2019年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1-3.1.2导数的概念优化练习新人教
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修1
学习资料第三章导数及其应用3．1变化率与导数3。
1。
1变化率问题3．1.2导数的概念内容标准学科素养1。
了解导数概念的实际背景．2。
会求函数在某一点附近的平均变化率．3。
会利用导数的定义求函数在某点处的导数。
利用数学抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第49页[基础认识］知识点一函数的平均变化率错误!丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题,那么，变化率和导数是怎样定义呢？(1）气球膨胀率气球的体积V（单位：L)与半径r（单位:dm）之间的函数关系是V(r)＝错误!πr3⇒r(V）＝错误!.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r（1)－r(0）≈0。
62（dm)，气球的平均膨胀率为错误!≈0.62（dm/L）．类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2）－r（1）≈0。
16 （dm）, 气球的平均膨胀率为错误!≈0.16 （dm/L）．当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？提示：错误! （2）高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h （单位:m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在函数关系h (t )＝－4。
9 t 2＋6.5 t ＋10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度错误!描述其运动状态，那么:求0≤t ≤0。
5和1≤t ≤2这段时间内的错误!。
提示：在0≤t ≤0。
5这段时间里, 错误!＝错误!＝4。
05 （m/s ）； 在1≤t ≤2这段时间里， 错误!＝错误!＝－8。
2 （m/s ）． 知识梳理 函数的平均变化率对于函数y ＝f （x ),给定自变量的两个值x 1和x 2,当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f （x 1）变为f (x 2)，我们把式子错误!称为函数y ＝f (x ）从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1,可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量"，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1）．于是,平均变化率可表示为Δy Δx。
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
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3.导数的概念 一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) , 我们称它为函数������ Δ������ ������x →0 ������y Δ������ →0 ������x
=
������������������
解析: 该物体在 t=1 时的瞬时速度为 s(1 + ������t)-s(1) lim Δ������ →0 ������t 2(1 + Δ������)2 + 1 + Δ������-1-2 = ������������������ = lim (2Δ������ + 5) = 5. Δ������ →0 ������t →0 Δ������ 答案:5
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
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1.平均变化率
我们把式子
������(������2 )-������(������1 ) 称为函数������(������)从������1 ������2 -������1
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【做一做1-1】 已知物体位移公式s=s(t),从t0到t0+Δt这段时间内, 下列说法错误的是( ) A.Δs=s(t0+Δt)-s(t0)叫做位移增量B. Δ������ =
������ ������
������
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) 叫做这段时间内物体的平均速度 Δ������
2019高考数学一轮复习第三章导数及其应用31导数的概念及运算练习文
地地道道的达到§3.1导数的观点及运算考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度2017 课标全国Ⅰ ,14;1. 导数的概1. 认识导数观点的实质背景2017 天津 ,10;念与几何意Ⅱ2016 山东 ,10;选择题、2. 理解导数的几何意义2015 课标Ⅰ ,14; 填空题义2015 课标Ⅱ ,16 ★★★ []1. 能根据导数定义求函数 y=C(C 为常2.导数的运数 ),y=x,y= ,y=x 2,y=x 3,y= 的导数Ⅲ2016 天津 ,10; 选择题、算 [] 2015 天津 ,11 []2. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的解答题四则运算法例求简单函数的导数剖析解读本部分主假如对导数观点及其运算的考察, 以导数的运算公式和运算法例为基础, 以导数的几何意义为要点.1. 导数的几何意义最常有的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标, 或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容, 一般不独自考察 , 而在考察导数的应用时与单一性、极值与最值联合出题考查 .3. 本节内容在高考取分值为 5 分左右 , 属于简单题 .五年高考考点一导数的观点与几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点, 使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直, 则称y=f(x)拥有T性质.以下函数中拥有T 性质的是 ()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 3答案 A2.(2014陕西,10,5分)如图,修筑一条公路需要一段环湖曲折路段与两条直道光滑连结( 相切 ). 已知环湖曲折路段为某三次函数图象的一部分, 则该函数的分析式为()地地道道的达到A.y=3 2B.y=3 2x - x -x x + x -3xC.y= x3-xD.y= x3+ x2-2x答案 A3.(2017 天津 ,10,5 分 ) 已知 a∈R,设函数 f(x)=ax-ln x 的图象在点 (1, f(1)) 处的切线为 l, 则 l 在 y 轴上的截距为.答案 14.(2017 课标全国Ⅰ ,14,5 分 ) 曲线 y=x 2+ 在点 (1,2) 处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2016 课标全国Ⅲ ,16,5 分 ) 已知 f(x) 为偶函数 , 当 x≤0时, f(x)=e -x-1 -x, 则曲线 y=f(x) 在点 (1,2) 处的切线方程是.答案y=2x6.(2015课标Ⅰ ,14,5分)已知函数f(x)=ax 3 +x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案 17.(2015课标Ⅱ ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a=. 答案88.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0, 则点 P 的坐标是.答案(e,e)教师用书专用 (9 — 15)9.(2014 广东 ,11,5 分 ) 曲线 y=-5e x +3 在点 (0,-2) 处的切线方程为.答案 5x+y+2=010.(2013 江西 ,11,5 分 ) 若曲线 y=xα +1( α ∈R)在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点, 则α = .答案 211.(2013 广东 ,12,5 分 ) 若曲线 y=ax2-ln x 在点 (1,a) 处的切线平行于x 轴 , 则 a= .答案12.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=. 已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线(1)求 a 的值 ;(2) 能否存在自然数k, 使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在独一的根?假如存在 , 求出 k; 假如不存在 , 请说明理由 ;(3) 设函数 m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.分析(1) 由题意知 , 曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,所以 f '(1)=2,又 f '(x)=ln x++1, 所以 a=1.(2)k=1 时 , 方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的根.设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,当 x∈(0,1] 时 ,h(x)<0.又 h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使得 h(x 0)=0.因为 h'(x)=ln x++1+,所以当 x∈(1,2) 时 ,h'(x)>1->0,当 x∈(2,+ ∞) 时 ,h'(x)>0,所以当 x∈(1,+ ∞) 时 ,h(x)单一递加.所以 k=1 时 , 方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在独一的根.(3) 由 (2) 知方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在独一的根x ,且 x∈(0,x 0) 时 , f(x)<g(x),x∈(x 0,+ ∞) 时 , f(x)>g(x),所以 m(x)=当 x∈(0,x 0) 时 , 若 x∈(0,1],m(x) ≤0;若 x∈(1,x 0), 由 m'(x)=ln x++1>0,可知 0<m(x)≤m(x 0);当 x∈(x 0,+ ∞) 时 , 由 m'(x)=,可得 x∈(x 0,2) 时 ,m'(x)>0,m(x)单一递加;x∈(2,+ ∞) 时 ,m'(x)<0,m(x)单一递减,可知 m(x) ≤m(2)= , 且 m(x0)<m(2).综上可得函数m(x) 的最大值为.13.(2014 山东 ,20,13 分) 设函数 f(x)=aln x+ , 此中 a 为常数 .(1) 若 a=0, 求曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线方程 ;(2) 议论函数 f(x) 的单一性 .分析(1) 由题意知a=0 时 ,f(x)=,x ∈(0,+ ∞),此时 f '(x)=,可得 f '(1)=,又 f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2) 函数 f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=+=.当 a≥0时 ,f '(x)>0, 函数 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递加 , 当 a<0时 , 令 g(x)=ax 2+(2a+2)x+a,=(2a+2) 2-4a 2=4(2a+1).①当 a=-时,=0,f '(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单一递减.②当 a<-时,<0,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单一递减.地地道道的达到③当 - <a<0 时 ,>0,设 x1,x 2 (x 1<x2) 是函数 g(x) 的两个零点 ,则 x1=,x 2=.因为 x1==>0,所以 x∈(0,x 1) 时 ,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单一递减,x∈(x 1,x 2) 时 ,g(x)>0,f '(x)>0,函数f(x)单一递加,x∈(x 2,+ ∞) 时 ,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单一递减.综上可得 :当 a≥0时 , 函数 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递加 ;当 a≤ - 时 , 函数 f(x) 在(0,+ ∞) 上单一递减 ;当 - <a<0 时 ,f(x) 在, 上单一递减 , 在上单一递加 .14.(2014 北京 ,20,13 分) 已知函数 f(x)=2x 3 -3x.(1) 求 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值 ;(2) 若过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线y=f(x) 相切 , 求 t 的取值范围 ;(3) 问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2) 分别存在几条直线与曲线 y=f(x) 相切 ?( 只要写出结论 ) 分析 (1) 由 f(x)=2x 3-3x 得 f '(x)=6x 2-3.令 f '(x)=0,得x=-或x=.因为 f(-2)=-10, f= , f=-, f(1)=-1,所以 f(x) 在区间 [-2,1] 上的最大值为 f = .(2) 设过点 P(1,t) 的直线与曲线y=f(x) 相切于点 (x ,y ),0 0则 y0=2 -3x 0, 且切线斜率为 k=6 -3,所以切线方程为0 0 y-y =(6 -3)(x-x ),所以 t-y 0=(6 -3)(1-x 0). 整理得 4 -6 +t+3=0.地地道道的达到设 g(x)=4x 3-6x 2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“ g(x)有 3 个不一样零点”. g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x) 与 g'(x) 的变化状况以下表 :x (- ∞,00 (0,1) 1 (1,+ ∞))g'(x) + 0 - 0 +g(x) ↗t+3 ↘t+1 ↗所以 ,g(0)=t+3 是 g(x) 的极大值 ,g(1)=t+1 是 g(x) 的极小值 .当 g(0)=t+3 ≤0, 即 t ≤ -3 时 , 此时 g(x) 在区间 (- ∞,1] 和(1,+ ∞) 上分别至多有 1 个零点 , 所以 g(x) 至多有 2 个零点 .当 g(1)=t+1 ≥0, 即 t ≥ -1 时 , 此时 g(x) 在区间 (- ∞,0) 和[0,+ ∞) 上分别至多有 1 个零点 , 所以 g(x) 至多有 2 个零点 .当 g(0)>0 且 g(1)<0, 即 -3<t<-1 时 , 因为 g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0, 所以 g(x) 分别在区间 [-1,0),[0,1) 和 [1,2) 上恰有 1 个零点 . 因为 g(x) 在区间 (- ∞,0) 和(1,+ ∞) 上单一 , 所以 g(x) 分别在区间 (- ∞,0) 和 [ 1,+ ∞) 上恰有 1 个零点 .综上可知 , 当过点 P(1,t) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切时 ,t 的取值范围是 (-3,-1).(3) 过点 A(-1,2) 存在 3 条直线与曲线 y=f(x) 相切 ;过点 B(2,10) 存在 2 条直线与曲线 y=f(x) 相切 ;过点 C(0,2) 存在 1 条直线与曲线 y=f(x) 相切 .15.(2013 北京 ,18,13 分) 已知函数 f(x)=x 2+xsin x+cos x.(1)若曲线 y=f(x) 在点 (a, f(a)) 处与直线 y=b 相切 , 求 a 与 b 的值 ;(2)若曲线 y=f(x) 与直线 y=b 有两个不一样交点 , 求 b 的取值范围 .分析由 f(x)=x 2+xsin x+cos x, 得 f '(x)=x(2+cos x).(1) 因为曲线 y=f(x) 在点 (a,f(a)) 处与直线 y=b 相切 , 所以 f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得 a=0,b=f(0)=1.(2) 令 f '(x)=0, 得 x=0.f(x) 与 f '(x) 的状况以下 :x (- ∞,0) 0 (0,+ ∞)f '(x) - 0 +f(x) ↘ 1 ↗地地道道的达到所以函数f(x) 在区间 (- ∞,0) 上单一递减, 在区间 (0,+ ∞) 上单一递加, 所以 f(0)=1是f(x)的最小值.当 b≤1时 , 曲线 y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当 b>1 时 ,f(- 2b)=f(2b) ≥4b 2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x 1)=f(x2)=b.因为函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单一, 所以当 b>1 时曲线y=f(x)与直线y=b 有且仅有两个不一样交点 .综上可知 , 假如曲线y=f(x)与直线y=b有两个不一样交点, 那么 b 的取值范围是 (1,+ ∞).考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 32.(2015 天津 ,11,5 分) 已知函数 f(x)=axln x,x ∈(0,+ ∞), 此中 a 为实数 , f '(x) 为 f(x) 的导函数 . 若 f '(1)=3, 则 a 的值为.答案 3三年模拟A 组2016—2018 年模拟·基础题组考点一导数的观点与几何意义1.(2018 广东佛山一中期中考试,11) 已知 f(x)=(x+a)e x的图象在 x=-1 与 x=1 处的切线相互垂直, 则 a=()A.-1B.0C.1D.2答案 A2.(2017 四川名校一模 ,6) 已知函数 f(x)的图象如图, f '(x)是f(x)的导函数,则以下数值排序正确的选项是()A.0<f '(2)<f '(3)<f(3)-f(2)B.0<f '(3)<f '(2)<f(3)-f(2)C.0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2)D.0<f(3)-f(2)<f '(2)<f '(3)答案 C呵呵复生复生复生3.(2017 湖北百所要点高中联考,4) 已知函数 f(x+1)= , 则曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1)) 处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A4.(2018 福建六校联考 ,13) 曲线 y=e x-e 在 A(1,0) 处的切线方程是.答案y=ex-e5.(2018河北“名校结盟”高三教课质量监测,16) 设函数y=f(x)在其图象上随意一点(x 0,y 0 ) 处的切线方程为y-y 0=(3 -6x 0)(x-x 0), 且 f(3)=0,则不等式≥0的解集为.答案(- ∞,0) ∪(0,1] ∪(3,+ ∞)6.(2017湖南衡阳八中期中,14) 曲线 f(x)=xe x 在点(1,f(1))处的切线的斜率是.答案2e7.(2017广东韶关六校联考,14) 已知函数f(x)=ln x-ax2,且曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是-, 则a=.答案8.(2016北京东城期中,16) 若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2, 则点 P 的坐标为.答案(e,e)9.( 人教 A 选 1— 1, 三 ,2,B1, 变式 ) 已知函数 f(x)=,g(x)=aln x,a ∈R.若曲线y=f(x) 与曲线 y=g(x) 订交 , 且在交点处有同样的切线, 则 a= , 切线方程为.答案;x-2ey+e 2=0考点二导数的运算10.(2018 福建福安一中测试 ,6) 已知 f(x)=e -x +ex 的导函数为 f '(x), 则 f '(1)=( )A.e-B.e+C.1+D.0答案 A11.(2018 福建福州八县联考 ,11) 已知函数 f(x) 的导函数是 f '(x), 且知足 f(x)=2xf '(1)+ln , 则 f(1)=( )A.-eB.2C.-2D.e答案 B12.(2017 山西名校联考 ,3) 若函数 f(x) 的导函数的图象对于 y 轴对称 , 则 f(x) 的分析式可能为 ()A.f(x)=3cos xB.f(x)=x 3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C13.(2016 河北衡水中学二调 ,10) 若点 P 是曲线 y=x2-ln x 上随意一点 , 则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为 ( )A.1B.C.D.答案 BB 组 2016— 2018 年模拟·提高题组(满分 :55 分时间 :50 分钟 )一、选择题 ( 每题 5 分, 共 15 分 )1.(2018 福建福州八县联考 ,9) 函数 f(x)=4x 3-6x 2+a 的极大值为 6, 那么 f(a-5) 的值是()A.6B.5C.4D.3答案 C2. (2017 河南郑州、平顶山、濮阳二模,10) 设函数 f (0) (x)=sin x, 定义f (1) (x)=f'[f (0) (x)],f (2) (x)=f'[f (1) (x)], , f (n) (x)=f '[f (n-1) (x)], 则 f (1) (15 °)+f (2) (15 °)+f (3) (15 °)+ +f (217)(15 °) 的值是 ()A. B. C.0 D.1答案 A3.(2016 江西赣中南五校 2 月第一次联考 ,11) 已知函数 f n(x)=x n+1,n ∈N的图象与直线x=1 交于点 P, 若图象在点 P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 x n, 则 log 2 013 x1+log 2 013 x2+ +log 2 013 x2 012 的值为 ( )A.-1B.1-log 2 013 2 012C.-log 2 013 2 012D.1答案 A二、填空题 ( 每题 5 分, 共 10 分 )4.(2017 山西名校联考 ,16) 设函数 f(x)= 且 f'(-1)=f'(1), 则当 x>0 时 ,f(x) 的导函数 f'(x) 的极小值为.答案 25.(2017 天津红桥期中联考 ,16) 若曲线 f(x)=ax 5+ln x 存在垂直于 y 轴的切线 , 则实数 a 的取值范围是. 答案(- ∞,0)三、解答题 ( 每题 10 分, 共 30 分 )6.(2018广东惠州一调,21) 设函数 f(x)=.(1) 求曲线 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(2) 当 x≥1时 , 不等式 f(x)-≥恒建立,求a的取值范围.分析(1) 依据题意可得 ,f(e)=,f '(x)=,地地道道的达到所以 f '(e)==-,所以曲线在点(e,f(e))处的切线方程为y- =- (x-e),即x+e2y-3e=0.(2) 依据题意可得 ,f(x)--=≥0在x≥1时恒建立,令 g(x)=ln x-a(x2- 1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax,当 a≤0时 ,g'(x)>0, 所以函数 y=g(x) 在[1,+ ∞) 上单一递加 , 所以 g(x) ≥g(1)=0,所以不等式f(x)-≥建立,故a≤0切合题意;当 a>0 时 , 令 -2ax=0, 解得 x=( 舍负 ), 令=1, 解得 a= ,①当 0<a< 时 ,>1, 所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0,所以函数y=g(x) 在上单一递加,在上单一递减,g =ln -a=-ln a-+a, 令 h(a)=-ln a-+a, 则 h'(a)=-+ +1=, 易知h'(a)>0恒建立,又0<a< ,所以 h(a)<h=-ln -2+ =ln 2-<0,所以存在g<0,所以 0<a< 不切合题意 ;②当 a≥时,≤1,g'(x)<0在(1,+∞)上恒建立,所以函数y=g(x) 在[1,+ ∞) 上单一递减, 所以 g(x) ≤g(1)=0,明显 a≥不切合题意 .综上所述 ,a 的取值范围为 {a|a ≤0}.7.(2017皖南八校12 月联考 ,21) 已知函数f(x)=e x -ax2-2ax-1.(1) 当 a=1 时 , 求曲线 y=f(x) 在点 (-1,f(-1)) 处的切线方程 ;(2) 当 x>0 时 ,f(x)>0 恒建立 , 求 a 的取值范围 .地地道道的达到分析(1) 当 a=1 时 ,f(x)=e x-x2-2x-1,f(-1)=,所以切点坐标为,x所以 f '(-1)= ,f '(x)=e -2x-2,故曲线 y=f(x) 在点 (-1,f(-1)) 处的切线方程为y- = [x-(-1)], 即 y= x+ .(2) 对 f(x)=e x -ax 2-2ax-1 求导得 f '(x)=e x-2ax-2a,令 g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a(x>0), 则 g'(x)=e x -2a(x>0).x-2a>1- 2a≥0,①当 2a≤1, 即 a≤时 ,g'(x)=e所以 g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a 在(0,+ ∞) 上为增函数 ,所以 g(x)>g(0)=1- 2a≥0, 则 f(x) 在(0,+ ∞) 上为增函数 ,所以 f(x)>f(0)=1-0-0-1=0, 故 a≤时切合题意 .②当 2a>1, 即 a> 时 , 令 g'(x)=e x得 x=ln 2a>0, 当 x 变化时 ,g'(x),g(x) 的变化状况以下表 , -2a=0,x(0,lnln 2a(ln2a) 2a,+ ∞)g'(x) - 0 +g(x) 减函数极小值增函数当 x∈(0,ln 2a)时,g(x)<g(0)=1-2a<0,即f '(x)<0.所以 f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,所以 f(x)<f(0)=0,与条件矛盾,故舍去.综上 ,a 的取值范围是.8.(2017河南新乡第一次调研,20) 已知函数f(x)=e x-x2+2ax.(1) 若 a=1, 求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若 f(x) 在 R上单一递加 , 务实数 a 的取值范围 .分析(1) 当 a=1 时 ,f(x)=e x-x2+2x,f '(x)=e x-2x+2,∴f '(1)=e,f(1)=e+1,∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.(2)f '(x)=e x- 2x+2a,∵f(x)在R上单一递加,∴f '(x)≥0 在R上恒建立,地地道道的达到∴a≥x-在R上恒建立.令g(x)=x-,则 g'(x)=1-, 令 g'(x)=0,得x=ln 2,∵在 (- ∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,∴g(x) 在 (- ∞,ln 2)上单一递加, 在(ln 2,+∞)上单一递减,∴g(x) max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2 -1,∴实数 a 的取值范围为[ln 2-1,+ ∞).C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1求函数的导数的方法1.(2018河南许昌、平顶山联考,3)已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上知足xf '(x)>0恒建立,则以下不等式建立的是()A.f(-3)<f(4)<f(-5)B.f(4)<f(-3)<f(-5)C.f(-5)<f(-3)<f(4)D.f(4)<f(-5)<f(-3)答案 A2.(2017 辽宁大连期中联考,6) 已知函数 f(x)=x 2 008 ,则f ' =()A.0B.1C.2006D.2007答案 B方法 2利用导数的几何意义求曲线的切线方程3.(2018 河南天一大联考,10) 已知 f(x)是定义在R上的单一函数,知足f[f(x)-e x ]=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为()A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案 A4.(2016 辽宁实验中学分校期中,20) 已知函数 f(x)= x3-x2+bx+a(a,b ∈R), 其导函数 f '(x)的图象过原点.(1)当 a=1 时 , 求函数 f(x) 的图象在 x=3 处的切线方程 ;(2) 若存在 x<0, 使得 f '(x)=-9,求a的最大值;分析(1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由题意得 f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1).当 a=1 时 ,f(x)=x3-x 2+1,f '(x)=x(x-2),故 f(3)=1,f '(3)=3.地地道道的达到故函数 f(x)的图象在x=3 处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2) 由 f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9.当 x<0 时 ,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6, 所以 a≤ -7.当且仅当x=-3 时 ,a=-7,故a的最大值为-7.。
2019届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身 体健康，学业有成，金榜题名！
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考点1
考点2
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考点 2 导数几何意义的应用(多考向)
考向一 已知过函数图象上一点求切线方程 例2已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4. (1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程. 思考求函数的切线方程要注意什么?
(2)y'=
ln������
+
1 ������
'=(ln x)'+
1 ������
'=1������ − ���1���2.
(3)y'=
cos������ e������
'=(cos������)'e(e���������-���c)2os������(e������)'=-sin������e+������cos������.
2019年8月10日
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身 体健康，学业有成，金榜题名！
解析
答答案1案3
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知识梳理 双基自测 自测点评
1.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负 号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲 线在这点处的切线越“陡”.
P(x0,������03-4������02+5x0-4),
∵f'(x0)=3������02-8x0+5,∴切线方程为
y-(-2)=(3������02-8x0+5)(x-2), 又切线过点 P(x0,������03-4������02+5x0-4),
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1 (1)
巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，
登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语
来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．
同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处 到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来 量化BC段曲线的陡峭程度吗？
[提示] Δy 山路从 A 到 B 高度的平均变化率为 hAB＝Δx＝
直接利用定义求平均变化率，先求出表达
式，再代入数据，就可以求出相应平均变化率的值．
(1) ∵ Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ (1 ＋ Δx)2 － 12 ＝ Δx2＋2Δx，
2 Δy Δx ＋2Δx ∴Δx＝ Δx ＝Δx＋2.
Δy ①当 Δx＝2 时， ＝Δx＋2＝4； Δx Δy ②当 Δx＝1 时，Δx＝Δx＋2＝3；
fx2－fx1 (x1，x2) 变化 平均变化率为________. 度；②曲线 区间_______ x2－x1
率 Δy 简记作：Δx
割线的斜率 上变化的快慢
定义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬 瞬时 变化 率 Δy 时变化率是 lim Δx＝ Δx→0
实例
作用
①瞬时速度： 刻画函数值
Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (4)在公式Δx＝ ＝ 中， 当 x1 取定值， Δx x2－x1 Δx 取不同的数值时， 函数的平均变化率是不同的； 当 Δx 取定值， x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当 Δy 函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则Δx＝0.
10－0 1 Δy 15－10 ＝ ， 山路从 B 到 C 高度的平均变化率为 hBC＝Δx＝ 50－0 5 70－50 1 ＝4， ∴hBC>hAB， ∴山路从 B 到 C 比从 A 到 B 要陡峭的多．
高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
高中数学第3章导数及其应用3.1.1_3.1.2变化率问题、导数的概念课件新人教A版选修1_1
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
学习 目标
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
函数的变化率 定义 实例
Δs ∴ Δt ＝4a＋aΔt.
Δs 在 t＝2 s 时，瞬时速度为 lim Δt ＝4a，即 4a＝8，∴a＝2. Δt→0
解析答案
题型三 函数在某点处的导数 例3 求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数. 解 Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1) ＝3(Δx)2＋4Δx，
答案
1
2
3
4
5
3.若质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( B ) A.6 B.18 C.54 D.81
2 2 3 3 ＋ Δ t － 3 × 3 Δs 解析 因为 Δt ＝ Δt
18Δt＋3Δt ＝ ＝ 18 ＋ 3Δ t ， Δt
2
Δs 所以 lim Δt ＝18. Δt→0
函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 解 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2.
Δs Δs 因为 Δt ＝8＋2Δt， lim Δt ＝ lim (8＋2Δt)＝8， Δt→0 Δt→0
人教A版2019年高中数学选修1-1学案：第三章3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义_含答案
3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图315所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图315A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝02.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图316，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图316[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图317所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图317k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图318所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f2的大小关系．图318[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
[思路点拨]
思路一：
求Δy
―→
求ΔΔyx
―→
求 lim
Δx→0
Δy Δx
思路二： 求f x ―→ 求f
解析： 方法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16.
y′|x＝3＝ lim Δx→0
7分
lim
Δt→0
ΔΔst ＝liΔmt→0
(－1－Δt)＝－1，
8分
∴当 t＝2 时，物体的瞬时速度为－1.
(3)当 t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2. Δs＝s(2)－s(0) ＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2. v ＝ΔΔst＝22＝1. ∴在 0 到 2 之间，物体的平均速度为 1.
＝3f′(x0)＝1，
所以 f′(x0)＝13，故选 D.
【错因】 错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与 分 母 Δx 的 对 应 关 系 ． 在 导 数 的 定 义 f′(x0) ＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0中，Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中的两个自变量的 差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分 母相应的符号或 Δx 系数的一致性．
求平均变化率的步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率ΔΔyx＝fxx11－ －fx0x0.
1．在函数 y＝2x2＋1 中，分别求函数在 x＝1,2,3 附近的平均
变化率，取 Δx 的值均为14，问哪一点附近的平均变化率最大？ 解析： ΔΔyx＝2x0＋Δx2＋Δx1－2x20＋1＝4x0＋2Δx 当 x0＝1，Δx＝14时，函数在[1,1.25]上的平均变化率为 k1＝4×1＋2×14＝4.5.
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3.1.1-3.1.2 导数的概念
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．一物体的运动方程是s＝t＋1t，则在t＝2时刻的瞬时速度是( )
A.52 B.34 C．1 D．2
解析：Δs＝2＋Δt＋12＋Δt－2－12
＝Δt－Δt＋Δt
ΔsΔt＝1－1
＋Δ
t
t
＝2时的瞬时速度为
limΔt→0 ΔsΔt＝ limΔt→0 1－1＋Δt＝3
4
.
答案：B
2．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则limx→0 f＋x－fx＝( )
A．2 B．1 C.12 D.14
解析：limx→0 f＋x－fx＝f ′(1)＝1.
答案：B
3．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f ′(x0)＝0，则点P的坐标为( )
A．(1,10) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(－1,10)
解析：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx＝
x0＋Δx2＋6x0＋Δx＋1－3x20－6x0－1Δx＝3Δx＋6x0＋6，∴f ′(x0)＝ limΔx→0 Δy
Δ
x
＝ limΔx→0 (3Δx＋6x0＋
6)＝6x0＋6＝0，∴x0＝－1.把x0＝－1代入y＝3x2＋6x＋1，得y＝－2.∴P点坐标为(－1，－2)．
答案：B
4．物体自由落体的运动方程为：s(t)＝12gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝ limΔt→0 s＋Δt－sΔt＝9.8 m/s，那么
下列说法中正确的是( )
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速度．
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B．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt
)s这段时间内的速度．
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率．
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt
)s这段时间内的平均速率．
解析：由于s(t)＝12gt2，所以由导数的定义可得
即s′(1)＝ limΔt→0 s＋Δt－sΔt＝9.8 (m/s)．
所以9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率．
答案：C
5．设f(x)在x＝x0处可导，则 limΔx→0 fx0－Δx－fx0Δx等于( )
A．－f′(x0) B．f′(－x0)
C．f′(x0) D．2f′(x0)
解析： limΔx→0 fx0－Δx－fx0Δx
＝－ limΔx→0 fx0－Δx－fx0－Δx＝－f′(x0)．
答案：A
6．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面
积S的平均变化率为________．
解析：当r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为ΔSΔr＝π＋Δr2－πΔr＝π＋2π·Δr＋Δr2π－πΔr＝
2π＋πΔr.
答案：2π＋πΔr
7.国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果
如图所示．治污效果更好的企业是(其中W表示排污量)________．
解析：ΔWΔt＝Wt1－Wt2Δt，在相同的时间内，由图可知甲企
业的排污量减少的多，∴
甲企业的治污效果更好．
答案：甲企业
8．已知函数f(x)＝ax＋b在区间[1,8]上的平均变化率为3，则实数a＝________.
解析：由函数平均变化率的几何定义知3＝f－f1－8＝f－f8－1＝a＋b－a＋b8－1＝a.
答案：3
9．利用导数的定义，求函数y＝1x2＋2在点x＝1处的导数．
解析：∵Δy＝1x＋Δx2＋2－1x2＋2
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＝－2xΔx－Δx2x＋Δx2·x2
∴ΔyΔx＝－2x－Δxx＋Δx2·x2，∴y′＝ limΔx→0 ΔyΔx
＝ limΔx→0 －2x－Δxx＋Δx2·x2＝－2x3，∴y′| x＝1＝－2.
10．假设在生产8到30台机器的情况下，生产x台机器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x台的收入是
r(x)＝x3－3x2＋12x
(元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是多少元？
解析：由题意，生产并售出x台机器所获得的利润是：L (x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3
x
2
－3x，故所求的平均利润为：L＝L－L20－10＝87010＝87(元)． 解析：k1＝fx0＋Δx－fx0Δx＝x0＋Δx2－x20Δx＝2x0＋Δx，k2＝fx0－fx0－ΔxΔx＝x20－x0－Δx2Δx＝ A．6＋Δt B．6＋Δt＋9Δt ＝＋Δt2＋3]－2＋Δt 解析：h′(1)＝ limΔt→0 ΔhΔ t ＝ limΔt→0 [－＋Δ t2＋＋Δt＋10]－－4.9×12＋6.5×1＋Δt 答案：－3.3 m/s 解析：令s＝f(t)，由题意知 limΔ t→0ft＋Δt－ftΔt＝ t＋Δt2－t＋Δt＋7－t2－5t Δ ＝ limΔ t→0 (12t＋6Δt－5)＝12t－5＝7，∴t＝1. 解析：(1)如图所示，设人从C点运动到B处的路程为x m，AB为身影长度，AB的长度为y m. 即yy＋x＝1.68，所以y＝14x. 解析：设运动方程为s＝12at2.∵Δs＝12a(t0＋Δt)2－12at20＝at0Δt＋12a(Δt)2，∴ΔsΔt＝at0＋12aΔt，∴瞬时速度 ＝ limΔt→0 ΔsΔt＝at0.由题意知a＝5×105，t0＝1.6×10－3，故v＝at0＝8×102＝800(m/s)．
[B组 能力提升]
1．函数y＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关
系为( )
A．k1>k2 B．k1
2x0－Δx.因为Δx可大于零也可小于零，所以k1与k2的大小不确定．
答案：D
2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间 [3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于( )
C．3＋Δt D．9＋Δt
解析：v＝ΔsΔt
＝6Δt＋Δt2Δt＝6＋Δt，故选A.
答案：A
3．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)＝－4.9
t
2
＋6.5t＋10，则起跳后1 s的瞬时速度是________．
＝ limΔ t→0 －3.3Δt－Δt2Δt
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＝ limΔ t→0 (－3.3－4.9Δt)＝－3.3.
4．已知一物体的运动方程是s＝6t2－5t＋7，则其在t＝________时刻的速度为7.
lim
Δ t→0
＋
t
答案：1
5．路灯距地面8 m，一个身高1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯，
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式，
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．
由于CD∥BE，则ABAC＝BECD，
(2)因为84 m/min＝1.4 m/s，而x＝1.4t.所以y＝14x＝14×1.4t＝720t，t∈[0，＋∞)．
Δy＝720(10＋Δt)－720×10＝720Δt，
所以 limΔ x→0 ΔyΔt＝720.
即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.
6．子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，子弹从枪口射出时所用的时间
为t0＝1.6×10－3 s，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
v
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.