江苏省徐州市高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和学案1(无答案)新人教A版必修5

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高中数学全程学习方略配套课件：2.3.1等差数列的前n项和(人教A版必修5)

故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质：等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10，求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.

高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和2.3.2等差数列的综合应用课件新人教A版必修5

都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公
差,公差通常用字母d表示.
(2)公式:若数列{an}是公差为d的等差数列,则有an=a1+(n-1)d ,
(-1)
(1 + )
Sn=na1+
=
.
2
2
【做一做1-1】等差数列{an}的公差d=2,a1=1,则 (
).
A.an=2n,Sn=n2
B.an=n,Sn=n2+n
C.an=2n-1,Sn=n2
D.an=2n-1,Sn=n2-n
答案(dá àn):C
【做一做1-2】等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a1=4,则公差d等于
(
).
A.1
5
B. C. −2D. 3
3
答案(dá àn):C
第三页，共16页。
通项公式的性质(xìngzhì),这两种解法可简化运算,是最优解法,如本题解
法三和解法四.
第九页，共16页。
题型一
题型二
题型三
【变式训练(xùnliàn)1】等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,
求数列{an}的前3m项的和S3m.
解在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,即30,70,S3m100成等差数列,
60
24 = 8(h) < 24(h),
则这 25 辆车可以工作的时间为
S25=a1+a2+…+a25=25a1+
=25×24+
25×24
×
2
-
1
3
25×(25-1)

高中数学第二章数列数列求通项、求和求数列通项公式累乘和累加法学案(无答案)新人教A版必修5

专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。

________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。

例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。

变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。

（1）求n a2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。

江苏省徐州市王杰中学高中数学第二章数列的复习(2)学

求的通项和前项和．
变式：已知数列中，，当时，，
（1）求证数列为等差数列；（2）求的通项
反馈检测体验成功
1．已知数列中，，求的通项
2．已知数列中，，求的通项公式；
3．已知数列满足，求的通项．
4．求的通项：（1）；（2）．
我的收获
课题
第二章数列的复习（2）
第__ _1_____课时
主备人

备注
1.掌握等差与等比数列的通项公式和前项和的公式及推导这些公式的数学思想方法．2.掌握等差与等比数列的相关性质及灵活运用
自我构建快乐无限
若数列的前项和 = ，求通项公式．
归纳：常用公式
合作探究携手共进
例1．已知数列中，，（1）求的通项；（2）当为何值时，是等比数列．
变式：已知数列中，，求：（1）的通项；
（2）令，的通项；（ 3）的前项和
例2．已知数列中，，（1）求证是等比数列；（2）求通项．
变式：已知数列中，，
（ 1）求的通项；（2）求．
例 3．已知数列满足，

高中数学第2章数列 2.3 等差数列的前n项和(二)同步精品学案新人教a版必修5

§2.3 等差数列前n 项和(二)对点讲练一、已知前n 项和S n ，求a n例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .分析利用数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).解当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5. 又∵a 1＝－1，适合a n ＝4n －5，∴a n ＝4n －5 (n ∈N *)．总结已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示．►变式训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求a n .解当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1因此，当b ＝－1时，a 1＝2适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1.当b ≠－1时，a 1＝3＋b 不适合a n ＝2·3n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).综上可知，当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).二、等差数列前n 项和最值问题例2 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．解方法一利用前n 项和公式和二次函数性质．由S 17＝S 9，得25×17＋172×(17－1)d ＝25×9＋92×(9－1)d ，解得d ＝－2，所以S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数性质可知，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二先求出d ＝－2，因为a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212.所以当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169.因此S n 的最大值为169.方法三由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14，故a 13＋a 14＝0.由方法一知d ＝－2<0，又因为a 1>0，所以a 13>0，a 14<0，故当n ＝13时，S n 有最大值．S 13＝25×13＋13×(13－1)2×(－2)＝169.因此S n 的最大值为169.总结在等差数列中，求S n 的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n 为关于n 的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．►变式训练2 等差数列{a n }中，a 1<0，S 9＝S 12，该数列前多少项的和最小？解方法一由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ≤0a n ＋1＝a 1＋nd ≥0，得⎩⎨⎧1－110(n －1)≥01－110n ≤0，解得10≤n ≤11.∴当n 为10或11时，S n 取最小值，∴该数列前10项或前11项的和最小．方法二由S 9＝S 12，得d ＝－110a 1，由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，得S n ＝⎝⎛⎭⎫－120a 1·n 2＋⎝⎛⎭⎫2120a 1·n ＝－a 120⎝⎛⎭⎫n －2122＋44180a 1 (a 1<0)，由二次函数性质可知n ＝212＝10.5时，S n 最小．但n ∈N *，故n ＝10或11时S n 取得最小值．三、已知{a n }为等差数列，求{|a n |}的前n 项和例3 已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎨⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24. 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(1)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .(2)当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n (n ≤5)，n 2－10n ＋50 (n ≥6).总结等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和．►变式训练3 数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0 (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n .解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1.∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n . (2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5.当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0；当n <5时，a n >0.∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2， (n ≤5)n 2－9n ＋40， (n >5).课堂小结：1．公式a n ＝S n －S n －1并非对所有的n ∈N *都成立，而只对n ≥2的正整数才成立．由S n 求通项公式a n ＝f (n )时，要分n ＝1和n ≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示． 2．求等差数列前n 项和的最值(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *，结合二次函数图象的对称性来确定n 的值，更加直观．(2)通项法：当a 1>0，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0时，S n 取得最大值；当a 1<0，d >0，⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0时，S n 取得最小值．3．求等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，关键是找到数列{a n }的正负项的分界点．课时作业一、选择题1．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－8，a 15＝5，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 9<S 10 B ．S 9＝S 10 C ．S 11<S 10 D ．S 11＝S 10 答案 B解析由已知得d ＝a 15－a 215－2＝1，∴a 1＝－9，∴a 10＝a 1＋9d ＝0，∴S 10＝S 9＋a 10＝S 9.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，∴a n ＝2n －10.由5<2k －10<8，得：7.5<k <9，∴k ＝8.3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案 A解析方法一 S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，S 6S 12＝6a 1＋15d 12a 1＋66d ＝12d ＋15d 24d ＋66d ＝310.方法二由S 3S 6＝13，得S 6＝3S 3.S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍然是等差数列，公差为(S 6－S 3)－S 3＝S 3，从而S 9－S 6＝S 3＋2S 3＝3S 3⇒S 9＝6S 3，S 12－S 9＝S 3＋3S 3＝4S 3⇒S 12＝10S 3，所以S 6S 12＝310.4．数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2n 2 (n ∈N *)，则当n ≥2时，下列不等式成立的是( ) A ．S n >na 1>na n B ．S n >na n >na 1 C ．na 1>S n >na n D ．na n >S n >na 1 答案 C解析由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)，解得a n ＝5－4n .∴a 1＝5－4×1＝1，∴na 1＝n ，∴na n ＝5n －4n 2， ∵na 1－S n ＝n －(3n －2n 2)＝2n 2－2n ＝2n (n －1)>0.S n －na n ＝3n －2n 2－(5n －4n 2)＝2n 2－2n >0.∴na 1>S n >na n . 5．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值答案 C解析由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0.二、填空题6．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 2n －2 7．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______．答案 5或6解析 d <0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值．8．在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝________.答案 10解析由已知，a 1＋a 2＋a 3＝15，a n ＋a n －1＋a n －2＝78，两式相加，得 (a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＝93，即a 1＋a n ＝31.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝31n2＝155，得n ＝10.三、解答题9．已知f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(1)设f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和．(1)证明 f (x )＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，∴a n ＝3n －8，∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． (2)解 b n ＝|3n －8|.当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，b 1＝5.S n ＝n (5＋8－3n )2＝13n －3n 22.当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n －8)＝7＋(n －2)(1＋3n －8)2＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22(1≤n ≤2)，3n 2－13n ＋282(n ≥3).10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)根据题意，有：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3.(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0.∴数列{a n }的前6项和S 6最大．。

江苏省徐州市高二数学(等差数列)教案1 教案

课题
等差数列1
总课时数
第节
教学目标
掌握等差数列的概念和性质，能够熟练求解等差数列中的基本量。能够判断数列是否是等差数列。
教学重ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点
等差数列的性质运用
教学参考
三维测试、教学与测试
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
知识梳理：
1．等差数列的定义
2．等差中项
3．通项公式：
4．前n项的和
2．一个凸n边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小内角为100°，则边数n＝________.
3、(2010·新课标全国卷)设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
课外作业
教学小结
5．等差数列的性质
基础练习
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________.
2．{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝______.
典型例题：
例1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；(2)若Sn＝242，求n.
教学过程设计
教
学
二次备课
例2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，说明理由．
巩固练习：
1．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式为________．

高中数学第二章数列 2.3 等差数列的前n项和第2课时等差数列前n项和的综合应用学案新人教A版必修5

第2课时等差数列前n 项和的综合应用学习目标：1.掌握a n 与S n 的关系并会应用(难点).2.掌握等差数列前n 项和的性质及应用(重点).3.会求等差数列前n 项和的最值(重点).4.会用裂项相消法求和(易错点)．[自主预习·探新知]1．S n 与a n 的关系an ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝S n －S n －1n2．等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．思考：如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？[提示] (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10) ＝＝100d ，类似可得(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12 ＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列． 3．等差数列前n 项和S n 的最值(1)若a 1<0，d >0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(2)若a 1>0，d <0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最大值．特别地，若a 1>0，d >0，则S 1是{S n }的最小值；若a 1<0，d <0，则S 1是{S n }的最大值．思考：我们已经知道当公差d ≠0时，等差数列前n 项和是关于n 的二次函数S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？何时有最小值？[提示] 由二次函数的性质可以得出：当a 1<0，d >0时，S n 先减后增，有最小值；当a 1>0，d <0时，S n 先增后减，有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时，S n 取到最值．[基础自测]1．思考辨析(1)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．( )(2)若a 1>0，d <0，则等差数列中所有正项之和最大．( ) (3)在等差数列中，S n 是其前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( )[答案] (1)√ (2)√ (3)√2．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12B [∵S 奇S 偶＝n ＋1n ，∴165150＝n ＋1n.∴n ＝10.故选B 项．] 3．等差数列{a n }中，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 [由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列得2(S 4－S 2)＝S 2＋(S 6－S 4)解得S 6＝15.]4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________.【导学号：91432176】23或24 [由a n ≤0即2n －48≤0得n ≤24. ∴所有负项的和最小，即n ＝23或24.][合作探究·攻重难]等差数列前n 项和的性质(1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．[解] (1)在等差数列中，∵S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝12a 1＋a912b 1＋b9＝a 1＋a92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×9＋29＋3＝6512.(1)整体思路：利用公式，设法求出整体 (2)待定系数法：利用的二次函数，设Bn A ，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S a进行计算.跟踪训练1．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 7＋a 12＝24，则S 13＝________.【导学号：91432177】(2)等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．(1)104 (2)75 [(1)由a 2＋a 7＋a 12＝24，得a 7＝8，所以S 13＝a 1＋a 132×13＝a 7·13＝104.(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3. 所以S n ＝n＋2n ＋2＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.]等差数列前n 项和S n 的函数特征[探究问题]1．将首项为a 1＝2，公差d ＝3的等差数列的前n 项和看作关于n 的函数，那么这个函数有什么结构特征？如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n 2＋n ，那么这个数列是等差数列吗？上述结论推广到一般情况成立吗？提示：首项为2，公差为3的等差数列的前n 项和为S n ＝2n ＋n n －2＝32n 2＋12n ，显然S n 是关于n 的二次型函数．且常数项为0，二次项系数为d 2，一次项系数为a 1－d2；如果一个数列的前n 项和为S n ＝3n2＋n ，那么当n ＝1时，S 1＝a 1＝4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －2，则该数列的通项公式为a n ＝6n －2，所以该数列为等差数列，事实上对于任何一个等差数列的前n 项和都是关于n 的二次型函数，且常数项为0，反之，一个数列的前n 项和具备上述特征，该数列一定是等差数列．2．已知一个数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－5n ，试画出S n 关于n 的函数图象．你能说明数列{a n }的单调性吗？该数列前n 项和有最值吗？提示：S n ＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －522－254，它的图象是分布在函数y ＝x 2－5x 的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了{a n }前n 项为负数．由S n 的图象可知，S n 有最小值且当n ＝2或3时，S n 最小，最小值为－6，即数列{a n }前2项或前3项和最小．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2， (1)求{a n }的通项公式； (2)问{a n }的前多少项和最大；(3)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和S n ′.【导学号：91432178】思路探究：(1)利用S n 与a n 的关系求通项，也可由S n 的结构特征求a 1，d ，从而求出通项． (2)利用S n 的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解．(3)利用a n 判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用S n 的函数特征判断项的正负求解．[解] (1)法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1满足a n ＝34－2n . 故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n .法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n}是等差数列，由S n的结构特征知⎩⎪⎨⎪⎧d 2＝－1，a 1－d2＝33，解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n .(2)法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332. 距离332最近的整数为16,17.由S n ＝－n 2＋33n 的图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大． (3)由(2)知，当n ≤17时，a n ≥0；当n ≥18时，a n <0.所以当n ≤17时，S n ′＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝33n －n 2. 当n ≥18时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 17|＋|a 18|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－(a 18＋a 19＋…＋a n ) ＝S 17－(S n －S 17)＝2S 17－S n ＝n 2－33n ＋544.故S n ′＝⎩⎪⎨⎪⎧33n －n 2n，n 2－33n ＋n母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“S n ＝33n －n 2”变为“在等差数列{a n }中a 1＝25，S 17＝S 9”求其前n 项和S n 的最大值．[解] 法一：∵S 9＝S 17，a 1＝25， ∴9×25＋－2d＝17×25＋－2d ，解得d ＝－2. ∴S n ＝25n ＋n n －2×(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法二：同法一，求出公差d ＝－2. ∴a n ＝25＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋27. ∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－n ＋＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212又∵n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法三：∵S 9＝S 17， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.由等差数列的性质得a 13＋a 14＝0. ∵a 1>0，∴d <0.∴a 13>0，a 14<0. ∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 法四：设S n ＝An 2＋Bn .∵S 9＝S 17，∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13，且开口方向向下，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.2．(变条件)将例题中的条件“S n ＝33n －n 2”变为“S n ＝－3n 22＋2052n ”求数列{|a n |}的前n项和T n .[解] a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32n －2＋2052n －＝－3n ＋104. ∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)．由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.(1)当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；(2)当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.裂项相消法求和等差数列{a n }中，a 1＝3，公差d ＝2，S n 为前n 项和，求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.思路探究：根据{a n }为等差数列求出其前n 项和，根据⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的通项特征，利用裂项相消法求和．[解] ∵等差数列{a n }的首项a 1＝3，公差d ＝2， ∴前n 项和S n ＝na 1＋n n －2d＝3n ＋n n －2×2＝n 2＋2n (n ∈N *)， ∴1S n＝1n 2＋2n ＝1nn ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋3n ＋n ＋.项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项裂项之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n －n ＋，求数列{a n }的前n 项和S n .【导学号：91432179】[解] a n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1n －n －＋1n －n ＋1＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1， ∴S n ＝n2n ＋1.[当堂达标·固双基]1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2C [由题知S 偶－S 奇＝5d ∴d ＝30－155＝3.]2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，有下列四个命题：①d <0；②S 11>0；③S 12<0；④数列{S n }中的最大项为S 11，其中正确命题的序号是( )【导学号：91432180】A ．②③B ．①②C ．①③D ．①④B [∵S 6>S 7，∴a 7<0， ∵S 7>S 5，∴a 6＋a 7>0， ∴a 6>0，∴d <0，①正确．又S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6>0，②正确．S 12＝122(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，③不正确．{S n }中最大项为S 6，④不正确．故正确的是①②.]3．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d >0，则使得前n 项和S n 取得最小值的正整数n 的值是________．6或7 [由|a 5|＝|a 9|且d >0得a 5<0，a 9>0，且a 5＋a 9＝0⇒2a 1＋12d ＝0⇒a 1＋6d ＝0，即a 7＝0，故S 6＝S 7且最小．]4．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，其前n 项和S n ＝9，则n ＝________.99 [a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝9. ∴n ＝99.]5．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－30n . (1)求数列 {a n }的通项公式a n ； (2)求S n 的最小值及对应的n 值.【导学号：91432181】[解] (1)∵S n ＝n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－29.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－30n )－[(n －1)2－30(n －1)]＝2n －31. ∵n ＝1也适合， ∴a n ＝2n －31，n ∈N *. (2)法一：S n ＝n 2－30n ＝()n －152－225∴当n＝15时，S n最小，且最小值为S15＝－225.法二：∵a n＝2n－31，∴a1<a2<…<a15<0，当n>15时，a n>0. ∴当n＝15时，S n最小，且最小值为S15＝－225.。

新教材高中数学第四章数列：第1课时等差数列的前n项和学案新人教A版选择性必修2(含答案)

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：等差数列的前n 项和公式新课程标准学业水平要求1.探索并掌握等差数列的前n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前n 项和公式的关系．2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．1.借助教材实例了解等差数列前n 项和公式的推导过程．(数学运算)2．借助教材掌握a 1，a n ，d ，n ，S n 的关系．(数学运算)3．掌握等差数列的前n 项和公式、性质及其应用．(数学运算)4．能利用等差数列的通项公式、前n 项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模) 第1课时等差数列的前n 项和必备知识·自主学习导思1.什么是等差数列的前n 项和公式？2．怎样推导等差数列的前n 项和公式？1.等差数列的前n 项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式S n ＝1n n(a a )2+S n ＝1n(n 1)na d 2-＋在等差数列{a n }中，涉及a 1，d ，n ，a n 及S n 五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n 项和．依据方程的思想，在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．求等差数列的前n 项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n 项和公式？提示：求等差数列的前n 项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2；若已知首项、公差和项数，则选用公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d.2．等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n （n －1）2 d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2 n.等差数列的前n 项和一定是n 的二次函数吗？提示：不一定，当公差d≠0时，前n 项和是n 的二次函数，当公差d ＝0时，前n 项和是n 的一次函数．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( × ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( × )(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( √ ) (4)在等差数列{a n }中，当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝a n ＋1( × ) 提示：(1)不管公差是不是零，都可应用公式求和．(2)因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和．(3)等差数列的前n 项和是关于n 的缺常数项的二次函数，S n ＝n 2＋2n ＋1中有常数项，故不是等差数列．(4)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd.2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前10项和S 10＝( ) A ．－20 B ．－40 C ．－60 D ．－80【解析】选D.由等差数列前n 项和公式得，S 10＝10×1＋12 ×10×9×(－2)＝－80.3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝( ) A.85B ．170C ．75D ．150【解析】选A.S 17＝12×17×(2＋8)＝85.4．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________．【解析】S 8＝8×1＋12 ×8×7×d＝64，解得d ＝2.答案：2关键能力·合作学习类型一等差数列前n 项和的计算(数学运算)1．已知a 1＝32 ，d ＝－12 ，S n ＝－15，求n 和a 12.【解析】因为S n ＝n·32 ＋n （n －1）2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－15，整理得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去). 所以a 12＝32 ＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－4.2．已知a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d. 【解析】由S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n （1－512）2 ＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171. 3．已知a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.【解析】由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2. 故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.等差数列中基本量计算的两个技巧(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2结合使用．【补偿训练】1.(2021·青岛高二检测)等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若a 14＝－8，S 9＝－9，则S 18＝( )A ．－162B ．－1C ．3D ．－81 【解析】选D.设等差数列{}a n 的公差为d ，因为a 14＝－8，S 9＝－9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋13d ＝－89a 1＋36d ＝－9 ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋13d ＝－8，a 1＋4d ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝199，d ＝－79，所以S 18＝18a 1＋153d ＝－81.2．已知等差数列{a n }满足a 1＝1，a m ＝99，d ＝2，则其前m 项和S m 等于________．【解析】由a m ＝a 1＋(m －1)d ，得99＝1＋(m －1)×2，解得m ＝50，所以S 50＝50×1＋50×492 ×2＝2 500.答案：2 5003．(1)已知a 1＝56 ，a 15＝－32 ，S n ＝－5，求d 和n ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d.【解析】(1)因为a 15＝56 ＋(15－1)d ＝－32 ，所以d ＝－16 .又S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝－5，所以56 n ＋n （n －1）2 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16 ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍).(2)由已知，得S 8＝8（a 1＋a 8）2 ＝8（4＋a 8）2 ＝172，解得a 8＝39，又因为a 8＝4＋(8－1)d＝39，所以d ＝5.类型二等差数列前n 项和的性质(数学运算) 【典例】在等差数列{a n }中． (1)若a 4＝2，求S 7； (2)若S 5＝3，S 10＝7，求S 15； (3)若S 10＝100，S 100＝10，求S 110.续表题后反思等差数列前n 项和具有“片段和”性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列，在解决单纯的前n 项和问题时有简化运算的功效．等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn(a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d. ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1 ；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.1．(2021·茂名高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15【解析】选A.设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14 ，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．【解析】因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n （3＋2n ＋1）2 ＝n 2＋2n ，所以S n n＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92 ×1＝75.答案：753．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3 ，则a 5b 5 的值为__________．【解析】a 5b 5 ＝2a 52b 5 ＝9（a 1＋a 9）9（b 1＋b 9）＝S 9T 9 ＝7×9＋29＋3 ＝6512 . 答案：6512类型三等差数列前n 项和的应用(数学运算) 角度1 等差数列前n 项和的最值【典例】在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．【思路导引】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．【解析】(1)由题意得11a 9d 18545a d 152⎧⎪⎨⨯⨯⎪⎩＋＝，＋＝－，解得a 1＝－9，d ＝3，所以a n ＝3n －12. (2)方法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝12 (3n 2－21n)＝32 ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －72 2 －1478 ，所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18. 方法二：设S n 最小，则n n 1a 0a 0≤⎧⎨≥⎩＋，，即3n 1203(n 1)120≤⎧⎨≥⎩－，＋－，解得3≤n≤4，又n∈N ＋，所以当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.(变条件)把例题中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．【解析】S 5＝12 ×5×(a 1＋a 5)＝12 ×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n.设S n最大，则n n 1a 0a 0≥⎧⎨≤⎩＋，，解得27≤n≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n （n －1）2 d ＝d 2 n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2 n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决． (2)邻项变号法当a 1>0，d<0时，满足n n 1a 0a 0≥⎧⎨≤⎩＋，的项数n 使S n取最大值；当a 1<0，d>0时，满足n n 1a 0a 0≤⎧⎨≥⎩＋，的项数n 使S n 取最小值．角度2 等差数列前n 项和的实际应用【典例】某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【思路导引】每月付的款构成等差数列，最后的全部款项是该数列的前n 项和．【解析】设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由题知，20个月贷款还清．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S 20＝60＋（60－19×0.5）2 ×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).应用等差数列解决实际问题的一般思路1．(2021·平顶山高二检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【解析】选A.设等差数列的公差为d ，因为a 4＋a 6＝－6，所以2a 5＝－6，所以a 5＝－3.又因为a 1＝－11，所以－3＝－11＋4d ，所以d ＝2. 所以S n ＝－11n ＋n （n －1）2 ×2＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，故当n ＝6时，S n 取得最小值．2．为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N *)年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于_______．(盈利额＝总收入－总成本)【解析】设每年的运营成本为数列{a n }，依题意该数列为等差数列，且a 1＝3，d ＝2.所以n 年后总运营成本S n ＝n 2＋2n ，因此，年平均盈利额为：20n －（n 2＋2n ）－16n＝－n－16n ＋18≤－2n ×16n＋18＝10，当且仅当n ＝4时等号成立．答案：4【补偿训练】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值．【解析】由S 17＝S 9，得25×17＋17×（17－1）2 d ＝25×9＋9×（9－1）2 d ，解得d ＝－2，方法一：S n ＝25n ＋n （n －1）2 ×(－2)＝－(n －13)2＋169.由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. 方法二：因为a 1＝25＞0，d ＝－2<0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2（n －1）≥0，a n ＋1＝25－2n≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，即1212 ≤n≤1312 .又n∈N *，所以当n ＝13时，S n 有最大值169.课堂检测·素养达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32 n 2＋n2B ．－32 n 2－n2C ．32 n 2＋n2D ．32 n 2－n 2【解析】选A.因为a n ＝2－3n ，所以a 1＝2－3＝－1，所以S n ＝n （－1＋2－3n ）2 ＝－32 n 2＋n2.2．若等差数列{a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．1511 【解析】选B.因为S 5＝5a 3＝25，所以a 3＝5.所以d ＝a 3－a 2＝5－3＝2，所以a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．763C ．665D ．663【解析】选C.设符合题意的数所组成的等差数列为{a n }．因为a 1＝2，d ＝7，2＋(n －1)×7<100，所以n<15，所以符合题意的数共14个，故S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665. 4．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．【解析】数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A(n －1)2－B(n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A.答案：2A5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________．【解析】因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2 ＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4.经检验，m ＝4符合题意．答案：4。

等差数列的前n项和公式(第一课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)

等差数列的前n项和公式第一课时1.课时教学内容等差数列前n项和公式2.课时学习目标(1)会推导等差数列前n项和公式；(2)会用等差数列的前n项和公式解决简单问题。

3.教学重点与难点重点∶等差数列的前n项和的应用。

难点∶等差数列前n项和公式的推导方法。

4.教学过程设计环节一情景引入200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…＋100=？你准备怎么算呢？高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一。

他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献。

问题1：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释。

高斯的算法：（1+100）+（2+99）+…+(50+51)=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3，…，n，…前100项的和问题。

等差数列中，下标和相等的两项和相等。

设a n=n,则a1=1，a2=2，a3=3，…如果数列{a n}是等差数列，p,q,s,t∈N∗且 p +q =s +t,则a p +a q =a s +a t可得：a 1+a 100=a 2+a 99=⋯=a 50+a 51问题2：你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？解：原式=(1+101)+(2+100)+⋯+(50+52)+52 =102×50+51 =5151解法2：原式=(1+2+⋯+100)+101=[(1+100)+(2+99)+⋯+(50+51)]+101=101×50+101 =5151解法3：原式=0+1+2+⋯+100+101=(0+101)+(1+100)+⋯+(50+51)=101×51 =5151问题3：你能计算1＋2＋3＋… ＋n 吗？需要对项数的奇偶进行分类讨论.当n 为偶数时， S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n2+(n2−1)] =(1+n )+(1+n )…+(1+n ) =n2(1+n ) =n(1+n)2当n 为奇数数时， n －1为偶数S n =(1+n )+[(2+(n −1)]+⋯+[(n +12−1)+(n +12+1)]+ n +12=(1+n )+(1+n )…+(1+n )+ n+12=n−12(1+n )+n+12=n(1+n)2对于任意正整数n ，都有1＋2＋3＋… ＋n =n(1+n)2问题4：不分类讨论能否得到最终的结论呢？ S n = 1+ 2 + 3 +⋯+nS n = n +(n −1)+(n −2)+⋯+1 将上述两式相加，得2S n=(n+1)+[(n−1)2]+[(n−2)+3]+⋯+(1+n)=(1+n)+(1+n)+⋯+(1+n)=n(1+n)所以S n=1+2+3+⋯+n=n(1+n)2问题5:上述方法的妙处在哪里？倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a nS n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)即：S n=n(1+n)2问题6:这种方法能够推广到求等差数列{a n}的前n项和吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a n,S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1.2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n+a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a1所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+⋯+(a1+a n)=n(a1+a n)所以S n=n( a1+a n)2得到等差数列前n项和公式：S n=n( a1+a n)2追问1：你能用文字语言表达这个公式吗？首项加末项乘以项数除以2.追问2：这个公式还有什么含义？等式两边同除以n,S nn =(a1+a n)2，即a1+a2+a3+⋯+a nn =(a1+a n)2前n项平均数等于首项与第n项的平均数问题7：能不能用a1和d来表示S n呢？将a n=a1+(n−1)d代入公式整理得S n ＝na1+n(n−1)2d追问：如果不利用前面结论，你还有其他方法得到上述公式吗？S n=a1+a2+a3+⋯+a n,=a1+(a1+d)+(a1+2d)+⋯+[a1+(n−1)d]=na1+[1+2+3+(n−1)d]=na1+n(n−1)2d等差数列的前n项和公式公式S n＝n(a1+a n)2功能1：已知a1,a n,n 求S n功能2：已知S n a1,a n,n中任意3个，求第4个。

2020_2021学年高中数学第二章数列2.3.1等差数列的前n项和同步作业含解析新人教A版必修52

等差数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知等差数列{a n}的前10项和为30,a6=8,则a100=( )A.100B.958C.948D.18【解析】选C.设等差数列{a n}的公差为d,由已知解得所以a100=-42+99×10=948.2.已知等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,则数列{a n}的前4项的和S4的值为( ) A.10B.16C.22D.35【解析】选C.因为等差数列{a n}的公差为3,且a1+a3=8,所以2a1+2×3=8,所以a1=1,所以S4=4×1+×3=22.3.(2019·某某高二检测)已知等差数列的前n项和S n,且S3=S5=15,则S7=() A.4B.7C.14D.【解析】选B.等差数列的前n项和为S n,且S3=S5=15,所以a4+a5=0,所以2a1+7d=0.再根据S3=3a1+3d=15,可得a1=7,d=-2,则S7=7a1+d=49+21×(-2)=7.4.(2019·某某高一检测)在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则S9=() A.45B.162C.81D.【解析】选C.因为在等差数列{a n}中,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.所以S9==9a5=81.5.等差数列{a n}的前n项和为S n,若=,则下列结论中正确的是( )A.=2B.=C.=D.=【解析】选C.由已知S n=a n,S n-1=a n-1(n≥2),两式相减可得a n=a n-a n-1(n≥2),化简得=(n≥2),当n=3时,=.6.数列{a n}的前n项和S n=2n2+n(n∈N*),则a n=( )A.2n-1B.2n+1C.4n-1D.3n+2【解析】选C.因为数列{a n}的前n项和S n=2n2+n,所以当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2+n-[2(n-1)2+(n-1)]=4n-1,当n=1时,a1=S1=3,符合上式,所以综上a n=4n-1.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S3=6,S4=12,则S6=________.【解析】方法一:设数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S3=6,S4=12,得解得所以S6=6a1+15d=30.方法二:因为{a n}为等差数列,可设前n项和S n=An2+Bn,由S3=6,S4=12得解得即S n=n2-n,所以S6=36-6=30.答案:308.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S8=32,则a2+2a5+a6=__________.【解析】因为S8=32,所以=32.可得a4+a5=a1+a8=8,则a2+2a5+a6=2(a4+a5)=2×8=16.答案:16三、解答题(每小题10分,共20分)9.在各项为正的等差数列{a n}中,已知公差d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】由题意得即解得或(舍去)故10.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ.(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由a n a n+1=λS n-1知,a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,又因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.所以a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=1+(n-1)·4=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n-1)·4=4n-1.所以a n=2n-1,a n+1-a n=2.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{1-3n},则公差d等于( )A.1B.3C.-3D.n【解析】选C.因为a n=1-3n,所以a1=-2,a2=-5,所以d=a2-a1=-3.2.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=255,a10=20,则数列{a n}的公差为( ) A.3B.4C.5D.6【解析】选C.根据等差数列的求和公式,可得S17=×17=17a9=255,可得a9=15,又a10=20,所以d=a10-a9=20-15=5.3.等差数列中,S n是前n项和,若a3+a8=5,S9=45,则S11=( )A.0B.10C.20D.25【解析】选A.设等差数列的首项为a1,公差为d,因为,所以,即,解得,则S11=25×11-×5=0.故选A.4.已知等差数列{a n}中,a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于( ) A.30B.45C.90D.186【解析】选C.因为所以故所以a n=a1+(n-1)d=3n,故b n=a2n=6n,则因此{b n}的前5项和为S5=5×6+×6=90.5.(2019·定州高一检测)记等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=3,S13=91,则S11=( ) A.36B.72C.55D.110【解析】选C.因为S13==13a7=91,所以a7=7,因为a5=3,所以a5+a7=10,因为a1+a11=a5+a7=10,所以S11==55.二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019·全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=________.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:47.若数列{a n}的前n项和S n=n2-8n,n=1,2,3,…,则满足a n>0的n的最小值为________.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=12-8=-7.(2)当n>1时,由S n=n2-8n得:S n-1=(n-1)2-8(n-1)=n2-10n+9,两式相减,得:a n=2n-9,n=1也符合,由a n=2n-9>0,得:n>4.5,所以,满足a n>0的n的最小值为5.答案:58.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-2n+3,则a n=________.【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2,a n=S n-S n-1=n2-2n-(n-1)2+2(n-1)=2n-3,故a n=答案:9.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成(如图所示),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是________.【解析】因为最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则每圈的石板数构成一个以9为首项,以9为公差的等差数列,所以a n=9n,当n=9时,第9圈共有81块石板,所以前9圈的石板总数S9=(9+81)=405.答案:405三、解答题(每小题10分,共30分)10.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求通项a n.(2)令S n=242,求n.【解析】(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,得方程组解得所以a n=2n+10.(2)由S n=na1+·d,S n=242,得方程12n+×2=242,解得n=11或n=-22(舍去),即n=11.11.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0.(1)若S5=5,求S6及a1.(2)求d的取值X围.【解析】(1)由题意知S6=-=-3,a6=S6-S5=-8,所以解得a1=7. 综上,S6=-3,a1=7.(2)因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2+9da1+10d2+1=0,所以(4a1+9d)2=d2-8,所以d2≥8.故d的取值X围为d≤-2或d≥2.12.(2017·某某高考)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.【证明】(1)因为是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列是“P数列”.(2)数列既是“P数列”,又是“P数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n),④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d′.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2+a3+a3+2d′+a3+3d′=4(a3+d′),即a2=a3-d′,在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,因为a3=a2+d′,所以a1+a2+a2+2d′+a2+3d′=4(a2+d′), 即a1=a2-d′,所以数列{a n}是等差数列.。

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1
等差数列的前n 项的和（1）
一、学习目标
1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程．
2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
二、预习检查
预习书本第42-44页
等差数列的前n项和公式

如何推导此公式？

三、典型例题
例1、在等差数列｛an｝中，
（1）已知31a，10150a，求50S；

（2）已知31a，21d，求10S
（3）已知21d，23na，215nS，求1a及n.
2

【总结】: 在等差数列的通项公式与前ｎ项和公式中，含有1a，ｄ，ｎ，na，nS五个量，只要
已知其中的三个量，就可以求出余下的两个量．
练习：在等差数列｛an｝中，
（1）已知1a=7，4310a，求10S
（2）已知1001a，2d，求50S．
（3）已知5a=8，249a，求nnSa,