一阶常微分方程的“分组凑全微分”解法
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解（实用版）目录一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念二、一阶偏微分方程组的求解方法三、一阶偏微分方程组的应用实例正文一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种，它是指包含一个未知函数的一阶偏导数的方程组。
在求解一阶偏微分方程组时，我们需要了解一些基本概念，如：线性偏微分方程、非线性偏微分方程、齐次偏微分方程、非齐次偏微分方程等。
二、一阶偏微分方程组的求解方法求解一阶偏微分方程组通常有以下几种方法：1.常数变易法：适用于齐次线性偏微分方程组。
通过求解每个方程的常数项，然后将结果组合起来，得到原方程组的解。
2.变易法：适用于非齐次线性偏微分方程组。
首先求解对应的齐次线性偏微分方程组，然后通过解非齐次方程得到变易因子，最后将变易因子与齐次方程的解相加，得到原方程组的解。
3.待定系数法：适用于含有待定系数的一阶偏微分方程组。
通过设定待定系数，将方程组转化为一组关于待定系数的代数方程，然后求解代数方程，得到待定系数的值，最后将待定系数代入原方程组，得到原方程组的解。
4.分离变量法：适用于具有特定形式的一阶偏微分方程组。
通过将变量分离，将原方程组转化为一组关于不同变量的方程，然后分别求解这些方程，最后将解组合起来，得到原方程组的解。
三、一阶偏微分方程组的应用实例一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：物理学中的波动方程、生物学中的种群动态方程、经济学中的价格决定方程等。
这些方程组的求解有助于我们更好地理解现实世界中的现象和规律，为科学研究和实际应用提供理论依据。
总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程领域的基本内容，其求解方法多样，应用广泛。
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，取得dx x f y g dy)()(=，两边积分即可取得结果； 当0)(0=ηg 时，那么0)(η=x y 也是方程的解。
例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分取得)(2ln 2为常数C C x y +=因此)(11212C x e C C eC y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C eC y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。
例1.二、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分取得 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，因此有)0()1)(1(22≠=--C C y x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程：①、形如)(xyg dx dy = 解法：令x y u =，那么udx xdu dy +=，代入取得)(u g u dxdux=+为变量可分离方程，取得)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入取得)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，那么b du adx dy +=，代入取得)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，取得)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入取得)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
一阶微分方程的初等解法总结
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1) d x d y d ( x y )
2 2 ( x y )) 3) xd x yd y d ( 1 2
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
两端积分得
P( x) d x u Q( x) e dx C
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y e P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e
积分后再用
代替 u, 便得原方程的通解.
y 解法: 令 u , x
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
3 一阶线性微分方程
1. 解齐次方程
分离变量
dy P( x) y 0 dx
dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. y) f ( x)dx C
即得方程的通解.
2 齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
5 全微分方程
一阶微分方程总结
1 N ( y)
y c( x )e
P ( x ) dx
dy P ( x ) y Q( x ) dx
P ( x ) dx e 1 n z y
Pdx Qdy 0
1 xM yN
P Q y x
dy ax by c f( ) dx a1 x b1 y c1
一阶线性 齐次型 Bernoulli
N
二、典型例题
例1 求一微分方程使其通解为
c1 x c2 解 由 y x c3
求导得 再求导
( x c3 ) y c1 x c2
c1 x c2 y x c3
y ( x c3 ) y c1 2 y ( x c3 ) y 0
通解为
u( x , y ) c
例7
设曲线积分
L
yf ( x )dx [2 xf ( x ) x 2 ]dy
在右半平面内与路径无关 其中 f (x) 可导 且f(1)=1 求f (x) 解 由曲线积分与路径无关的条件知
[ yf ( x )] [2 xf ( x ) x 2 ] y x 2 f ( x ) 2 xf ( x ) 2 x f ( x )
e
2x
e ( x y x )dx e ydy 0 为全微分方程
u( x , y ) P ( x ,0)dx Q( x , y )dy
x y 0 0
e ( x x )dx e
2x 2 0
x
2x
ydy 0
y
1 2 ( x y 2 )e 2 x 2
z Cx ,
2 3
设 z C ( x) x ,
一阶微分方程
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法
g( y) dy = f (x) dx
①
设 y＝ϕ (x) 是方程①的解, 则有恒等式
g(ϕ (x))ϕ′(x) dx ≡ f (x) dx
两边积分, 得 则有
= ∫ f (x) dx
②
当G(y) 与F(x) 可微且 G’(y) ＝g(y)≠0 时, 上述过程可逆, 说明由②确定的隐函数 y＝ϕ(x) 是①的解. 同样,当F’(x) = f (x)≠0 时, 由②确定的隐函数 x＝ψ(y) 也是①的解. 称②为方程①的隐式通解, 或通积分.
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例1. 求微分方程 解: 分离变量得
代回原变量得通解 求解过程中丢失了.
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x ( y − x ) = Cy (C 为任意常数)
说明: 说明 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
dx dy . = 2 例7 求解微分方程 2 2 x − xy + y 2 2 y − xy y y 2 − 2 dy 2 y − xy = x x , 解 = 2 2 2 y y dx x − xy + y 1− + x x y dy du 2u 2 − u 令u = , 则 = u + , u + xu′ = 2 x dx dx 1− u + u 1 1 1 2 1 dx [ ( ]du = , − )− + 2 u− 2 u u− 2 u−1 x 3 1 ln( u − 1) − ln( u − 2) − ln u = ln x + ln C , 2 2
常微分方程第二章 一阶微分方程的初等解法
du dx 1u2 x
两边积分得: ln u 1 u2 ln x ln c
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
du dx 1u2 x
最后由初始条件 y(1) 0,可定出c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
可2、化d为y 变a量1x 分b1 y离 方c1 法
由对数的定义有
y e p( x)dxc1
y e p( x)dxc1
即
y ec1e p(x)dx ce p(x)dx.
此外y 0也是方程的解,若在上式中充许c 0, 即知y 0也包括在上式中,
故方程的通解为
y ce p(x)dx , c为任常数.
例4
求初值问题
dy dx
y2
c os x的特解.
例：
y y sin x 0
并求满足条件的 y( ) 2 特解。
2
线性微分方程
例：
1、cos x dy y sin x cos2 x dx
二 伯努利(Bernoulli )方程
形如 dy p(x) y Q(x) yn dx
的方程,称为伯努利方程. 这里P(x), Q(x)为x的连续函数 。
故对应齐次方程通解为 y c(x 1)n
y
ce p(x)dx
ce
n dx x 1
c(x
1)n
其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,
令y c(x)( x 1)n为原方程的通解 , 代入得
dc(x) (x 1)n nc(x)(x 1)n1 nc(x)(x 1)n1 ex (x 1)n dx
解的步骤:
10
解方程组aa21xx
第二章 一阶微分方程的初等解法(12课时)
如
都是恰当方程.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0 (1)
①方程(1)是否为恰当方程? ②若(1)是恰当方程,怎样求解? ③若(1)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?
2. 方程为恰当方程的充要条件 定理1 设函数 M ( x , y ) 和 N ( x , y )在一个区域内连续可微, 则方程
dy a1 x b1 y c1 2.形如 的方程,这里 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 dx a2 x b2 y c2 均为常数.
分三种情形来讨论:
(1) c1 c2 0
y a1 b1 y dy a1 x b1 y x g( ) x dx a2 x b2 y a b y 2 2 x 为齐次微分方程,可化为变量分离方程.
注:求非齐次线性微分方程(1)的通解可直接用公式
p( x )dx ye (
Q( x )e
p( x )dx
). dx c
dy 3 2 y 4 x 1 例3 求初值问题 dx x 的解. y(1) 1
二、伯努利(Bernoulli)方程
dy P ( x ) y Q( x ) y n , (3) dx 的方程称为伯努利(Bernoulli)方程.这里 P ( x ), Q( x ) 是x
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0
是恰当方程的充分必要条件是
M ( x , y ) N ( x , y ) . y x 注:若 M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0为恰当方程,则其通解为 M ( x, y )dx [ N y M ( x, y )dx]dy c, c为任意常数.
以「合并法」解一阶常微分方程式
∴ x4 y3 = eC1 ≡ C。
d8
10
【練習】解 (x 2 + 3y 2) dx + 2xydy = 0
---------------------------------------------------------
Hint.
mydx
+
nxdy
=
1 ----------x m-1y n-1
d
( x my
n)
Sol. 原式重組成 x 2dx + y (3ydx + 2xdy) = 0，
即
x
2dx
+
y
d ( x 3y 2 ) -----------
=
0，
x2y
同乘 x 2 成 x 4dx + d ( x 3y 2 ) = 0，
積分得
1 ----
x
5
+
x
3y
2
=
C。
5
11
【練習】解 (x 2 + 3y 2) dx + 2xydy = 0 --------------------------------------------------------《另解》
xdx
±
ydy
=
1 ----
d
(x
2
±
y
2)
2
ydx - xdy
x
------y--2-----
=
d
(----) y
Байду номын сангаас
xdy - ydx
y
------x--2-----
=
全微分方程
7
( x0 , y0 )
x
y
P( x, y)d x Q( x0 , y)dy
x0
y0
y
x
y0 Q( x, y)dy x0 P( x, y0 )d x,
u( x, y) C ;
用直接凑全微分的方法.
2
例1 求方程通解
(5x4 3x y2 y3 )dx (3x2 y 3x y2 y2 )d y 0
( x2 x3 y)dx x3 x4 xy C( y), 34
u x C( y), 又 u 1 x,
y
y
x C( y) 1 x, C( y) 1, C( y) y, x3 x4
原方程的通解为 y xy C. 34
6.2.3 全微分方程
1.定义 一个一阶微分方程写成 P (x, y)dx Q(x, y)d y 0 ① 的形式后，如果它的左端恰好是某个函数的全微分，即
若存在u( x, y) 使 d u(x, y) P (x, y)dx Q(x, y)d y
则称 P (x, y)dx Q(x, y)d y 0 ①
u(
x,
y)
x
0 (
x2
x3
)dx
y
0
(1
x)dy,
B 凑微分法
dy ( xdy ydx) x2dx x3dx 0, dy d( xy) d x3 d x4 0，
34 d( y xy x3 x4 ) 0.
34
6
C 不定积分法 u x2 x3 y, x
x5 3 x2 y2 x y3 1 y3 C o (x,0) x