环稳定 的取值范围。 时K的取值范围。 的取值范围 解：G(s)=kG0(s) G(jω)=kG0(jω)
从上向下为负穿越
对数判据例题
改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 改变系统开环增益可使系统截止频率变化， 试确定系统闭环稳定时截止频率ω 的范围。 试确定系统闭环稳定时截止频率 c的范围。
180o
ϕ(ω) ω
90o
0
o
ω c ωc1
ωc2
ω
ωc < ωc1或
系统稳定
− 90 o
ωc > ωc2时
3
用奈氏判据判稳
1 G (s ) = Ts − 2
j
2 G (s ) = Ts − 1
j
-1 -0.5
0
-2
-1
0
Z=P-2N=1-0=1
系统不稳定
1 Z=P-2N = 1 − 2 × = 0 2
系统稳定
关于补圆
jω
0+ 0-
0 原来s=jω， ω ：～ ∞ ， 原来
0 现在 ω ： σ ～ 0 ＋ ～ ∞
σ
0σ
0 0 频段， 在ω＝ σ ～ ＋频段， = εe s
jθ
θ： 0 ~ 90
o
o
在ω＝0＋ ～∞频段，仍为 s = jω 频段，
jIm[G(jω)] Re[G(jω)] 0
k G (s ) = s(Ts + 1)
G ( j0 + )
解：
5(s + 2)(s + 3) 例题1： 例题 ：绘制 G (s ) = 的幅相曲线。 2 s (s + 1)
特征方程为1＋ 特征方程为 ＋G(s)=0
s(s+1)(s+2)+k+(s+2)=0
k 1 ＋ =0 2 (s + 2)(s + s + 1)
k 2
2 G ( j0 ) = ∠ 0 o k
k G( j∞) = 3 s
G(jω) =
k (2 − 3ω2 ) + jω(3 − ω2 )
G(j1.732) = − k 7
G(j0.816) = −j0.525k
−k 7
k − > −1 7
k > −1 2
− 2 < k < 7时系统稳定
k 2
−k 7
对数判据
j 0dB A D 0
L(ω)
-1
B C
ωb
φ(ω)
ωc ωd
ω
ω 0o ω
z= p
2N
-90 -180
-270
的频段， 穿越(2k+1)π线的次数。 线的次数。 在L(ω)>0dB的频段，看φ(ω)穿越 的频段 穿越 线的次数