高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学必修3 7.3.1 圆的标准方程》

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7.3.3直线与圆、圆与圆的位置关系_课件-湘教版必修3

误区警示因忽视题设中的限制条件致错
【示例】直线y＝x＋b与曲线x＝ 1－y2 有且只有一个交
点，则b的取值范围是( )．
A．|b|＝ 2
B．－1<b≤1或b＝－ 2
C．－1≤b<1
D．非以上答案
[错解] ∵x＝ 1－y2，∴x2＋y2＝1， ∴曲线x＝ 1－y2 为单位圆，当直线与圆相切时，它们有且只有一个交点，易求得|b|＝ 2，故选A.
联立方程求出交点坐标，再由两点间的距离公式求弦长，但这种
方法显然较繁琐，对比这两种方法，几何法较简捷，故求解圆的
有关问题时，应充分利用圆的性质求解，这样能简化计算．
【训练3】过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交
于A、B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．解将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可
课堂总结 1．直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，其判定方法为： (1)代数法：即求直线方程与圆的方程所组成的方程组的实数解的个数．将直线方程代入圆的方程，消元后得一元二次方程，当Δ>0时，相交；当Δ＝0时，相切；当Δ<0时，相离． (2)几何法：即通过圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来研究．当d<r时，相交；当d＝r时，相切；当d>r时，相离．
得，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝ 25－16＝3.当
l的斜率不存在时，x＝－4满足题意，当l的斜率存在时，设
方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，由点到直线的距离公式得3
＝
|－k－2＋4k| 1＋k2
，解得k＝－
5 12
，所以直线l的方程为5x＋12y＋20
＝0.

7.3.直线与圆、圆与圆的位置关系-湘教版必修3教案

7.3 直线与圆、圆与圆的位置关系-湘教版必修3教案
一、教学目标
1.知道直线与圆的位置关系；
2.熟悉圆与圆的位置关系；
3.能够使用相关的定理解决实际问题。

二、教学内容
1.直线与圆的位置关系
–点到直线的距离公式
–判定圆与直线是否相交
2.圆与圆的位置关系
–判定两圆的位置关系
–判定两圆的位置关系与公切线的关系
三、教学重点
1.点到直线的距离公式；
2.判定圆与直线是否相交；
3.判定两圆的位置关系。

四、教学难点
1.判定两圆的位置关系与公切线的关系；
2.能够使用相关的定理解决实际问题。

五、教学过程
第一步直线与圆的位置关系
1.教师向学生介绍点到直线的距离公式，并通过案例进行讲解；
2.教师向学生介绍如何判定圆与直线是否相交，并通过案例进行讲解。

第二步圆与圆的位置关系
1.教师向学生介绍如何判定两圆的位置关系，并通过案例进行讲解；
2.教师向学生介绍如何判定两圆的位置关系与公切线的关系，并通过案例进行讲解。

第三步实例分析
通过几个实例，让学生运用所学知识解决实际问题。

六、教学评估
教师布置小作业，要求学生解决几个实际问题并分析解题过程。

在下堂课前，教师对学生的解答进行评估。

七、教学反思
本节课主要涉及直线与圆、圆与圆的位置关系，并通过实例讲解相关的定理。

教师需要重点介绍判定圆与直线是否相交、判定两圆的位置关系与公切线的关系等难点。

同时，需要通过实例让学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。

湘教版高中数学必修第三册 7.3.3直线与圆、圆与圆的位置关系_教案设计

直线与圆、圆与圆的位置关系【学情分析】圆是平面图形中又一基本而典型的图形，对于圆的研究和学习，不仅能进一步丰富对于平面图形的认识，而且也能体会对于曲线形的研究过程。

教材在研究了圆的基本性质后，进行了点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系的研究。

在点与圆的位置关系的学习中，学生已经归纳出三种位置关系和数量关系，并能用数量关系判断位置关系，这为本节课研究直线与圆的位置关系，在研究方法和研究内容上打下了基础。

根据学生的已有经验和抽象能力，本节课的学习中，对于从公共点的个数这个角度来理解直线与圆的三种位置关系应该是容易的。

但对于相应地可用哪些数量之间的关系来刻画，以及如何刻画每一种位置关系，则会有一定的困难，特别是对于某位置关系，在直观地找到了与之相对应的数量关系后，要说明该等量关系等价于该位置关系的定义则更难。

尽管如此，考虑到初三的学生已经具备较强的演绎推理能力，所以我认为在师生共同的讨论中帮助学生理解是完全可能的。

【教学目标】1．理解并掌握直线与圆的三种位置关系，并会用有关的数量关系进行判断。

2．在理解圆与直线相切的基础上，进一步理解切线的性质。

3．在发现位置关系，并探寻各位置关系所对应的数量关系的过程中，体会分类讨论，类比，数形结合等数学思想，锻炼分析，概括，归纳的能力，并进一步提高逻缉推理能力，在此过程中，培养严谨的科学的学习态度。

【教学重难点】重点：1．正确理解直线和圆的三种位置关系的概念；2．直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和半径大小关系的对应；3．切线的性质定理。

难点：对d与r数量关系和直线与圆的位置关系之间联系的理论分析。

教法学法分析：在学习了点与圆的位置关系以后，尤其是学习了通过点到圆心距离d与半径r之间的数量关系来判断点与圆位置关系的基础上，本节课通过类比的方法引导学生学习直线与圆的位置关系。

学生通过猜想，验证，归纳并理论分析的方法学习本节课的知识点。

【课时安排】2课时【教学过程】【第一课时】一、情景引入，产生新知：师：早晨的日出非常美丽，照片就是海边日出的一个瞬间，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，通过太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象直线和圆有几种位置关系么？生：三种。

高中数学第七章解析几何初步7.3圆与方程素材湘教版必修3

圆与方程已知圆心),(b a C 和半径r ，即得圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题. 一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为( )(A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(22=-++y x (C)9)1()2(22=++-y x (D)9)1()2(22=-++y x解已知圆心为)1,2(-，且由题意知线心距等于圆半径，即2243546+++=d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C).点评：一般先求得圆心和半径，再代入圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+解化为标准方程222)(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =.∵直线1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-=21，平方去分母得22212a a a >+-，解得1212-<<--a ，注意到0>a ，∴120-<<a ，故选(A).点评：一般通过比较线心距d 与圆半径r 的大小来处理直线与圆的位置关系：⇔>r d 线圆相离；⇔=r d 线圆相切；⇔<r d 线圆相交.三、切线问题例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为( ) (A)x y 3-=或x y 31=(B)x y 3=或x y 31-= (C)x y 3-=或x y 31-= (D)x y 3=或x y 31=解化为标准方程25)1()2(22=++-y x ,即得圆心)1,2(-C 和半径25=r . 设过坐标原点的切线方程为kx y =，即0=-y kx ，∴线心距251122==++=r k k d ，平方去分母得0)3)(13(=+-k k ，解得3-=k 或31，∴所求的切线方程为x y 3-=或x y 31=，故选(A).点评：一般通过线心距d 与圆半径r 相等和待定系数法，或切线垂直于经过切点的半径来处理切线问题.四、弦长问题例4 (06天津卷理) 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .解由已知圆4)2()1(22=-+-y x ，即得圆心)2,1(C 和半径2=r . ∵线心距112++=a a d ，且222)2(r AB d =+，∴22222)3()11(=+++a a ，即1)1(22+=+a a ，解得0=a .点评：一般在线心距d 、弦长AB 的一半和圆半径r 所组成的直角三角形中处理弦长问题：222)2(r AB d =+. 五、夹角问题例5 (06全国卷一文) 从圆012222=+-+-y y x x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( )(A)21 (B)53(C)23 (D) 0解已知圆化为1)1()1(22=-+-y x ，即得圆心)1,1(C 和半径1=r .设由)2,3(P 向这个圆作的两条切线的夹角为θ，则在切线长、半径r 和PC 构成的直角三角形中，522cos=θ，∴5312cos 2cos 2=-=θθ，故选(B). 点评：处理两切线夹角θ问题的方法是：先在切线长、半径r 和PC 所构成的直角三角形中求得2θ的三角函数值，再用二倍角公式解决夹角θ问题.六、圆心角问题例6 (06全国卷二) 过点)2,1(的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率=k .解由已知圆4)2(22=+-y x ，即得圆心)0,2(C 和半径2=r .设)2,1(P ，则2-=PC k ；∵⊥PC 直线l 时弦最短，从而劣弧所对的圆心角最小，∴直线l 的斜率221=-=PCk k . 点评：一般利用圆心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题：在同圆中，若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短，若弧长与弦长最短则所对的圆心角也最小.七、最值问题例7 (06湖南卷文) 圆0104422=---+y x y x 上的点到直线14-+y x 0=的最大距离与最小距离的差是( ) (A) 30 (B) 18 (C)26 (D)25解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .设线心距为d ，则圆上的点到直线014=-+y x 的最大距离为r d +，最小距离为r d -，∴262)()(==--+r r d r d ，故选(C).点评：圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距d 与圆半径r 的关系解决：圆上的点到该直线的最大距离为r d +，最小距离为r d -.八、综合问题例8 (06湖南卷理) 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )(A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π解已知圆化为18)2()2(22=-+-y x ，即得圆心)2,2(C 和半径23=r .∵圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，∴2222222=-≤++=r ba b a d ，即0422≤++b ab a ，由直线l 的斜率b a k -=代入得0142≤+-k k ，解得3232+≤≤-k ，又3212tan -=π，32125tan +=π，∴直线l 的倾斜角的取值范围是]125,12[ππ，故选(B).点评：处理与圆有关的任何问题总是先通过圆的标准方程，进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.圆的方程1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.(1) 圆的标准方程：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径；(2) 圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心坐标为(2,2ED --)，半径为r ＝2422FE D -+2. 直线与圆的位置关系的判定方法.(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.消元⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离相切相交判别式000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝⎪⎩⎪⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 22.3. 两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2，｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下：｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切；｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切；０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. ●点击双基1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21C.－71<t <1 D .1<t <2 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0，即－71<t <1.答案：C2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部⇔（5a +1－1）2+（12a ）2＜1⇔｜a ｜＜131.答案：D 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切D .当b <r 时，圆与x 轴相交解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b <r 时，圆心到x 轴的距离为|b |，只有当|b |<r 时，才有圆与x 轴相交，而b <r 不能保证|b |<r ，故D 是错误的.故选D .答案：D●典例剖析【例2】一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析：利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2.又因为直线y =x 截圆得弦长为27，则有（2|3|b b -）2+（7）2=9b 2，解得b =±1.故所求圆方程为（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9. 夯实基础1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则 A.D +E =0B. B.D +F =0 C.E +F =0 D. D +E +F =0解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上.答案：A2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求.答案：B3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.解析：圆心（－21，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2.答案：24.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的距离的最小值为____________.解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =5|10|-=2.再由d －r =2－1=1，知最小距离为1.答案：15.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆.∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称，∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直，∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0.Δ=4（4－b ）2－4×2×（b 2－6b +1）>0，得2－32<b <2+32.由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 1·x 2=2162+-b b .y 1·y 2=b 2－b （x 1+x 2）+x 1·x 2=2162+-b b +4b .∵·=0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，即b 2－6b +1+4b =0.解得b =1∈（2－32，2+32）.∴所求的直线方程为y =－x +1. 培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy 的最大值和最小值；（2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设x y=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1|02|2+-k k =3，解得k 2=3.所以k max =3，k min =－3.（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得2|02|b +-=3，即b =－2±6，故（y －x ）min =－2－6. （3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =3124--=－1，AB 的中点为（2，3），故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2，即x －y +1=0.又圆心在直线y =0上，因此圆心坐标是方程组 x －y +1=0，y =0半径r =22)40()11(-+--=20，所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |<r ，所以M 1在圆C 内；而点M 2到圆心C 的距离|M 2C |=22)04()12(-++=25>20，所以M 2在圆C 外.“求经过两圆04622=-++x y x 和028622=-++y y x 的交点，并且圆心在直线04=--y x 上的圆的方程。

2018-2019学年新设计高中数学(湘教版)必修三讲义：7-3-1 圆的标准方程

7．3圆与方程7．3.1圆的标准方程[学习目标]1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．2．会根据已知条件求圆的标准方程．3．能准确判断点与圆的位置关系．[知识链接]1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆．2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．3．平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式|AB|[预习导引]1．圆的定义圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．2．定理4：圆心为点(a，b)、半径为r的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，称之为圆的标准方程．3．圆心在原点(0，0)，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2．4．点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.要点一点与圆的位置关系例1已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．解由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．规律方法判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内，②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上，③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外．跟踪演练1 点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定答案 A解析把点P (m 2，5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外．要点二求圆的标准方程例2 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．解法一设点C 为圆心，∵点C 在直线x ＋y －2＝0上，∴可设点C 的坐标为(a ，2－a )．又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2，解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.法二由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.规律方法直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．跟踪演练2 以两点A (－3，－1)和B (5，5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25答案 D解析 ∵线段AB 的中点坐标为(1，2)，∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，半径r ＝12（5＋3）2＋（5＋1）2＝5. ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25.要点三圆的方程的综合应用例3 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)，(1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值．解 (1)由已知，得C (3，0)，r ＝|AB |2＝2，∴所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.(2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝2 2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.规律方法解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．跟踪演练3 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|P A |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值．解设P (x ，y )，则d ＝|P A |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2.∵|CO |2＝32＋42＝25，∴|CO |＝5，∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2，即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34，最大值为2×36＋2＝74.1．圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )A ．(－2，3)，1B ．(2，－3)，3C ．(－2，3)， 2D ．(2，－3)， 2答案 D解析由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2.2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 2答案 B解析以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.3．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________．答案 5解析C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.4．圆的直径端点为A(2，0)，B(2，－2)，则此圆的标准方程为____．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆心C(2，－1)，半径r＝12（2－2）2＋（0＋2）2＝1，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.5．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．答案(x＋2)2＋y2＝10解析因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10，即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷.。

湘教版高中数学必修第三册 7.3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系_教案设计

《圆与圆的位置关系》教学设计教材：湘教版数学必修三一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（湖南教育出版社）必修三第七章《解析几何初步》第三节《圆与方程》中“直线与圆、圆与圆的位置关系”的第二课时，教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到判断两圆位置关系的两种方法．代数法：将两圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断（本方法主要突出代数法的思想且具有一般性，可类比地推广到今后解析几何同类问题的研究中）；几何法：利用两圆心之间的距离与半径的和以及差的绝对值比较．解析几何是中学数学的一个重要知识，它建立了数与形、代数与几何等联系．用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化．因此,继续深化用代数方法来分析解决,这样有利于培养学生数形结合、几何问题代数化等解析几何思想方法,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义．因此，本节课在教材中起到了承上启下的重要作用．2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标如下：知识目标（1）能根据给定圆的方程，用几何和代数的方法判断两圆的位置关系．（2）若两圆相切时，会求公切线方程；若两圆相交时，会求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．（3）理解几何问题代数化的思想，深入了解解析几何的本质．能力目标（1）类比直线与圆的位置关系，通过对圆与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习能力．（2）强化学生用数形结合的方法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感目标通过对本节课知识的探究活动，加深学生对圆与圆的位置关系的认识，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯及创新意识和进取精神．3、教学重点和难点教学重点：圆与圆的位置关系及判断方法；两圆相切时的公切线问题；两圆相交时公共弦问题．教学难点：运用代数方法解决几何问题的数学思想．二、学情分析本节内容面对的是高一年学生，所授课的班级中学生层次不同，存在一定差异．虽在初中已经接触过圆与圆相交、相切、相离的定义等已有的认知基础的条件下，同时也经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的判断圆与圆位置关系的能力，但学生仅仅停留在模仿、类比的知识表面，知识的来龙去脉并不知晓，这时需要教师的引导和帮助．而且解析几何的学习刚刚开始，对代数法还处于初步了解的层次．因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．三、教法与学法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，通过图形的动态演示，学生的动手实验,变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中教学课程追求的理念．学生的数学学习不应只限于概念，结论和方法的记忆，模仿和接受．本节课主要是学习如何判断圆与圆的位置关系，学习过程中，要使学生理解判断方法，并会灵活应用，要鼓励学生积极参与教学活动，包括思维的参与和行为的参与，既要有教师的讲授和指导，也要有学生的自主探究与合作交流．因此，结合本课的教学内容与学生实际，本设计主要采用的教学方法是诱思探究法．四、教学过程（一）引入课题问题1：观察屏幕所给出的图形，找找圆与圆的不同位置关系图．设计意图：由非常有意思生活常见图形入手，调动学生的学习热情，让学生充分体会数学来源于生活，同时引入本节课题:圆与圆的位置关系．（二）探索实践【探究活动一】在纸上画一个半径为3cm 的☉C ，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上向圆移动这枚硬币（1）观察两圆公共点的个数的变化情况。

高中数学(湘教版)必修3(备课资源)第7章解析几何初步 7.3.3.1

7．3.3 直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系
【课标要求】 1．能根据给定直线、圆的方程，判定直线与圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
自主探究探究1：过平面一点P可作几条圆的切线？提示当点P在圆内时，切线不存在，当点P在圆上时，只能
作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．究2：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？提示 “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，
是从不同的方面，不同的思路来判断的，“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于 “数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练
法二
把直线y＝x＋b与圆的方程x2＋y2＝2联立，即消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，再利用Δ＞0，
y＝x＋b， 2 2 x ＋ y ＝2，
Δ＝0，Δ＜0，分别确定b的取值，结论同“解法一”．
方法点评判断直线和圆的位置关系，一般来说，比较d和r 大小的方法比利用“Δ”来判断的方法要显得优越．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
典例剖析题型一直线与圆的位置关系的判定【例1】已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，圆与直线 (1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点． |b| 解法一圆心O(0,0)到y＝x＋b的距离为d＝，圆的半径r 2
＝ 2. (1)d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点； (2)d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点； (3)d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，没有公共点．

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湘教2021课标版必修三第七章《圆的标准方程》教学设计
一、教材内容分析
圆是学生在初中已初步了解了圆的知识及前面学习了直线方程的基础上来进一步学习《圆的标准方程》，它既是前面圆的知识的复习延伸，又是后继学习圆与直线的位置关系奠定了基础。

因此，本节课在本章中起着承上启下的重要作用。

二、教学目标
（1）探索并掌握圆的标准方程，能根据方程写出圆的坐标和圆的半径。

（2）通过圆的标准方程的学习，掌握求曲线方程的方法，领会数形结合的思想。

（3）激发学生学习数学的兴趣，感受学习成功的喜悦。

三、教学重点难点以及措施
教学重点:圆的标准方程理解及运用
教学难点:根据不同条件，利用待定系数求圆的标准方程。

根据教学内容的特点及高一年级学生的年龄、认知特征，紧紧抓住课堂知识的结构关系，遵循认知过程，设计出包括:观察、思考、交流等内容的教学流程。

并且充分利用现代化信息技术的教学手段提高教学效率。

以此使学生获取知识，给学生合作交流的机会。

学法上注重让学生参与方程的推导过程，努力拓展学生思维的空间，促其在尝试中发现，讨论中明理，合作中成功，让学生真正体验知识的形成过程。

四、教学设计
1回顾复习：
2检查学生导学案完成情况后，复习圆的定义，教师提出问题。

引导学生思考：直线可以用一个方程表示,那么圆可以用一个方程表示吗，引出本节主旨。

学生思考如何表示圆的方程。

3学生展示交流、合作探究，教师点拨讲解
教师引导学生分组探讨，从旁巡视指导学生在自学和探讨中遇到的问题，并鼓励学生以小组为单位展示探究成果。

探究一：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆心（点）A 的位置用坐标 a,b 表示，半径r 的大小等于圆上任意点M, 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？
探究二：圆上任意点M, 与圆心A a,b 之间的距离能用什么公式表示？
方程222)()(m b y a x =-+-一定表示圆吗？
探究三：圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
探究四：怎样判断点 ()000,y x M 在圆 222)()(r b y a x =-+- 内呢？还是在圆外呢？
设计意图：通过合作探究和自我的展示，鼓励学生合作学习的品质
4学以致用，总结提升
例1 写出圆心为A2,－3，半径长等于5的圆的方程，并判断点
()7,51-M ，()
1,52--M 是否在这个圆上．例2 ⊿ABC 的三个顶点的坐标分别是A5,1, B7,-3,C2,-8,求它的外接圆的方程
例3 己知圆心为C 的圆经过点A1,1和B2,-2,且圆心在直线:-1=0上,求圆心为C 的圆的标准方程
5课堂小结、总结拓展
1你学到了哪些知识
2你掌握了哪些技能
3你体会到了哪些数学思想
设计意图：采用提问的形式帮助学生回顾和分析本节所学。

学生思考并从知识、技能和思想方法上回顾总结，培养学生归纳总结能力
6清理过关、课堂测评
1．圆－12＋＋错误!2＝1的圆心坐标是
A ．1，错误!
B ．－1，错误!
C ．1，－错误!
D ．－1，－错误!
2．圆心是O －3,4，半径长为5的圆的方程为
A ．－32＋＋42＝5
B ．－32＋＋42＝25
C ．＋32＋－42＝5
D ．＋32＋－42＝25
3．经过点2,2，圆心为C 1,1的圆的方程是
A ．＋12＋＋12＝2
B ．－12＋－12＝2
C ．＋12＋＋12＝错误!
D ．－12＋－12＝错误!
4．点P 5a ＋1,12a 在圆－12＋2＝1的外部，则a 的取值范围为
A ．|a |＜1
B ．a ＜错误!
C ．|a |＜错误!
D ．|a |＞错误!
5．若圆C 的半径为1，其圆心与点1,0关于直线＝对称，则圆C 的标准方程为________________．
3，1，B －1，3，且它的圆心在直线3－－2＝0上，求此圆的标准方程
设计意图：学生自主开展训练，并纠正学习中所遇到的问题
7作业布置
五、教学反思
本节教学主要遵循“回-导-学-展-讲-练-结”的高效课堂教学模式，遵循学生学习的主体地位，鼓励学生自主思考和探讨。

教学中要积极鼓励学生多思考总结，在判断点与圆的位置关系中，要遵从学生个性化的发展思路，鼓励学生创造性的解决问题。