k-次增生与k-次散逸算子方程带误差的迭代序列收敛率的估计
数值分析第四版习及答案
Yn
Yn1
1 100
783
( n=1,2,…)
计算到 Y100 .若取 783 ≈27.982(五位有效数字),试问计算Y100 将有多大误差?
7. 求方程 x2 56x 1 0 的两个根,使它至少具有四位有效数字( 783 ≈27.982).
8.
当 N 充分大时,怎样求
N
1
1 x2
dx
24.
将
f
(x)
sin
1 2
x 在 1,1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼
近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.
25. 把 f (x) arccos x 在 1,1 上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
第四版 数值分析习题
第一章 绪 论
1. 设 x>0,x 的相对误差为δ ,求ln x 的误差.
2. 设 x 的相对误差为 2％,求 xn 的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字:
x1* 1.1021, x2* 0.031, x3* 385.6, x4* 56.430, x5* 71.0.
19
25
31
38
44
xi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
yi
27. 观测物体的直线运动,得出以下数据:
x2 C 0,1 的最佳平方逼近,并比较其结果.
22. f (x) x 在 1,1 上,求在 1 span 1, x2, x4 上的最佳平方逼近.
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
第十六章偏微分方程的数值解法.pdf
1 x 0
其中： ( x)
1
2
x 0，
0 x 0
1 k 1, 2 ,
k
(xk
)
1
2
k 0
0 k 1 , 2 ,
按差分格式：
uk, j 1 uk j, ar(uk j1, uk j ) , uk,0 k
uk, j 1 uk j, ar(uk j , uk j )1 , uk,0 k
(k 0, 1, 2, , j 0,1, 2, )
(16.3.5) (16.3.6)
uk, j1
uk, j
ar 2
(uk 1, j
uk 1, j )
(k 0, 1, 2,
R(xk ,t j ) (k 0, 1, 2, , j 0,1, 2, )
(16.2.5)
其中：u(xk ,0) (xk ) (k 0, 1, 2, ) 。由于当 h, 足够小时，在式中略去 R(xk ,t j ) ，就得到
一个与方程相近似的差分方程：
uk , j1 uk, j a uk1, j uk, j 0
u 2u t a x2 0 (a 0)
方程可以有两种不同类型的定解问题：
(1) 初值问题：
u
t
a
2u x2
0
u(x , 0) x ( )
t 0, x x
(2) 初边值问题：
u(utx, 0a)
第十六章 偏微分方程的数值解法
科学研究和工程技术中的许多问题可建立偏微分方程的数学模型。包含多个自变量的微 分方程称为偏微分方程(partial differential equation)，简称 PDE。偏微分方程问题，其求解是 十分困难的。除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得 更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
系统辨识第5-7讲
《系统辨识》第5讲要点第5章 线性动态模型参数辨识－最小二乘法5.1 辨识方法分类根据不同的辨识原理，参数模型辨识方法可归纳成三类：① 最小二乘类参数辨识方法，其基本思想是通过极小化如下准则函数来估计模型参数：min )()ˆ(ˆ==∑=θθLk k J 12ε其中)(k ε代表模型输出与系统输出的偏差。
典型的方法有最小二乘法、增广最小二乘法、辅助变量法、广义最小二乘法等。
② 梯度校正参数辨识方法，其基本思想是沿着准则函数负梯度方向逐步修正模型参数，使准则函数达到最小，如随机逼近法。
③ 概率密度逼近参数辨识方法，其基本思想是使输出z 的条件概率密度)|(θz p 最大限度地逼近条件0θ下的概率密度)|(0θz p ，即)|()ˆ|(0ma x θθz p z p −−→−。
典型的方法是极大似然法。
5.2 最小二乘法的基本概念● 两种算法形式① 批处理算法：利用一批观测数据，一次计算或经反复迭代，以获得模型参数的估计值。
② 递推算法：在上次模型参数估计值)(ˆ1-k θ的基础上，根据当前获得的数据提出修正，进而获得本次模型参数估计值)(ˆk θ，广泛采用的递推算法形式为() ()()()~()θθk k k k d z k =-+-1K h其中)(ˆk θ表示k 时刻的模型参数估计值，K (k )为算法的增益，h (k -d ) 是由观测数据组成的输入数据向量，d 为整数，)(~k z 表示新息。
● 最小二乘原理定义：设一个随机序列)},,,(),({L k k z 21∈的均值是参数θ 的线性函数θτ)()}({k k z h =E其中h (k )是可测的数据向量，那么利用随机序列的一个实现，使准则函数21])()([)(θθτ∑=-=Lk k k z J h达到极小的参数估计值θˆ称作θ的最小二乘估计。
● 最小二乘原理表明，未知参数估计问题，就是求参数估计值θˆ，使序列的估计值尽可能地接近实际序列，两者的接近程度用实际序列与序列估计值之差的平方和来度量。
迭代法
取 x(0)=(0,0,0)T 计算结果如下：
k
x1(k)
1 0.72
x2(k) 0.83
x3(k) 0.84
2 0.971 1.07
1.15
……
…
…
11 1.099993 1.199993 1.299991
12 1.099998 1.199998 1.299997
上页 下页
例2 用Gauss—Seidel 迭代法解上题.
x (0 ) (初 始 向 量)，
x
(
k
1
)
Bx (k)
f
(k 0,1, , ),
( 2 .7 )
其中B=I-(D-L)-1A= (D-L)-1U=G, f=(D-L)-1b. 称矩 阵G=(D-L)-1U为解Ax=b的高斯—塞德尔迭代法的迭 代矩阵.
上页 下页
由高斯—塞德尔迭代法(2.7)有
(k j
)
)
/
a
i
i
,
j1
ji1
x (k 1) i
(1
)
x
( i
k
)
x~
( i
k
1
)
x(k) i
( x~i(k 1)
x
( i
k
)
),
( i 1 ,2 , , n ).
即
i1
n
x ( k 1) i
x
(k i
)
(bi
a
i
j
x
( j
k
1
)
a
i
j
x
( j
k
)
)
/
a
i
i
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
求解线性方程组稀疏解的稀疏贪婪随机Kaczmarz算法
大小 k̂ 。②输出 xj。③初始化 S = {1，…，n}，x0 = 0，
j = 0。④当 j ≤ M 时，置 j = j + 1。⑤选择行向量
ai，i ∈
{
1，…，n
}，每一行对应的概率为
‖a‖i
2 2
‖A‖
2 F
。
⑥
( | ) 确 定 估 计 的 支 持 集 S，S = supp xj-1 max { k̂，n-j+1 } 。
行从而达到加快算法收敛速度的目的。算法 3 给出
稀疏贪婪随机 Kaczmarz 算法。
算法 3 稀疏贪婪随机 Kaczmarz 算法。①输入
A∈ Rm×n，b ∈ Rm，最大迭代数 M 和估计的支持集的
大 小 k̂ 。 ② 输 出 xk。 ③ 初 始 化 S = {1，…，n}，x0 =
x
* 0
=
0。④
置
k
=
0
时，当
k
≤
M
-
1
时。⑤计算
( {| | } ϵk=
1 2
‖b
1 - Ax‖k 22
max
1≤ ik ≤ m
bik - aik xk 2
‖a
‖ ik
2 2
+
)1
‖A‖
2 F
（2）
⑥决定正整数指标集
{ | | } Uk =
ik|
bik - aik xk
2
≥
ϵ‖k b
-
Ax‖k
‖22 a
‖ ik
2 2
ï í
1
ï î
j
l∈S l ∈ Sc
其中，j 为迭代步数。当 j → ∞ 时，wj⊙ai → aiS，因此
数值分析-第四版-课后习题答案-李庆扬
第一章1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x r δεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε， 相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x n r ==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k εεεε；（3）*4*2/x x 。
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ｌ 一 ｌ Ｉ—Ｙ （ —Ｔ ） ｌ ｌ ≤ｌ ＋７ ｙＩ Ｊ
一
（． １） ２
个 增 生算 子 ， 如果Ｒ（ ＋ ） 对 一切 ＞０ ＝ 成立 ， 中 恒等 算 子， 称 其 是 则 是仇一 生 的． 增
称 一 是 次散 逸算 子 ， 如果一 是 次 增 生 的． 称 为Ｌｐｃｉ 的， 果存 在Ｌ＞０使 得 ， 一 ｉｓｈｔ 如 ｚ ， Ｙ∈Ｄ （ ， ） 有Ｉ ｘ—Ｔ ｌ≤Ｌ忪 一ｙＪ不 失 一般 性可 设Ｌ≥ １ Ｉ Ｔ ｙｌ ｔ ， ． 对 任意Ｘ ０∈Ｄ （ ， ｚ ） 由 ＋ ＝ ｆ Ｔ ｚ ）（ ）｛ 是 １ （ ， ｎ≥０定 义 的迭代 序 列． ） 集合
２ 主 要 结 果
定理 ２１ 设 是任 意实Ｂ ｎ ｃ空间， ： Ｔ） — Ｘ是Ｌｐｃｉ 的ｋ次增 生算 子（ｉｓｈｔ常 ． ａ ａｈ Ｔ Ｄ（ ｃ ｉｓｈｔ 一 ｚ Ｌｐｃｉ ｚ
数Ｌ ≥ １ 一 ， １＜ ｋ ＜ １， 程ｚ＋Ｔ ＝ ＿ ｆ∈ ） 解ｑ∈ Ｄ（ ， ｕ ） ｛ 是Ｘ中的序 列， ）方 ｘ 厂 有 （ ） ｛ ，ｕ｝
）≥ ， Ｖ ｎ≥０ 其 中 ∈ ，
引理１１ 设 非负实数列｛ 满足ａ＋ ．ｌｌ １ ０ ０｝ １≤ （ 一ｔ） ＋ｂ， １ ａ 其中 ∈ ［ １ ０］ ， ，∑ ｔ ＝ Ｃ， Ｘ ）
ｎ＝ ０
ｏ Байду номын сангаас
∑ｂ ＜。， 一 ０ｎ 。 ） 。 则ｎ （ 。．
收稿 日期： ０８１—８ ２０—０２
第４ 期
方 程 解 的 收敛 性． 文 的 目的是 在 任意 实Ｂ ｎ ｃ 空 间 中， 究 当一１＜ｋ＜１ Ｌｐｃ ｉ 的ｋ次增 本 ａ ａｈ 研 时， ｉｓｈｔ ｚ 生算子 方 程ｚ＋Ｔ ｘ—ｆ 一 散逸 算 子方 程Ｘ一， ｘ＝ｆ 和ｋ次 Ｘ Ｔ 的解 的带 误差 的收敛 性 与稳 定性 问题， 并 给 出 了收 敛率 的估 计 式， 而 在很 大程 度 上 推广， 进 了一 些 已知 的结 果． 从 改
度 上 统 一 和 发 展 了 有 关 文 献 中 的相 应 结 果 ．
关键词：忌 次增 生算子； 一 一 次散逸算 子； 稳定性； 敛率估计； Ｔ一 收 带误 差的迭代序列 中图分类号：Ｏ１ ７９ ７ ．１
文 献 标 志 码 ： Ａ
１ 引言与预 备知识
设 是 实Ｂ ｎ ｃ 空 间， 为 的对 偶 空 间，（ ． 示 与 之 间 的 广 义 对偶 对 ． 规 对 偶 映 ａ ａｈ ．） ，表 正
ｎ＝ ０
的．
文 献【 首先 提 出了ｋ次 增 生算 子 的概 念， 证 明在 一 致 光 滑 的Ｂ ｎ ｃ 空 间 中， １ １ 一 并 ａ ａｈ 当ｋ＞一１２ ／ 时，
Ｍ ｎ 迭代序列收敛于方程Ｘ ｘ—ｆ ｆ∈ ） ａｎ ＋Ｔ （ 的解． 文献［讨论 了当 ２ ］ ∈（ １ｏ 一 一 ，） 时， 次增 生算子
象 ： 一２ 义 下 （ ＝ ｌ ： ， ＝ｌ ＝１。． 定 如 ｛ ∈ （ｆ Ｉｌ Ｉ１ ） 厂 ） ｘ ／｝ ｔ １
算 子Ｔ ： （ （Ｘ — 具 有 定义 域Ｄ （ 和值 域Ｒ（ ， 是 次增 生 的， Ｄ Ｔ） ） ） 称 一 如果 对 任 意 ， Ｙ∈
张树义： 次增生 与 次散逸算 子方程带 误差 的迭代序 列收敛 率的估计 一
３３ ５
引理 １２１ 设 是 实Ｂ ｎｃ空 间， ： — 是 连 续 的ｋ次增 生算 子 ， ．［］ １ ａａｈ 一 如果 七＞ 一１ 则对 任给 ，
的ｆ∈Ｘ， 程 ４Ｔｘ＝ ， 中有 唯 一解 ． 方 － 在
Ｆ（ ） ｛ Ｔ ＝ ∈Ｘ ： ｘ＝ ≠ 咖 ｝ Ｔ ） 且｛ 收敛 于ｑ∈Ｆ（ ， ） ） 设｛ 是Ｄ （ 中的任 意数 列， ） 记
＝
ｌ ＋ 一ｆ Ｔ Ｙ）＿ １ （， ｌ如果 ∑ ￡ ｌ ＜＋ 。 有Ｙ 一 ｑ则称迭代过程ｚ ＋ ＝ｆ Ｔ Ｘ ） 。， ， １ （，ｎ 是几乎 稳定 一
第 １ 卷第 ４期 ２
２ １年 １ ０ ０ ２月
应用泛 函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ Ｉ ＵＮＣＴ１ ＮＡＬＩ ＹＳ Ｓ Ｆ ０ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖｏ ．１ ． １ ２ Ｎｏ ４ ． Ｄｅ ． ２ １ ｃ， ０ ０
ＤＯＩ： ０３ ２ ／ ＰＪｉ６ ．０ ００ ３ ２ １ ．７ ４ Ｓ ．．１０２ １ ．０ ５
Ｄ（）都存鹤 （ ， —Ｙ ∈Ｊ ｚ一 ） ） （ 和常数 ∈（ Ｏ， 。）使 一 ０ ＋ 。， （ｘ ｙＪ 一 ） ≥ ｌ 一 ｌ Ｔ —Ｔ ，（ ） Ｉ ｌ ｘ （． １） １
在 上 式 中， 果 ＝ ０则 称 是增 生的． 如 ， 如果 ＞０ 则 称 是强 增 生 的． 知 是增 生 的 当且仅 ， 熟
文章编号： ０９１２（０００—３２１ １０—３７２１）４０５—１
一
次 增生 与ｋ 次散逸算子方程带误差 的迭代序列收敛 率的估计 一
张 树 义
渤 海 大 学 数 学系 ，锦 州 １ １０ ２００
摘要：在任意实Ｂ ｎ ｃ空间中， ａ ａｈ 研究了Ｌｐｃ ｉ 的七次增生算子方程ｚ＋Ｔ ｉｓｈｔ ｚ 一 ｘ＝ｆ 一 和 次散逸算子 方程 Ｘ一， ｘ＝ ｆ Ｘ Ｔ 的解的带 误差的收 敛性与稳定 性问题 给出 了收 敛率的估计 式， 并 从而在很 大程
｛ ） ）分 别是 （，／） （，） ［ １中的 实数 列， 足 下列 条 件 ，｛ ０１２ ｃ ０１与 ０ ） ， 满
（Ａ ｉ ＝ １ 一（ （ ） ＋ （ ＋１＋１ａ ） ） ＋ＬＬ＋１ ＋ＬＬ 一 （ ） （ ）
（，１ ） ０ ＋ 是某一实数列； ｉ ∑ （） ｉ