求锐角三角函数值的几种常用方法
4用计算器求锐角的三角函数值
二、探究归纳
观察上面三种特殊角的正弦和余弦值，你有什么发现？
引导学生观察，由学生发现并得出sinα=cos(90°-α)、cosα=sin(90°-α)．引导学生考虑正切和余切也存在类似这样的关系吗？
归纳：sinα=cos(90°-α)、cosα=sin(90°-α)、
tanα= cot (90°-α)、cotα=tan(90°-α),并用文字语言叙述出来．
三、实践应用
例1根据下列条件，求出相应的锐角α：
我们对特殊角的三角函数要能做到：已知一个锐角能正确说出它的三角函数值；已知一个锐角的三角函数值，能正确说出这个角的度数．
那如果这个角是任意的锐角呢？我们下面将介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．
1.求已知锐角的三角函数值
四、检测反馈
1.用计算器求锐角α的值：
(1)2sin(α-10°)=1；
在使用计算器时应注意按键顺序。
板书
设计
利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．
1.求已知锐角的三角函数值
求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）．
教学后记或反思（主要记录课堂设计理念，实际教学效果及改进设想等）
电子白板
教学时间
预设过程（应包括课程导入、预习自学、展示交流、当堂练习检测等）
个人修改
一、创设情境
我们知道锐角三角函数值都是正实数，如果∠α是锐角，则0＜sinα＜1，0＜cosα＜1，tanα·cotα=1．在上节课中，我们通过探索得到了30°、45°、60°的正弦、余弦、正切、余切值，你能把结论告诉大家吗？
显示结果为0.349 215 633.
一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)
A
42°
D
C
1.6m
E
20m
B
新知探究
一 用计算器求一个锐角的三角函数值
1.求sin18°． 第一步：按计算器 sin 键， 第二步：输入角度值18，按 = 键. 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
新知探究
∠A=78°19′58″
∠B=41°23′58″
随堂小测
2.下列各式中一定成立的是（ A） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°﹥sin15°
2.求 tan30°36'. 第一种方法： 第一步：按计算器 tan 键， 第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 D.M′S 键）， 第三步：按=键 屏幕显示答案：0.591 398 351
第二种方法： 第一步：按计算器 tan 键， 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 第三步：按=键 屏幕显示答案：0.591 398 351
分析（1）题 的结果，你 能得出什么 猜想，你能 说明你的猜 想吗？
新知探究
归纳：在锐角三角函数中 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小数值. 2.已知锐角三角函数值，可以用计算器求其相应的锐角. 3.在锐角三角函数中 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）; 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）; 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
2.3 用计算器求锐角的三角函数值 课件 鲁教版(五四制)数学九年级上册
a ,
则a＝c·sin A＝14sin 23°，利用计
c
算器计算得a≈5.47.
感悟新知
归纳
对于不是特殊角的三角 函数，一般只能利用计算器进 行计算．注意结果要符合题目 的精确度要求．
1. 用计算器求下列各式的值：
感悟新知
(1) sin 56°;
(2) cos 20.5°；
(3) tan 44°59'59"; (4) sin 15°+ cos 61°+ tan 76°.
感悟新知
例 3 根据下列条件求锐角 A 的度数： (1) sin A=0.921 6； (2) cos A=0.680 7； (3) tan A=0.189 0.
导引：按计算器的使用说明依次按键 .
解法提醒
感悟新知
计算器直接计算出的角的单位是度，而不 是度、分、秒，若要得到用度、分、秒表示 的角度，可以借助 键.
感悟新知
4. 利用计算器求sin 30°时，依次按键sin30°′″＝，
则计算器上显示的结果是( A )
A．0.5
B．0.707
C．0.866
D．1
感悟新知 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，
BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正 确的是( D )
A. 5 ÷ tan 2 6 ＝ B. 5 ÷ sin 2 6 ＝ C. 5 × cos 2 6 ＝ D. 5 × tan 2 6 ＝
显示结果为 tan-10.189 0=10.702 657 49，
再按
得∠ A ≈ 10° 42′ 10″ .
感悟新知
归纳
由值求角，计算器显示的角度的单位是 “度”，一般需要化为用“度、分、秒”表示 的形式，用°’”键可实现两者间的转换．
第26讲 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)的概念,知道30°， 45°，60°角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求 它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角. 2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
一、特殊角的三角函数值 三角函数 锐角α 30° sin α
DE 3.5 7 . BD 12.5 25
【对点训练】
5.(2012·衡阳中考)如图,菱形ABCD的周长为20 cm,且 tan ∠ABD= 4 ,则菱形ABCD的面积为_________cm2.
3
【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD. ∵菱形的周长为20 cm,
∴菱形的边长为5 cm.
算tan 15°=______.
【解析】设CD=x,因为∠A=30°,所以AC=2x,AD= 3 x,则 AB=2x,BD=2x- 3 x=(2- 3 )x,所以tan
BD （2 3）x 2 3. CD x
15°=
答案：2- 3
解直角三角形 ◆中考指数:★★★☆☆
解直角三角形的四种类型及方法：
【例2】(2012·上海中考)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cos A= 3 ．
5
(1)求线段CD的长； (2)求sin∠DBE的值． 【思路点拨】(1)据已知→求AB→CD (2)据勾股定理→求BC→求DE→sin∠DBE
【自主解答】(1)因为∠ACB=90°，AC=15，cos A= 3 ,所以
【即时应用】
2 2 2 1 ,则cos α =____,tan α =___. 1.若α 为锐角，且sin α = 3 4 3 4 4 2.在Rt△ABC中，∠C=90°,sin A= ，则cos B=__. 5 5
初中数学人教版九年级下册：求锐角三角函数值-教学课件
a
√3a
自 主 探究 45°角的三角函数值
设两条直角边长为a, 则斜边长为 √2a.
归纳提炼
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角A 锐角三角 函数
30° 45° 60°
sin A
2
3
2
2
2
cos A tan A
3 2
3 3
1
√3
学以致用
例 1求下列各式的值：
(1)cos²30°+tan30°·sin60°;
28.1锐角三角函数(第三课时)
年 级：九年级下册 学 科：初中数学(人教版)
想一想
请同学们拿出自己的学习工具——一副三角 尺.这两块三角尺中有几个不同的锐角? 这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少?
自 主 探 究 30°、60°角的三角函数值
设30°所对的直角边长为a, 那么斜边长为2a, 另一条直角边长为 √(2a)²-a²=√3a.
∴∠A=45°.
A
学以致用
例 2 (2)如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO=√3 OB, 求a的度数. (2)在图中，
∴a=60°.
1.求下列各式的值：
(1)1-2sin30°cos60°; (2)3 tan30°-tan 45°+2sin60°.
解(1)1-2sin30°cos60°(2)3 tan30°-tan 45°+2sin60°
2
2
√3 √2
1 -
2
2
2
tan A
√3
3
1 √3
如图，在Rt△ABC中，三角形 的三边分别记为a,b²,
对任意锐角α,cos²a+sin²a=1 均成立.
如果锐角A不是这些特殊角,怎样得到它的三角函数值呢
，cos74°28 ' =
（2）tan3°8 ' =
，tan80°25'43″=
正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）开 计算器
2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
（1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
第一种方法： 第一步：按计算器
tan
键，
第二步：输入角度值30，分值36 （可以使用 屏幕显示答案：0.591 398 351
°＇ ″
键），
第二种方法： 第一步：按计算器 tan 键，
第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351
点此图打开 计算器
如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它 的三角函数值呢？
我们可以借助计算器求锐 角的三角函数值．
例如求sin18°． 第一步：按计算器 sin 键，
第二步：输入角度值18， 屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994 （也有的计算器是先输入角度在按函数名称键） 点此图打开 计算器
求 tan30°36'
2nd F
°＇″ 键，进一步得到∠A＝30°07'08.97 "
第二步：输入0. 501 8
屏幕显示答案： 30°07'0897 " （这说明锐角A精确到1'的结 果为30°7'，精确到1 "的结果为30°7' 9 " ）
练习
1．用计算器求下列锐角三角函数值； （1） sin20°= sin35°= sin15°32 ' = ， cos70°= ，cos55°= ； ； 分析第1（1） 题的结果，你 能得出什么猜 想，你能说明 你的猜想吗？
第二十八章 锐角三角函数(单元总结)-2021学年九年级数学下册(人教版)(解析版)
第二十八章 锐角三角函数单元总结【知识要点】 知识点一 锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)【正弦和余弦注意事项】1.sinA 、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2.sinA 、cosA 是一个比值（数值，无单位）。
3.sinA 、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，对边邻边C知识点二 解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 直角三角形五元素之间的关系： 1. 勾股定理（）2. ∠A+∠B=90°3. sin A==4. cos A= =5.tan A= =【考查题型】考查题型一 正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．45【答案】D 【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，首先根据勾股定理求出AC ，然后在Rt ACD ∆中即可求出sin BAC ∠的值．【详解】如图，过C 作CD AB ⊥于D ，则=90ADC ∠︒，∴AC ＝222234=+=+AC AD CD ＝5． ∴4sin 5CD BAC AC ∠==． 故选D ． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C =∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43【答案】A 【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得． 详解：在Rt △ABC 中，∵AB=10、AC=8， ∴2222=108=6AB AC --，∴sinA=63105BC AB ==. 故选：A ．点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AC＝6cm，则BC的长度为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm 【答案】C【详解】已知sinA=45BCAB=，设BC=4x，AB=5x，又因AC2+BC2=AB2，即62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm，故答案选C．考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A 5B25C5D．23【答案】B【详解】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，222425+=∴cos∠25525=．故选B ．变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠=，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（ ） A ．18 B ．2C ．12D ．118【答案】B 【分析】根据三角函数的定义，在直角三角形ABC 中，cosA ＝ACAB，即可求得AC 的长． 【详解】解：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∴cosA ＝ACAB ， ∵cosA ＝13，AB ＝6，∴AC ＝123AB =，故答案选：B ． 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是要熟练掌握直角三角形中边角之间的关系．变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M （5，2），那么cosα的值是（ ）A 5B ．23C 25D 5【答案】D 【分析】如图，作MH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OM，即可解决问题．【详解】解：如图，作MH⊥x轴于H．∵M（5，2），∴OH＝5，MH＝2，∴OM＝22(5)2+＝3，∴cosα＝5 OHOM=，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C3D3【答案】B【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求． 【详解】 如图，连接BC ，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB 2+BC 2=AC 2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan ∠BAC=1， 故选B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．2D ．1【答案】A 【解析】分析：本题考查等腰直角三角形的性质及解直角三角形．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，运用三角函数的定义建立关系式然后求解． 解析：如图，作DE ⊥AB 于E ．∵tan ∠DBA==，∴BE=5DE ．∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE ．∴BE=5AE ，又∵AC=6，∴AB=6，∴AE+BE=AE+5AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=，AE=2．故选A.变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若2tan5BAC∠=，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75m B．50m C．30m D．12m 【答案】A【分析】根据BC的长度和tan BAC∠的值计算出AC的长度即可解答.【详解】解：因为2tan5BCBACAC＝∠=，又BC＝30，所以，3025AC＝，解得：AC＝75m，所以，故选A.【点睛】本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是( )A．(32，12) B．(－32，－12)C．(312) D．(－123【答案】B 【详解】∵点（-sin60°，cos60°）即为点（312），∴点（-sin60°，cos60°）关于y 3，12）．变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【详解】试题分析：选项A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C，sin225°+cos225°=1正确；选项D，sin60°=3，sin30°=12，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D．变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC中，sin A=cos B=22，则下列最确切的结论是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【答案】C【解析】因为sin A=cos B 2，所以∠A=∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形. 故选C.考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=45，则cosB的值等于( )A．35B．45C．34D5【答案】B 【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cos B=sin A=45．故选B．点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系．在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA= 12，那么sinA 的值是（ ）A ．2B ．2C ．3D ．12【答案】B 【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值即可． 【详解】：∵Rt △ABC 中，cosA=12 ，∴ =2， 故选B ． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键．变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠=，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（ ） A ．35B ．53C ．34D ．43【答案】C 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解. 【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∴cosA=b c ，tanA=ab ，a 2+b 2=c 2. ∵cosA=45，设b=4x ，则c=5x ，a=3x ．∴tanA=a b =3344x x =. 故选C.【点睛】利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值.考查题型六 解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为( )A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα【答案】B【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题；【详解】在Rt △ABC 中，AB=AC sin α， 在Rt △ACD 中，AD=AC sin β， ∴AB ：AD=AC sin α：AC sin β=sin sin βα， 故选B ．【点睛】 本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（ ）A ．10B ．15C ．6D ．10 【答案】D【分析】过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，在Rt ACD ∆中可求出AD ，CD 的长，在Rt ABD ∆中，利用勾股定理可求出AB 的长，再利用正弦的定义可求出sinB 的值．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．在Rt ACD ∆中，1CD CA cosC ⋅＝＝，2215AD AD CD ∴=-=；在Rt ABD ∆中，315BD CB CD AD ＝﹣＝，＝，22BD AD 26AB ∴=+=，AD 10sin AB B ∴==． 故选：D ．【点睛】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，AB 的长是解题的关键．变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）A．11米B．（36﹣153）米C．153米D．（36﹣103）米【答案】D【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE．【详解】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，∴BE＝30×tan30°＝103（米），∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣103）（米）．∴甲楼高为（36﹣103）米．故选D．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）【答案】云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D （点D 与楼底C 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．【答案】153+【分析】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ，先在RT △BDN 中求出线段BN ，在RT △ABM 中求出AM ，再证明四边形CMBN 是矩形，得CM=BN 即可解决问题．【详解】如图作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M ．在RT △BDN 中，BD=30，BN ：ND=13，∴BN=15，DN=153，∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM=BM=15，BM=CN=603153453-=，在RT△ABM中，tan∠ABM=43 AMBM=，∴AM=603，∴AC=AM+CM=15603+．【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．【解析】分析：利用锐角三角函数，在Rt △ACE 和Rt △DBF 中，分别求出AE 、BF 的长．计算出EF ．通过矩形CEFH 得到CH 的长．详解：在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE=CE AE， ∴AE=()15515521tan tan82.47.5CE cm CAE =≈≈∠︒ 在Rt △DBF 中，∵tan ∠DBF=DF BF， ∴BF=()23423440tan tan80.3 5.85DF cm DBF =≈=∠︒. ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm ）∵CE ⊥EF ，CH ⊥DF ，DF ⊥EF∴四边形CEFH 是矩形，∴CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离CH 的长为151cm ．点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度．。
28.1.4 用计算器求锐角三角函数值及锐角-2022-2023学年九年级数学下册同步教学课件(人教
，
0.9563
0.9563
cos17°≈
，sin73°≈
；
猜想：已知0°＜α＜90°， 则 sinα = cos（90°-α），
cosα = sin（90°-α）.
28.1.4 用计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求值，并提出你的猜想 （结果保留四位小数）：
sin20°≈ 0.3420 ， cos20°≈ 0.9397 ，
28.1.4 用计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论．
1 ·sin2α ·AC = 2 sin2α，
S△ABC =
1×2AB·sinα ·AC·cosα = sinα ·cosα， 2
sin220°≈ 0.1170 ， cos220°≈ 0.8830 ；
sin35°≈ 0.5736，cos35°≈ 0.8192 ，
sin235°≈ 0.3290 ，cos235°≈ 0.6710 ；
猜想：
1
已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = .
28.1.4 用计算器求锐角三角函数值及锐角 当堂练习
28.1.4 用计算器求锐角三角函数值及锐角
复习引入 填写下表：
锐角a 锐角三 角函数 sin a
cos a
tan a
30°
1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2 1
60°
3 2 1 2
3
28.1.4 用计算器求锐角三角函数值及锐角
通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30°、 45°、60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角 三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到 它的锐角三角函数值呢？
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求锐角三角函数值的几种常用方法
锐角三角函数是初中数学的重要内容，也是中考的热点之一．求锐角的三角函数值 方法较多，下面举例介绍求锐角三角函数值的几种常用方法，供参考．
一、定义法
当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )
(A )513 (B )1213 (C )512 (D )135
分析 题目中已知乞A 的对边BC 和斜边AB 的长，可直接运用锐角三角函数的定义
求解．
解 ∵在△ABC 中，
∠C =90°，AB =13，BC =5，
∴sin A 513
BC AB =故选A 二、参数法
锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题．
例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =512
，那么sin B 的值是 ． 分析 由已知条件∠A 的正切，可知直角三角形中两边的比值，据此可用参数法将
第三边表示出来，进而求出sin B 的值．
解如图2 ∵tan A =512
BC AC =， ∴设BC =5k ，AC =12k (k >O )．
由勾股定理，得AB =13k ，
∴1212sin 1313
AC k B AB k === 三、等角代换法
当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决．
例3 如图3，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ．
分析 由已知条件，不难知道∠ACD 与∠A 相等，所以欲求cos ∠ACD ，只要求cos A 即可．
解 在Rt △ABC 中，
∵CD 是AB 边上的中线，
∴CD =AD =BD ，
∴∠ACD =∠A ．
又∵CD =4，∴AB =2 CD =8，
由勾股定理，得
AC =
∴cos A =AC AB =
∴cos ∠ACD =cos A =
8 四、构造法
直角三角形是求解或运用三角函数的前提条件，故当题目中已知条件并非直角三角 形时，需通过添加辅助线构造直角三角形，然后求解．
例4 在△ABC 中，∠A =120°，AB =4，AC =2，则sinB 的值是( )
(A (B (C (D 分析 由于∠B 不在直角三角形中，因此需添加辅助线构造直角三角形，从而求解． 解 如图4，过点C 作CD ⊥BA ，交BA 的延长线于点D ．
∵∠BAC =120°，
∴∠DA C =180°一∠BAC
=180°一120°=60°．
在Rt △ABC 中，∵A C =2，∠DAC =60°，
∴CD =AC ·sin ∠DAC =2=
∴AD =1．
又∵AB =4 ∴BD =AB +AD =5， 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得
BC =
∴sin CD B BC === 故选D ．。