2.2 算子和算子方程
第2章_矩量法
a
Lf , g f , Lg
矩量法
矩量法 假设有一算子方程为第一类Fredholm积分方程：
a G( z, z' ) f ( z' )dz' g ( z)
式中 G ( z , z ' ) 为核，g ( z )为已知函数，f ( z ' ) 为未知函数。
b
矩量法
①首先用线性的独立的函数来近似表示未知函数
f ( z' ) a n f n ( z' )
n 1
N
f n ( z ' ) 为算子域内 其中 a n为待定系数（可为复数）， 的基函数，N为正整数。代入上式并整理得：
a
n 1
N
n
L[ f n ( z' )] g ( z)
由于是用近似式表示，故有误差，为：
n 1
I z I n z i 1
i 1
N
n
L I z I n sinnk z 对称振子的电流分布接近正弦分布： n 1 2
矩量法
2) 子域基函数
在J所及的域内存在但在该域的部分地方为零 的基函数Jn，则J为子域基函数
f (I i ) J z 0 当z在z i以内时 在其它地方
矩量法
由于狄拉克函数有：
m , f x m f xdx f xm
因此选择狄位克函数做权函数时，阻抗矩阵元素的计 算可以减少一个积分运算。 狄拉克函数的这种应用，在物理问题中被理解为边界 条件只施于表面S上的离散点上，而不是连续地施于整个 表面上。故称此方法为点匹配法。同时也可以看出此方法 求解的精确度不仅依赖于点的数目，同时还依赖于点的位 置。用等间距的点能给出较好的结果。对于远场计算较好， 但对于近场数据的计算时对匹配点的数目和位置则较为敏 感。
第2章_矩量法剖析讲解
以内时
i
当z在z
以外时
i
分段正弦：
Jz
Ii
sin
k zi1
z I i1
sin kzi
sin
kz zi
0
当z在z
以内时
i
当z在z
以外时
i
二次插值法：
J
z
Ai
Bi
z
zi
Ci
z
zi
2
0
当z在z i以内时 当z在z i以外时
正弦插值法：J z
Ai
Bi
sin
kz
zi
Ci
sin
kz
zi
2
矩量法
矩量法
§2.1 矩量法原理
根据线性空间的理论，N个线性方程的联立方程组、微 分方程、差分方程、积分方程都属于希尔伯特空间中的算子 方程，这类算子可化为矩阵方程求解。
设有算子方程：
L( f ) g
式中L为算子，可以是微分方程、差分方程或积分方程； g是已知函数如激励源；f为未知函数如电流。
假定上述方程的解存在且是唯一的，则有逆算子 L1的 存在，使 f L1 (g) 成立。 L与L1 互为逆算子。
0
当z在z
以内时
n1
若令残数矢量对检验函数的内积为零：
wm ,(z) 0
这就意味着 wm与 正交。随着N的增加，误差也趋于最小。
矩量法是一种使误差化为最小的方法。
③内积，则可写出下列矩阵方程：
IZ V
式中
Z mn
wm , L[ fn (z)]
Vm Wm , g
Im am
④求解上矩阵方程。
矩量法
对于电磁场问题，算子方程： Lop (J ) Ei
§2.8 用算子符号表示微分方程
当求系统的零状态响应时，则要解r(t)=H(p)e(t)的非齐次方 当求系统的零状态响应时，则要解r )=H 程。 由上述可以看出：在时域分析中， 由上述可以看出：在时域分析中，算子符号形式提供了简 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同， 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同，而形 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 返回
e(t)
-
i(t) 1
1H
i(t) 2
1
i(t) 3
1F
用算子符号建立微分方程（续2） 用算子符号建立微分方程（
di di di 3 1 − 2 − 3 =0 dt dt dt di di − 1 + 2 + i 2 − i 3 = e( t ) dt dt − di 1 − i + di 3 + i + t i dt = 0 2 3 ∫− ∞ 3 dt dt
− p p + 3
−1
e ( t ) 0
( 2 p 2 + 10 p + 3 )i 2 = pe ( t )
d 2 i2 即： 2 2 + 10 di 2 + 3i 2 = d e ( t ) dt dt dt
1H 1H
+
例2-8-2：如图所示电路，激 如图所示电路， 励电压为e ),请用算子符号列 励电压为e(t),请用算子符号列 写求电流i 的微分方程。 写求电流i1(t)的微分方程。 解：列出3个网孔的回路方程 列出3
( C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n − 1 p + C n )r ( t ) = ( E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m )e ( t ) D ( p ) = C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n −1 p + C n N ( p ) = E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m
《2024年二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析》范文
《二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析》篇一一、引言在数学物理的多个领域中，算子谱分析是一个重要的研究课题。
本文将主要探讨二次算子族与无穷维Hamilton算子的谱分析。
我们将首先介绍算子谱分析的基本概念和背景，然后重点阐述二次算子族和Hamilton算子的基本性质和特点，最后提出本文的研究目的和意义。
二、基本概念与背景算子谱分析是研究线性算子或非线性算子的谱及其性质的一门学科。
它涉及到许多数学分支，如函数论、线性代数、微分方程等。
二次算子族和Hamilton算子作为特殊的算子类型，在物理学、量子力学等领域具有广泛的应用。
2.1 二次算子族二次算子族指的是一类具有二次特性的算子。
在物理学中，这类算子通常用来描述一些基本物理过程。
其性质复杂多变，且往往具有独特的数学结构。
2.2 无穷维Hamilton算子无穷维Hamilton算子是一种特殊的偏微分方程的算子，它通常用来描述无穷维系统中的哈密顿动力学过程。
该类算子的谱分析对于理解量子力学中的无穷维系统具有重要意义。
三、二次算子族的谱分析3.1 定义与性质二次算子族的谱分析主要涉及该类算子的特征值和特征向量的求解问题。
由于二次算子的复杂性，其特征值和特征向量的求解往往需要借助特定的数学方法和技巧。
3.2 求解方法针对二次算子的特征值和特征向量的求解问题，我们可以采用多种方法，如变分法、数值逼近法等。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
四、无穷维Hamilton算子的谱分析4.1 定义与性质无穷维Hamilton算子的谱分析主要关注该类算子的能级结构、能级分布等问题。
由于无穷维系统的复杂性，其能级结构和分布往往具有独特的特性。
4.2 求解方法对于无穷维Hamilton算子的谱分析问题，我们可以采用一些特殊的数学方法，如自伴场方法、离散化方法等。
这些方法可以帮助我们更好地理解和求解无穷维系统的能级结构和分布问题。
五、研究目的与意义本文的研究目的是通过对二次算子族和无穷维Hamilton算子的谱分析，深入理解这两类算子的性质和特点，为解决相关领域的实际问题提供理论依据和方法支持。
第2章连续系统的时域分析
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理
y( t ) f ( t ) h( t )
f ( )h(t )d
①变量替换t→τ
f (t ) f ( )
h(t ) h( )
11
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2 卷积积分
2.2.3 卷积的性质
性质1：卷积代数 交换律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f1 ( t )
结合律：
f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t ) f3 ( t )
f ( )h(t )d
④相乘
f h t
⑤扫描积分
f h t d
13
2013年8月13日8时12分
2.2 卷积积分
2.2.2 卷积的图解机理 替换 翻转 平移 相乘 积分
14
2013年8月13日8时12分
(t mT )
f ( t mT )
f ( t ) T ( t )
m
f ( t
f (t ) A
…
… …
…
-3T -2T -T o T 2T 3T
- 0 1
1
t
- 2T T
o
T
2T
t
第2章_时域分析
1 1 2t 3 3 i(t ) e c1 cos t c2 sin t 2 2 2
e
1 t 2
3 3 3 3 c1 sin t c2 cos t 2 2 2 2
24
第二章 连续时间系统的时域分析
零状态响应求解
12
第二章 连续时间系统的时域分析
• 性质4 微分和积分的运算次序不能任意颠倒， 两种运算也不一定能抵消。
13
第二章 连续时间系统的时域分析
(三）转移算子 H ( p)
n阶线性微分方程为： d nr d n1r dr d me d m1e de an1 n1 a1 a0 r bm m bm1 m1 b1 b0 e n dt dt dt dt dt dt
– 受迫响应（强迫响应）
• 有输入激励时系统的响应。 • 对应于特解（只含外加激励频率项） 。
• 形式由微分方程的自由项或外加激励信号决定。
7
零输入响应与零状态响应
第二章 连续时间系统的时域分析
• 一个连续系统的完全响应，可以根据引起响应的不同原因， 将它分解为零输入响应和零状态响应两部分。
– 零输入响应
p n r an1 p n1r a1 pr a0 r bm p m e bm1 p m1e b1 pe b0 e
( p n an1 p n1 a1 p a0 )r (bm p m bm1 p m1 b1 p b0 )e 即
14
第二章 连续时间系统的时域分析
令
D( p) p n an1 p n1 a1 p a0
N ( p) bm p m bm1 p m1 b1 p b0
闭算子定理
闭算子定理
闭算子定理是泛函分析中的一个基本定理，也是闭算子理论的核心定理之一。
闭算子定理给出了一个线性算子在某种拓扑下是否是闭的充分必要条件。
设X和Y 是两个Banach空间，A:X→Y是一个线性算子。
闭算子定理的陈述如下：线性算子A是闭算子的充分必要条件是，其定义域D(A)是X的闭子空间，并且A在D(A)上是连续的。
换句话说，如果对于任意收敛到X中的序列{x_n}，如果A(x_n)收敛于某个y∈Y，则存在某个x∈X，使得x_n收敛于x且A(x)=y。
反过来，如果A满足这个性质，则称A是一个闭算子。
闭算子定理的一个重要应用是证明逆算子定理，即如果一个线性算子A是双射且闭算子，则其逆算子A^(-1)也是闭算子。
闭算子定理在泛函分析中有广泛的应用，特别是在研究线性偏微分方程和算子方程时。
它为判断线性算子是否是闭算子提供了一种判定条件，从而在研究算子的性质时提供了一个有力的工具。
库普曼算子概念
库普曼算子概念详解一、引言库普曼算子是一个强大的数学工具，广泛应用于各种科学和工程领域。
尽管其起源可以追溯到上世纪30年代，但直到最近几十年，随着计算能力的提升和数据分析技术的进步，库普曼算子才逐渐受到广泛关注。
该算子的核心思想是描述一个系统从一个状态到另一个状态的转换，而无需显式地求解系统的演化方程。
二、库普曼算子的数学基础2.1 动力系统简介动力系统是对随时间演化的系统进行研究的数学框架。
它可以被定义为一组可能状态的集合，以及一个法则，该法则描述了状态随时间的演变。
形式上，一个动力系统可以表示为一个迭代映射或流，它将系统的状态从一个时刻映射到下一个时刻。
2.2 线性代数回顾库普曼算子的概念建立在线性代数的基础之上。
因此，为了理解库普曼算子，我们需要回顾一些基本的线性代数知识，包括向量空间、线性映射、特征值和特征向量等概念。
2.3 函数分析基础库普曼算子涉及的函数分析基础主要包括泛函分析和算子理论。
这些理论为我们提供了一套工具来研究无穷维空间中的函数和算子，以及它们的性质和关系。
三、库普曼算子的定义与性质3.1 库普曼算子的严格定义库普曼算子是一个线性算子，它作用在一个由系统状态构成的函数空间上。
对于一个给定的动力系统，库普曼算子U定义为：对于任意可观测函数f(x)，Uf(x) = f(T(x))，其中T是系统的状态转移映射。
3.2 库普曼算子的基本性质库普曼算子具有多个重要性质，包括线性、交换性、幺半群结构等。
这些性质使得库普曼算子成为研究动力系统的一个强大工具。
3.3 谱理论与库普曼算子谱理论是研究线性算子特征值和特征向量的理论。
库普曼算子的谱理论为我们提供了一种方法来分析动力系统的长期行为，而无需直接求解复杂的系统方程。
四、库普曼算子的应用4.1 系统辨识在系统辨识领域，库普曼算子可以用来识别未知系统的动态特性。
通过分析系统的输入输出数据，可以构建一个库普曼算子模型，从而预测系统的未来行为。
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2.2 算子和算子方程
2.2.1 线性算子
1. 定义：设AD和AD都是线性函数集，且HDA，若元素AD经算子A映射得唯一
的确定的元素AD，其映射关系为
A
并满足线性运算律(、为任意常数)
2121
)(AAA
则称A为线性算子。其中：AD是A的定义域，AD是A的值域。
若对于任意的AD，都有
i
i
AAlim
成立，则称A为线性连续算子。
若对于任意的AD，都有
CA
(C为有限常数)
成立，则称A为线性有界算子。
可以证明：线性连续算子等价于线性有界算子。
2. 运算性质
设A、B为线性算子，AD、BD分别为其定义域
(1) 算子的和——若BADD
)()(ABBABA
(2) 算子的积——若BD，ADB
)A(B)B(A)B(A
(3) 算子的逆——若)(AB，则
1
AB
，1BA
称A与B互为逆算子。)(1AA。
3. 线性算子方程：
可分为两种类型：
(1) 设A是已知线性算子，若其值域中的已知点AD由定义域中相应未知点
A
D
映射而得，即
A
则称之为确定性算子方程。
由算子方程的运算性质：
111)()(
AAAAA
确定性算子方程的求解任务：算子求逆运算。若1A存在，则解答是唯一的，1A连续，则
解答是稳定的。
(2) 设A为已知线性算子，其值域等于定义域AADD，且(为待定常数)在
值域中也是未知点，则
A
称为本征值算子方程。
本征值算子方程的求解任务：
①确定n所取的待定的值,2,1nn；
②求出n所对应的解,2,1nn。
2.2.2对称算子和正定算子
1. 对称算子
定义1：设)()(),()(22ELDxVELDxUAA，则
)(*)(,xEdxVUVUAA
称为含算子的内积，也即是交集上的线性泛函。
定义2：若函数集)(2ELD中的任何两个元素U和V所构成含算子的内积都满足
VUVUAA,,
则称A为D上的对称算子。
定义3：若凡DU都有
实数UU,A
则A亦称为D上的对称算子。
2. 正定算子
(1) 定义：若凡)(2ELDU都有
2
,UaUUA
(a为实数)
称A为D上的下有界算子。当a=0时，称A为D上的非负算子。
(2) 定义：若凡)(2ELDU都有
0UU,A
则称A为D上的正算子。
(3) 定义：若凡)(2ELDU都有
2
,UkUUA
(k为正数)
则称A为D上的正定算子。
由以上定义可知：
正定算子 正算子 非负算子 下有界算子 对称算子 线性算子。
2.2.3自伴算子
1. 伴随算子
定义：设A是H空间的线性连续算子，若存在B，使对于任何HVU、都有：
VUVUBA,,
则称B为A的伴随算子，记为A=B。
2. 自伴算子
基于上面的定义，当B = A时，
VUVUAA,,
则称A为自伴算子，即AA。
由上可知，自伴算子就是定义在H空间的对称算子。可以严格证明：凡自伴算子都
能求逆，其逆算子亦为自伴算子。
3. Lagrange意义下的自伴算子
通常求解电磁场问题，所要求解的场函数既要满足算子方程，又要满足边界条件。
这就是说：要求算子的自伴性，只要在符合边界条件的函数集HDb上是线性连续对称
算子，就能保证方程存在唯一、稳定的解，这种线性连续自伴算子就是Lagrange意义下
的自伴算子。
限定算子自伴性的边界条件——自伴边界条件 自伴边值问题。
4. 自伴边值问题
(1) Poisson边值问题
VSrrUnrUVrrfrUbb02)(
)(
)()(
rfrUAA
2
(2)Helmholtz边值问题
标量形式
VSrrUnrUVrrfrUkbb0
22
rfrUkAA
22
rUrUrfkAA022，，
矢量形式
VSrrunjrunVrrukbbb002
若A，2k )()(ruruA
(3) Fredholm边值问题
第一类 VrrfVrUrrGV,d
第二类 VVrrUVrUrrG,d
VrrGVdA
rUrUrfrUA
A