代数式求值的十种常用方法

代数式求值的十种常用方法
代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规直接代入求值
外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，本文结合近几年
各地市的中考试题，介绍十种常用的求值方法，以供参考。
一、利用非负数的性质
若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用“若几个非负数的和为零，则每个非负
数都应为零”来确定字母的值，再代入求值。目前，经常出现的非负数有|a|，2a，a等。

例1若a31和|3b8|互为相反数，则27ab12=_______。

解：由题意知，0|3b8|a31，则0a31且03b8，解得31a，83b。
因为818331ab，所以3727827ab122，故填37。
练习：（2010年深圳市）若0|3b|2a2，则2007ba的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. –1 D. 2007
提示：2a，3b，选C。

二、化简代入法
化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常
见、最基本的方法。

例2先化简，再求值：bababbab2ba322，其中21a，1b。
解：原式ab2babab2ababab2a22222222。
当21a，1b时，

原式11212ab2。
练习：（2009年河北省）已知3a，2b，求22bab2aabb1a1的值。
提示：原式ba1。
当3a，2b时，原式=1。

三、整体代入法
当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式
中去求值的一种方法。通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值。

例3(2010年已知4b1a1，则ab7b2a2bab3a=_______。

解：由4b1a1，即ab4ba。
所以原式ab7ba2ab3baab7b2a2bab3a
1ababab7ab8ab3ab4
。
故填1。
练习：代数式6x4x32的值为9，则6x34x2的值为
A. 7 B. 18 C. 12 D. 9
提示：1x34x2，选A。

四、赋值求值法
赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的
值的一种方法。这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围。

例4请将式子1x111x1x2化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使
原式有意义的x的值代入求值。
解：原式1x11x1x1x1x1x


2x1x2x1x
。

依题意，只要1x就行，当0x时，原式22x或当2x时，原式42x。
练习：先将式子22x1xx11化简，然后请你自选一个理想的x值求出原式的值。

提示：原式1xx。只要0x和1x的任意实数均可求得其值。

五、倒数法
倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法。

例5若7y3y222的值为41，则1y6y412的值为

A. 1 B. –1 C. 71 D. 51
解：由417y3y222，取倒数得，
427y3y22

，即1y3y22。

所以1y3y221y6y422
1112
，

则可得11y6y412，故选A。

练习：已知4x1x，则1x5xx242的值是________。
提示：133x1x5x1xx1x5x222224，填131。

六、参数法
若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字
母来表示另一个字母。
例6如果2ba，则2222bababa的值是

A. 54 B. 1 C. 53 D. 2
解：由2ba得，b2a。
所以原式22222222bb2bbb2b2bababa

5
3b5b3
2
2


。

故选C。
练习：若34ba，则bba的值是

A. 31 B. 32 C. 1 D. 34
提示：设k4a，k3b，选A。

七、配方法
若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用
非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果。
例7已知05b4a2ba22，求3b4a22的值。
解：由05b4a2ba22，
得04b4b1a2a22，即02b1a22，由非负数的性质得
01a，02b，解得1a，2b
。所以原式7324123b4a222。
练习：若12c3b2a，且cabcabcba222，则32cba=_________。
提示：2cba，填14。

八、平方法
在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方值，再求平方值的平方根（即以退为进
的策略），但要注意最后结果的符号。

例8已知7yx且12xy，则当yx时，y1x1的值等于______。
解：因为7yx,12xy,
所以22222yxyxxyxyy1x1

144
1121247yxxy4yx22222


。

又因为yx，所以0y1x1，
所以121y1x1，故填21。
练习：已知x1x3，则x1x的值是_______。
提示：54x1x|x1x|2，
填5。
九、特殊值法
有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊
情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常
会使题目变得十分简单。
例9若3322103xaxaxaax2，则231220aaaa的值为_______。
解：由3322103xaxaxaax2知，若令1x，则3321012aaaa
；若令1x，则3321012aaaa，
所以33312031202312201212aaaaaaaaaaaa


112123
。

故填1。
练习：已知实数a，b满足1ba，那么1b11a122的值为______。

A. 41 B. 21 C. 1 D. 2
提示：可令1a，1b（a、b、c的取值不惟一），选C。

十、利用根与系数的关系
如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个
一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值。
例10（2007年德阳市）阅读材料：设一元二次方程0cbxax2的两根为1x，2x，

则两根与方程系数之间有如下关系：abxx21，acxx21。根据该材料填空：已知1x，

2
x
是方程03x6x2的两实数根，则2112xxxx的值为______。
解：由根与系数的关系得，
6xx21，3xx21

所以2122212112xxxxxxxx



103326xxxx2xx22121221
。故填10。

练习：（2009年云南省）已知1x、2x是一元二次方程02xx2的两个根，则
21
x1x

1


的值是
A. 1 B. 21 C. 1 D. 21
提示：21xxxxx1x1212121，选D。
事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解
决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题。