现代控制理论第四章
《现代控制理论》第三版课件_第4章
e λ1t z10 λ2t e z 20 z (t ) = λnt e z n0
ˆ C11 ˆ C 21 y (t ) = ˆ C m1 ˆ C12 ˆ C
λt ˆ C1n e 1 z10 ˆ e λ2t z 20 C2n ˆ e λnt z n 0 C mn
J = diag{λ1 , λ2 , , λn }
[ p1
p2
λ1 0 pn ] 0
0 λ2 0
0 0 = A [p 1 λn
p2 pn ]
J1 0 J = P −1 AP = 0
0 J2 0
λ j 0 0 0
零空间（核空间）
n
4-5 状态向量的线性变换
x = Ax + Bu y = Cx + Du
x = Pz
ˆ ˆ = P −1 APz + P −1 Bu = Az + Bu z ˆ y = CPz + Du = Cz + Du
状态向量的线性变换不影响系统的状态能控 性、能观性和传递函数阵，也不影响系统矩 阵的特征值和系统平衡状态的稳定性。
[
p j 2 p jq
]
( λ j I − A) p j1 = 0
Pj = p j1
[
p j2
p jq
]
( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2 ( λ j I − A) p jq = − p j ( q −1)
( λ j I − A) p j1 = 0 ( λ j I − A) p j 2 = − p j1 ( λ j I − A) p j 3 = − p j 2
现代控制理论第4章2
在2xx 1的范围内，系统是渐近稳定的。
4.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
x Ax
式中 x R。n , A R nn
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态 易通Lyapunov第二法进行研究。
(4.3)
，其平衡状x态e 的稳0定性很容
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
V (x) f T (x) f (x) 3x1 x2
x1
x2
x23
3x1 x2
x1
x2
x23
（ 3x1 x2）2 （x1 x2 x23）2 ,
则平衡状态xe 0是大范围渐近稳定的。
关于定理的几点说明：
（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若
不是负定的，则不能给Fˆ出(x任) 何结论。
v(x) (V )T x
3）限定 v( x是)负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程
Fi Fj x j xi
确定待定系数aij 。
(i, j 1, , n)
4）将得出的 v重( x新)校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。
5）由V 的线积分求出
，积v分( x路)径按式（4-44）给出。
6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。
注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态 是不稳定的。
例： 设非线性系统方程为
xx12
x1 x2
2x12
x2
利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。
解：（1）假定v (x)的梯度为
V
a11x1 a12 x2
现代控制理论 刘豹 第4章
，则为定常的非线性系统。 下，有唯一解： （2）
设方程式(1)在给定初始条件
式中，
为表示
在初始时刻
时的状态；
是从
开始观察的时间变量。 式(2)实际上描述了系统式(1)在n 维状态空间中从初始条件 发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨线。 若系统式(1)存在状态矢量 ，对所有 ，都使： （3） 成立，则称 为系统的平衡状态。 出
就有三个平衡状态：
由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。 4.1.2 稳定性的几个定义
若用 以 为中心
表示状态矢量 与平衡状态 为半径的超球体，那么
的距离，用点集 ，则表示： （5）
表示
式中，
为欧几里德范数。
在n维状态空间中，有：
1.标量函数的符号性质 设 为由 维矢量 所定义的标量函数， ，如果： ，且在 处恒
有
所有在域
。
中的任何非零矢量
2．二次型标量函数 二次型函数在李雅普诺夫第二方法分析系统的稳定性中起着很重要的作 用。 设 为n个变量，定义二次型标量函数为：
（8）
矩阵 P 的符号性质定义如下： 设P 为 实对称方阵， 为由P 所决定的二次型函数。
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2.1 线性系统的稳定判据 线性定常系统
（1） 平衡状态 实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义 渐近稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负
上看，往往更重视系统的输出稳定性。
如果系统对于有界输入 稳定。 线性定常系统 输出稳定的充要条件是其传递函数： 所引起的输出 是有界的，则称系统为输出
现代控制理论 第四章 稳定性理论
这里 Φ ( t ) = e At ，当系统满足内部稳定性时，由式(5-7)有
lim Φ ( t ) = lim e At = 0
t →∞ t →∞
这样， ( t ) 的每一个元g ij ( t )( i = 1, 2,⋯ , q, j = 1, 2,⋯ , p ) 均是由一些指 G 数衰减项构成的，故满足
其中
Qi =
( s − λ i ) adj ( s I − A ) ( s − λ i )( s − λ 2 )⋯ ( s − λ n )
s = λi
显然，当矩阵 A 的一切特征值满足
R e λ i ( A ) < 0 i = 1, 2 , ⋯ , n
则式(4-7)成立。 内部稳定性描述了系统状态的自由运动的稳定性。
∫
∞ 0
g ij ( t ) d t ≤ k < ∞
这里 k 为有限常数。这说明系统是BIBO稳定的。证毕。
定理4.4 定理4.4 线性定常系统如果是BIBO稳定的，则 系统未必是内部稳定的。
证明 根据线性系统的结构分解定理知道，任一线性定常系
统通过线性变换，总可以分解为四个子系统，这就是能控能 观测子系统，能控、不能观测子系统，不能控、能观测子系 统和不能控不能观测子系统。系统的输入-输出特性仅能反映 系统的能控能观测部分，系统的其余三个部分的运动状态并 不能反映出来，BIBO稳定性仅意味着能控能观测子系统是渐 近稳定的，而其余子系统，如不能控不能观测子系统如果是 发散的，在BIBO稳定性中并不能表现出来。因此定理的结论 成立。
y ( t1 ) =
∫
t1 t0
g ( t1 , τ )u (τ ) d τ =
大连理工大学现代控制理论王金城第四、五章答案
⼤连理⼯⼤学现代控制理论王⾦城第四、五章答案第四章习题参考答案4-12 -1 1⑴ P = —1 30 '11⼀2 -1⼇=2〉0,也2==6—1=5>0,也3 = 6—1 —3=2>0-1 3V(x)为正定的8-4 1 (2) P =V 2 -1 '1-1 1 _「=8 0^-2 =0,⼆3 ~'2 ::: 0V(x)为不定的 4-2 ■/ x 1 =X 2 =0,「. x e 是系统的唯⼀平衡状态V (x)4X 1 从1 2 x 2 丸=X 1 ^1 ■ X 2⼆ - X 2 半负定 42系统在原点处的平衡状态是稳定的x e 是系统的平衡状态设李⽒函数为V(x)=x TPx , A TP ?PA = -I-1—丄〕沖4 24 ⼈ 1c A 1 13 / 1、2 门得 P=A 1=_>0,A 2=_ ⼀( —) >0 1 134 4 96 24—1P 是正定的，系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。
53 李⽒函数为V(x)=x TPxx 2X ；-2_-1 0申Y 」]PP2]+[RR2 ⼀ :P1P 12-2 P 22 . L 0 -11 -4 -1 _01- V(x)可成为系统的李⽒函数。
X 1 = X ? = 0 = ■ X 1 =0, X ? =24 32令Q =1 ,A T P PA = -1_-2 -K「Pn⼙打+⼈^2 -1』R2 Pj ]P2 P2H-2 2 1=「-1 0 I P^Jf-K -1门0 -1.⽤李⽒第⼀⽅法校核2-■6「：；-7 r = ⼀3 …2 ：： 0, = —3 < 2 ：： 0 系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的X1 -2(2) X2Jd J -10 X1-dx3_iX2设李⽒函数为V(x) = x PX，A T P PA= -I「°0 1 R-1 01p2P3 PP23 +巳3 ⼀-R1p2P12P22P23P13P23IF2P33 ⼋1⼁-1-1」」00 1_1 12 0，3 ⼆5720P阵是正定阵, 系统在原点处的平衡状态是渐进稳定的。
现代控制理论第四章-广东工业
再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化 方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用, 但是难以胜任一般系统。 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素, 即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加 以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是 基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李 雅普诺夫稳定性定理。
第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后 通过讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来 讨论原非线性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳 定性方法的思路是一致的。 该方法称为间接法,亦称为李雅普诺夫第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳 定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标量函 数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第 二种方法称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
第一节 动态系统的外部稳定性
外部稳定性：
初始条件为零的线性系统，对任何有界的输入作 用下，若系统所产生的相应的输出也是有界的，就称 该系统是外部稳定的，简称BIBO稳定。
BIBO稳定 有界的输入 有界的输出
—该定义针对一般的系统来说的（线性、非线性的）
BIBO稳定的意义：
单输入单输出系统：
u(t ) m1 y(t ) m2
具有稳定性的系统称为稳定系统。
稳定性的定义为：
当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外扰 去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。
如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状 态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过 渡过程的收敛性,用数学方法表示就是 Lim x(t ) t 式中，x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; 为任意小的规定量。 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不 可能是一个稳定系统。
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
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现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
武汉大学自动化专业 《现代控制理论》第四章能控能观性.
说明： 1上述规范化分解在形式上是唯一的,但在结果上是不唯一的。
u B y ∑co Cco co 2图示：A21 A13 Bco ∑co A24 图中∑为基本反馈单元，∑co A23 A43 ∑co Cco 3对不完全能控和能观的线性定常系统的传递函数矩阵只能反映系统的能控能观子系统，即，G(s=Gc o(s。
31讨论1：一般而言，传递函数矩阵是系统结构的一种不完全描述。
当且仅当系统完全能控且完全能观时，系统可由传递函数矩阵完全表征。
这表示系统的状态空间描述与传递函数矩阵描述间的等价关系是有条件的。
讨论2：单变量系统Σ(A,b,c能控又能观的充要充要条件是c( sI-A-1b中没充要有零极点相消现象 P( s B 充分条件是 C 讨论3：多变量系统Σ(A,B,C 能控又能观的充分充分φ ( s 中没有零极点相消现象. 讨论4：对于给定的传递函数矩阵G(s，若有一个状态空间表达式Σ(A,B,C,D使其满足: G(s=C(sI-A-1B+D，则称该状态空间表达式Σ(A,B,C,D为G(s 的一个实现。
当且仅当实现Σ (A,B,C 不仅能控而且能观时，称Σ (A,B,C 是G(s的一个最小实现。
32本章小结 1）本章定位：围绕系统两个基本结构特性——能控性能观性讨论了3个基本问题：判据、规范型、结构分解。
重点是讨论线性定常系统。
本章内容是系统综合的不可缺少的基础， 2能控性能观性的实质：能控性对应于系统控制问题的结构特性，表征外部输入控制的系统内部运动的可影响性；能观性对应于系统估计问题的结构特性，表征内部运动可由外部量测输出的可反应性。
3能控性能观性判据：不同的类型判据形式是不同的，对线性定常系统最广泛使用的是秩判据。
4能控规范型和能观性规范型：这是显式反映系统完全能控能观特性的标准形式状态空间描述。
5线性系统的结构分解：其作用在于揭示系统的结构特性属性，如能控振型和不能控振型，能观振型和不能观振型， 6状态空间描述和传递函数矩阵描述的关系：传递函数矩阵只反映系统的能控能观部分，是对系统结构的一种不完全描述；状态空间 33 描述是对系统结构的完全描述，能同时反映系统结构的各个部分。