常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练习试卷及答案常微分方程练试卷一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。

xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.二、计算题1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。

2.方程d(y/x)/dx=2/(x-y+3)可以化为变量分离方程dx/(x-y+3)=2dy/y，两边同时取对数得ln|x-y+3|=2ln|y|+C，即(x-y+3)=Cy^2.3.方程x^2(d2x/dt2)+dx/dt=0可以化为d/dt(x(dx/dt))=0，因此x(dx/dt)=C1，dx/dt=C1/x，再次积分得x^2=C1ln|x|+C2，即x=±(C1ln|x|+C2)^(1/2)。

4.比较系数法可设方程的特解为y=Ax+B，代入方程得A=-1/2，B=1/4，因此方程的通解为y=C1e^x+C2e^-x-1/2x+1/4.5.方程y'=y+sinx可以化为dy/(y+sinx)=dx，两边同时取对数得ln|y+sinx|=x+C，即y=-sinx+C1e^x。

6.方程(cosxsinx-xy)dx+y(1-x)dy=0的M=cosxsinx-xy，N=y(1-x)，∂M/∂y=0，∂N/∂x=-y，因此该方程是恰当方程，其通解为xsin^2x/2+y-x^2/2y=C。

7.方程组x'=[1,2;-1,4]x的基解矩阵为[3e^3t/2,2e^-t/2;e^3t/2,e^-t/2]，因此其一个基解为x(t)=C1[3e^(3t/2),e^(3t/2)]^T+C2[2e^(-t/2),e^(-t/2)]^T，expAt=[(3e^(3t/2),2e^(-t/2);e^(3t/2),e^(-t/2)]。

8.方程dy/dx=2x-1-3y^2通过点(1,0)的第二次近似解为y(x)=x-1/2x^2+5/8x^3.9.方程y''-4xy+8y^2=0的通解为y(x)=C1e^2x+C2xe^2x，其中C1，C2为任意常数。

10.方程组x'=A[1,1,1]^T的一个基解为[1,0,-1]^T，因此其通解为x(t)=C1[1,0,-1]^T+C2[1,1,1]^T+(-1/3)A[1,1,1]^T。

11.设y1(x),y2(x)是齐次方程y''+py'+qy=0的两个线性无关解，证明W(y1,y2)的通解为y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+y3(x)，其中y3(x)是方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解。

证明：设y3(x)是方程y''+py'+qy=f(x)的一个特解，则y(x)=yh(x)+y3(x)，其中yh(x)是齐次方程y''+py'+qy=0的通解。

由于y1(x),y2(x)是齐次方程的两个线性无关解，因此它们的朗斯基行列式W(y1,y2)≠0.根据朗斯基行列式的性质，yh(x)可以表示为yh(x)=C1y1(x)+C2y2(x)，其中C1，C2为任意常数。

因此y(x)=C1y1(x)+C2y2(x)+y3(x)是方程y''+py'+qy=f(x)的通解。

1.的皮卡逐步逼近函数序列{φn(x)}在[α,β]上一致收敛所得的解，而ψ(x)是这积分方程在[α,β]上的连续解。

现要用逐步逼近法证明：在[α,β]上ψ(x)≡φ(x)。

2.设f(x)和g(x)都是区间上的连续函数，且为二阶线性方程的一个基本解组。

要证明：i) f(x)和f'(x)没有共同的零点；ii) g(x)和g'(x)没有共同的零点；iii) f(x)和g(x)没有共同的零点。

3.如果φ(t)是dX/dt=AX满足初始条件φ(t0)=η的解，那么φ(t)=expA(t-t0)η。

4.求解过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与点(1,0)的连线垂直。

设曲线方程为y=f(x)，则可得如下初值问题：dy/dx=-x/y，f(0)=0.分离变量，积分并整理后可得y^2+x^2=1.代入初始条件可得f(x)=x/sqrt(1-x^2)。

因此得所求曲线为y=x/sqrt(1-x^2)。

5.求解方程x''+2x'+x=sin(t)的通解。

先解x''+2x'=0得通解为x=c1e^(-t)+c2.令x=c(t)e^(-t)为原方程的解，代入得c'(t)e^(-t)=sin(t)e^(-t)，即有c'(t)=sin(t)，解得c(t)=-cos(t)+C1.因此原方程的通解为x=c1e^(-t)+c2-cos(t)。

积分得$c(x)=-e^{-x}(\sin x+\cos x)+c$，因此$y=c e^x-(\sin x+\cos x)$为原方程的通解。

验证微分方程$\cos x\sin x-xy \mathrm{d}x+y(1-x)\mathrm{d}y$是恰当方程，并求出它的通解。

解：由于$M(x,y)=\cos x\sin x-xy^2$，$N(x,y)=y(1-x^2)$，因为$\dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=-2xy$，所以原方程为恰当方程。

把原方程分项组合得$\cosx\sin x\mathrm{d}x-(xy^2\mathrm{d}x+yx^2\mathrm{d}y)+y\mathrm{d}y$，或写成$\mathrm{d}(\sin 2x)+\mathrm{d}(x^2y^2)+\mathrm{d}(y^2)=0$，故原方程的通解为$\sin 2x-x^2y^2+y^2=C$。

设$A=\begin{pmatrix}1&-3\\2&-4\end{pmatrix}$，试求方程组$\dfrac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}=AX$的一个基解矩阵，求$\varphi(t)$满足初始条件$x(0)=\eta$的解。

解：特征方程为$\det(A-\lambda E)=\begin{vmatrix}1-\lambda&-3\\2&-4-\lambda\end{vmatrix}=(\lambda+2)(\lambda+5)=0$，求得特征值$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=-5$，对应$\lambda_1=-2$，$\lambda_2=-5$的特征向量分别为$V_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，$V_2=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$，$(\alpha,\beta\neq0)$。

可得一个基解矩阵$\varphi(t)=\begin{pmatrix}e^{-2t}&-3e^{-5t}\\2e^{-2t}&-4e^{-5t}\end{pmatrix}$，又因为$\varphi(0)=\begin{pmatrix}1&-3\\2&-4\end{pmatrix}$，于是，所求的解为$\varphi(t)\begin{pmatrix}\eta_1\\\eta_2\end{pmatrix}=\begin{pm atrix}e^{-2t}-3e^{-5t}\eta_2\\2e^{-2t}-4e^{-5t}\eta_2\end{pmatrix}$。

求方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2x^{-1}-3y^2$通过点$(1,0)$的第二次近似解。

解：令$\varphi(x)=y+\int(2x^{-1}-3\varphi^2(x))\mathrm{d}x=x^2-x$，$\varphi_1(x)=y+\int(2x^{-1}-3\varphi^2(x))\mathrm{d}x=x^2-x+\dfrac{1}{6}x^{-2}$，$\varphi_2(x)=y+\int(2x^{-1}-3\varphi_1^2(x))\mathrm{d}x=x^2-x+\dfrac{1}{6}x^{-2}-\dfrac{1}{140}x^{-6}$，故通过点$(1,0)$的第二次近似解为$y=x^2-x+\dfrac{1}{6}x^{-2}-\dfrac{1}{140}x^{-6}$。

求方程$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3-4xy}{8y^2}$的通解。

解：将方程化为$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{3}{8y^2}-\dfrac{1}{2}x(\dfrac{1}{y})^2$，令$z=\dfrac{1}{y}$，则$\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=-z+\dfrac{3}{4}x$，这是一个一阶线性非齐次微分方程，求得通解为$y=\dfrac{4}{c_1-3x}$.删除明显有问题的段落，改写每段话如下：1.对于方程(2p-4y)(2y-p)=2y-p=y=()，我们可以将其化简为c^2ydy/dx=c(32-2p)/(2p-2y)，进而得到y=(p/2)^2/(c^2p/4+2cx/3)，这是含参数的通解形式。