2.1函数及其表示
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高考数学一轮复习 2.1函数及其表示课件 文 湘教版
2
综上可知，正确的判断是（2)（3).
【答案】（2)（3)
4.（2014·连云港期末)已知函数f（x)＝ 2，x∈ ［0，1］
x，x ［0，1］
则使f（f（x))＝2成立的实数x的集合为.
【解析】当x∈［0，1］时，f（f（x))＝f（2)＝2成立；
当x ［0，1］时，f（f（x))＝f（x)＝x，要使f（f（x))＝2成立，
∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－ 2 1(x>1)．
【变式训练】2.
（1)若f（x＋1)＝2x2＋1，求f（x)的表达式；
（2)若2f（x)－f（－x)＝x＋1，求f（x)的表达式； （3)若函数f（x)＝ x ，f（2)＝1，又方程f（x)＝x有唯一解
1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些实际问题.
2.1函数及其表示
函数
两集合 A、B
设A、B是两个非空 数集. 任意
【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
提示： 不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不
是相等函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,值域都为
［-1,1］,显然不是相等函数.因此判断两个函数是否相等,关键是看
定义域和对应关系.
4.函数的表示法:
故 f(x2－3x)的定义域是[－1，1]∪[2，4]．
求函数的解析式
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达
综上可知，正确的判断是（2)（3).
【答案】（2)（3)
4.（2014·连云港期末)已知函数f（x)＝ 2，x∈ ［0，1］
x，x ［0，1］
则使f（f（x))＝2成立的实数x的集合为.
【解析】当x∈［0，1］时，f（f（x))＝f（2)＝2成立；
当x ［0，1］时，f（f（x))＝f（x)＝x，要使f（f（x))＝2成立，
∴f(t)＝lg t－2 1，即 f(x)＝lg x－ 2 1(x>1)．
【变式训练】2.
（1)若f（x＋1)＝2x2＋1，求f（x)的表达式；
（2)若2f（x)－f（－x)＝x＋1，求f（x)的表达式； （3)若函数f（x)＝ x ，f（2)＝1，又方程f（x)＝x有唯一解
1.了解函数单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单 调区间. 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、 极小值；会求给定区间上函数的最大值、最小值. 3.会利用导数解决某些实际问题.
2.1函数及其表示
函数
两集合 A、B
设A、B是两个非空 数集. 任意
【思考探究】 2.若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
提示： 不一定.如函数y=x与y=x+1,其定义域与值域完全相同,但不
是相等函数;再如y=sin x与y=cos x,其定义域都为R,值域都为
［-1,1］,显然不是相等函数.因此判断两个函数是否相等,关键是看
定义域和对应关系.
4.函数的表示法:
故 f(x2－3x)的定义域是[－1，1]∪[2，4]．
求函数的解析式
函数解析式的求法
(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达
高三数学复习课件 2.1 函数及其表示
义域为
-1,-
1 2
.
-12-
知识总结
1.由于映射中的两个集合是非空集合,函数中的两个集合是非空 数集,故函数是特殊的映射.
2.判断两个函数是否为相等函数,关键是看其定义域和对应关系 是否相同.
3.求分段函数的函数值,要依据自变量所属的区间,选择对应关系 求解.当自变量不确定时,需分类讨论.
专题训练
-9-
1234
2.函数 f(x)= 1-������2 + 1������的定义域为( D )
A.[-1,1] B.(0,1]
C.[-1,0) D.[-1,0)∪(0,1]
解析
由
1-������2 ≥ ������ ≠ 0,
0,解得-1≤x≤1,且
x≠0,故选
D.
课堂练习
-10-
1234
3.设f,g都是从A到A的映射(其中A={1,2,3}),其对应关系如下表:
考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)令2������+1=t.
∵x>0,∴t>1,且 x=������2-1.∴f(t)=lg ������2-1, ∴f(x)=lg ������2-1(x>1).
(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由 f(0)=2,得 c=2.
又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即 2ax+a+b=x-1,
关闭
(1)A (2)D
解析 答案
专题训练
-17-
考点1
考点2
考点3
考点4
高考数学(理科)一轮复习：2.1 函数及其表示
第二章
知识梳理 考点自测
2.1
函数及其表示
关键能力 学科素养
必备知识
-7-
第二章
知识梳理 考点自测
2.1
函数及其表示
关键能力 学科素养
必备知识
-8-
1
2
3
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数是其定义域到值域的映射.( ) (2)函数y=f(x)的图像与直线x=1有两个交点.( ) (3)定义域相同,值域也相同的两个函数一定是相等函数.( (4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为{y|y=x2-1,x∈R},即为 {y|y≥-1}.( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( )
2.1
函数及其表示
关键能力 学科素养
必备知识
-6-
1.映射:(1)映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的 映射就是函数; (2)映射问题允许多对一,但不允许一对多. 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全 一致. 3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各 段函数的值域的并集,分段函数虽由几部分组成,但它表示的是一 个函数.
必备知识
-12-
1
2
3
4
5
5.如图表示的是从集合A到集合B的对应,其中 是函数.(只填序号)
是映射,
关闭
函数与映射都要求对于集合A中的任一元素在集合B中都有唯一确定的元 素与之对应,所以③不是映射也不是函数;①②④表示的对应是映射;①②
是函数,由于④中的集合A,B不是数集,所以不是函数.
关闭
①②④ ①②
第二章 函数
2 .1
高考数学一轮复习第二章函数2.1函数及其表示公开课课件省市一等奖完整版
答案 f(x)=x2-x+1
方法 3 分段函数的解题策略
1.求函数值,弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,从最内层逐 层往外计算,求“层层套”的函数值. 2.求最值,分别求出每段上的最值,然后比较大小取得最值. 3.解不等式,根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式求 解. 4.求参数,“分段处理”,利用代入法列出各区间上的方程求解.
17,
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)当x∈(-1,1)时,有
2f(x)-f(-x)=lg(x+1). ①
以-x代x,得
2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). ②
由①②消去f(-x)得
f(x)= 2 lg(x+1)+1 lg(1-x),x∈(-1,1).
3
3
评析 (1)用的是换元法,定义法的实质也是换元;(2)用的是待定系数法; (3)-x与x互为相反数,赋值消元可求得函数解析式.
1.已知函数解析式,函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范
围,只需要解不等式(组)即可.
2.对于复合函数的定义域问题,若已知f(x)的定义域为[a,b],a,b∈R,其复
合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
3.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题或几
高考数学
§2.1 函数及其表示
知识清单
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的概念 如果A、B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数, 记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的 集合C⊆B叫做函数y=f(x)的值域. 2.函数的三要素:① 定义域 ,值域,对应关系. 3.两个函数能成为同一函数的条件是定义域、值域、② 对应关系 都相同. 4.函数的表示法主要有:③ 解析法 ,④ 图象法 ,⑤ 列表法 . 图象法表示函数是函数变量间对应关系的直观体现,是数形结合思想的 重要表现,是研究函数性质的基础.利用函数解析式作出函数图象,利用
方法 3 分段函数的解题策略
1.求函数值,弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,从最内层逐 层往外计算,求“层层套”的函数值. 2.求最值,分别求出每段上的最值,然后比较大小取得最值. 3.解不等式,根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式求 解. 4.求参数,“分段处理”,利用代入法列出各区间上的方程求解.
17,
∴a=2,b=7,故f(x)=2x+7.
(3)当x∈(-1,1)时,有
2f(x)-f(-x)=lg(x+1). ①
以-x代x,得
2f(-x)-f(x)=lg(-x+1). ②
由①②消去f(-x)得
f(x)= 2 lg(x+1)+1 lg(1-x),x∈(-1,1).
3
3
评析 (1)用的是换元法,定义法的实质也是换元;(2)用的是待定系数法; (3)-x与x互为相反数,赋值消元可求得函数解析式.
1.已知函数解析式,函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范
围,只需要解不等式(组)即可.
2.对于复合函数的定义域问题,若已知f(x)的定义域为[a,b],a,b∈R,其复
合函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.
3.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外,还应使实际问题或几
高考数学
§2.1 函数及其表示
知识清单
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的概念 如果A、B都是非空的数集,那么A到B的映射f:A→B就叫做A到B的函数, 记作y=f(x),其中x∈A,y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域,象的 集合C⊆B叫做函数y=f(x)的值域. 2.函数的三要素:① 定义域 ,值域,对应关系. 3.两个函数能成为同一函数的条件是定义域、值域、② 对应关系 都相同. 4.函数的表示法主要有:③ 解析法 ,④ 图象法 ,⑤ 列表法 . 图象法表示函数是函数变量间对应关系的直观体现,是数形结合思想的 重要表现,是研究函数性质的基础.利用函数解析式作出函数图象,利用
2.1 函数及其表示--大学生总结
函数的概念和图像【知识要点】1.函数的定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y= f(x)(x∈A)。
其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域。
2.映射的定义：设A，B是两个非空集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
其中A中的元素x称之为原象，B中对应元素y称为x的象。
3.函数的三要素：定义域，对应关系，值域①定义域:函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。
函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;偶次被开方数为非负数;指数函数的真数大于0;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等。
②对应法则:对应法则体现两个集合A与B的元素x与y之间确定的对应关系,即对于数集A 中的任何一个数值x,依据对应法则使得在数集B中都有唯一确定的数值y和它对应,注意“任何”、“唯一”、“确定”的描述,三者缺一不可。
③值域:函数的值域是函数值的集合{f(x)|x∈A},所以值域C={f(x)|x∈A}，注意C⊆B。
【解题方法】一、如何识别f：A→B是否为函数1、A，B要是非空数集2、有明确的对应关系或者对应表达式3、对于任意一个x，按照对应法则，有函数值y与之对应且是唯一对应（重点）【知识应用】【考察知识点1，函数的定义】【J】例1、已知x∈｛-1,0，2,3｝，且x，y满足f：x→y，y=2x+1，若y∈｛-1,0，1，2,3，4,5,6，7｝，判断f：x→y是否为函数。
【J、L】例2、已知x∈｛-3,0，4｝，y∈｛-4，-2,0，3，4,5｝，且知x，y满足f：22x+y=25是否为函数x+y=25，判断f：22【C】例3、已知 t→y，其中y=2t，t∈R，y为非负数，判断y=2t是否为函数【解题方法】二、如何判断是否为同一个函数1、相同的定义域和值域，即两个函数的x ，y 要都能取到相同的值2、相同的对应关系，即经过化简或者通分得到的最简式相同【知识应用】【考察知识点1，函数的定义】【J 、L 】例1、下列各组函数中，表示同一函数的是 （）A ．y=x 与y=B ．y=2与C ．y=211x x --与y=x+1 D ．y =| x-1 | 与y=1-x【C 】例2、下列有哪几组函数是同一函数①y=-x ，x<0与y=| x | ，x<0 ② y=221x x x +--与y=x+2③y=2x+1，x ∈N 与｛y|y ∈奇数｝ ④y=3211x x x +-+与y=x-1【解题方法】一、求函数的定义域（重点）1、若f （x ）是整式，则定义域为全体实数R 。
高考数学一轮总复习 2.1函数及其表示课件
高频考点
考点一 函数的概念
【例1】 有以下判断：
①f(x)＝|xx|与g(x)＝1－1
x≥0 表示同一函数； x<0
②函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；
③f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；
④若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0. 其中正确判断的序号是________．
解析 f(3)＝23，f(f(3))＝232＋1＝193.
答案 D
6．(2014·浙江卷)设函数f(x)＝
x2＋x，x<0， －x2，x≥0.
若f(f(a))≤2，
则实数a的取值范围是________．
解析 由题意得ff2aa<＋0，fa≤2， 或f－af2≥a0≤，2， 解得f(a)≥－2. 由aa<2＋0，a≥－2， 或a－≥a02≥，－2， 解得a≤ 2.
听课记录
对于①，由于函数f(x)＝
|x| x
的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而
1 x≥0，
函数g(x)＝ －1 x<0
的定义域是R，所以二者不是同函数；对于②，
2．函数的构成要素为： 定义域、对应关系和值域 ．由于值
域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 定义域
相同，并且 对应关系 完全一致，我们就称这两个函数 相等 ．
3．函数的表示法有 解析法、图象法、列表法
.
知识点二 映射
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于A中
的 任意 一个元素x，在B中 有且仅有一个元素 y与x对应，那么 称f是集合A到集合B的映射．这时映射f也可记为：f： A→B ， x→f(x)，其中A叫做映射f的 定义域 (函数定义域的推广)，由所 有函数值f(x)构成的集合叫做映射f的 值域 ，通常记作f(A).
高考数学一轮总复习 2.1 函数及其表示课件 理 苏教版
所以 f(x)的定义域为12，1.
(2)由x－＋x12－>03，x＋4>0 得－1<x<1. 答案 (1)12，1 (2)(－1,1)
第十三页，共32页。
考点二 求函数的值域 【例 2】 求下列函数的值域．
(1)y＝x2＋2x(x∈[0,3])； (2)y＝xx－ ＋31； (3)y＝x－ 1－2x； (4)y＝log3x＋logx3－1.
4．函数解析式的求法 (7)已知 f(x)＝2x2＋x－1，则 f(x＋1)＝2x2＋5x＋2.(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.(×)
第八页，共32页。
• [感悟·提升] • 1．一个方法 判断(pànduàn)两个函数是否为
相同函数．一是定义域是否相同，二是对应关 系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化 简)，如(2)． • 2．三个防范 一是求函数的定义域要使给出 解析式的各个部分都有意义，如(3)； • 二是分段函数求值时，一定要分段讨论，
(hánshù)值的集合叫做函数(hánshù)的
．
•(3)函数(hánshù)的三要素是：
、
和对应关系．
•(4)表示函数(hánshù)的第三页常，共32页用。 方法有：
• 2．函数(hánshù)定义域的求法
类型
x满足的条件
2n fx，n∈N*
f(x)≥0
f1x与[f(x)]0
f(x)≠0
logaf(x)
•
(1＋解x)]析＝－x((11＋)令x)，t＝又xf(x＋＋11)，＝2则f(xx)，＝所t－以f1(x，)＝
1 2
f(1＋x)＝
• •
－ 答案 x所所x＋2以以(11).ff2((xtx2)－)＝＝4x2＋2(xt3－2－(12)4)2－x＋＋xx1＋23＝.12t2－4t＋3.
2019版高考数学 2.1 函数及其表示课件
【解析】选B.选项A,定义域为{x|-2≤x≤0},不正确.选项C,当x在 (-2,2]取值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域 为[0,1],不正确,选项B正确.
(3)(必修1P23T2改编)如图是张大爷晨练时离家距离(y)与行走时间 (x)之间的函数图象.若用黑点表示张大爷家的位置,则张大爷散步行 走的路线可能是( )
第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数与映射的概念:
数
建立在两个_非__空__数__集__A到B 的一种确定的对应关系f,使 定义 对于集合A中的_任__意__一个数 x,在集合B中都有_唯__一__确__定__ 的数f(x)和它对应
映射 建立在两个_非__空__集__合__A到B的一 种确定的对应关系f,使对于集合 A中的_任__意__一__个__元素x,在集合B 中都有_唯__一__确__定__的元素y与之
对应
记法
y=f(x),x∈A
f:A→B
(2)函数的三要素: 函数由定义域、_对__应__关__系__和值域三个要素构成,对函数y=f(x), x∈A,其中 ①定义域:_自__变__量__x_的取值范围; ②值域:函数值的集合_{_f_(_x_)_|_x_∈__A_}_. (3)函数的表示法: 表示函数的常用方法有:_解__析__法__、_列__表__法__、_图__象__法__.
【规范解答】(1)选C.(log2x)2-1>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2
或0<x<1 .故所求的定义域为(0, 1 )∪(2,+∞).
2
2
【一题多解】解答本题,还有以下解法
高考数学总复习2.1函数及其表示课件文新人教B
【答案】 B
2．(2017·山东省实验中学二诊)若 f(x)＝log1（21x＋1），则 f(x) 2
的定义域为( )
A.－12，0
B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
【解析】 由题意知，f(x)的定义域需满足 log1(2x＋1)≠0 且 2
1．(2017·重庆巴蜀中学期中)函数 f(x)＝ x－2＋ln（31－x）的定义域为( )A． Nhomakorabea2，3)
B．(2，3)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，3]
【解析】 由题意知，函数f(x)的定义域应满足条件x－ 2≥0，ln(3－x)≠0且3－x＞0，解得x≥2，x≠2且x＜3， 所以函数f(x)的定义域为(2，3)．故选B.
§2.1 函数及其表示 [考纲要求] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函 数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会 根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数与映射
函数
映射
两集合 设A，B是两个非空数__集__ 设A，B是两个非空_集__合_
名称
到集合B的一个函数
集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为 函数y＝f(x)的_定__义__域___；将所有y组成的集合叫做函数y＝ f(x)的_值__域___． (2)函数的三要素：_定__义__域_、_对__应__关__系__和__值__域__． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有_解__析__法__、__图__象__法_和__列__表__法__．
2．(2017·山东省实验中学二诊)若 f(x)＝log1（21x＋1），则 f(x) 2
的定义域为( )
A.－12，0
B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
【解析】 由题意知，f(x)的定义域需满足 log1(2x＋1)≠0 且 2
1．(2017·重庆巴蜀中学期中)函数 f(x)＝ x－2＋ln（31－x）的定义域为( )A． Nhomakorabea2，3)
B．(2，3)
C．[2，＋∞)
D．(－∞，3]
【解析】 由题意知，函数f(x)的定义域应满足条件x－ 2≥0，ln(3－x)≠0且3－x＞0，解得x≥2，x≠2且x＜3， 所以函数f(x)的定义域为(2，3)．故选B.
§2.1 函数及其表示 [考纲要求] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函 数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会 根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解 析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
1．函数与映射
函数
映射
两集合 设A，B是两个非空数__集__ 设A，B是两个非空_集__合_
名称
到集合B的一个函数
集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为 函数y＝f(x)的_定__义__域___；将所有y组成的集合叫做函数y＝ f(x)的_值__域___． (2)函数的三要素：_定__义__域_、_对__应__关__系__和__值__域__． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有_解__析__法__、__图__象__法_和__列__表__法__．
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.1函数及其表示课件 理 新人教B版
【规范解答】(1)选B.①当-1≤x＜0时，0＜-x≤1， 此时f(x)=-x-1，f(-x)=(-x)+1=x+1,
≨f(x)-f(-x)＞-1化为-2x-2＞-1，
得x＜- 1 , 则-1≤x＜- 1 .
2
2
②当0＜x≤1时，-1≤-x＜0，此时，f(x)=-x+1， f(-x)=-(-x)-1=x-1, ≨f(x)-f(-x)＞-1化为-x+1-(x-1)＞-1, 解得x＜
2
综上可知，x=-1或 3.
答案：(1)
3 2
(2)-1或
3
求函数的定义域、值域 【方法点睛】 1.求函数的定义域的方法 (1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解. (2)实际问题：
由实际意义及函数解析式，列不等式(组)求解.
(3)求抽象函数的定义域： ①若已知函数f(x)的定义域为［a,b］，则复合函数f(g(x))的 定义域由不等式a≤g(x)≤b求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为［a,b］，则f(x)的定义域为 g(x)在x∈［a,b］时的值域. 2.求简单函数值域的方法
k b 1 解得 k 1. , b2 b 2
≧点(1,1)在抛物线上， ≨a+2=1,a=-1, ≨1≤x≤3时，函数的解析式为 y=-x2+4x-2(1≤x≤3),
1 x 2, x＜ 综上，函数的解析式为y= x 2 4x 2,1 x 3. x 2, x＞3
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【解题指南】求解该题，需知道f(x),f(x+1)满足的关系式，
将f(x+1)用f(x)表示，然后再给x赋值，先求出f( 5 )，再求