信号与系统微分算子方程
信号与系统第二章第一讲
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统之传输算子苍松书苑
1 0 0.5 1 -3
t, s
1 1
A1 2
A2 A1 3
A2
A1 A2
4 3
uC x (t) 4e2 t 3e3 t V, t 0 .
总结：求解零输入响应yx(t)的基本步骤：
(1)建立系统微分算子方程
(2)通过微分算子方程得D(p)求系统的特征根; (3)写出yx(t)的通解表达式;
(4)由系统的0-状态值与0-瞬时的零输入系统求得初始条件yx(j )(0-), j=0, 1, 2, …, n-1。
(5) 将0-初始条件代入yx(t)的通解表达式,求得积分常数A1, A2, …, An 。 (6) 写出所得的解yx(t)，画出yx(t)的波形。
LTI连续系统的零状态响应
一、零状态响应
b1 p b0 a1 p a0
N( p) D( p)
H(p)代表了系统将激励转变为响应的作用，或系统对输入的 传输作用，故将H(p)称为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系 统的传输算子
练
习题册2-1，2-3（3）
2. LTI连续系统的响应特性
LTI系统全响应可作如下分解：
1、y(t) = 自由响应 + 强制响应； 2、y(t) = 瞬态响应 + 稳态响应； 3、y(t) = 零输入响应yx(t) + 零状态响应yf (t)
A e pr1 t r 1
Ane pn t , t 0
将yx(0-)、yx'(0-)、…、yx(n-1)(0-)代入上式，确定积分常数A1、 A2、…、An 。
例2 电路如图(a)所示，已知uC (0-) = 1V，iL(0-) = -1A，求t≥0时的 零输入响应uCx(t)。
清华电子系山秀明《信号与系统》1
第一章：绪论§1.1 信号与系统（《信号与系统》第二版（郑君里）1.1）图1-1消息（Message）：信源的输出+语义学上的理解。
信号（Signal）：Information Vector（Signum），它携带或蕴含或本身即为信息。
信息（Information）：消息，内容，情报（牛津英文词典）。
语用层次上的信息：效用信息 语义层次上的信息：含义语法层次上的信息：形式（狭义信息——Shannon信息论）系统（System）：由若干个相互作用的物理对象和物理条件（统称为系统元件）组成的具有特定功能的整体。
本课程要解决的两个问题：信号表示（分析）：把信号分解成它的各个组成分量或成分的概念、理论和方法，即用简单表示复杂。
信号通过系统的响应：9系统分析：在给定系统的条件下，研究系统对于输入激励信号所产生的输出响应。
9系统综合：按某种需要规定出系统对于给定激励的响应，并根据此要求设计系统。
§1.2 信号分类与典型确定性信号（《信号与系统》第二版（郑君里）1.2，1.4） 确定性信号：由确定系统产生、具有确定参数、按确定方式变化的信号。
随机信号：具有不可预知的不确定性的信号。
非确定性信号模糊信号：（例：高矮，胖瘦）。
周期信号：f(t) = f(t + nT)，n ∈Z非周期信号：f(t)≠f(t + nT)，∀ n ∈Z伪随机信号：具有周期性的随机信号。
周期无穷大则为随机信号。
连续时间信号：在所讨论的时间区域内任意时间点上都有定义（给出确定但可能不唯一的信号取值）的信号。
模拟信号：时间和取值都连续的信号。
阶梯信号：时间连续、取值离散的信号。
离散时间信号：只在某些不连续的时间点或区间上有定义（给出信号取值）的信号。
抽样信号：幅值具有无限精度的离散时间信号。
数字信号：幅值具有有限精度的离散时间信号。
图1-2典型确定性信号： 指数信号：()t f t K e α=⋅（1-1）其中，K 、α为实数。
信号与系统讲义-2
f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
,
d
02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
信号与系统教程习题解析（前七章）
2e
第2章
连续时间信号
2-1 设有如下函数f t ，试分别画出它们的波形。 (a) f t 2ε t 1 2ε t 2 (b) f t sinπt ∙ ε t ε t 6 解 (a)和(b)的波形如图 p2-1 所示。
2
图 p2-1
2-2 试用阶跃函数的组合表示题 2-2 图所示信号。 解 (a) f t ε t 2ε t 1 ε t 2
信号与系统的频域分析
4-1 求题 4-1 图所示周期信号的三角函数形式的傅里叶级数表示式。
题 4-1(a) 图
解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为
ft
A T
t
T
At T
A
a
1 T
f t dt
1 T
At T
A dt
A T
t 2T
t
A 2
∵ ω T 2π, ∴ sinnω tdt
cosnω tdt 0
⇒t
2f
t
↔
j
dF ω dω
2F ω
df t dt
↔ jωF ω
⇒
t
df t dt
↔
j
d
jωF ω dω
4-9 对于如题 4-9 图所示的三角波，试求其频谱函数。
13
题 4-9 图
解 过原点的三角波函数是偶函数，其表达式为
ft
A1
|t| τ
,
|t|
0,
|t|
Fω
fte
dt 2
A1
t τ
cosωtdt
2A
1 ω
sinωt|
1 τ
信号与系统公式大全
t
i(t)dt
C
u(t) 1 i(t) pC
UC (t) 1 IC (t) jC
UC
(s)
1 Cs
IC
(s)
1 s
uC
(0
)
IC (s) CsUC (s) CuC (0)
电 感
u(t) L d i(t) dt
u(t) pL i(t)
UC (t) jL
IC (t)
UL(s) LsIL(s) LiL (0 )
IL
(s)
1 Ls
UL
(s)
1 s
iL
(0
)
五.连续时间系统时域分析
系统 建立微分方程 建立算子方程： D( p)y(t) N( p) f (t) 系统的特征方程： D() D( p) p 0
求特征根 零输入响应方程 D( p) yx (t) 0
泛函定义: f (t) '(t)dt [ d f (t)] f '(0) 说明：1. '(t) 量纲是 s2
dt
t 0
3. '(t) 是奇函数
2.强度 A 的单位是Vs2
筛选特性
取样特性 展缩特性
f (t) '(t t0 ) f (t0) '(t t0 ) f '(t0) (t t0 )
1 ( p a)n
b ( p a)2 b2
pa ( p a)2 b2
a (t) au(t) eatu(t) tn1 eatu(t)
(n 1)!
eat sin(bt)u(t) eat cos(bt)u(t)
西南交大信号与系统第二版课后答案
1口 7 -, 刀、歹L
2.25
CD CD
f(t) = IOcosl 11(1) 证明： J(t)关8(1-1。) =f(t-1。)
@ f(t) = e-''u(t) (?) f(t)
状态响应可以表示力
2.26
已知线性时不变系统的输入力f(t)'系统的阶跃响应力g(t)'试证明系统的零 汕） = Lf'(,!)g(t-,!)d儿 2.27 2.28 2.29 用MATLAB求题2.7的全响 应。 用MATLAB求题2. 9的零输入响应。 （此式称为杜阿美尔积分）
=
心Yx (/)=7e-'-5e-2'(t汃0)
(2)yx (1)=6e-'-(4+5/)e-3'(t;>O) CZ) /,(1)= te-'11(1) 3 @i,(1) = -e-2'sin(21)11(1) 2
2.11 2.12
CD /,(1)�(-2e-'+2e-")的）+ 0(1)
心yx (t)�ze-" -2e-" (1;;, O) I 5 8 3 y(t) � - 3 e- '+ 2e-" + 6
第1章信号与系统概述
习题1
心f(t)=cost+2 sin(2 兀t) @ f(t)=e _,, srn(2 亢I) (J) f(k)=sm(2忒） 心f(t)=cos( 兀 I) ＠ 1.2 1.1 判断 下列信号是否是周期信号。若是周期信号，则确定信号周期。 @ f(t)= costu(t) CZ) f(t)= sin(3 兀t)+cos(2 兀t) @八I)= sin'[
信号与系统-第3章
第3章连续系统的时域分析本章内容LTI系统的时域分析方法线性微分方程的经典解法零输入-零状态微分算子与传输算子冲激响应和阶跃响应冲激响应阶跃响应卷积积分及其应用卷积积分的概念卷积积分的性质卷积积分在LTI系统分析中的应用LTI 连续系统的时域分析1）建立系统数学模型；2）求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t ，故称为时域分析法。
这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。
其过程可以归结为：线性微分方程的经典解法)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(t f b t f b t f b t f b t y a t y a t ya t y m m m m n n n +′+++=+′+++−−−−L L 微分方程的经典解：y (t ) = y c (t ) + y p (t )(完全解)(齐次解)(特解)经典解法-齐次解不同特征根对应的齐次解的解。
y c (t )的函数形式由上述微分方程的特征根确定。
齐次解是齐次微分方程0)()()()(01)1(1)(=+′+++−−t y a t y a t y a t y n n n L经典解法-齐次解(续)=)(t y c 例如：：则微分方程的齐次解为个根是单根，其余，即有重根，是特征方程的假设 - 211r n r r λλλλ===L ∑+=+nr j tj j e c 1λ∑=−r i t i r i i e t c 1λ经典解法-特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。
表3-1 不同激励对应的特解A（常数）B（常数）线性微分方程的经典解法1)根据齐次方程的特征根求齐次解；2) 根据激励信号的函数形式求特解；3) 将特解代入原微分方程，根据方程两端对应项系数相等，求得特解中的待定系数；4) 将系统的n个初始条件代入全解中，确定齐次解中n个待定系数。
线性微分方程的经典解法(续)激励信号在t =0时刻接入系统：由于激励信号的作用，响应y (t )及其各阶导数有可能在t =0时刻发生跳变，为区分跳变前后的数值，我们用0-表示激励接入之前的瞬间，并称此时刻为“起始时刻”；而用0+表示激励接入之后的瞬间，并称此时刻为“初始时刻”。
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n i?0
ai
pi
yx (t) ? yx1 (t) ? yx2 (t) ? c10e? t ? (c20 ? c21t)e?2t
第二章 连续信号与系统的时域分析
yx (t) ? yx1 (t) ? yx2 (t) ? c10e? t ? (c20 ? c21t)e?2t
其一阶yx'和y(tx)二(?t)阶??c导10ee函??tt数?? 为c(221e??2tt
代数多项式那样进行展开和因式分解。
( p ? 2)( p ? 3) y(t) ? ( p2 ? 5 p ? 6) y(t) ( p2 ? 4) f (t) ? ( p ? 2)( p ? 2) f (t)
性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多项式， 则 A( p)B( p) f (t) ? B( p) A( p) f (t)
通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
性质4 但是
设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式
D(p) ? A(p)
A(p) f (t)= f (t)
D(p)B(p)
B(p)
A(p) ?D(p)f (t) ? A(p) f (t)
B(p)D(p)
H ( p) ?
B( p) A1 ? bm? 2 pm? 2 ? L pn ? an?1 pn?1 ? an?2 pn? 2 ? L ?
? b1 p ? b0 a1 p ? a0
传输算子
第二章 连续信号与系统的时域分析
y(t) ? B( p) f (t) ? H ( p) f (t) A( p)
yx(t)满足的算子方程为
A( p) yx(t) ? 0
t?0
第二章 连续信号与系统的时域分析
简单系统的零输入响应
简单系统1
若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt
简单系统2 若 A(p)=(p-λ)2，则 yx(t)=(c0+c1t)eλt。
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 某系统输入输出微分算子方程为
写出系统的输入输出微分方程
y(t) ? B( p) f (t) ? H ( p) f (t) A( p)
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 2 ：已知系统框图，求系统的传输算子 。
－2
f (t)
x″(t) ＋
∫ x′(t)
x(t)
∫
＋
y(t)
4
－5
－3
解 设中间变量x(t)，左端加法器列方程
x( t) ? ? x'(t) ? 3x(t) ? f (t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
性质3
微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。
例如，方程 py(t) ? pf (t)
不能随意消去公因子 p而得到y(t)=f(t)的结果。 因为y(t)与f(t)之 间可以相差一个常数c。
y(t) ? f (t) ? c
也不能由方程 ( p ? a ) y(t) ? ( p ? a ) f (t)
右端加法器
y(t) ? ? 2x' (t) ? 4x(t)
第二章 连续信号与系统的时域分析
电路系统算子方程的建立
表 2.2 电路元件的算子模型
在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的 电流或电压为系统响应。
第二章 连续信号与系统的时域分析
3：零输入响应
设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)， 且
( p ? 1)( p ? 2)2 y(t) ? ( p ? 3) f (t)
已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13, 求系统的零 输入响应yx(t)。
解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2 ( p ? 1) ? yx1(t) ? c10e? t ( p ? 2)2 ? yx2 (t) ? (c20 ? c21t)e? 2t
传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或 系统对输入的传输作用，故称 H(p)为响应y(t) 对激励f(t) 的传输算子或系统的传输算子。
f (t)
H(p)
y(t)
用H(p)表示的系统输入输出模型
第二章 连续信号与系统的时域分析
例 1：设某连续系统的传输算子为
H( p) ?
p?2 p3 ? 2 p2 ? 3p ? 4
B(p)
第二章 连续信号与系统的时域分析
2 LTI系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数 n阶
微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为
y(n) (t) ? an?1 y(n?1) (t) ? an? 2 y(n? 2) (t) ? L ? a1 y(1) (t) ? a0 y(t) ? bm f (m) (t) ? bm?1 f (m?1) (t) ? bm? 2 f (m?2) (t) ? L ? b1 f (1) (t ) ? b0 f (t)
H ( p) ?
B( p) A( p)
?
bm pm ? bm?1 pm?1 ? ? ? b1 p ? b0 pn ? an?1 pn?1 ? ? ? a1p ? a0
系统的特征方程： A( p) ? 0
y(t)和f(t)满足的算子方程为
A( p) y(t) ? B( p) f (t)
系统的特征 多项式
第二章 连续信号与系统的时域分析
系统的微分算子方程
1 微分算子和积分算子
p? d dt
? 1 ? t ( ) d ?
p
??
p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。
第二章 连续信号与系统的时域分析
例：
第二章 连续信号与系统的时域分析
微分算子的运算性质
性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像
? ??
y(t )
?
? ? ?
m
bj
j? 0
p
j
? ? ?
f
(t )
第二章 连续信号与系统的时域分析
A( p) y(t) ? B( p) f (t)
微分算子方程
n
? A( p) ? ai pi i? 0
m
? B( p) ? bj p j j?0
y(t) ? B( p) f (t) ? H ( p) f (t) A( p)