2016届高考数学(人教理)总复习课件：第8章-第8节 曲线与方程
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2016高考数学(理)一轮全程复习构想课件：9-8曲线与方程
第十八页，编辑于星期六：点 四十八分。
(2)一旦曲线与方程建立上述满足①②的一一对应关系后，两者 就可理解为同一运动规律在“形”和“数”这两个不同方面的反 映，因此我们可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线研究方程， 也就是“数”与“形”互化．
第十九页，编辑于星期六：点 四十八分。
2．直接法求轨迹方程：若曲线上的动点满足的条件是一些几 何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译成”动点的坐标 x、 y 的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程，其 一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验．
∴x1＝3x＋2，y1＝3y＋2. ∵C(x1，y1)在 y＝x2＋1 上， ∴3y＋2＝(3x＋2)2＋1，即 y＝3(x＋23)2－13. ∴重心 G 的轨迹是以(－23，－13)为顶点，开口向上，对称轴为 x＝－23的抛物线．
第三十七页，编辑于星期六：点 四十八分。
第二十九页，编辑于星期六：点 四十八分。
【师说点拨】动点 M 的轨迹符合双曲线的定义，直接利用双 曲线的标准方程，确定待定系数的值，从而进一步简化了计算．
第三十页，编辑于星期六：点 四十八分。
变式探究 2 动圆经过点 A(3,0)且与直线 l：x＝－3 相切，求 动圆圆心 M 的轨迹方程．
解析：如Байду номын сангаас，设动圆和直线 l 相切于点 N.
A．x2＋y2＝6 B.x62＋y2＝1 C．x2－y2＝6 D．y2＝x＋6
第十页，编辑于星期六：点 四十八分。
解析：P→A＝(－2－x，－y)，P→B＝(3－x，－y)，由P→A·P→B＝x2， 可得(－2－x)·(3－x)＋(－y)·(－y)＝x2，
即 y2＝x＋6. 答案：D
(2)一旦曲线与方程建立上述满足①②的一一对应关系后，两者 就可理解为同一运动规律在“形”和“数”这两个不同方面的反 映，因此我们可以通过方程来研究曲线，也可以利用曲线研究方程， 也就是“数”与“形”互化．
第十九页，编辑于星期六：点 四十八分。
2．直接法求轨迹方程：若曲线上的动点满足的条件是一些几 何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译成”动点的坐标 x、 y 的方程，经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹的方程，其 一般步骤为：建系——设点——列式——代换——化简——检验．
∴x1＝3x＋2，y1＝3y＋2. ∵C(x1，y1)在 y＝x2＋1 上， ∴3y＋2＝(3x＋2)2＋1，即 y＝3(x＋23)2－13. ∴重心 G 的轨迹是以(－23，－13)为顶点，开口向上，对称轴为 x＝－23的抛物线．
第三十七页，编辑于星期六：点 四十八分。
第二十九页，编辑于星期六：点 四十八分。
【师说点拨】动点 M 的轨迹符合双曲线的定义，直接利用双 曲线的标准方程，确定待定系数的值，从而进一步简化了计算．
第三十页，编辑于星期六：点 四十八分。
变式探究 2 动圆经过点 A(3,0)且与直线 l：x＝－3 相切，求 动圆圆心 M 的轨迹方程．
解析：如Байду номын сангаас，设动圆和直线 l 相切于点 N.
A．x2＋y2＝6 B.x62＋y2＝1 C．x2－y2＝6 D．y2＝x＋6
第十页，编辑于星期六：点 四十八分。
解析：P→A＝(－2－x，－y)，P→B＝(3－x，－y)，由P→A·P→B＝x2， 可得(－2－x)·(3－x)＋(－y)·(－y)＝x2，
即 y2＝x＋6. 答案：D
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.8曲线与方程课件理
第十五页，共40页。
3
考点疑难突破
第十六页，共40页。
直接(zhíjiē)法求轨迹方程 [典 例 导 引]
已知点 P(2,2)，圆 C：x2＋y2－8y＝0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点．
(1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
第二十二页，共40页。
2．设 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且M→N＝2M→P，P→M⊥P→F，当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．
解：设 M(x′，0)，P(0，y′)，N(x，y)， 由M→N＝2M→P，得(x－x′，y)＝2(－x′，y′)，
所以xy－ ＝x2′y′＝，－2x′，
必修(bìxiū)部分
第八章 解析几何(jiě xī jǐhé)
第八节 曲线(qūxiàn)与方程
第一页，共40页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共40页。
1
考情分析
第三页，共40页。
考点分布 考纲要求 考点频率 命题趋势
第二十八页，共40页。
定义法求轨迹方程 (1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定 义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程； (2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛 物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制．
[典 例 导 引]
高三数学一轮复习 第八章 第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版
【解析】 知， 由已知： |MF| ＝ |MB| ，根据抛物线的定义
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
【答案】 D
4．(2011· 北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－ 1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨 迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； 1 2 ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于 a . 2 其中，所有正确结论的序号是________．
3n
利用第(1)问的
结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键． 2．如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直 线有关的几何量的等量关迹方 程的方法称为直接法． 3．求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增 解，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
【答案】 ②③
如图8－8－1所示，A(m， B(n，－
3 m)和
3 n)两点分别在射线OS，OT上
1 → → 移动，且OA·OB＝－ ，O为坐标原点， 2 → ＝OA → ＋OB →. 动点P满足OP (1)求mn的值； (2)求动点P的轨迹方程，并说明它表 示什么曲线？
→ ·OB → ＝(m， 3m)· 【尝试解答】 (1)由OA (n，－ 3n) ＝－2mn. 1 1 得－2mn＝－ ，∴mn＝ . 2 4 → ＝OA → ＋OB →， (2)设P(x，y)(x＞0)，由OP 得(x，y)＝(m， 3 m)＋(n，－ 3 n)＝(m＋n， 3 m－ 3n)．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为 方程组 F2(x，y)＝0，则C1、C2的交点坐标即为__________
F1（x，y）＝0 F2（x，y）＝0 的实数解． _________________
点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
【答案】 D
4．(2011· 北京高考)曲线C是平面内与两个定点F1(－ 1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨 迹．给出下列三个结论： ①曲线C过坐标原点； ②曲线C关于坐标原点对称； 1 2 ③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于 a . 2 其中，所有正确结论的序号是________．
3n
利用第(1)问的
结论消去m，n得到轨迹方程是解题的关键． 2．如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直 线有关的几何量的等量关迹方 程的方法称为直接法． 3．求点的轨迹时，要明确题设的隐含条件，以免增 解，如本例中动点P的轨迹只是双曲线的右支．
【答案】 ②③
如图8－8－1所示，A(m， B(n，－
3 m)和
3 n)两点分别在射线OS，OT上
1 → → 移动，且OA·OB＝－ ，O为坐标原点， 2 → ＝OA → ＋OB →. 动点P满足OP (1)求mn的值； (2)求动点P的轨迹方程，并说明它表 示什么曲线？
→ ·OB → ＝(m， 3m)· 【尝试解答】 (1)由OA (n，－ 3n) ＝－2mn. 1 1 得－2mn＝－ ，∴mn＝ . 2 4 → ＝OA → ＋OB →， (2)设P(x，y)(x＞0)，由OP 得(x，y)＝(m， 3 m)＋(n，－ 3 n)＝(m＋n， 3 m－ 3n)．
3．曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为 方程组 F2(x，y)＝0，则C1、C2的交点坐标即为__________
F1（x，y）＝0 F2（x，y）＝0 的实数解． _________________
新高考数学人教版一轮课件：第8章 第8讲 曲线与方程
第八章 解析几何
高考一轮总复习 • 数学（新高考）
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[引申1]本例(3)中，若动圆M与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心 M的轨迹方程为___x42_－__y5_2_＝__1_(x_≤__－__2_)_____．
[引申2]本例(3)中，若动圆M与圆C1外切，与圆C2内切，则动圆圆心 M的轨迹方程为__x4_2－__y_52_＝__1_(x_≥__2_)______．
M 的轨迹是
(D )
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
[解析] 由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以
点F为焦点，直线l为准线的抛物线．
第八章 解析几何
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3．(选修2－1P37T1改编)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴 上 ， 且 满 足 ∠ APO ＝ ∠ BPO ， 其 中 O 为 原 点 ， 则 点 P 的 轨 迹 方 程 是 _x_2＋__y_2_－__4_x_＝__0_(y_≠__0_)________．
[引申3]本例(3)中，若动圆M与圆C1、圆C2都内切，则动圆圆心M的 轨迹方程为_x_2_－__y8_2＝__1_(_x_≥__1_)______．
[引申4]本例3中，若动圆M与圆C1、圆C2中一个内切一个外切，则 动圆圆心M的轨迹方程为__x4_2_－__y52_＝__1____．
第八章 解析几何
题组三 走向高考 4．(多选题)(2020·山东)已知曲线 C：mx2＋ny2＝1． A．若 m＞n＞0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B．若 m＝n＞0，则 C 是圆，其半径为 n
C．若 mn＜0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 y＝± D．若 m＝0，n＞0，则 C 是两条直线
高考数学一轮复习 第八节 曲线与方程课件 理 新人教A版
第十一页，共34页。
[典例] (2013·新课标Ⅰ)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N： (x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.
第十六页，共34页。
由双曲线定义知，P 点轨迹是以 M、N 为焦点的双曲 线的右支．
∵a＝ 2，c＝4， ∴b2＝c2－a2＝14. ∴方程为x22－1y42 ＝1x≥ 2.
第十七页，共34页。
[类题通法] 1．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接 写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程． 2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程 是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得 解．
第十八页，共34页。
[针对(zhēnduì)训练]
已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A，
B 两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是
()
A．y2－4x82 ＝1(y≤－1) C．x2－4y82 ＝1(x≤－1)
B．y2－4x82 ＝1(y≥1) D．x2－4y82 ＝1(x≥1)
第十五页，共34页。
本例中圆 M，N 方程分别变为“圆 M：(x＋4)2＋y2＝2； 圆 N：(x－4)2＋y2＝2”其余条件不变，求 C 的方程. 解：设动圆 P 的半径为 r， ∴|PM|＝r＋ 2，|PN|＝r－ 2. ∴|PM|－|PN|＝2 2，又 M(－4,0)，N(4,0)， ∴|MN|＝8. ∴2 2＜|MN|.
[典例] (2013·新课标Ⅰ)已知圆 M：(x＋1)2＋y2＝1，圆 N： (x－1)2＋y2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.
(1)求 C 的方程； (2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求|AB|.
第十六页，共34页。
由双曲线定义知，P 点轨迹是以 M、N 为焦点的双曲 线的右支．
∵a＝ 2，c＝4， ∴b2＝c2－a2＝14. ∴方程为x22－1y42 ＝1x≥ 2.
第十七页，共34页。
[类题通法] 1．运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接 写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程． 2．定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程 是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得 解．
第十八页，共34页。
[针对(zhēnduì)训练]
已知 A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以 C 为一个焦点的椭圆经过 A，
B 两点，则椭圆的另一个焦点 F 的轨迹方程是
()
A．y2－4x82 ＝1(y≤－1) C．x2－4y82 ＝1(x≤－1)
B．y2－4x82 ＝1(y≥1) D．x2－4y82 ＝1(x≥1)
第十五页，共34页。
本例中圆 M，N 方程分别变为“圆 M：(x＋4)2＋y2＝2； 圆 N：(x－4)2＋y2＝2”其余条件不变，求 C 的方程. 解：设动圆 P 的半径为 r， ∴|PM|＝r＋ 2，|PN|＝r－ 2. ∴|PM|－|PN|＝2 2，又 M(－4,0)，N(4,0)， ∴|MN|＝8. ∴2 2＜|MN|.
2016届高三数学一轮总复习课件：第八章 平面解析几何8-9理、-8文-2
n＝0
时，S
取得最大值，最大值为83
6 .
∴四边形
ACBD
面积的最大值为83
6 .
第十三页，编辑于星期五：二十点 十四分。
【规律方法】 解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法 有两种：几何法和代数法．
(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑 利用图形性质来解决，这就是几何法；
(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首 先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．
第八页，编辑于星期五：二十点 十四分。
高频考点
考点一
最值问题
【例 1】 平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M：ax22＋yb22＝1(a>b>0)
右焦点的直线 x＋y－ 3＝0 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，
且 OP 的斜率为12.
(1)求 M 的方程；
(2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB，
第十页，编辑于星期五：二十点 十四分。
x＋y－ 3＝0， (2)由x62＋y32＝1，
解得x＝4 3 3， y＝－ 33，
因此|AB|＝43
6 .
由题意可设直线 CD 的方程为
y＝x＋n－5
3
3 <n<
3，
或 xy＝ ＝0，3.
第十一页，编辑于星期五：二十点 十四分。
设 C(x3，y3)，D(x4，y4)，
第十五页，编辑于星期五：二十点 十四分。
解 (1)设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，
y＝kx＋1， 由y22＋x2＝1，
可得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝k－2＋2k2，x1x2＝－k2＋1 2. 可得 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k2＋4 2.
高考数学 第八章第八节曲线与方程课件 理 新人教A版
m)x2＋y2＝m2－1表示的曲线是
()
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线
D．焦点在y轴上的双曲线
解析：原方程可化为m2y－2 1－mx＋2 1＝1， ∵m>1，∴m2－1>0，m＋1>0. ∴表示焦点在y轴上的双曲线．
答案： D
2．已知点A(－2,0)，B(3,0)，若动点P满足 PA·PB＝2，则动点P的
[自主解答] (1)设M(x，y)，由已知得B(x，－3)，A(0，－1)． 所以 MA＝(－x，－1－y)， MB＝(0，－3－y)， AB ＝(x，－2)． 再由题意可知( MA＋ MB)·AB＝0， 即(－x，－4－2y)·(x，－2)＝0 所以曲线C的方程为y＝14x2－2.
(2)设P(x0，y0)为曲线C：y＝14x2－2上一点， 因为y ′＝12x，所以l的斜率为12x0. 因此直线l的方程为y－y0＝12x0(x－x0)， 即x0x－2y＋2y0－x20＝0.
解：(1)设N(x，y)，P(0，b)， ∵ PM ＋ PN ＝0，∴M(－x,2b－y)． ∵M在x轴上，∴2b－y＝0，∴y＝2b. ① 又∵ PF ·PM ＝0，∴PF⊥PM. ∴y－x b·－ba＝－1.∴x＝ba2. ② 由①②可得y2＝4ax(也可用作直线l′：x＝－a，运用抛 物线的定义得出)．
()
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点 (2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线． 答案： D
4．动点P(x，y)到定点A(3,4)的距离比P到x轴的距离多 一个单位长度，则动点P的轨迹方程为________．
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：8-9 曲线与方程
第9页
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数学
考点一 命题点
直接法求轨迹
动点满足的等式关系
1．曲线与方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个 二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 方程f(x，y)＝0的解 ． (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 ． 那么这个方 程叫做曲线的方程 ，这条曲线叫做方程的曲线．
第10页
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数学
2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对 (x，y) 表示曲线上任 意一点 M 的坐标． (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}． (3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0 ． (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式． (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
数学
把脉高考 理清考情
考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第1页
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数学
第2页
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数学
第 9 课时
曲线与方程
第3页
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数学
考纲 点击
1.以曲线和方程的关系为背景， 考查曲线间的关系和求参 数问题. 2.以常见的曲线为背景，求动点的轨迹和方程.
第4页
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数学
(2016· 高考全国乙卷)设圆 x2＋y2＋2x－15＝0 的圆心为 A， 直 线 l 过点 B(1，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程； (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积 的取值范围．
高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8讲曲线与方程课件理
基础知识过关
求曲线方程的基本步骤
1．概念辨析 (1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件．( √ ) (2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝y2.( × ) (4)方程 y＝ x与 x＝y2 表示同一曲线．( × )
设 F(1,0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且M→N＝2M→P，P→M⊥P→F，当 点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程．
解 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵P→M⊥P→F，P→M＝(x0，－y0)，P→F＝ (1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y20＝0.
解析
(2)方程 x＝ 1－4y2所表示的曲线是( )
A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分
C．圆的一部分
D．直线的一部分
答案 B
答案
解析 x＝ 1－4y2两边平方，可变为 x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为 椭圆的一部分．
解析
(3)已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1,2)，Q 是线 段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的轨迹方程是( )
设两切线的斜率分别为 k1，k2， 于是有 k1k2＝－1，即yx2020－－94＝－1， 即 x20＋y20＝13(x0≠±3)．
答案
若两切线中有一条斜率不存在， 则易得xy00＝ ＝32， 或xy00＝ ＝2－3， 或xy00＝ ＝3－，2 或xy00＝ ＝－ －32， ， 经检验知均满足 x20＋y20＝13. 因此，动点 P(x0，y0)的轨迹方程是 x2＋y2＝13.
2016高考总复习课件(人教A版)高中数学_第八章_平面解析几何_第6讲_双曲线
栏目 导引
第八章 平面解析几何
1．辨明三个易误点 (1) 双曲线的定义中易忽视 2a ＜ |F1F2| 这一条件．若 2a ＝ |F1F2|， 则轨迹是以 F1， F2 为端点的两条射线， 若 2a＞|F1F2|， 则轨迹不存在． (2)区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中 a，b，c 的关系， 在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2. (3)双曲线的离心率 e∈(1，＋∞),而椭圆的离心率 e∈(0，1)．
栏目 导引
第八章 平面解析几何
考点一 考点二 考点三 考点四
双曲线的定义 求双曲线的标准方程 双曲线的几何性质(高频考点) 与双曲线有关的综合问题
栏目 导引
第八章 平面解析几何
考点一
双曲线的定义
(1)(2014· 高考大纲全国卷)已知双曲线 C 的离心率 为 2，焦点为 F1、F2 ，点 A 在 C 上．若|F1A|＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝( A ) 1 1 A. B. 4 3 2 2 C. D. 4 3 x2 y2 (2)P 是双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1，F2 a b 分别为左、右焦点，且焦距为 2c，则△PF1F2 的内切圆圆 心 M 的横坐标是( A ) A．a B．b C．c D．a＋b－c
栏目 导引
a、b、c的 关系
第八章 平面解析几何
[做一做] x2 y2 1． (2014· 高考课标全国卷Ⅰ)已知双曲线 2－ ＝1(a>0)的离 a 3 心率为 2，则 a＝( D ) A．2 5 C. 2 6 B. 2 D．1
栏目 导引
第八章 平面解析几何
2．已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，离心 3 率等于 ，则 C 的方程是( B ) 2 x2 y2 A. － ＝1 4 5 x2 y2 C. － ＝1 2 5 x2 y2 B. － ＝1 4 5 x2 y2 D. － ＝1 2 5
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【解析】 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中垂线为 y 轴，
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建立坐标系， 设 M(x，y)，A(－a,0)，B(a,0)，则 N(x,0)． → 2＝λAN →· →， 因为MN NB 所以 y2＝λ(x＋a)(a－x)， 即 λx2＋y2＝λa2， 当 λ＝1 时，是圆的轨迹方程； 当 λ＞0 且 λ≠1 时，是椭圆的轨迹方程；
【思路点拨】 (1)由 kPM· kPN＝λ 直接求轨迹 C 的方程； (2)结合圆锥曲线的各个标准形式对 λ 分情况讨论．
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【解】
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(1)由题意可知，直线 PM 与 PN 的斜率均存在
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[基础真题体验]
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考查角度[ 求轨迹方程] 1．(2011· 课标全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 → ∥OA →， →· → A(0， －1)， B 点在直线 y＝－3 上， M 点满足MB MA AB →· → ，M 点的轨迹为曲线 C. ＝MB BA (1)求 C 的方程； (2)P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值．
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当 λ＜0 时，是双曲线的轨迹方程； 当 λ＝0 时，是直线的轨迹方程． 综上，方程不表示抛物线的方程．
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③当 λ＝－1 时，轨迹 C 为以原点为圆心，1 为半径的圆 除去点(－1,0)，(1,0)． ④当 λ＜－1 时，轨迹 C 为中心在原点，焦点在 y 轴上的 椭圆(除去短轴的两个端点)．
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1 2 (2)设 P(x0，y0)为曲线 C：y＝4x －2 上一点，因为 y′＝ 1 1 2x，所以 l 的斜率为2x0. 1 因此直线 l 的方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，即 x0x－2y＋2y0 －x2 0＝0. |2y0－x2 1 2 0| 则 O 点到 l 的距离 d＝ 2 ，又 y0＝4x0－2，所以 x0＋4 1 2 4 2x0＋4 1 x2＋4＋ d＝ 2 ＝2 0 ≥2. 2 x0＋4 x0＋4 当 x0＝0 时取等号，所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.
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2．(2013· 课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2， 在 y 轴上截得线段长为 2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程；
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＝r－1； 由动圆 M 与圆 O2 外切， 有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3.
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∴点 M 的轨迹是以 O1，O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲 线的左支． 3 7 2 2 2 ∴a＝2，c＝2，∴b ＝c －a ＝4. ∴点 M 的轨迹方程为 3 4x2 4y2 x≤－ . － ＝ 1 2 9 7
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第八节
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曲线与方程
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考纲要求：了解方程的曲线和曲线的方程的对应关系．
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【解】
(1)设 M(x，y)，由已知得 B(x，－3)．又 A(0，
→ ＝(－x，－1－y)，MB → ＝(0，－3－y)，AB → ＝(x， －1)，所以MA －2)． → ＋MB → )· → ＝0，即(－x，－4－2y)· 再由题意可知(MA AB ( x， －2)＝0， 1 2 所以曲线 C 的方程为 y＝4x －2.
【解】
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(1) 根据题意，知 |PA| ＋ |PB| ＋ |AB| ＝ 10 ，即 |PA|
＋|PB|＝6＞4＝|AB|，故 P 点轨迹是椭圆，且 2a＝6,2c＝4， 即 a＝3，c＝2，b＝ 5.Байду номын сангаасx2 y2 因此其轨迹方程为 9 ＋ 5 ＝1(y≠0)．
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此时，圆 P 的半径 r＝ 3.
x0－y0＝－1， 由 2 2 y0－x0＝1 x0＝0， 得 y0＝1，
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此时， 圆 P 的半径 r＝ 3.
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故圆 P 的方程为 x2＋(y＋1)2＝3 或 x2＋(y－1)2＝3.
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图 881
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(1)△PAB 的周长为 10； (2)圆 P 与圆 A 外切，且过 B 点(P 为动圆圆心)； (3)圆 P 与圆 A 外切， 且与直线 x＝1 相切(P 为动圆圆心)．
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(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的 圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对 其中的变量 x 或 y 进行限制．
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[对点练习] 如图 881 所示，已知圆 A：(x＋2)2＋y2＝1 与点 B(2,0)， 分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程．
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(2)设圆 P 的半径为 r，则|PA|＝r＋1，|PB|＝r，
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因此|PA|－|PB|＝1. 由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且 2a 1 15 ＝1,2c＝4，即 a＝2，c＝2，b＝ 2 ， 4 2 1 因此其轨迹方程为 4x －15y ＝1x≥2.
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[ 对点练习] 已知 A，B 为平面内两定点，过该平面内动点 M 作直线 → 2＝λAN →· → ，其中 λ 为常数，则动 AB 的垂线，垂足为 N.若MN NB 点 M 的轨迹不可能是( A．圆 B．椭圆 ) C．抛物线 D．双曲线
|x0－y0|＝1， 从而得 2 2 y0－x0＝1.
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x0－y0＝1， 由 2 2 y0－x0＝1
x0＝0， 得 y0＝－1.
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直接法求曲线方程的关键点和注意点： (1)关键点：直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条 件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常 将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步 骤，但最后的证明可以省略． (2)注意点：求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹 性和完备性．
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[命题规律预测] 命题 从近几年的高考试题看，轨迹方程的求法以及利 用曲线方程研究曲线的几何性质是高考热点．题 规律 型以解答题为主，难度中等偏上． 考向 预测 预测 2016 年高考仍将以求曲线的轨迹方程为主要 考查点，体现圆与圆锥曲线间的内在联系，考查 学生的运算能力和逻辑推理能力.