18二次型的分类
高等代数教案
全套高等代数教案第一章：高等代数概述1.1 高等代数的定义与意义理解高等代数的基本概念了解高等代数在数学及其它领域中的应用1.2 基本术语和符号学习常见的代数运算符掌握基本的代数表达式1.3 基本定理和性质学习线性方程组的解的存在性定理理解线性空间的基本性质第二章：矩阵和行列式2.1 矩阵的基本概念理解矩阵的定义和矩阵元素的意义学习矩阵的运算规则2.2 行列式的定义和性质理解行列式的概念掌握行列式的计算方法2.3 矩阵和行列式的应用学习矩阵在几何中的应用了解矩阵在概率论和统计中的应用第三章：线性方程组3.1 高斯消元法学习高斯消元法的原理和步骤掌握高斯消元法的应用3.2 矩阵的秩理解矩阵秩的概念学习矩阵秩的计算方法3.3 线性方程组的解的结构理解线性方程组解的存在性定理学习线性方程组解的方法第四章：特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义理解特征值和特征向量的概念学习特征值和特征向量的计算方法4.2 矩阵的对角化理解矩阵对角化的概念掌握矩阵对角化的方法4.3 特征值和特征向量的应用学习特征值和特征向量在几何中的应用了解特征值和特征向量在物理中的应用第五章：向量空间和线性变换5.1 向量空间的基本概念理解向量空间和子空间的概念学习向量空间的基和维数5.2 线性变换的基本概念理解线性变换的定义和性质学习线性变换的矩阵表示5.3 线性变换的应用学习线性变换在几何中的应用了解线性变换在信号处理中的应用第六章：特征多项式和最小多项式6.1 特征多项式的定义和性质理解特征多项式的概念学习特征多项式的计算方法6.2 最小多项式的定义和性质理解最小多项式的概念掌握最小多项式的计算方法6.3 特征多项式和最小多项式的应用学习特征多项式和最小多项式在矩阵对角化中的应用了解特征多项式和最小多项式在多项式环中的应用第七章：二次型7.1 二次型的定义和基本性质理解二次型的概念学习二次型的标准形和规范形7.2 惯性定理和二次型的分类理解惯性定理的概念学习二次型的分类方法7.3 二次型的应用学习二次型在几何中的应用了解二次型在优化问题中的应用第八章：线性微分方程组8.1 线性微分方程组的定义和性质理解线性微分方程组的概念学习线性微分方程组的解的结构8.2 常系数线性微分方程组的解法学习常系数线性微分方程组的解法掌握常系数线性微分方程组的通解8.3 线性微分方程组的应用学习线性微分方程组在物理学中的应用了解线性微分方程组在经济学中的应用第九章：特征值问题的数值解法9.1 特征值问题的数值解法概述了解特征值问题的数值解法的概念学习特征值问题的数值解法的方法9.2 幂法和反幂法学习幂法和反幂法的原理和步骤掌握幂法和反幂法的应用9.3 稀疏矩阵和迭代法理解稀疏矩阵的概念学习迭代法的原理和步骤第十章：高等代数的进一步研究10.1 向量丛和纤维丛理解向量丛和纤维丛的概念学习向量丛和纤维丛的分类方法10.2 群表示论的基本概念理解群表示论的概念学习群表示论的基本性质10.3 高等代数的其它研究领域了解高等代数在数学物理方程中的应用学习高等代数在和机器学习中的应用重点和难点解析重点环节一：矩阵的秩秩的概念是高等代数中的重要概念，理解秩的计算方法和秩的性质对于后续学习线性变换、矩阵对角化等高级内容至关重要。
二次曲线方程的化简与分类
二次曲线方程是指以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线。
它的一般模式是，形式为$ax^2+bx+c=0$。
这里$a,b,c$是实数或复数，且$a≠0$。
一般而言，根据$ax^2+bx+c=0$中存在二次项次级导数存在不变加（减）点，这样的曲线叫做二次曲线。
根据方程的性质，可以将二次曲线分为以下几类：（1）抛物线：当$a>0$时，$ax^2+bx+c=0$为一抛物线，其两根为$x=-\frac{b}{2a}±\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$，抛物线两端形状分别为拱顶和顶点，且$x_1<x_2$；（2）拉普拉斯曲线：当$a<0$时，$ax^2+bx+c=0$为一拉普拉斯曲线，其根绝无，拉普拉斯曲线两端形状分别为顶点和拱底，拉普拉斯曲线不具有实根；（3）直线：当$a=0$时，$bx+c=0$成立，这是一条直线，其根为$x=-\frac{c}{b}$，直线有一定的斜率；（4）静止：当$a,b,c$均为0时，$ax^2+bx+c=0$成立，这是一条不动线，一般由于不符合实际需求，所以不会出现。
二次曲线方程的化简仅到这四类，不能太具体。
而根据方程$ax^2+bx+c=0$的模式，可以将方程化简为$y=ax^2+bx+c$，并通过幂级数法作变换，得出其他分类，如可采用二次型$y=a(x-h)^2+k$，或一般型$y=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$，或极坐标$(r,\theta )=acos2\theta+bsin2\theta +c$。
总而言之，二次曲线方程是以二次项和常数项的多项式形式构成的曲线，可分为抛物线、拉普拉斯曲线、直线和静止；而方程的化简还可采用二次型、一般型和极坐标等方式。
实二次型的合同标准形与正交标准形
正定方根 S使得A S m ?
③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？
④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？
ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２）
设 A R为n可n逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交
S
矩阵 , 使得
.
U
A US
3） 1 y12 2 y22 L r yr2 2byn 0（当 r r% 2 ）
3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 ① 运算性质 ② 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值
③ 与正交标准形相关的矩阵分解
i) Q分R解
设 A R, 如n果n
R
应用:
① [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13]
R 定理8.13 对 中二次(n超) 曲面 f (x) xT Sx 2T x a x%T S%x% 0
记 相应r的, 值p.,则q,可t 经仿p射分变别q换r%为,化p%此的0,二q秩%,次、t%超正曲惯面性的指S方数程、S%为负惯性指数、符号差；
① 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形
② 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形
福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间）， [3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起 点）.
,则有A唯一的0正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 Q .
A QR
n A ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使
（文献[1] 第九章 习题14）
二次型与二次曲面-母线与坐标轴平行的柱面方程
二次型与二次曲面-母线与坐标轴平行的柱面方程母线与坐标轴平行的柱面方程定义：直线L 在空间平行于固定方向运动，并且总和一条定曲线Γ相交所形成的曲面叫做柱面，直线L 叫做柱面的母线，定曲线Γ叫做柱面的准线。
()()(),0,0,0f x y z g y z x h z x y =----=----=----母线平行于轴的柱面母线平行于轴的柱面母线平行于轴的柱面绕坐标轴旋转的旋转面方程定义：曲线Γ绕一条固定直线L ，在空间旋转一周所成的曲面，称为旋转曲面，曲线Γ叫做母线，定直线L 叫做旋转轴。
定理 设Oxy 坐标面上一条曲线Γ的方程是()00≥=,y x,y f ，则以曲线Γ为母线，x 轴为旋转轴的旋转面方程为 ()022=+z y x,f 。
证明：在旋转面上任选一点P (x ,y ,z )，P 是由Γ上的点()0000,,y x P 绕x 轴旋转而得，则P 和P 0点坐标之间满足⎪⎩⎪⎨⎧=+=0220y z y x x 因为P 0在曲线Γ上，所以有()000=,y x f ，即()022=+z y x,f . 反之，若一点P (x ,y ,z )满足()022=+z y x,f ，则Oxy 坐标面上的点()0000,,y x P 满足方程()000=,y x f ，其中2200,z y y x x +==，因此点P 0在曲线Γ上，而点P 恰是由点P 0绕x 轴旋转而得，于是P (x ,y ,z )在该旋转面上，所以 ()022=+z y x,f 为所求旋转面的方程。
例：球面由⎩⎨⎧==+0222z r y x 绕x 轴旋转而得，所以球面方程为 ()222222222r z y x r z y x =++⇒=++例圆柱面由直线⎩⎨⎧==0x ry 绕z 轴旋转而成，所以圆柱面方程为 ()22222r y x r x y =+⇒=+ 例：⎩⎨⎧==02z x y 分别绕x 轴和y 轴的旋转面方程分别为 ()22222422222z x y z x y y x z y x z y x +=⇒+==+⇒=+轴：轴：空间曲线方程()()⎩⎨⎧==00x,y,z g x,y,z f 二次曲面的分类二次曲面：二次代数方程0222=+++d cz by ax 所代表的曲面。
二次曲面的分类
二次曲面的分类在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即()11121311232122232141242343443132333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么实二次型()111213112312321222323132333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪Φ= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ⎛⎫ ⎪Φ====++ ⎪ ⎪⎝⎭， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=.最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面：（一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。
线性代数14.配方法化二次型、正定二次型
1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有： （1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型， 并称 A 为正定矩阵； （2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵； （3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型， 并称 A 为负定矩阵； （4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法正定二次型在数学和工程领域中有着广泛的应用，它在描述和分析各种问题时起着重要作用。
在实际问题中，我们常常需要对二次型进行分类，其中正定二次型是其中一种重要的类型。
那么，如何判定一个二次型是正定的呢？本文将介绍正定二次型的判定方法，希望能够对读者有所帮助。
首先，我们来看一下正定二次型的定义。
对于一个n元二次型，它可以表示为：\[Q(x)=x^TAx\]其中，\(x=(x_1,x_2,...,x_n)^T\)是n维列向量，A是一个n×n的实对称矩阵。
如果对于任意非零向量x，都有\(x^TAx>0\)，则称二次型Q(x)是正定的。
接下来，我们来介绍判定正定二次型的方法。
首先，我们需要了解一个定理，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果它的n个顺序主子式都大于0，则A是正定的。
这个定理为我们提供了一种判定正定二次型的方法。
其次，我们可以利用矩阵的特征值来判定正定二次型。
具体来说，对于一个n×n的实对称矩阵A，如果它的所有特征值都大于0，则A是正定的。
这是因为对于一个实对称矩阵，它可以被对角化为对角矩阵，而特征值的符号与矩阵的正定性是一致的。
此外，我们还可以通过求解二次型的标准型来判定它的正定性。
对于任意一个n元二次型Q(x)，都存在一个正交变换P，使得经过正交变换后的二次型为标准型：\[Q(y)=y_1^2+y_2^2+...+y_r^2\]其中，r是二次型的秩。
如果标准型中所有的系数都大于0，则原二次型是正定的。
最后，我们需要注意的是，以上方法并不是一成不变的。
在实际问题中，我们需要根据具体的情况选择合适的方法来判定正定二次型。
有时候，我们可能需要结合多种方法来进行判断，以确保结果的准确性。
总之，正定二次型的判定方法是一个重要的数学问题，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对正定二次型的判定有所了解，并能够灵活运用这些方法来解决实际问题。
高等代数第5章习题参考答案
第五章 二次型1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。
1）323121224x x x x x x ++-；2）23322221214422x x x x x x x ++++； 3）32312122216223x x x x x x x x -+--；4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++；6）4342324131212422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）43322124232221222x x x x x x x x x x ++++++。
解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x （1）则()312221321444,,y y y y x x x f ++-=2223233121444y y y y y y ++-+-=()222333142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=33223112121zy z y z z y （2）则原二次型的标准形为()2322213214,,z z z x x x f ++-=，最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=++=333212321121212121z x z z z x z z z x （3）于是相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100211212102110001021021100011011T ， 且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='100040001AT T 。
2）已知()=321,,x x x f 23322221214422x x x x x x x ++++，由配方法可得()()()233222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++=()()2322212x x x x +++=，于是可令⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=333222112xy x x y x x y ，则原二次型的标准形为()2221321,,y y x x x f +=，且非退化线性替换为⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=33322321122yx y y x y y y x ，相应的替换矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211T ，且有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='000010001100210211420221011122011001AT T 。
实对称矩阵A正定
由引理1), f 正定 d i 0, i 1,2, 即，f 的正惯性指数p＝n
,n
© 2009, Henan Polytechnic University §4 正定二次型
6 6
第五章 二次型
推论
正定二次型 f ( x1 , x2 ,
, xn ) 的标准形为
,n
d1 y12 d 2 y2 2
则称f 为正定二次型. 如，二次型 f ( x1 , x2 , 是正定的；
2 f ( x , x , , x ) x 二次型 i 1 2 n
n 1 i 1
不是正定的.
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2 2第五章 二次型2、正定性的判定第四节 正定二次型
一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类
1
第五章 二次型
一 、正定二次型
1、定义：实二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) 若对任意
一组不全为零的实数 c1 , c2 ,
, cn 都有
f (c1 , c2 ,
, cn ) 0
, xn ) x
i 1 n 2 i
引理1 设实二次型
2 2 , xn ) d1 x1 d 2 x2 2 d n xn
f ( x1 , x2 ,
f 正定当且仅当 di 0, i 1,2,
X 0 (0, ,0) 0, i 1,2,
,n
,n
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
,0, 1 ,0,
,0, ,0) 正定. 取 X i (0, ,0, 第1 i个
则
f ( X i ) X i AX i aii 0, i 1,2,
不定二次型的判定及其分类
ｄ１ｙ；＋ ｄ２ｙ；＋ … ＋ ｄＰ ；一 ｄＰ＋１ ；＋１一 … 一 ｄｒｙ；由 于 ／（ ）是 不定 二次 型 ，由引理 １知 ，（１）式 也是 不定二 次 型 ，从 而 ≥ １，ｒ— ≥ １．
（ｉｉ） （ｉｉｉ）若 厂（ ）的标准 形为 ：ｄ。Ｙ；＋ Ｙ；＋ …＋ ｐ ；一 ＋。 ；＋。＿ ．．·一 ；，（ ＞ｏ），其 中 户≥ １，ｒ一户
定 理 １ 设 厂（ ）一 ＡＸ （Ａ 一Ａ）是一 元 实二 次型 ，则 以下命 题等价 ：（ｉ）厂（ ）是 不定 二次 型．（ｉｉ）
厂（ ）的标准 形为 ： －ｙ；＋ ｚ ；＋ …＋ ；一 ＋－ ；＋－＿ －．·一 ｙ；，（ ＞ｏ）其 中 Ｐ≥ １，ｒ一户≥ １．（ｉｉｉ）厂（ ）的
定 义 ２ 若二 次型 厂（ ）可经 非退化 线性 替换 Ｘ＝ＣＹ化 为二次 型 ｇ（ｙ），则 称二 次型 厂（ ）与二 次型 ｇ （ｙ）等价．
１ 不 定二 次 型 的判 定
引理 １ 非退 化线 性替换 不 改变实 二次 型 的不 定性 ． 证 明 设 实二 次型 厂（ ）一 Ｘ ＡＸ 经 非退化 线姓 替换 Ｘ＝ＣＹ化 为实二 次 型 ｇ（ｙ）一 Ｙ ＢＹ．若 厂（ ）是 不定 二次 型 ，则 有 ｌ， ２∈ ，且 Ｘｌ≠ Ｏ，Ｘ２≠Ｏ使 ｆ（Ｘ１）＞Ｏ，ｆ（Ｘ２）＜Ｏ，令 Ｙｌ＝ Ｃ＿。Ｘｌ，Ｙ２一Ｃ＿。Ｘ２，由于 Ｃ 可 逆 且 ｌ， ２均 不为 ０，故 Ｙｌ≠ Ｏ，Ｙ２≠Ｏ且 有 ｇ（ｙ１）一厂（ １）＞ Ｏ，ｇ （ｙ２）一ｆ（Ｘ２）＜ Ｏ，因此 ｇ（ｙ）也 是不 定 二次 型．反 之 ，当 ｇ（ｙ）是 不定二 次 型 时 ，由于 ｇ（ｙ）可经 非退 化线 性替 换 Ｙ＝Ｃ叫 化为二 次 型 厂（ ），类 似 于必 要性 可证得 厂（ ）也是 不定 二次型 ． 引 理 ２ 设 厂（ ）一Ｘ ＡＸ（Ａ 一Ａ）是一 ｎ元实 二次 型 ，则 （１）ｆ（Ｘ）是 半正 定 的充要 条 件是 Ａ的一 切 主 子式 全大 于 等于零 ．（２）厂（ ）是 半负 定 的充 要 条件 是 Ａ 的奇 数 阶 主子 式 全小 于 等 于零 ，偶数 阶 主子 式 全 大于等 于零 ． 证 明 （１）见 文［１］ （２）必要 性 ，若 厂（ ）是半 负定二 次 型 ，则 －ｆ（Ｘ）是半 正定 二 次型 ，设