江苏省常州市溧阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷(理科)含解答解析
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在一次数学测试中，成绩在区间上成为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”可表示为A. ￢￢B. ￢C. ￢￢D.【答案】A【解析】解：由题意值￢是“甲测试成绩不优秀”，￢是“乙测试成绩不优秀”，则命题“甲、乙中至少有一位同学成绩不是优秀”，则用￢￢表示，故选：A．求出￢，￢，结合或且非的意义进行求解即可．本题主要考查逻辑连接词的应用，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．2. 抛物线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：在抛物线--，即，，，焦点坐标是，故选：C．先把抛物线的方程化为标准形式，再求出抛物线的焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，比较基础．3. 的一个必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：的充要条件为对于A是的充要条件对于B，是的充分不必要条件对于C，的不充分不必要条件对于D，是的一个必要不充分条件故选：D．通过解二次不等式求出的充要条件，通过对四个选项的范围与充要条件的范围间的包含关系的判断，得到的一个必要不充分条件．解决一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，再进行判断，判断时常有的方法有：定义法、集合法．4. 已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可得，即为，由，可得，即，双曲线的渐近线方程为，即为．故选：D．运用双曲线的离心率公式可得，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．5. 四面体OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，P是MN的三等分点靠近，若，，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意得，故选：B．运用平面向量基本定理可解决此问题．本题考查平面向量基本定理的简单应用．6. 点到直线的距离为d，则d的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 7【答案】A【解析】解：直线即，令，解得，．可得直线经过定点．则当时，d取得最大值．．故选：A．直线即，令，解得直线经过定点则当时，d取得最大值．本题考查了直线经过定点、相互垂直的直线，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 如图：在直棱柱中，，，P，Q，M分别是，BC，的中点，则直线PQ与AM所成的角是A.B.C.D.【答案】D【解析】解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设，则0，，2，，0，，1，．，．．直线PQ与AM所成的角是．故选：D．以A为坐标原点，分别以AB，AC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出与的坐标，利用空间向量求解．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是基础题．8. 《九章算术商功》：“今有堑堵，下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？答曰：四万六千五百尺”所谓堑堵：就是两底面为直角三角形的直棱柱：如图所示的几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，则三棱台的表面积为A. 40B.C. 50D.【答案】B【解析】解：几何体是一个“堑堵”，，，M是的中点，过BCM的平面把该“堑堵”分为两个几何体，其中一个为三棱台，取的中点N，连结MN，BN，，，三棱台的表面积为：梯形梯形梯形．故选：B．取的中点N，连结MN，BN，则三棱台的表面积为梯形梯形梯形．本题考查三棱台的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9. 直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆交于P，Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由，得，，．则，则左焦点．由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为．设l与椭圆相交于、，联立，得：．则PQ的中点M的横坐标为．是以OF为底边的等腰三角形，，解得：．故选：B．由椭圆方程求得椭圆的焦点坐标，设出直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系结合中点坐标公式求出M的坐标，由，求得直线l的斜率．本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，是中档题．10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线m过点F，且与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，过A点作l的垂线，垂足为，若，则A. B. C. D. P【答案】C【解析】解：抛物线的焦点为，准线为l：，当直线m的斜率不存在时，，不满足题意；当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立，得，消去y整理得，，又，，，．故选：C．讨论直线m的斜率不存在时，不满足题意；直线m的斜率存在时，设直线m的方程为，与抛物线联立消去y得的值；利用求出的值，再求的值，从而求得的值．本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是中档题．11. 已知椭圆C的两个焦点分别是，，短轴的两个端点分别为M，N，左右顶点分别为，，若为等腰直角三角形，点T在椭圆C上，且斜率的取值范围是，那么斜率的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设椭圆方程为．由为等腰直角三角形，且，得，解得，．则椭圆C的方程为．则，．设，则，得，，，，又，，解得：．斜率的取值范围是．故选：C．由已知求得椭圆方程，分别求出，的坐标，再由斜率之间的关系列式求解．本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力及推理运算能力，是中档题．12. 如图：已知双曲线中，，为左右顶点，F为右焦点，B为虚轴的上端点，若在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由题意，，，则直线BF的方程为，在线段BF上不含端点存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，，，，在线段BF上不含端点有且仅有两个不同的点，使得，可得，，，．故选：A．求出直线BF的方程为，利用直线与圆的位置关系，结合，即可求出双曲线离心率e 的取值范围．本题考查双曲线的简单性质，考查离心率，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. “”是假命题，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：命题“”是假命题，则命题的否定是：，”是真命题，则，解得：故答案为：．特称命题与其否定的真假性相反，求解全称命题是真命题，求出m的范围即可．本题考查命题的真假判断与应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于基础题．14. 已知，若三向量共面，则实数______．【答案】【解析】解：，不平行，三向量共面，存在实数x，y，使，，解得，，．故答案为：．推导出不平行，由三向量共面，得存在实数x，y，使，列方程组能求出．本题考查的知识点是共线向量与向量及平面向量基本定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15. 如图，的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，则CD的长为______．【答案】【解析】解：由条件，知，．所以所以．故答案为：．由已知可得，，利用数量积的性质即可得出．本题考查面面角，考查空间距离的计算，熟练掌握向量的运算和数量积运算是解题的关键．16. 椭圆有如下光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，已知椭圆C，其长轴的长为2a，焦距为2c，若一条光线从椭圆的左焦点出发，第一次回到焦点所经过的路程为5c，则椭圆C的离心率为______．【答案】或或【解析】解：依据椭圆的光线性质，光线从左焦点出发后，有如图所示三种路径：图1中：，则；图2中：，则；图3中，，则．椭圆C的离心率为或或，故答案为：或或．由题意画出图形，分类求解得答案．本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题p：方程表示双曲线；命题q：，若￢是￢的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【答案】解：p真：得或，q真：，￢是￢的充分不必要条件，若￢是￢的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，，则有或，或，即实数k的取值范围是或．【解析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出p，q为真命题的等价条件以及利用逆否命题的等价性进行转化是解决本题的关键．18. 在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求，的极坐标方程；Ⅱ若直线的极坐标方程为，设与的交点为M，N，求的面积．【答案】解：Ⅰ由于，，：的极坐标方程为，故C：的极坐标方程为：，化简可得．Ⅱ把直线的极坐标方程代入圆：，可得，求得，，，由于圆的半径为1，，的面积为．【解析】Ⅰ由条件根据，求得，的极坐标方程．Ⅱ把直线的极坐标方程代入，求得和的值，结合圆的半径可得，从而求得的面积的值．本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．19. 如图：直三棱柱中，，，，D为棱上的一动点，M，N分别是，的重心，求证：；若点C在上的射影正好为M，求DN与面ABD所成角的正弦值．【答案】证明：有题意知，，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系如图所示，则0，，2，，0，，2，设0，，0，，N分别为和，的重心，，，．解：在上的射影为M，面ABD，，又，，得，解得得，或舍，，，设面ABD的法向量为y，，则，取，得1，，设DN与平面ABD所成角为则，与平面ABD所成角的正弦值为．【解析】由，，两两互相垂直，以为原点建立空间直角坐系，利用向量法能证明．求出面ABD的法向量，利用向量法能求出DN与平面ABD所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20. 设抛物线C：，点，过点P作直线l，若l与C只有一个公共点，求l的方程过C的焦点F，交C与A，B两点，求：弦长；以A，B为直径的圆的方程．【答案】解：若l的斜率不存在，则l：，符合题意；分若l的斜率存在，设斜率为k，则l：；分由，消去y得，由，解得或，直线l的方程为：或；分综上所述，直线l的方程为：或或；分抛物线的焦点为，直线l的方程为：；设，，由，消去x得，；又，；分以AB为直径的圆的半径为；设AB的中点为，则，，圆心为，所求圆的方程为；综上所述，，所求圆的方程为分．【解析】讨论l的斜率不存在和斜率存在时，分别求出直线l的方程即可；写出直线l的方程，与抛物线方程联立求得弦长，再求以AB为直径的圆的方程．本题考查了直线与圆以及抛物线方程的应用问题，是中档题．21. 如图，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，，，现将梯形沿CB，DA折起，使且，得一简单组合体ABCDEF如图示，已知M，N分别为AF，BD 的中点．Ⅰ求证：平面BCF；Ⅱ若直线DE与平面ABFE所成角的正切值为，则求平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角大小．【答案】证明：Ⅰ连AC，四边形ABCD是矩形，N为BD中点，为AC中点．在中，M为AF中点，故．平面BCF，平面BCF，平面BCF．Ⅱ依题意知，且平面ABFE，在面ABFE上的射影是AE．就是DE与平面ABFE所成的角．故在中：．设且，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则设分别是平面ADE与平面CDFE的法向量令，即取则平面ADE与平面CDFE所成锐二面角的大小为．运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．【解析】连结AC，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明平面BCF．先由线面垂直的判定定理可证得平面ABFE，可知就是DE与平面ABFE所成的角，解，可得AD及DE的长，分别以AB，AP，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定，线面夹角，是立体几何知识的综合考查，难度较大．22. 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作直线l交E于P、Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ，所求椭圆E的方程为：分Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，把代入整理得：，分假设存在定点，使得为定值当且仅当，即时，为定值这时分再验证当直线l的倾斜角时的情形，此时取，，存在定点使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．【解析】Ⅰ，由此能导出所求椭圆E的方程．Ⅱ当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，由，整理得：，，假设存在定点，使得为定值由此入手能够推导出存在定点，使得对于经过点的任意一条直线l均有恒为定值．本题考查椭圆方程的求法和点M的存在性质的判断解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活。
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题(理科)附解答
2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0， C. D.【答案】C【解析】解：；．故选：C．可求出B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，以及并集的运算．2.已知数列中，，则A. 4B. 9C. 12D. 13【答案】D【解析】解：数列中，，则．故选：D．利用通项公式即可得出．本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知椭圆C：中，，，则该椭圆标准方程为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，椭圆C：，其焦点在x轴上，若，，则，则椭圆的方程为；故选：A．根据题意，分析椭圆的焦点位置，由椭圆的几何性质可得b的值，代入椭圆的方程即可得答案．本题考查椭圆的标准方程，注意掌握椭圆标准方程的形式，属于基础题．4.若向量，，则A. B. C. 3 D.【答案】D【解析】解：向量，，0，，．故选：D．利用向量坐标运算法则求解0，，由此能求出的值．本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．5.设a，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】解：若，，不等式等价为，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立．，不等式等价为，即，此时成立，即充分性成立．若，当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即．当，时，．当，时，去掉绝对值得，，因为，所以，即即必要性成立，综上“”是“”的充要条件，故选：C．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质结合分类讨论是解决本题的关键．6.若x，y满足，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：x，y满足的区域如图：设，则，当此直线经过时z最小，所以z的最小值为；故选：B．画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．7.设抛物线上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：由于抛物线上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．再由抛物线的准线为，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是，故选：C．由题意可得点P的横坐标为2，抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，由此求得结果．本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．8.设是等差数列的前n项和，若，，则A. B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d，，，，化为：，解得．则．故选：D．设等差数列的公差为d，根据，，利用求和公式可得d，即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.下列各组两个向量中，平行的一组向量是A. ，2，B. ，1，C. ，1，D. ，【答案】B【解析】解：在A中，，2，，，故A中两个向量不平行，故A错误；在B中，，1，，，故B中两个向量平行，故B正确；在C中，，1，，，故C中两个向量不平行，故C错误；在D中，，，，故D中两个向量不平行，故D错误．故选：B．利用向量平行的性质直接求解．本题考查平行向量的判断，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．10.的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，，，则的面积是A. B. C. 1 D.【答案】B【解析】解：的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知，利用正弦定理得：，整理得：，由于：，所以：，由于：，则：．由于：，，则：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出B的值，进一步利用三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形面积公式的应用．11.设，是双曲线C：的左，右焦点，O是坐标原点过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的一条渐近线方程为，点到渐近线的距离，即，，，，，在三角形中，由余弦定理可得，，即，即，，故选：C．先根据点到直线的距离求出，再求出，在三角形中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决．本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题．12.已知正方体的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，由，可得，0，，1，，则，0，，设平面PAB的法向量为y，，由，且，可得，且，可取，而平面ABCD的法向量为0，，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为．故选：B．以A为坐标原点，AB，AD，分别为x，y，z轴，求得P、A、B的坐标，可得向量AP，向量AB的坐标，设平面PAB的法向量为y，，由向量数量积为0，可得平面PAB的一个法向量，再由平面ABCD的法向量为0，，运用两个向量的夹角公式计算可得所求值．本题考查平面和平面所成角的求法，注意运用坐标法和平面的法向量，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知等比数列中，，，则______．【答案】【解析】解：等比数列中，，，，解得，．故答案为：．由等比数列中，，，得到，由此能求出．本题考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.已知，，，则的最小值为______．【答案】8【解析】解：当且仅当，时取等故答案为：8先变形：，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．15.已知，1，，则，______．【答案】【解析】解：，1，，，．故答案为：．利用空间向量夹角公式直接求解．本题考查向量夹角的余弦值的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设，若时均有成立，则______．【答案】【解析】解：若，则当时，，由二次函数的性质可知，不等式不可能在时恒成立，故当时不可能都有成立，故，故当时，，当时，，当时均有成立，故当时，，当时，，故是方程的实数根，故，解得：舍或，综上：，故答案为：．通过讨论a的范围以及函数恒成立问题，求出，进而得到是方程的实数根，求出a的值即可．本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x的不等式【答案】解：当时，不等式化为，；分当时，原不等式化为，当时，不等式的解为或；当时，不等式的解为；当时，不等式的解为或；分综上所述，得原不等式的解集为：当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或．【解析】根据a的范围，分a等于0和a大于0两种情况考虑：当时，把代入不等式得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集；当a大于0时，把原不等式的左边分解因式，再根据a大于1，及a大于0小于1分三种情况取解集，当a大于1时，根据小于1，利用不等式取解集的方法求出解集；当时，根据完全平方式大于0，得到x不等于1；当a大于0小于1时，根据大于1，利用不等式取解集的方法即可求出解集，综上，写出a不同取值时，各自的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论及转化的数学思想根据a的不同取值，灵活利用不等式取解集的方法求出相应的解集是解本题的关键．18.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为，直线l交椭圆于A，B 两个不同点．求椭圆的方程；求m的取值范围．【答案】解：设椭圆方程为则分解得，分椭圆方程为；分直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又，的方程为：由直线方程代入椭圆方程，分直线l与椭圆交于A、B两个不同点，，分解得，且分【解析】设出椭圆的方程，利用长轴长是短轴长的2倍且经过点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；由直线方程代入椭圆方程，利用根的判别式，即可求m的取值范围．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19.设数列的前n项和为，且满足，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．【答案】解：，当时，，得，，时，得，，符合上式．数列的通项公式为；，，得．．【解析】由求得，验证成立后得数列的通项公式；把数列的通项公式代入，然后利用错位相减法求数列的前n项和．本题考查由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．求A的大小；若，求．【答案】解：，可得：，可得：，解得：，，，，．，．由可得：，，由三角形的面积公式可得：．【解析】由已知利用余弦定理可求，，联立解得，，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求A的值．由已知及可得：，，由三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算了和转化思想，属于中档题．21.如图，已知四棱锥，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点．Ⅰ证明：平面PAB；Ⅱ求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，为PD的中点，，在四边形ABCD中，，，F为中点，，平面平面ABP，平面EFC，平面PAB．解：Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，，，推导出四边形BCDF为矩形，，平面PBF，又，平面PBF，，设，由，得，，，，又平面PBF，，平面PBC，即点F到平面PBC的距离为，，D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为，E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所在线段的中点，即中位线，到平面PBC的距离为，在中，由余弦定理得，设直线CE与平面PBC所成角为，则．【解析】Ⅰ取AD的中点F，连结EF，CF，推导出，，从而平面平面ABP，由此能证明平面PAB．Ⅱ连结BF，过F作于M，连结PF，推导出四边形BCDF为矩形，从而，进而平面PBF，由，得，再求出，由此能求出．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．22.已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由题意可设椭圆方程为，由得，所以，椭圆方程为分由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，则由，消去y得．，且，．分因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，，即，又，所以，即分由于直线OQ的斜率存在，且，得且．设d为点O到直线l的距离，则，所以的取值范围为分【解析】根据中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点，利用待定系数法，求出几何量，可得椭圆的方程设直线l的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出k的值，表示出面积，即可求出面积的取值范围．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_4
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知i是虚数单位，复数（）A. i﹣2B. i+2C. ﹣2D. 2【答案】B【解析】分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，属于基础题．2.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据包含关系，直接利用充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为“”不能推出“”；“”能推出“”，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.3.抛物线的准线方程为（）A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝【答案】D【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．【详解】解：∵抛物线的标准方程为，∴其焦点在y轴上且，∴，∴抛物线的准线方程为，故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，属于基础题．4.已知命题是无理数;命题,则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先对命题p和命题q的真假性做出判断，然后根据真值表判断复合命题的真假，即可得到本题答案.【详解】是无理数，故命题p是真命题，是假命题；，故命题q是假命题，是真命题，所以是真命题.故选：C【点睛】本题主要考查复合命题真假性判断，属于基础题.5.已知椭圆，分别为其左、右焦点，椭圆上一点到的距离是2，是的中点，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据三角形中位线性质以及椭圆定义可得结果.【详解】由椭圆定义得，因为，所以因为是的中点，所以=4，选D.【点睛】本题考查椭圆定义，考查基本求解能力. 属于基础题.6.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】，故，即，故渐近线方程为.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.【此处有视频，请去附件查看】7.已知数列是等比数列，为其前n项和，若，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于( )A. 45B. 60C. 35D. 50【答案】A【解析】【分析】由等比数列的性质，可知，，，也构成等比数列，再由等比数列求和公式计算．【详解】解：∵数列是等比数列，∴，，，也构成等比数列，又，，∴该数列的公比，且项数为4，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查等比数列的性质与求和，熟记等比数列的有关性质可简化计算，属于基础题．8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的性质直接求解，即焦点弦长为．【详解】抛物线中，，∴，故选B．【点睛】是抛物线的焦点弦，，，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为，抛物线的焦点弦长为．9.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将平移到一起，根据等边三角形的性质判断出两条异面直线所成角的大小.【详解】连接如下图所示，由于分别是棱和棱的中点，故，根据正方体的性质可知，所以是异面直线所成的角，而三角形为等边三角形，故.故选C.【点睛】本小题主要考查空间异面直线所成角的大小的求法，考查空间想象能力，属于基础题.10.若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 ( )A. B. 84 C. 3 D. 21【答案】D【解析】【分析】根据题意作出图像，分别利用椭圆及双曲线定义列方程，解方程组即可求解．【详解】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程可得：，由椭圆定义可得：…（1），由双曲线方程可得：，，由双曲线定义可得： (2)联立方程（1）（2），解得：，所以故选D.【点睛】本题主要考查了椭圆及双曲线的定义，还考查了椭圆及双曲线的简单性质，考查计算能力，属于中档题．11.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A. 121B. 123C. 231D. 211【答案】B【解析】【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【详解】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项；继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即，故答案为：123．【点睛】本题主要考查数列中的规律问题，要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理．12.对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3, 这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_12
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“，”是全称命题，所以其否定是特称命题，即“，”.故选：C【点睛】本题主要考查命题的否定，要注意结论的否定和量词的转化，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A. B. 2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析】先利用复数的除法，化简，再求模即可.【详解】由于，故故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算，以及复数的模，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.若实数满足不等式组，则的最大值是( )A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，由，得，平移直线，利用目标函数的几何意义，即可求解．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线过点C时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为2．故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．4.已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3a7＝64，则公比q＝（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】利用等比中项，得到，求得，再结合即得解.【详解】在各项为正数的等比数列{an}中，又故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.已知，不等式，，，…，可推广为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为；当分母的指数为2时，分子为；当分母的指数为3时，分子为；据此归纳可得：中，的值为.本题选择B选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6.“”是“椭圆的焦距为8”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得m=3，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得，再根据充分必要条件原理即可判断结果．【详解】由当时，焦点在轴上，焦距，则，由，则，当时，焦点在轴上，由焦距，则，由，则，故或，所以“”是“椭圆的焦距为8”的充分不必要条件.【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，即b=a，由双曲线的几何性质可得c= a，进而由离心率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其焦点在x轴上，那么其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，即b=a，则c=,其离心率e=；故选B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，解决问题的关键是由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．8.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，x y z，则（）A. x＝1，y＝2，z＝3B. x，y＝1，z＝1C. x＝1，y＝2，z＝2D. x，y＝1，z【答案】A【解析】【分析】结合图形，利用向量的加法先用表示，再转化为.【详解】故选：A【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.9.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．【详解】，，，，，，；中，由余弦定理得，；即两山顶A，C之间的距离为．故选A．【点睛】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．10.已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，分别求得直线的方向向量，进而得到线线角.【详解】立空间坐标系如图，设边长为2，得到A（2，0，0），（1，，2），B（1，，0），（0，0，2）向量设异面直线夹角为，则故答案为C【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.11.在1和17之间插入n﹣2个数，使这n个数成等差数列，若这n﹣2个数中第一个为a，第n﹣2个为b，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意，得到，构造，利用均值不等式，即得解.【详解】根据题意，设这n个数组成的数列为，则有，当且仅当：，即时等号成立.故选：B【点睛】本题考查了数列和不等式综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12.设f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e为自然对数的底数），则不等式f （x）＜ex的解集为（）A. （e，+∞）B. （2，+∞）C. （﹣∞，2）D. （﹣∞，e）【答案】C【解析】【分析】构造，利用导数判断函数在R上单调递增，又由f （2）＝e2，f（x）＜ex得到，，根据单调性即得解.【详解】构造由于f'（x）＞f（x），故，即在R上单调递增.又f（2）＝e2，故，f（x）＜ex，即即：x<2故选：C【点睛】本题考查了函数导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°，b＝4，△ABC的面积为3，则c＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用面积公式即得解.【详解】由三角形的面积公式：故答案为：3【点睛】本题考查了面积公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知命题p：x2﹣6x+8＜0，命题q：0＜x＜3．若“p∧q”为真命题则实数x的取值范围是_____．【答案】{x|2＜x＜3}【解析】【分析】先求出命题p为真对应的x的范围，求出两个范围的交集即可.【详解】命题p：x2﹣6x+8＜0若“p∧q”为真命题，即实数x即满足，又满足0＜x＜3故实数x的取值范围是：2＜x＜3故答案为：{x|2＜x＜3}【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词与不等式综合，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.15.将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．【答案】163【解析】【分析】设各行的首项为，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解.【详解】设各行的首项为，故叠加法得到：故：136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：故答案为：163【点睛】本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知a，b∈R+，直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，则的最小值为_____．【答案】不存在【解析】【分析】对曲线y＝1n（x+b）求导，由直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，可得切线斜率为1，切点为（1﹣b，0），可得a ＝1﹣b，转化，研究单调性，得到取值范围即得解.【详解】y＝ln（x+b）的导数为y′，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，则a＝1﹣b，∵a，b∈R+，∴0＜b＜1，则，由2在（0，1）上单调递减，可得2∈（1，+∞）．∴的最小值不存在．故答案为：不存在【点睛】本题考查了导数在切线，最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|．【答案】（1）y2＝4x；（2）14【解析】【分析】（1）运用抛物线的准线方程，得到p=2,进而得到抛物线的方程；（2）设直线l为：x＝my+1，与抛物线联立，得到韦达定理，结合中点坐标，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦长.【详解】（1）由抛物线的准线得：1，∴p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）由（1）得焦点F（1，0），又由题意得，显然直线的斜率不为零，设直线l为：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程得：y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2，由题意得：4m2+2＝2•6＝12，∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14，所以弦长|AB|为14．【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18.已知等差数列的公差为1，前n项和为，且．求数列通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】设等差数列的公差为，首项为，前n项和为，且．则：，解得：．所以：．，，则：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因而．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．【答案】（1）详见解析（2）.【解析】解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．…4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则因此可取m＝(－1，，1)．…8分设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则因此可取n＝(0，，1)．…10分故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30°．…12分21.在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足kPAkPB．（1）求动点P轨迹Γ的方程；（2）若M，N是轨迹Γ上两点，kMN＝1，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）（y≠0）；（2）【解析】【分析】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，根据kPAkPB，得到，化简即得解；（2）设MN：y＝x+b，联立得到韦达定理，利用弦长公式表示弦长|MN|，O到直线MN的距离，继而表示△OMN的面积，利用导数研究单调性，求最值即可.【详解】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，则根据kPAkPB．即，整理得动点P的轨迹Γ的方程为：（y≠0）；（2）设MN：y＝x+b，联立，整理得5x2+8bx+4b2﹣4＝0，△＝5﹣b2＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2b，x1x2（b2﹣1），|MN||x1﹣x2|，O到直线MN的距离d，所以△OMN面积S，设f（b）＝5b2﹣b4，则f′（b）＝10b﹣4b3＝0，解得b＝0或b＝±，又因为5﹣b2＞0，故b＝0或b＝±且S（0）＝0，S（±），故△OMN的面积S最大值为．【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22.已知函数f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：（n≥2，n∈N*）．【答案】（1）当a＞0时, f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；当a＜0时, f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；（2）证明，见解析【解析】【分析】（1）对f(x)求导，分a＞0，a＜0两种情况讨论，分析函数单调性即可；（2）令a＝1，由（1）可证得lnx＜x﹣1，即，叠乘可得证.【详解】（1）∵f（x）＝a1nx﹣ax+1，∴f′（x）a，①当a＞0时，若0＜x＜1，则f′（x）＞0，若x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；②当a＜0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，若x＞1，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；（2）令a＝1，则f（x）＝lnx﹣x+1，所以f（1）＝0，由（1）可知f（x）在[1，+∞）单调递减，故f（x）≤f（1），（当x＝1时取等号），所以lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1，从而有0＜lnn＜n﹣1，（n≥2，n∈N*），即（n≥2，n∈N*），∴（n≥2，n∈N*）．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解.【详解】因为命题“，”是全称命题，所以其否定是特称命题，即“，”.故选：C【点睛】本题主要考查命题的否定，要注意结论的否定和量词的转化，属于基础题.2.已知i是虚数单位，则复数的模为（）A. B. 2 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析】先利用复数的除法，化简，再求模即可.【详解】由于，故故选：C【点睛】本题考查了复数的四则运算，以及复数的模，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.若实数满足不等式组，则的最大值是( )A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，由，得，平移直线，利用目标函数的几何意义，即可求解．【详解】作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由，得，平移直线，由图象可知当直线过点C时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数，得，即目标函数的最大值为2．故选D.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键．4.已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3a7＝64，则公比q＝（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】利用等比中项，得到，求得，再结合即得解.【详解】在各项为正数的等比数列{an}中，又故选：A【点睛】本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.5.已知，不等式，，，…，可推广为，则的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意归纳推理得到a的值即可.【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为；当分母的指数为2时，分子为；当分母的指数为3时，分子为；据此归纳可得：中，的值为.本题选择B选项.【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．6.“”是“椭圆的焦距为8”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】对椭圆的焦点所在轴进行分类，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得m=3，当时，焦点在轴上，根据椭圆的性质，可得，再根据充分必要条件原理即可判断结果．【详解】由当时，焦点在轴上，焦距，则，由，则，当时，焦点在轴上，由焦距，则，由，则，故或，所以“”是“椭圆的焦距为8”的充分不必要条件.【点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法：①充分不必要条件：如果，且，则说p是q的充分不必要条件；②必要不充分条件：如果，且，则说p是q的必要不充分条件；③既不充分也不必要条件：如果，且，则说p是q的既不充分也不必要条件.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±x，结合题意可得=，即b= a，由双曲线的几何性质可得c=a，进而由离心率公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，双曲线的标准方程为，则其焦点在x轴上，那么其渐近线方程为y=±x，又由该双曲线的一条渐近线方程为y=x，则有=，即b=a，则c= ,其离心率e=；故选B．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，解决问题的关键是由双曲线的标准方程分析出其焦点的位置．8.如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E是CC'的中点，，，，x y z，则（）A. x＝1，y＝2，z＝3B. x，y＝1，z＝1C. x＝1，y＝2，z＝2D. x，y＝1，z【答案】A【解析】【分析】结合图形，利用向量的加法先用表示，再转化为.【详解】故选：A【点睛】本题考查了空间向量基本定理的应用，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.9.如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间距离已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为，山顶C的仰角为，，则两山顶A，C之间的距离为A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长．【详解】，，，，，，；中，由余弦定理得，；即两山顶A，C之间的距离为．故选A．【点睛】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．10.已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，分别求得直线的方向向量，进而得到线线角.【详解】立空间坐标系如图，设边长为2，得到A（2，0，0），（1，，2），B（1，，0），（0，0，2）向量设异面直线夹角为，则故答案为C【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.11.在1和17之间插入n﹣2个数，使这n个数成等差数列，若这n﹣2个数中第一个为a，第n﹣2个为b，则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由题意，得到，构造，利用均值不等式，即得解.【详解】根据题意，设这n个数组成的数列为，则有，当且仅当：，即时等号成立.故选：B【点睛】本题考查了数列和不等式综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.12.设f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（x）＞f（x）（x∈R），f（2）＝e2（e为自然对数的底数），则不等式f（x）＜ex的解集为（）A. （e，+∞）B. （2，+∞）C. （﹣∞，2）D. （﹣∞，e）【答案】C【解析】【分析】构造，利用导数判断函数在R上单调递增，又由f（2）＝e2，f（x）＜ex得到，，根据单调性即得解.【详解】构造由于f'（x）＞f（x），故，即在R上单调递增.又f（2）＝e2，故，f（x）＜ex，即即：x<2故选：C【点睛】本题考查了函数导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知∠A＝60°，b＝4，△ABC的面积为3，则c＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用面积公式即得解.【详解】由三角形的面积公式：故答案为：3【点睛】本题考查了面积公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.已知命题p：x2﹣6x+8＜0，命题q：0＜x＜3．若“p∧q”为真命题则实数x的取值范围是_____．【答案】{x|2＜x＜3}【解析】【分析】先求出命题p为真对应的x的范围，求出两个范围的交集即可.【详解】命题p：x2﹣6x+8＜0若“p∧q”为真命题，即实数x即满足，又满足0＜x＜3故实数x的取值范围是：2＜x＜3故答案为：{x|2＜x＜3}【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词与不等式综合，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.15.将等差数列1，4，7，…按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵，根据这个排列规则，数阵中第10行最后一个数是_____．【答案】163【解析】【分析】设各行的首项为，用叠加法得到通项公式，再由各行为公差为3的等差数列，即得解.【详解】设各行的首项为，故叠加法得到：故：136又每一行是以3为公差的等差数列数阵中第10行最后一个数是：故答案为：163【点睛】本题考查了数阵以及等差数列综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16.已知a，b∈R+，直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，则的最小值为_____．【答案】不存在【解析】【分析】对曲线y＝1n（x+b）求导，由直线y＝x﹣a与曲线y＝1n（x+b）相切，可得切线斜率为1，切点为（1﹣b，0），可得a＝1﹣b，转化，研究单调性，得到取值范围即得解.【详解】y＝ln（x+b）的导数为y′，由切线的方程y＝x﹣a可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1﹣b，切点为（1﹣b，0），代入y＝x﹣a，得a+b＝1，则a＝1﹣b，∵a，b∈R+，∴0＜b＜1，则，由2在（0，1）上单调递减，可得2∈（1，+∞）．∴的最小值不存在．故答案为：不存在【点睛】本题考查了导数在切线，最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C的焦点作直线l，交抛物线C于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为6，求|AB|．【答案】（1）y2＝4x；（2）14【解析】【分析】（1）运用抛物线的准线方程，得到p=2,进而得到抛物线的方程；（2）设直线l为：x＝my+1，与抛物线联立，得到韦达定理，结合中点坐标，即得解m，再利用|AB|＝x+x'+p，即得解弦长.【详解】（1）由抛物线的准线得：1，∴p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x；（2）由（1）得焦点F（1，0），又由题意得，显然直线的斜率不为零，设直线l为：x＝my+1，A（x，y），B（x'，y'），联立直线l与抛物线的方程得：y2﹣4my﹣4＝0，y+y'＝4m，x+x'＝m（y+y'）+2＝4m2+2，由题意得：4m2+2＝2•6＝12，∴|AB|＝x+x'+p＝12+2＝14，所以弦长|AB|为14．【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18.已知等差数列的公差为1，前n项和为，且．求数列通项公式；求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】设等差数列的公差为，首项为，前n项和为，且．则：，解得：．所以：．，，则：．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小．（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】（1）在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因而．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．（2）由正弦定理得，而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20.如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED平面SAB；（2）求平面BED与平面SBC所成二面角（锐角）的大小．【答案】（1）详见解析（2）.【解析】解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB．∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．…4分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系D—xyz，不妨设AD＝2，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，，0)，C(0，，0)，S(0，0，2)，E(1，0，1)．＝(2，，0)，＝(1，0，1)，＝(2，0，0)，＝(0，－，2)．设m＝(x1，y1，z1)是面BED的一个法向量，则因此可取m＝(－1，，1)．…8分设n＝(x2，y2，z2)是面SBC的一个法向量，则因此可取n ＝(0，，1)．…10分故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为30°．…12分21.在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（2，0），P为不在x轴上的动点，直线PA，PB的斜率满足kPAkPB．（1）求动点P轨迹Γ的方程；（2）若M，N是轨迹Γ上两点，kMN＝1，求△OMN面积的最大值．【答案】（1）（y≠0）；（2）【解析】【分析】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，根据kPAkPB，得到，化简即得解；（2）设MN：y＝x+b，联立得到韦达定理，利用弦长公式表示弦长|MN|，O到直线MN的距离，继而表示△OMN的面积，利用导数研究单调性，求最值即可.【详解】（1）设P（x，y）为轨迹Γ上任意一点，则根据kPAkPB．即，整理得动点P的轨迹Γ的方程为：（y≠0）；（2）设MN：y＝x+b，联立，整理得5x2+8bx+4b2﹣4＝0，△＝5﹣b2＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2b，x1x2（b2﹣1），|MN||x1﹣x2|，O到直线MN的距离d，所以△OMN面积S，设f（b）＝5b2﹣b4，则f′（b）＝10b﹣4b3＝0，解得b＝0或b＝±，又因为5﹣b2＞0，故b＝0或b＝±且S（0）＝0，S（±），故△OMN的面积S最大值为．【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.22.已知函数f（x）＝a1nx﹣ax+1（a∈R且a≠0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求证：（n≥2，n∈N*）．【答案】（1）当a＞0时, f（x）的单调递增区间（0，1），单调递减区间（1，+∞）；当a＜0时, f（x）的单调递减区间（0，1），单调递增区间（1，+∞）；（2）证明，见解析【解析】【分析】（1）对f(x)求导，分a＞0，a＜0两种情况讨论，分析函数单调性即可；（2）令a＝1，由（1）可证得lnx＜x﹣1，即，叠乘可得证.。
2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题及答案解析
绝密★启用前2020-2021学年江苏省常州市高二上学期期末数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．两实数a ，b 满足a b <，则下列结论正确的是（ ） A ．22a b < B ．2b ab >C ．33a b <D ．11a b> 答案：C根据不等式的性质及特殊值法即可求解.解：取2,0a b =-=时，可判断22a b <错误；取2,1a b =-=-，可判断2b ab >错误； 由不等式性质可知33a b a b <⇒<成立，取2,1a b =-=，可判断11a b>错误. 故选：C2．不等式22730x x -+>的解集为（ ）A ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．13),2(,⎛⎫--+-∞∞ ⎪⎝⎭D ．1,(3,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭答案：D直接根据一元二次不等式的解法求解.解：由22730x x -+>可得(21)(3)0x x -->， 解得3x >或12x <， 所以不等式的解集为1,(3,)2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭， 故选：D3．设i 是虚数单位，若复数z 满足()310z i -=，则在复平面内复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．()1,3 B ．()3,1C ．()1,3--D ．()3,1--答案：B按照复数的除法运算法则化简z ，再写出对应的坐标解：()()()()103103333i i z i i i +-+===+- 对应的坐标为()3,1 故选B4．在空间直角坐标系O xyz -中，向量()1,1,2a =--，()1,1,3b =分别为异面直线1l ，2l 的方向向量，则异面直线1l ，2l 所成角的余弦值为（ ） A． B．11-CD．11答案：C根据向量的夹角直接计算即可求解. 解：因为()1,1,2a =--，()1,1,3b =，所以cos ,11||||a ba b a b →→→→→→⋅<>===-， 因为异面直线1l ，2l 所成角为锐角或直角， 所以异面直线1l ，2l， 故选：C5．若椭圆2214x y +=与双曲线2221(0)x y a a -=>的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A．2y x =± B．y = C ．12y x =±D ．2y =±x答案：A求出椭圆的焦点坐标，再求出a ，再求渐近线方程即可.解：2214x y +=的焦点为30,213a +=，a =所以渐近线的方程为2y x =± 故选：A6．设抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为端点的射线与抛物线相交于A ，与抛物线的准线相交于B ，若4FB FA =，则FA FB ⋅=（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．4答案：A根据平行关系可证明N 点，A 点分别是线段BF ，NF 的中点，再根据比列关系求A 点横坐标即可求解.解：设FB 交y 轴于N 点，如图，由准线与y 轴平行，且O 为中点， 所以N 是BF 中点， 因为4FB FA =， 所以A 是NF 的中点，设A 的横坐标为m,则由抛物线的定义,||||(1)1AF AC m m ==--=+，由AC 与x 轴平行，可得1342m +=， 解得12m =∴334622FA FB ==⨯=，， ∴⋅=FA FB |FA||FB|=9， 故选：A【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义及平行关系，建立比列关系求出||AF 的长，是解题的关键所在，属于中档题.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a > D ．若20210S >，则20a >答案：B根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 解：当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C. 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.8．在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.当二马相逢时，良马所行路程为（ ） A ．1345里 B ．1395里C ．1440里D ．1470里答案：B根据题中条件，确定两马每日的所行路程构成等差数列，设n 天后两马相逢，根据两马所行总路程是两地距离的2倍，列出方程，即可求解.解：设良马每天所行路程为{}n a ，则{}n a 是以103为首项，以13为公差的等差数列， 其前n 项为n A ，驽马每天所行路程为{}n b ，则{}n b 是以97为首项，以12-为公差的等差数列，其前项为n B ， 设共用n 天二马相逢，则21125n n A B +=⨯, 所以(1)(1)110313972250222n n n n n n --⎛⎫+⨯++⨯-= ⎪⎝⎭， 化简得2313600n n +-=，解得9n =， 因此良马所行路程为99810391313952A ⨯=⨯+⨯=. 故选：B.二、多选题9．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列结论正确的有（ ）A ．14ab ≤B ≥C ．114a b+≥D ．2212a b +≥答案：ACD由正实数a ,b 满足1a b +=,再根据基本不等式判断判断每个选项的正误.解：0a >,0b >,且1a b +=,1a b ∴=+≥14ab ∴≤,故A 正确；(2112a ba b +=++=+≤+=,≤故B 错误； 因为1114a b a b ab ab++==≥,故C 正确； 因为()222112121242a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=,故D 正确. 故选：ACD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，已知312a =，120S >，130S <，则下列结论正确的有（ ） A ．670a a +< B ．70a <C ．d 可以取负整数D ．对任意*n N ∈，有6n S S ≤答案：BD利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 解：因为12112111202S a d ⨯=+⋅>， 13113121302S a d ⨯=+⋅< 所以112110,60a d a d +>+<， 即6770,0,a a a +>< 所以60a >，由312a =得1122a d =-，联立112110,60a d a d +>+<可解得 2437d -<<-， 故等差数列{}n a 是单调递减的，且60a >， 70,a < 所以对任意*n N ∈，有6n S S ≤ 综上可知BD 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：由120S >，130S <解得60a >，70a <是求解本题的关键所在，由此结合条件求出d 的范围，判断数列的单调性，求出6n S S ≤，属于中档题.11．2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F 为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A(离月球表面最近的点)距离月球表面m 千米，远月点B(离月球表面最远的点)距离月球表面n 千米，AB 为椭圆的长轴，月球的半径为R 千米.设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a ，2c ，则下列结论正确的有（ ）A ．2m naB ．2m na R +=+ C ．2n mc -=D ．2n mc R -=+ 答案：BC根据图形椭圆长轴长为22a R m n =++，利用椭圆几何性质及图形再写出,a c a c -+即可求解. 解：由题意可知22a R m n =++， 所以2m na R +=+， 因为a c R m -=+，a c R n ，所以2n mc -=故选：BC12(的倒数)的双曲线称为黄金双曲线.已知黄金双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴端点分别为1A ，2A (其中1A 在2A 左侧)，虚轴端点分别为1B ，2B ，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，则下列结论正确的有（ ） A ．245POF ∠=︒ B ．12PQ F F =C ．211B F A △为锐角三角形D ．12B B 是12A A ，12F F 的等比中项答案：ABD 根据离心率，得到512ca ，2212b a=，将12x a =代入双曲线方程，根据题中条件，求出222PF QF OF ==，可判断AB 正确；再由计算11120B F B A =⋅，可判断C 错；计算21221210F F B A B A -=⋅，可判断D 正确.解：因为离心率为c e a ==，则512c a， 所以)2222214b a a =-=，则2221x a =，其左右焦点分别为1,0F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,0F ⎫⎝⎪⎪⎭；令x a =代入2221x a =可得y =，因为过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于P ，Q 两点，则222PF QF OF ===，所以245POF ∠=︒，12PQ F F =，即AB 正确； 又实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ；虚轴端点分别为1B ，2B ，不妨记()10,B b -，()20,B b ，则()11,B F c b =-，()12,B A a b =，所以22211120B F B A a c b ⋅=-+=+=， 则1112B F B A ⊥，即211B F A △为直角三角形，故C 错； 又122B B b =，122A A a =，122F F c =，所以222212121244440F F B B ac b A A -=-=-⋅=， 即12B B 是12A A ，12F F 的等比中项，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据离心率用a 表示出双曲线的方程，得到焦点坐标、实轴端点和虚轴端点坐标，即可结合双曲线的性质求解；解决此类题目要求学生要有较强的计算能力.（求解时，也可用特殊值法，直接令2a =或其它常数，进行求解.）三、填空题13．若正项等比数列{}n a 满足154a a =，当2414a a +取最小值时，数列{}n a 的公比是__________. 答案：2根据等比数列的性质，得到244a a =，由基本不等式求出2414a a +的最小值，由等号成立的条件，即可求出公比.解：设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为154a a =，所以由等比数列的性质可得，244a a =；因此2424141422a a a a +≥⋅=， 当且仅当2414a a =，即2424a q a ==，即2q （负值舍去）时，等号成立.所以数列{}n a 的公比是2. 故答案为：2.14．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.若在“杨辉三角”中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第35项是__________.答案：171根据杨辉三角，总结出规律，确定其第()2k k ≥行的第三个数的通项，再确定第35项是第19行的第三个数，由通项公式，即可求出结果. 解：由杨辉三角可得，第2行的第三个数为1； 第3行的第三个数为12+； 第4行的第三个数为123++； 第5行的第三个数为1234+++； ……因此第()2k k ≥行的第三个数为()123...1k ++++-， 而该数列的第35项是第19行的第三个数， 所以第35项是()18118123 (181712)+++++==. 故答案为：171.15．在三棱锥O ABC -中，E 为OA 中点，13CF CB =，若OA a →=，OB b →=，OC c →=，EF p a q b r c →→→=++，则p q r ++=__________.答案：12根据向量的加减法运算结合图形直接计算即可. 解：如图，故12112()23233EF EA AB BF a b a c b a b c →→→→→→→→→→→→=++=+-+-=-++，11212332p q r ∴++=-++=故答案为：1216．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得124PF PF =，其中1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是__________. 答案：3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭利用椭圆定义122PF PF a +=，可求出185a PF =，225a PF =，再利用椭圆焦半径范围可求出离心率取值范围.解：设椭圆的焦距为()20c c >，由椭圆的定义可得122PF PF a +=，又124PF PF = 可得185a PF =，225aPF = 由题意可得8525aa c a a c⎧≤+⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，解得315ca ≤< 315e ∴≤<故答案为：3,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23a =，728S =. （1）求{}n a 的通项公式：（2）若110m m a a +≤<，求m S 的值. 答案：（1）122n a n =+（2）100 （1）根据等差数列的通项公式及求和公式列方程求解即可； （2）由不等式可求出m ，利用求和公式即可求解. 解：（1）23a =，728S =，217413707(3)18a a d S a a d =+=⎧∴⎨==+=⎩，解得151,22a d ==， 511(1)2222n a n n ∴=+-⨯=+，（2）由（1）知，5151(1)102222m m +-≤<+， 解得1516()m m Z <≤∈，16m ∴=，1651615116100222S ⨯∴=⨯+⨯=.18．已知对任意(1,)x ∈+∞，不等式24451x x m x x -+-≤≤+-成立，记满足条件的m 的取值集合为A ，记关于y 的不等式()222300y ay a a +-≤>的解集为B .（1）求集合A 与B ；（2）若“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 答案：（1）[]1,5A =-；[]3,B a a =-；（2）5a ≥.（1）通过配方，求出245x x -+-的最大值，利用基本不等式求出41x x +-的最小值，得到m 的范围，确定集合A ；解一元二次不等式()222300y ay a a +-≤>，直接得到B ；（2）根据“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，得到A 是B 的真子集，由（1）列出不等式求解，即可的出结果.解：（1）当(1,)x ∈+∞时，()2245211x x x -+-=---≤-，当且仅当2x =时，245x x -+-取得最大值；44111511x x x x +=-++≥=--，当且仅当411x x -=-，即3x =时，等号成立；因为对任意(1,)x ∈+∞，不等式24451x x m x x -+-≤≤+-成立， 所以15m -≤≤；即[]1,5A =-；由22230y ay a +-≤可得()()30y a y a -≤+，因为0a >，所以3a y a -≤≤，即[]3,B a a =-；（2）若“t A ∈”是“t B ∈”的充分不必要条件，则A 是B 的真子集， 所以315a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得5a ≥，即实数a 的取值范围是5a ≥. 【点睛】结论点睛：根据命题的充分条件与必要条件求参数时，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC CC ===，90ACB ∠=︒，点D 在棱AC 上(不同于点A ，C)，点E 为棱1CC 的中点.（1）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值； （2）若二面角1A BE D --的余弦值为66，求线段CD 的长. 答案：（1）36（2）1 （1）建立空间直角坐标系，根据线面角公式求解即可； （2）设(,0,0)(02)D <<，根据二面角公式及二面角1A BE D --的余弦值为6解方程即可求解.解：(1)如图建立空间直角坐标系C 一xyz ,则B(0,2,0)，C (0,0,2)，E(0,0,1 )，A 1(2,0,2).11(0,2,2),(2,0,1),(0,2,1)BC EA EB ∴=-==-.设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =,则2020x z y z +=⎧⎨-=⎩,令x = 1,则(1,1,2)n =--.所以1113cos ,.6||||BC n BC n BC n⋅<>==-所以直线BC 与平面1A BE （2）设(,0,0)(02)D <<，则(,2,0)BD →=-,设平面BED 的法向量为(,,)m x y z →=，则2020x y y z λ-=⎧⎨-=⎩,令y = 1,则2(,1,2)m λ→=.因为二面角1A BE D --的余弦值为6所以2|5|||cos ,6||||6m n m n m n →→→-⋅<>===⨯， 解得1λ=， 所以1CD =【点睛】关键点点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，斜率为3的直线l 与抛物线C 交于A ，B两点，与x 轴交于点P.（1）若5AF BF +=，求直线l 的方程；（2）若3AP PB =，求弦AB 的长. 答案：（1）186230x y --=（2（1）设直线l ：3y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得123x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：13x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 解：（1）由焦点为()1,0F 知，2p =， 所以抛物线方程为24y x =，设直线l 方程为：3y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：1225AF BF x x +=++= 123x x ∴+=联立234y x m y x=+⎧⎨=⎩得：()229640x m x m +-+=则()2264360m m ∆=-->13m ∴<126439m x x -∴+=-=，解得：236m =- ∴直线l 的方程为：2336y x =-，即：186230x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：13x y t =+联立2134x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：24403y y t --= 则161609t ∆=+> 19t ∴>-1243y y ∴+=，124y y t3AP PB =123y y ∴=- 223y ∴=-，12y = 1243y y ∴=-则AB ===【点睛】关键点点睛：根据题意，合理设直线方程的形式，利用抛物线的定义，联立抛物线方程，利用韦达定理，弦长公式，对计算要求较高，属于中档题.21．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1，公差为d 的等差数列，偶数项是首项为2，公比为q 的等比数列.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34S a =，3542a a a +=+· （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设实数0M >，若对于任意*k N ∈，都有(]2120,k kS M a -∈求M 的最小值. 答案：（1）22,23,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⨯⎩是奇数是偶数（2）1 . （1）将已知条件12343542a a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩整理为121211222d qd d q +++=⎧⎨+++=+⎩求出q 和d 的值即可求出通项；（2）先利用分组求和求出21k S -，利用通项求出2k a ，可得22121121113232213k k k k k S k a k ----==+⨯⨯+--，构造数列()2112321k k f k -=+⨯-，利用作差法判断其单调性，可得M 的范围，即可求解. 解：（1）由题意可得11a =，22a =， 因为34S a =，3542a a a +=+，所以12343542a a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即121211222d q d d q +++=⎧⎨+++=+⎩整理得：4232d qd q +=⎧⎨=⎩解得：23d q =⎧⎨=⎩，所以22,23,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⨯⎩是奇数是偶数， ()()2113212422k k k S a a a a a a ---=+++++++()()012135212333k k -=++++-+⨯+++()()121113*********k k k k k --⨯-+-=+⨯=+--，221222323k k k a --=⨯=⨯，所以22121121113232213kkkkkS kak----==+⨯⨯+--，令()2112321kkf k-=+⨯-，则()()()22122231211132323k k kk k k kf k f k-+---+++-=-=⨯⨯⨯，令()2223g k k k=-++，对称轴为12k=，所以()2223g k k k=-++随k的增大而减小，()130g=>，()222222310g=-⨯+⨯+=-<，所以()()21f f>，()()()234f f f>>>，所以2k=时，()2112321kkf k-=+⨯-最大值为()2112121223f=+=⨯-，所以1M≥，所以M的最小值为1.【点睛】易错点睛：本题是函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.22．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点()1,e，且32e=，其中e为椭圆C的离心率.若A，B分别是椭圆C的上顶点与右顶点，动直线()0y kx k=>与椭圆C 交于E，F两点，其中点E在第一象限.（1）求椭圆C的方程；（2）设AEB△，AFB△的面积分别为1S，2S，求21SS的最小值，并求出此时k的值.答案：（1）2214x y +=；（2）21S S的最小值为3+k 的值为12. （1）根据题中条件，由椭圆的性质列出方程组，求出22,a b ，即可得出椭圆方程；（2）先由（1）得到()0,1A ，()2,0B ，求出直线AB 的方程，根据题意，设()00,E x y ，得()00,F x y --，联立直线()0y kx k =>与椭圆方程，求出00,x y ，再分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，根据点到直线距离公式， 以及三角形面积公式，得到2211S d S d =，利用基本不等式，即可求出其最小值，以及取最小值时的k 值.解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()1,e，且e =e 为椭圆C 的离心率，所以222222112e a b c e a a b c ⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，即2222222112c a a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222143b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为2214xy +=；（2）由（1）可得，()0,1A ，()2,0B ， 所以直线AB 的方程为121x y+=，即220x y +-=， 由题意，设()00,E x y ()00x >，因为直线()0y kx k =>与椭圆C 交于E ，F 两点，所以()00,F x y --；由00220014y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2220014x k x +=，则0x =0y = 分别记点E ，F 到直线AB 的距离为1d ，2d ，则1d ===，因为0k >，所以()()22121440k kk +-+=>，则102k >+，因此1212k d +=同理2212kd+==，又AEB△，AFB△的面积分别为1S，2S，所以2221111221111221AB dS dkS dA dB====+=++-211111 121k=+==+≥+=+-3=+当且仅当214k=，即12k=（负值舍去）时，等号成立.故21SS的最小值为3+，此时k的值为12.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线中三角形的面积问题时，一般需要联立直线与曲线方程，根据韦达定理，以及三角形面积公式表示出三角形的面积，再结合相关知识即可求解三角形面积的最值或面积之比的最值等.。
2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年江苏省常州市溧阳市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.设x∈R，则“2x>4”是“x2+2x−3>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=12,S5=90，则等差数列{a n}的公差d=A. 2B. 32C. 3D. 43.若对于任意的x∈[0,2]，不等式x2−2x+a>0恒成立，则a的取值范围为()A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)4.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的，我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人，十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a1，a2，…，a13表示这些半音的频率，它们满足(a i+1ai)12=2(i=1,2,…,12).若某一半音与的频率之比为√23，则该半音为()频率a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13半音C D E F G A B C(八度)A. B. G C. D. A5.已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为A1D，AC上的点，且满足A1D=3MD，AN=2NC，则异面直线MN与C1D1所成角的余弦值为()A. 2√55B. √55C. −√33D. √246.航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点F1.若地球的半径为r，地球同步转移轨道的远地点A(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为14r，近地点B与地球表面的距离为18r，则地球同步转移轨道的离心率为()A. 13B. 18C. 117D. 1197.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则1a +4b的最小值为()A. √22B. √2 C. 5√24D. 2√28.如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，P是底面A1B1C1内一动点，直线PA和底面ABC所成角是定值，则满足条件的点P的轨迹是()A. 直线的一部分B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列结论正确的是()A. 若a>b>0，则1a <2bB. 若a，b>0，4b+a=ab，则a+b的最小值为10C. 函数f(x)=1x−1+x的最小值是3D. 若a>b>c，a+b+c=0，则ca−c >cb−c10.如图，正方体ADCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是()A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4B. 点C到面ABC1D1的距离为√22C. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4D. 二面角C−BC1−D的平面角的余弦值为−√3311.已知曲线C：x2m +y2n=1，()A. 若m >n >0，则C 是焦点在x 轴上的椭圆B. 若m =2n(n >0)，则C 是椭圆，且其离心率为√32C. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为x 2m +y2n =0 D. 若m =−2n ，则C 是双曲线，其离心率为√3或√6212. 已知等比数列{a n }的公比q =−12，等差数列{b n }的首项b 1=18，若a 8>b 8且a 9>b 9，则以下结论正确的有( )A. a 8>a 9B. a 8⋅a 9<0C. b 9>b 8D. b 10<0三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ． 14. 已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线为y =±√33x ，则双曲线C 的标准方程为______15. 某市要建一个椭圆形场馆，其中椭圆的长轴长为200米，短轴长为120米.现要在该场馆内划定一个顶点都在场馆边界上的矩形区域，当这个区域的面积最大时，矩形的周长为______ 米.16. 如图，已知直线l ：y =x 与曲线C ：y =log 12x ，设P 1为曲线C 上纵坐标为1的点，过P 1作y 轴的平行线交l 于Q 2，过Q 2作y 轴的垂线交曲线C 于P 2；再过P 2作y 轴的平行线交l 于点Q 3，过Q 3作y 轴的垂线交曲线C 于P 3；……，设点P 1，P 2，P 3，…，P n 的横坐标分别为a 1，a 2，a 3，…a n .若a 2019=t.则a 2020= ______ 用t 表示)．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在①a n+1−a n =−13，②a n+1=a n +n −8，③a n+1a n=−12这三个条件中任选一个，补充下面的问题：设S n 是数列{αn }的前n 项和，且a 1=4，_______，补充完后． (1)求{a n }的通项公式；(2)判断S n 是否存在最大值(说明理由)．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．(1)证明：EF⊥CD．(2)若SD=8，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足√S n=√S n−1+2(n≥2,n∈N)，且a1=4．(1)求数列{a n}的前n项和S n及通项公式a n(2)记b n=16，T n为{b n}的前n项和，求T n．a n⋅a n+120.如图，在四棱锥S−ABCD中，ABCD为直角梯形，AD//BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC=2AD=2CD=4，E为线段BS上一点，BE=λES．(1)若λ=2，证明：SD//平面ACE；(2)若二面角S−AC−E的余弦值为1，求λ的值．321.圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某市进行科技展览，其中有一个展品就利用了圆锥曲线的光学性质，此展品的一个截面由一条抛物线C1和一个“开了孔”的椭圆C2构成(小孔在椭圆的左上方).如图，椭圆与抛物线均关于x轴对称，且抛物线和椭圆的左端点都在坐标原点，F1，F2为椭圆C2的焦点，同时F1也为抛物线C1的焦点，其中椭圆的短轴长为2√3，在F2处放置一个光源，其中一条光线经过椭圆两次反射后再次回到F2经过的路程为8.由F2照射的某些光线经椭圆反射后穿过小孔，再由抛物线反射之后不会被椭圆挡住．(1)求抛物线C1的方程；(2)若由F2发出的一条光线经由椭圆C2上的点P反射后穿过小孔，再经抛物线上的点Q反射后刚好与椭圆相切，求此时的线段QF1的长；(3)在(2)的条件下，求线段PQ的长．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F的坐标为(1,0)，左焦点为F′，且椭圆C上的点与两个焦点F，F′所构成的三角形的面积的最大值为√3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，已知P，Q两点是位于x轴同侧的椭圆上的两点，且直线PF，QF的斜率之和为0，试问△PFQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值：若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由2x>4⇒x>2，由x2+2x−3>0⇒(x−1)(x+3)>0，解得：x<−3或x>1，由x>2，能够推出x2+2x−3>0，故“2x>4”是“x2+2x−3>0”的充分条件，由x<−3或x>1，不能够推出2x>4，故“2x>4”是“x2+2x−3>0”的不必要条件．故选：A．解不等式，根据取值范围即可判断逻辑关系．本题考查了不等式的解法，充分条件和必要条件的判断，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a1=12，S5=90，d=90，∴5×12+5×42解得d=3．故选：C．利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】B【解析】解：不等式x2−2x+a>0，转化为a>−x2+2x，设f(x)=−x2+2x，x∈[0,2]，则f(x)=−(x−1)2+1，当x=1时，f(x)取得最大值为f(x)max=f(1)=1，所以实数a的取值范围是(1,+∞)．故选：B．不等式x2−2x+a>0恒成立转化为a>−x2+2x恒成立，求出f(x)=−x2+2x，x∈[0,2]的最大值，即可得出实数a的取值范围．本题考查了不等式解法与应用问题，考查了转化思想，是中档题．4.【答案】B【解析】解：∵(a i+1ai)12=2(i=1,2,…,12)，∴(a i+1a i )12=2，∴a i+1a i=2112，∴数列{a n}是公比q=2112的等比数列，，a8=a4q4=D#×(2112)4=D#×√23=G，∴GD#=√23，故选：B．由题意可知a i+1a i=2112，所以数列{a n}是公比q=2112的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出结果．本题主要考查了简单的合情推理，考查了等比数列的实际应用，是基础题．5.【答案】A【解析】解：取线段AD上一点E，使AE=2ED，连接ME、NE，如图所示：因为A1D=3MD，AN=2NC，所以MDA1D =CNAC=DEAD=13，所以NE//CD，ME//AA1，又CD//C1D1，所以∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，设正方体的棱长为3a，则EN=23CD=2a，ME=13AA1=a，所以在Rt△MNE中，MN=√ME2+EN2=√a2+(2a)2=√5a，所以cos∠MNE=ENMN =2√55．故选：A．根据异面直线所成角的定义先找出所成角，取线段AD上一点E，使AE=2ED，连接ME、NE，∠MNE为异面直线MN与C1D1所成角，然后解三角形即可求出所求．本题主要考查了异面直线所成角的度量，解题的关键是找出异面直线所成角，同时考查了学生的运算求解的能力．6.【答案】D【解析】解：由题意可得：|AF1|=a+c=14r+r=54r，|BF1|=a−c=18r+r=98r，联立解得：a=1916 r,c=116r，所以椭圆的离心率为e=ca =119，故选：D．利用椭圆的几何性质即可求出用a，c，r表示的|AF1|，|BF1|，联立即可求解．本题考查了椭圆的几何性质以及学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：双曲线C的渐近线方程为y=±bax，∴D(a,b)，E(a,−b)，∵△ODE的面积为8，∴12⋅a⋅2b=8，即ab=8，∴1a +4b=b+4aab≥2√4abab=2×√4×88=√2，当且仅当1a=4b，即a=√2，b=4√2时，等号成立，∴1a +4b的最小值为√2．故选：B．由双曲线C的渐近线方程可得点D，E的坐标，再由三角形的面积公式推出ab=8，然后利用基本不等式，即可得解．本题考查双曲线的几何性质，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：设点P在平面ABC上的投影为P′，因为直线PA和底面ABC所成角是定值，所以∠PAP′为定值，即tan∠PAP′为定值，因为PP′为定值，所以AP′也为定值，设AP′=a，所以点P′到点A的距离恒为定值a，又因为P′为点P在平面ABC的投影，所以点P到点A1的距离恒为a，由圆的定义可知，点P的轨迹为圆的一部分．故选：B．设点P在平面ABC上的投影为P′，将直线PA和底面ABC所成角是定值，转化为点P′到点A的距离恒为定值a，从而得到点P到点A1的距离恒为a，即可判断得到答案．本题考查了动点轨迹的求解，涉及了空间几何体的应用，解题的关键是将直线PA和底面ABC所成角是定值，转化为点P到点A1的距离恒为定值．9.【答案】AD【解析】解：对于A，由a>b>0，则0<1a <1b，故1a<2b正确，故A正确，对于B，由a，b>0，4b+a=ab⇒4a +1b=1，a+b=(a+b)(4a+1b)=5+4ba+ab≥5+4=9，故B错误，对于C，当x<0时，f(x)<0，故C错误，对于D，由a>b>c⇒a−c>0，b−c>0，a−c>b−c，所以1a−c <1b−c，由a>b>c，a+b+c=0⇒c<0，所以ca−c >cb−c，故D正确．故选：AD．A利用不等式的基本性质可判断，B利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出，C利用特殊值可判断，D利用不等式的基本性质可判断．本题考查了基本不等式的性质，不等式的基本性质，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：如图，取BC1的中点H，连接CH，易证CH⊥平面ABC1D1，所以∠C1BC是直线BC与平面ABC1D1所成的角，为π4，故A正确；点C到平面ABC1D1的距离为CH的长度，为√22，故B正确；易证BC1//AD1，所以异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C或其补角，因为△ACD1为等边三角形，所以两条异面直线D1C和BC1所成的角为π3，故C错误；连接DH，由BD=DC1，所以DH⊥BC1，又CH⊥BC1，所以∠CHD为二面角C−BC1−D的平面角，易求得DH=√62，又CD=1，CH=√22，由余弦定理可得cos∠CHD=DH2+CH2−CD22DH⋅CH =√33，故D错误．故选：AB．根据线面角的定义及求法即可判断A；由点到平面的距离的求法即可判断B；由异面直线所成角的定义及求法即可判断C；由平面角的定义及余弦定理即可判断D．本题主要考查命题真假的判断，空间角与空间距离的求法，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：曲线C ：x 2m+y 2n=1，若m >n >0，则C 是焦点在x 轴上的椭圆，故A 正确； 若m =2n(n >0)，则C 是椭圆，且e =c a=√2n−n √2n =√22，故B 错误；若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为x 2m+y 2n=0，故C 正确；若m =−2n ，则C 是双曲线，当n >0，可得双曲线的焦点在y 轴上， 可得e =√n+2n √n=√3，当n <0，可得双曲线的焦点在x 轴上， 可得e =√−2n−n √−2n=√62，故D 正确．故选：ACD ．由m >n >0，可得C 为焦点在x 轴上的椭圆，可判断A ；由m =2n(n >0)，求得离心率，可判断B ；由mn <0，求得双曲线的渐近线方程，可判断C ；由m =−2n ，讨论n >0，n <0，求得离心率，可判断D ． 本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想、分类讨论思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】BD【解析】解：因为等比数列{a n }的公比q =−12，所以a 8⋅a 9<0，B 正确； 设等差数列{b n }的公差为d ，所以a 1(−12)7>18+7d ，a 1(−12)8>18+8d ，显然a 1≠0，若a 1>0，则18+7d <0，即d <0，所以b 9−b 8=d <0，b 10=18+9d =18+7d +2d <0，a 8<a 9， 若a 1<0，则18+8d <0，即d <0，所以b 9−b 8=d <0，b 10=18+9d =18+8d +d <0，a 8>a 9， 所以A 无法确定，C 错误，D 正确． 故选：BD ．由等比数列{a n }公比为负数，可知B 正确；设等差数列{b n }的公差为d ，根据题意可得，a 1(−12)7>18+7d ，a 1(−12)8>18+8d ，就a 1的正负分类讨论，即可判断b 10<0，d <0，所以C 错误，D 正确，A 无法确定． 本题主要考查等差数列，等比数列通项公式的应用，属于中档题．13.【答案】√32【解析】解：设P(x,y ，z)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1,y −2,z −3),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,1−y,2−z)，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x −1,y −2,z −3)=(−x,1−y,2−z)， ∴{x −1=−x y −2=1−y z −3=2−z ，解得{ x =12y =32z =52，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,−12)，∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32． 故答案为：√32．可设P(x,y ，z)，然后根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可求出x ，y ，z 的值，进而得出向量AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，从而可得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值． 本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，相等向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】x 23−y 2=1【解析】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为为y =±√33x ，设双曲线方程为x 29−y 23=λ(λ≠0)，∵双曲线C 过点(3,√2)， ∴99−23=λ，即λ=13． ∴所求双曲线方程为x 23−y 2=1．故答案为：x 23−y 2=1．根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y =±√33x ，可设双曲线方程为x 29−y 23=λ(λ≠0)，又由双曲线过点P ，将点P 的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题，特别要掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．15.【答案】320√2【解析】解：由题意可知，2a =200，2b =120，即a =100，b =60， 所以椭圆方程为：x 210000+y 23600=1，即椭圆的参数方程为：{x =100cosθy =60sinθ，所以矩形在第一象限的顶点坐标可设为：{x =100cosθy =60sinθ，θ∈(0,π2)，根据对称性可知矩形的长为2x ，宽为2y ，所以矩形的面积S =4xy =12000sin2θ，当且仅当θ=π4，时，面积S 取到最大值，此时，矩形的周长为4(x +y)=4×(100cosθ+60sinθ)=4×(100×√22+60×√22)=320√2，故答案为：320√2．由椭圆的定义，以及椭圆的性质，所以矩形的中心在坐标原点，且关于坐标轴对称，可将椭圆方程设为参数形式，即可解决．本题考查椭圆的性质，属于基础题．16.【答案】2−t【解析】解：因为P 1为曲线C ：y =log 12x 上纵坐标为1的点，所以点P 1的横坐标a 1=12， 由题意可得点Q n+1与点P n 的横坐标相等，点Q n+1与点P n+1的纵坐标相等， 因为点Q n+1在直线y =x 上，所以它的横纵坐标相等，都是a n ， 从而得到点P n+1的纵坐标是a n ，点P n+1在曲线C ：y =log 12x 上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)a n ， 即a n+1=(12)a n ，若a 2019=t.则a 2020=(12)t =2−t ． 故答案为：2−t ．由题意分析可得点P n+1的纵坐标是a n ，由点P n+1在曲线C ：y =log 12x 上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)a n ，可得递推公式a n+1=(12)a n ，由此可求得结论．本题主要考查函数与数列的综合，由题意求出递推公式是解题的关键，属于中档题．17.【答案】解：选①时，(1)由于a n+1−a n =−13，所以数列{αn }是以4为首项，−13为公差的等差数列，所以a n =−13n +133，(2)由−13n +133≥0，解得n ≤13．所以S 13或S 12最大， 由于S 13=13×4+13×122×(−13)=26，故最大值为26．选②时，(1)a n+1=a n +n −8，所以a n+1−a n =n −8，a n −a n−1=n −9，…，a 2−a 1=−7， 所有的式子相加得：a n −a 1=(−7+n−9)(n−1)2=n 2−17n+162，整理得a n =n 2−17n+162+4，(2)当n ≥16时，数列的前n 项和不存在最大值． 选③时， (1)a n+1a n=−12，数列{αn }的首项为4，公比为−12的等比数列．所以a n =4×(−12)n−1=(−12)n−2． (2)当n 为奇数时，S n =4[1−(−12)n ]1+12=83×(1+12n)．由于83×(1+12n )随着n 的增大而减小，所以S n 的最大值为S 1=4， 当n 为偶数时，S n =83×(1−12n )<83<4． 所以S n 存在最大值，且最大值为4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步求出数列的和，最后确定最大值．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18.【答案】(1)证明：因为SD ⊥平面ABCD ，且CD ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥CD ，取CD 中点O ，连结EO ，FO ，因为点E ，F 分别为AB ，SC 的中点，底面ABCD 是正方形， 所以EO//AD ，FO//SD ，所以EO ⊥CD ，FO ⊥CD ，又EO ∩FO =O ，且EO ，FO ⊂平面OEF ， 所以CD ⊥平面OEF ，又EF ⊂平面OEF ， 所以EF ⊥CD ；(2)解：因为SD ⊥平面ABCD ，且AD ，CD ⊂平面ABCDA ， 所以SD ⊥AD ，SD ⊥CD ， 由(1)可知，FO//SD ，所以FO ⊥AD ，FO ⊥CD ，AD ，CD 是平面ABCD 中的相交线， 所以FO ⊥平面ABCD ，所以∠FEO 即为直线EF 与平面ABCD 所成的角， 在Rt △FEO 中，∠FOE =90°，EO =FO ， 所以∠FEO =45°，所以直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为√22．【解析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理即可证明；(2)利用(1)中的结论和线面垂直的判定定理，可得到FO ⊥平面ABCD ，从而∠FEO 即为直线EF 与平面ABCD 所成的角，求解即可．本题考查了线面垂直的性质定理和判定定理的应用，在利用几何法求线面角，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．19.【答案】解：(1)数列{a n }的前n 项和S n 满足√n =√S n−1+2(n ≥2,n ∈N)，整理得√S n −√S n−1=2(常数)，所以数列{√S n }是以2为首项，2为公差的等差数列； 所以√S n =2+2(n −1)=2n ， 所以S n =4n 2，所以a n =S n −S n−1=8n −4． 当n =1时，a 1=4， 所以a n =8n −4． (2)b n =16a n ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，所以T n =b 1+b 2+b 3+⋯+b n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式； (2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．20.【答案】(1)证明：∵BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ∩平面ABCD =CD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面SCD ，以C 为原点，CD ，CB 所在直线分别为y ，z 轴，作Cx ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,2，2)，B(0,0，4)，D(0,2，0)，S(1,1，0)， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，0)， 当λ=2时，E(23,23,43)，∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43)， 设平面ACE 的一个法向量为p ⃗ =(x,y ，z)，则{p ⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =0p ⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +2z =023x +23y +43z =0， 令z =−1，则x =y =1，∴p ⃗ =(1,1，−1)， ∵SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =−1×1+1×1=0， ∴SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥p ⃗ ，又SD ⊄平面ACE ，∴SD//平面ACE ．(2)解：由B(0,0，4)，S(1,1，0)，及BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λES ⃗⃗⃗⃗⃗ 知，E(λ1+λ,λ1+λ,41+λ)， ∴CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ1+λ,λ1+λ,41+λ)，设平面ACE 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y +2z =0λ1+λx +λ1+λy +41+λz =0，令z =1，则x =1−4λ，y =−1，∴m ⃗⃗⃗ =(1−4λ,−1,1)， 同理可得，平面SAC 的一个法向量为n⃗ =(1,−1,1)， 设二面角S −AC −E 的平面角大小为θ，则cosθ=13， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ ||=1−4λ+1+1√(1−4λ)+1+1×√3=cosθ=13，化简得8(4λ2−8λ+3)=0， 解得λ=2或23，当λ=2时，m⃗⃗⃗ =(−1,−1,1)，n ⃗ =(1,−1,1)， 此时m⃗⃗⃗ 指向二面角S −AC −E 的内部，n ⃗ 指向二面角S −AC −E 的外部， ∴θ与<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >相等，cosθ=cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3×√3=13， 当λ=23时，m⃗⃗⃗ =(−5,−1,1)，n ⃗ =(1,−1,1)， 此时m⃗⃗⃗ 指向二面角S −AC −E 的内部，n ⃗ 指向二面角S −AC −E 的外部， ∴θ与<m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >相等，cosθ=cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√3×√3=−13，不合题意，综上所述，λ=2．【解析】(1)由面面垂直的性质定理可知BC ⊥平面SCD ，于是以C 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ACE 的一个法向量p ⃗ ，由SD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅p ⃗ =0，即可得证；(2)易知E(λ1+λ,λ1+λ,41+λ)，求得平面ACE 和平面SAC 的法向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ ，由|cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=13，解出λ=2或23，再检验两个值是否都符合题意即可．本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面平行与二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设椭圆C 2的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，由题可知：2b =2√3，4a =8，则b =√3，a =2，所以c =1， 故抛物线C 1的焦点F 1(1,0)， 所以抛物线C 1的方程为y 2=4x ；(2)由题可设Q(m,√3)，代入抛物线的方程可得：m =34，即Q(34,√3)， 所以|QF 1|=√(34−1)2+(√3−0)2=74；(3)由(2)可知k QF 1=√3−034−1=−4√3，即tan∠QF 1F 2=−4√3，又∠QF 1F 2+∠PF 1F 2=π，得tan∠PF 1F 2=4√3，又∠PF 1F 2∈(0,π)， 故cos∠PF 1F 2=17，设PF 1=m ，PF 2=4−m ，而|F 1F 2|=2，所以由余弦定理可得：PF 22=PF 12+F 1F 22−2PF 1⋅PF 2cos∠PF 1F 2，即(4−m)2=m 2+4−2m ⋅2⋅17，解得m =2113， 故线段PQ 的长为2113+74=17552．【解析】(1)在椭圆中取出椭圆的焦点F 1的坐标，由此即可求解；(2)设出点Q 的坐标，代入抛物线方程即可求出点Q 的坐标，进而可以求解；(3)求出直线QF 1的斜率，进而可以求出tan∠QF 1F 2=−4√3，又∠QF 1F 2+∠PF 1F 2=π，得tan∠PF 1F 2=4√3，由此求出cos∠PF 1F 2=17，然后利用余弦定理即可求解．本题考查了抛物线的方程以及椭圆的性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，还考查了学生的运算转化能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)设M(x,y)为椭圆C 上的点，得到S △MFF′=12FF′⋅|y M |=|y M |， 又y M ∈[−b,b]，则(S △MFF′)max =b =√3， 所以a =√b 2+c 2=2， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设Q′是Q 关于x 轴的对称点，直线PF ，QF 的斜率之和为0知：直线PF ，QF 关于x 轴对称， 由椭圆的对称性可知，P ，F ，Q′三点共线，直线PF 的斜率存在且不为0，设其方程为x =my +1， 由{x 24+y 23=1x =my +1，消去x 得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 所以y P ⋅y Q =−93m 2+4，所以S △PQF =S △PQQ′−S △PQF =12|2y Q ||x P −x Q |−12|2y Q ||x P −x Q |=|y Q ||x P −1|=|y Q ||my P |=|my P y Q |=9|m|3m 2+4， 又9|m|3m 2+4=93|m|+4|m|≤2√3|m|⋅4|m|=3√34，当且仅当|m|=2√33时，取等号， 故△PFQ 的面积存在最大值3√34．【解析】(1)设M(x,y)为椭圆C 上的点，S △MFF′=|y M |，进而(S △MFF′)max =b =√3，解得a ，进而可得椭圆C 的方程．(2)设Q′是Q 关于x 轴的对称点，根据题意可得直线PF ，QF 关于x 轴对称，设其方程为x =my +1，联立椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得y P ⋅y Q ，再分析S △PQF =S △PQQ′−S △PQF ，结合基本不等式推出△PFQ 的面积最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
2019-2020年高二上学期期末数学文试题 含答案(I)
2019-2020年高二上学期期末数学文试题 含答案(I)1、已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.1342、已知不重合的两直线1l 与2l 对应的斜率分别为1k 与2k ，则“21k k =”是“1l ∥2l ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不是充分也不是必要条件3、双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值是（ ） A 、－16 B 、4 C 、16 D 、814、如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方 形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A 、 4πB 、 54πC 、 πD 、 32π5、已知实数0,0,0><>c b a ，则直线0=-+c by ax 通过（ ） A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限6、下列说法中，错误．．的个数是（ ） ①一条直线与一个点就能确定一个平面 ②若直线a ∥b ，⊂b 平面α，则a ∥α ③若函数)(x f y =定义域内存在0x x =满足)(0x f '0= ，则0x x =必定是)(x f y =的极值点④函数的极大值就是最大值A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )>f (c )>f (d ) B ．f (b )>f (a )>f (e ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (e )>f (d )8、若M 、N 为两个定点且|MN|＝6，动点P 满足PM ·PN ＝0，则P 点的轨迹是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线9、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A.14 B. C. 12 D.10、．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 一、填空题（每小题5分，共20分）11、命题“04,2>++∈∀x x R x ”的否定是 12、若原点在直线l 上的射影为A )1,2(-，则l 的方程为____________________13、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是14、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线04=--y x 的距离的最小值是二、解答题（共80分）15、（12分）命题p : 关于x 的不等式2240x ax ++>,对一切x R ∈恒成立; 命题q : 函数()(32)xf x a =-在R 上是增函数.若p 或q 为真, p 且q 为假,求实数a 的取值范围.16、（14分）在圆锥PO 中，已知PO ＝22，⊙O 的直径AB ＝4，点C 在底面圆周上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求点O 到面PAD 的距离。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)_15
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题1.已知等差数列中，，，则的值是（）A. 35B. 37C. 39D. 41【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可求出公差，进而求出的值.【详解】解：由题意可知，解得.所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.2.命题“对任意，恒有”的否定是（）A. 对任意，恒有B. 存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得【答案】B【解析】【分析】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定.【详解】解：由全称命题的否定方法得：“对任意，恒有”的否定是“存在，使得”成立.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定方法，属于基础题.3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.【详解】双曲线的焦点为，离心率，故椭圆的焦点为，离心率，即.解得，故椭圆标准方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.4.已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.5.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】C【解析】【分析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以 ,故.所以 .故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据题意求出，结合余弦定理分情况讨论即可.【详解】解：因为，所以.由题意得，利用余弦定理得：.当，即时，，即，解得：.此时三角形为等边三角形；当，即时，,不成立.所以三角形的形状是等边三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.8.在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.9.已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.10.设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因点满足，所以，所以，即，所以 .故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.11.在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离 .当，即时，距离有最大值为 .故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.二、填空题13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】7【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移知，当目标函数经过点时，即时，有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足，，的三角形解的个数是______.【答案】2【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，.故满足条件的三角形共有个.故答案为：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.15.已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时，即时取等号.因为恒成立，所以，解得 .故实数的取值范围是.故答案填：.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．三、解答题17.在中，角，，的对边分别为，，，若.（1）求边的长；（2）若角，，成等差数列，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意运用两角和与差正弦公式整理即可得边的长度；(2)根据题意运用余弦定理和基本不等式求出的最大值，进而可求出三角形面积最大值.【详解】解：（1）∵，且，，是的内角∴∵，∴；（2）∵角，，成等差数列且，∴，又∵，由余弦定理：，得：.∴.又∵则有，∴.当且仅当时“=”成立，此时面积有最大值.【点睛】本题主要考查，两角和与差的正弦公式、利用余弦定理和基本不等式结合求三角形面积的最值，属于中档题.18.数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据题中公式写出当时，，将两式相减可得，即可求出时数列是等差数列，公比为2，再检验时的情况即可；(2)利用裂项相消法求数列的前项和，再判断是否小于.【详解】解：（1）由可得：当时，，上述两式相减可得，即.又∵，，，∴，数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴；（2）证明：由（1）可得，，，∴，故.∴.【点睛】本题考查如何求通项公式，和运用裂项相消法求数列的前项和并判断范围，属于中档题.19.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点.（1）证明：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)由线面垂直可得线线垂直，最终证出线线垂直;(2)建立空间直角坐标系，求出的空间坐标和平面的法向量，利用求线面角所成角的正弦公式求出即可.【详解】解：（1）连接，交于点，∵平面，平面，∴，又∵是菱形，∴.又∵，，都在平面内,∴平面，又∵平面,∴.（2）易知，为的中点，且是的中点，，∴平面以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如科所示的空间直角坐标系.又∵，∴，，，，.∴，，.设平面的法向量为，则即，取.∴.故所求直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线线垂直定理，考查建立空间坐标系求线面角的余弦值，属于中档题.20.已知抛物线（）的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，的面积为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，（3，2）是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用抛物线性质求出值，即可；(2)由，是抛物线上两点，代入方程两式相减，解得值，即可得出结论.【详解】解：（1）由抛物线性质知：的面积，∴,∴所求抛物线的标准方程为；（2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，设，，由，在抛物线上得：，相式相减化简得：又∵，，代入上式解得：.故所求直线的方程为：.即.【点睛】本题考查由抛物线性质求标准方程，与做差法求直线方程，属于中档题.21.如图，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)根据线面平行证明面面平行，得出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设线段的长为，根据二面角的余弦值，求出线段.【详解】解：（1）∵，，平面，平面平面，平面，又∵，∴平面平面又∵平面，∴平面.（2）∵平面，,，，∴以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第.易知，，，设，，则，，，，，设为平面的法向量，则：由得：，取；设为平面的法向量则由得得：，取.∴∵二面角的余弦值为.∴，解得：经验证：时，符合题意故所求.【点睛】本题考查线面平行定理和利用二面角的余弦值求参数问题，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系中，（），（），的周长为，设顶点的轨迹为，若直线与轴交于点，与曲线交于，两点.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（）；（2）【解析】【分析】(1) 根据题中周长结合椭圆定义即可求出轨迹方程；(2) 联立直线与椭圆方程，运用韦达定理，再由关系求出实数的值.【详解】解：（1）∵的周长为∴.由椭圆定义知：顶点的轨迹是焦点在轴上，长轴长为4的椭圆，其中，，即，，,故所求顶点的轨迹的方程为：（）；（2）设，，由联立化简得：∴，.又∵∴∴.与联立，解得：，代入，解得：，∴.验证：当时，成立，符合题意.故所求.【点睛】本题考查求椭圆的轨迹方程，及根与系数的关系求参数，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题理（含解析）一、选择题1.已知等差数列中，，，则的值是（）A. 35B. 37C. 39D. 41【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式可求出公差，进而求出的值.【详解】解：由题意可知，解得.所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的应用，属于基础题.2.命题“对任意，恒有”的否定是（）A. 对任意，恒有B. 存在，使得C. 存在，使得D. 存在，使得【答案】B【解析】将量词改为“存在”，将结论否定当结论．由此得到原命题的否定.【详解】解：由全称命题的否定方法得：“对任意，恒有”的否定是“存在，使得”成立.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定方法，属于基础题.3.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且它们的离心率之积为1，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算双曲线的焦点为，离心率，得到椭圆的焦点为，离心率，计算得到答案.【详解】双曲线的焦点为，离心率，故椭圆的焦点为，离心率，即.解得，故椭圆标准方程为：.故选：.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，焦点，椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.4.已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当时，不等式不成立，错误；，故错误正确；当时，不等式不成立，错误；故选：.【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.5.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A. 2B. 4C. -4D. -2【答案】C【解析】【分析】根据三点在一条直线上，利用向量共线原理，解出实数的值.【详解】解：因为空间三点，，在一条直线上，所以 ,故.所以 .故选：C.【点睛】本题主要考查向量共线原理，属于基础题.6.命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】“存在，使得”为真命题，可得，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出.【详解】解：因为“存在，使得”为真命题，所以，因此上述命题得个充分不必要条件是.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7.已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则这个三角形的形状是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】【分析】根据题意求出，结合余弦定理分情况讨论即可.【详解】解：因为，所以.由题意得，利用余弦定理得：.当，即时，，即，解得：.此时三角形为等边三角形；当，即时，,不成立.所以三角形的形状是等边三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题.8.在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，点是棱上的点且满足，则两异面直线，所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出点、、、和向量的、坐标，运用求异面直线余弦值的公式即可求出.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则，，，，故,,，故两异面直线，所成角的余弦值是.故选：A.【点睛】本题考查求异面直线所成角的余弦值，属于中档题.9.已知直线经过抛物线的焦点，且与该抛物线交于，两点，若满足，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出抛物线的焦点，设出直线方程，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量坐标表示，解得，即可得出直线的方程.【详解】解：抛物线的焦点，设直线为，则，整理得，则，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故选：C.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，主要考查韦达定理和向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题.10.设直线与双曲线（，）的两条渐近线分别交于，两点，若点满足，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出，的坐标，再求中点坐标，利用点满足，可得，从而求双曲线的离心率.【详解】解:由双曲线方程可知，渐近线为，分别于联立，解得：，，所以中点坐标为，因点满足，所以，所以，即，所以 .故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.11.在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,则,,设点,故，，.设设平面的法向量为，则即，取，则.所以点到平面距离 .当，即时，距离有最大值为 .故选:D.【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.12.两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”：有3个柱子甲、乙、丙，甲柱上有个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（如图）.把这个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束，在移动的过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为，则当时，和满足（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过写出几项，寻找规律，即可得到和满足的递推公式.【详解】若甲柱有个盘，甲柱上的盘从上往下设为，其中，，当时，将移到乙柱，只移动1次；当时，将移到乙柱，将移到乙柱，移动2次；当时，将移到丙柱，将移到丙柱，将移到乙柱，再将移到乙柱，将移到乙柱，；当时，将上面的3个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的3个移到乙柱，共次，所以次；当时，将上面的4个移到丙柱，共次，然后将移到乙柱，再将丙柱的4个移到乙柱，共次，所以次；……以此类推，可知，故选.【点睛】主要考查了数列递推公式的求解，属于中档题.这类型题的关键是写出几项，寻找规律，从而得到对应的递推公式.二、填空题13.已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为______.【答案】7【解析】【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据平移知，当目标函数经过点时，即时，有最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划求最值问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足，，的三角形解的个数是______.【答案】2【解析】【分析】直接利用正弦定理得到答案.【详解】根据正弦定理得到：，故，.故满足条件的三角形共有个.故答案为：.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的个数问题，意在考查学生的应用能力.15.已知正数，满足.若恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式性质可得的最小值，由恒成立可得即可求出实数的取值范围.【详解】解：因为正数，满足，所以，当且仅当时，即时取等号.因为恒成立，所以，解得 .故实数的取值范围是.故答案填：.【点睛】熟练掌握基本不等式的性质和正确转化恒成立问题是解题的关键.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，即：a|PF1|=|cPF2|设点（x0，y0）由焦点半径公式，得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围．三、解答题17.在中，角，，的对边分别为，，，若.（1）求边的长；（2）若角，，成等差数列，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根据题意运用两角和与差正弦公式整理即可得边的长度；(2)根据题意运用余弦定理和基本不等式求出的最大值，进而可求出三角形面积最大值.【详解】解：（1）∵，且，，是的内角∴∵，∴；（2）∵角，，成等差数列且，∴，又∵，由余弦定理：，得：.∴.又∵则有，∴.当且仅当时“=”成立，此时面积有最大值.【点睛】本题主要考查，两角和与差的正弦公式、利用余弦定理和基本不等式结合求三角形面积的最值，属于中档题.18.数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求证：数列的前项和.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】(1)根据题中公式写出当时，，将两式相减可得，即可求出时数列是等差数列，公比为2，再检验时的情况即可；(2)利用裂项相消法求数列的前项和，再判断是否小于.【详解】解：（1）由可得：当时，，上述两式相减可得，即.又∵，，，∴，数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴；（2）证明：由（1）可得，，，∴，故.∴.【点睛】本题考查如何求通项公式，和运用裂项相消法求数列的前项和并判断范围，属于中档题.19.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，点是棱的中点.（1）证明：；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)由线面垂直可得线线垂直，最终证出线线垂直;(2)建立空间直角坐标系，求出的空间坐标和平面的法向量，利用求线面角所成角的正弦公式求出即可.【详解】解：（1）连接，交于点，∵平面，平面，∴，又∵是菱形，∴.又∵，，都在平面内,∴平面，又∵平面,∴.（2）易知，为的中点，且是的中点，，∴平面以为坐标原点，，，分别为，，轴建立如科所示的空间直角坐标系.又∵，∴，，，，.∴，，.设平面的法向量为，则即，取.∴.故所求直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线线垂直定理，考查建立空间坐标系求线面角的余弦值，属于中档题.20.已知抛物线（）的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，的面积为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线与抛物线交于，两点，（3，2）是线段的中点，求直线的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用抛物线性质求出值，即可；(2)由，是抛物线上两点，代入方程两式相减，解得值，即可得出结论.【详解】解：（1）由抛物线性质知：的面积，∴,∴所求抛物线的标准方程为；（2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：，设，，由，在抛物线上得：，相式相减化简得：又∵，，代入上式解得：.故所求直线的方程为：.即.【点睛】本题考查由抛物线性质求标准方程，与做差法求直线方程，属于中档题.21.如图，平面，，，，，.（1）求证：平面；（2）若二面角的余弦值为，求线段的长.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】(1)根据线面平行证明面面平行，得出线面平行；(2)建立空间直角坐标系，设线段的长为，根据二面角的余弦值，求出线段.【详解】解：（1）∵，，平面，平面平面，平面，又∵，∴平面平面又∵平面，∴平面.（2）∵平面，,，，∴以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标。
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一、单选题
江苏省常州市溧阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
1. 在等差数列
中，若
=4，
=2，则
= （）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 6
2. 设命题
，则
为（）
A．
B．
C．
D．
3. 设
是椭圆
上的动点，则
到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.
，
.若
.则实数
的值是（ ）
A．－2B．
C．2D．0
5. 以椭圆
的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
6. 已知椭圆
的离心率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 设等差数列
前
项和为
，若
.
，则
的值是（ ）
A．15B．30C．13D．25
8. 已知等差数列
的公差为d,前n项和为
,则“d>0”是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A．若
，则“”的充分条件是“
”；
B．若
，则“
”的充要条件是“
”；
C．命题“对任意
.有
”的否定是“存在
，有
”
D．“
，
”是“
”的充分条件.
10. 已知在四面体
中，点
是棱
上的点，且
，点
是棱
的中点，若
其中
为实
数，则
的值是（ ）
江苏省常州市溧阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
二、填空题
A．
B．
C．－2D．2
11. 已知椭圆C
1
：
+y2=1（m＞1）与双曲线C2：
–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m＞n且e1e2＞1B．m＞n且e1e2＜1C．m＜n且e1e2＞1D．m＜n且e1e
2
＜1
12. 首项为
，公差为
的等差数列
的前
项和为
，满足
.则
的取值范围（ ）
A．
或
B．
C．
D．
13. 若
恒成立，则实数
的取值范围为________.
14. 设
为等比数列
的前
项和，
则
________.
江苏省常州市溧阳市2019-2020学年高二上学期期末数学试题
三、解答题
15. 已知四棱柱
的底面
是矩形，
，
，
，
，则
________.
16. 双曲线
的方程为，为其渐近线，为右焦点.过作且
交双曲线
于
，交
于
.若
，且
则双曲线的离心率的取值范围为________.
17. 在等差数列
中，
，
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前项和.
18. 如图，在正方体
中，点
是
的中点.
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（1）求
与
所成的角的余弦值；
（2）求
与平面
所成的角正弦值.
19. 若椭圆
：
与双曲线
：
有相同的焦点，且椭圆
与双曲线
交于点
.
（1）求
的值；
（2）过椭圆
的右焦点
且斜率为
的直线
与椭圆
交于，
两点，求
的长度.
20. 如图，四棱锥
中，平面，，，,，
.
（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；
（2）在边
是否存在一点
使二面角
的余弦值为
，若存在请确定点
的位置，不存在，请说明理由.
21. 椭圆
：
的左，右焦应分别是
，
，离心率为
，过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为1.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知直线
：
与椭圆
切于点
，直线
平行于
，与椭圆
交于不同的两点
、，且与直线
交于点
.证明：存在常数
，使得
，并求
的值；
（3）点
是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设后的角平分线交的长轴于点
，求
的取值范围.
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22. 设
数列
的前
项和，对任意
，都有
（
为常数）.
（1）当
时，求
；
（2）当
时，
（ⅰ）求证：数列
是等差数列；
（ⅱ）若数列
为递增数列且，设，试问是否存在正整数（其中
），使
成等比数
列？若存在，求出所有满足条件的数组
；若不存在，说明理由.
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