集合与函数概念复习知识点.ppt
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新课标A版数学必修①·人教A 版第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性【学习目标】1.理解单调性的概念.2.会判断函数在某个区间上的单调性.3.会求函数的单调区间.【核心提示】重点：函数单调性的定义.难点：函数单调性的判断.【学法指导】1.先通过对已熟悉的数图象的分析直观感知升降变化，再进一步通过对应值表量化这种变化，进而抽象出单调性的概念.2．结合例题了解由图象确定单调区间及判断数在对应区间上单调性的方法.3.易错点：讨论单调区间时，忽略定义域.基础学习探究1 函数的单调性1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：（1）随x的增大，y的值有什么变化？（2）能否看出函数的最大、最小值？（3）函数图象是否具有某种对称性？2.画出下列函数的图象,观察其变化规律：（1）f(x) = x（2）f(x) = x2①从左至右图象上升还是下降______?②在区间__________上，随着x的增大，f(x)的值随着____①在区间__________上，f(x)的值随着x的增大而______②在区间__________上，f(x)的值随着x的增大而______归纳得出：函数y =x 2在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）上的任意的x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有x 12＜x 22.即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数.3.y=x 2的图象在y 轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？4.从上面的观察分析，能得出什么结论？【归纳】从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性.1.增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.2.减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.1. 函数的单调性增函数示意图减函数示意图注意：①函数的单调性是在定义域I内的某个区间D上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)(或(x1)>f(x2)).3．函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.题型1 求函数的单调区间例1如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2）,[-2,1), [1，3）,[3,5].其中y=f(x)在[-5,-2），[1，3）上是减函数，在区间[一2，1)，[3，5]上是增函数.练习：①课本P32 练习:1—3.2.设f(x)在R 上是减函数,则()A.f(1)>f(2)B.f(-1)<f(a)C.f(0)<f(a)D.f(1)<f(2)3.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是()A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]C.[-3,1]D.[-3,4]【解析】选A.【解析】选C.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是()A.y=−1x B.y=x C.y=x 2 D.y=1-x【解析】选D.4.已知(a,b)是函数y=f(x)的单调增区间,且x1,x 2∈(a,b),若x1<x2,则有()A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)>f(x2) D.以上都正确5.函数f(x)=x2+2x+1的单调递减区间是________.【解析】选A.【解析】(-∞,-1).题型2 函数单调性的证明例2 物理学中的玻意耳定律P= kV （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强P 将增大. 试用函数的单调性证明之.4.判断（或证明）函数单调性的步骤①取值：设x1，x2∈D，且x1<x2.②作差、变形：作差f(x1)－f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.③定号：确定差f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论.④判断：根据定义作出结论.练习：1. 课本P 32 4.2. 证明函数f(x)= ,x∈(-∞,0)是减函数.1x2.证明函数f(x)= ,x∈(-∞,0)是减函数.【证明】设x 1,x 2∈(-∞,0)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)= 因为x 1,x 2∈(-∞,0),所以x 1·x 2>0,又x 1<x 2,所以x 2-x 1>0,则>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),故f(x)= 在(-∞,0)上是减函数.1x211212x x 11,x x x x --=⋅2112x x x x -⋅1x【规律总结】用定义证明函数单调性的变形技巧(1)因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解.(2)通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解.(3)分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.-11021x y例3 作出函数f(x)=-x 2+2|x|+1的图象并指出它的的单调区间及增减性.解：函数在区间(-∞,-1]和(0,1]上是增函数.函数在区间(-1,0]和(1,-∞)上是减函数.作业：课本P 39习题1—2y =f(x)y =−f(x)y =kf(x)y =1f(x)y =f(x)(f(x)>0)y =f x +k y =[f x ]2，ቊk >0，f(x)k <0，f(x)，ቊf(x)>0，f(x)f(x)<0，f(x)y =f[g x ]y =f x +g(x)同增为增，同减为减.增增、减减为增，增减、减增为减.常见函数单调性练：作出函数f(x)=ቊ−x −3,x ≤1(x −2)2+3,x >1的图象，并指出函数的单调区间.由图可知,函数的单调减区间为(-∞，1]和(1，2)；单调增区间为[2，+∞).解:f(x)=ቊ−x −3,x ≤1(x −2)2+3,x >1的图象如图所示：题型2 函数单调性的应用 1. 已知函数f(x)=ax 2-2x+2.(1)若f(x)的单调减区间为(-∞,4),求a 的取值范围.(2)若f(x)在区间(-∞,4)上为减函数,求a 的取值范围.解:(1)由题意知a 0,1a .144,a⎧⎪=⎨=⎪⎩＞得(2)由f(x)在区间(-∞,4)上为减函数,说明(-∞,4)只是函数f(x)的一个减区间.当a=0时,f(x)=-2x+2在(-∞,4)上单调递减,故成立.当a≠0时,由得0<a≤ .综上可知0≤a≤ .a 0,14,a ⎧⎪⎨≥⎪⎩＞14142.已知函数f(x)=cx−1x+1(c 为常数),且f(1)=0.(1)求c 的值.(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调递增函数.解:(1)因为f(1)= =0,所以c=1,即c 的值为1.c 12-x 121x 1x 1-=-++(1)(1)x 1x 1---++()()122112x x 112[]20x 1x 1x 1x 1--=⋅++++＜，1222(2)f(x)= ,在[0,2]单调递增,证明如下:任取x 1,x 2∈[0,2],且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)= = 即f(x 1)<f(x 2),所以,f(x)在[0,2]上单调递增.【解析】设-1<x 1<x 2<1,则f(x 1)-f(x 2)= 因为-1<x 1<x 2<1,所以x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0, (x 12-1)(x 22-1)＞0,又a>0,所以f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以f(x)在(-1,1)上为减函数.22x 1x 1---()()()()2112x 1x 1x 1x 1----1212ax ax ()()2212121222221212a x x x x 1ax x ax ax x ax -+--+==，4.讨论函数f(x )=ax x 2−1(a >0)在(-1,1)上的单调性.(2)函数在(0，2)上单调递减，证明如下：任取0<x 1<x 2<2，则f(x 1)-f(x 2)= 因为0<x 1<x 2<2，所以0<x 1x 2<4，所以x 1x 2-4<0，x 1-x 2<0，121244x x x x +--()()()122112112244x x x x x x (1)x x x x =-+-=--()121244x x ()x x =-+-()121212x x 4x x x x -=-解:(1)把(1,5)代入函数f(x)得f(1)=1+m =5,解得m =4.5.已知函数f(x )=x +m x ,且此函数图象过点(1,5).(1)求实数m 的值.(2)判断函数f(x )在(0,2)上的单调性?并用定义证明你的结论.【规律总结】函数单调性应用的两个关注点(1)单调性的定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.课堂小结1.知识归纳:●判断（或证明）函数单调性的步骤。
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3．三个防范
①认清元素的意义，防范数集与点集混淆、函数的 定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等。
②注意防范：集合的基本运算中端点值的取舍导致 增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条 件导致错解。
③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防 止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解.
A中任意一个元素均 为B中的元素,且B中 至少有一个元素不是 A中的元素
符号语言 A⊆B或B⊇A
A B或B A
相等 空集
集合A与集合B中的 所有元素_相__同__
A_⊆_B___且_B_⊆__A_⇔A=B
空集是_任__何__集__合__的 子集,是__任__何__非__空__集__合_ 的真子集
∅⊆A ∅ B(B≠∅)
(3)常见集合的符号：
自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
N __
_N_*_或__N_+
Z __
Q __
R __
列举法 描述法 图示法 (4)集合的表示方法:①_______；②_______；③_______.
2.集合间的基本关系
表示 关系
子集
真子集
文字语言
A中任意一个元 素均为B中的元素
一.知识点回顾
1.集合的含义与表示方法
(1)集合的含义： ①含义：研究对象叫做_元__素__，一些_元__素__组成的总体叫做集合. ②元素的性质：_确__定__性__、_无__序__性__、_互__异__性__.
(2)元素与集合的关系： _属__于_____不__属__于__ 分__别___记__为__∈__、____∉______
3.集合的基本运算
基本运算
并集
符号 表示
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其表达式为
o
(,0) t
2
2E t,
U(t)
2E (t
0,
),
t [0, ] 2
t ( ,] 2
t (,)
例2
设f
(
x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
解
f
(
x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(
x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 2
3 x 2 2 x 1
逻辑命题
如果命题A成立，可推出命题B正确， 则称A为B的充分条件，或称B为A的必 要条件，记为 A B.
若 A B且 B A，则称A(B)是B(A)
的充分必要条件，或称A与B等价，记作
A B。
与某命题A相反的命题，称为A的否定，记
作 A 。 假定对于一切的 x M（表示x属于M）有某
性质 (x) 成立，简记为 x M : (x) 。
故 D f :[3,1]
五、函数的特性
1．函数的有界性:
如何给出无界 的定义？
若X D, M 0, x X , 有 f ( x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2．函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
• 若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个 下界.
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一般地，元素的三个特性是指 确定性 、 互异、性 ．无序性
答案
知识点四 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 集合的概念 例1 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数； 解 对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能 构成集合； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解； 解 能构成集合；
解析答案
(2)下列各组对象可以组成集合的是( B ) A.数学必修1课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数 解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合； B能构成集合； C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确 定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； D中没有明确的标准，所以不能构成集合.
1 23 45
答案
3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( C )
A.1
B.2 C.3 D.4
1 23 45
答案
4.下列结论不正确的是( C )
A.0∈N
B. 2∉Q
C.0∉Q
1 23 45
D.－1∈Z
答案
1 23 45
5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，个子同学； 解 “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地 判断，因此不能构成一个集合； (4) 3的近似值的全体． 解 “ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如
“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．