信号与系统微分算子方程
微分算子作用
微分算子作用1. 概述微分算子是微积分中的重要概念，用于描述函数的变化率。
它是一个操作，作用于一个函数，生成另一个函数。
微分算子的作用可以理解为对函数进行求导或求微分的过程。
微分算子在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
在数学中，微分算子是微分方程的基础，可以用于研究函数的性质和解析解。
在物理中，微分算子可以描述物体的运动和变化，如速度、加速度等。
在工程中，微分算子可以用于信号处理、图像处理、控制系统等各种应用。
2. 常见的微分算子常见的微分算子有导数算子、偏导数算子和拉普拉斯算子等。
2.1 导数算子导数算子是一种一阶微分算子，用于描述函数的变化率。
对于函数f(x)，导数算子的作用可以表示为：D(f(x))=df(x) dx其中，D表示导数算子，df(x)dx表示函数f(x)的导数。
2.2 偏导数算子偏导数算子是一种多变量函数的微分算子，用于描述函数在各个方向上的变化率。
对于多变量函数f(x1, x2, …, xn)，偏导数算子的作用可以表示为：∂f(x1,x2,...,xn)∂xi其中，∂∂xi 表示偏导数算子，∂f(x1,x2,...,xn)∂xi表示函数f(x1, x2, …, xn)对变量xi的偏导数。
2.3 拉普拉斯算子拉普拉斯算子是一种二阶微分算子，用于描述函数的曲率和变化率。
对于函数f(x1, x2, …, xn)，拉普拉斯算子的作用可以表示为：Δf(x1,x2,...,xn)=∇2f(x1,x2,...,xn)其中，Δ表示拉普拉斯算子，∇2表示梯度算子的平方，∇2f(x1,x2,...,xn)表示函数f(x1, x2, …, xn)的拉普拉斯。
3. 微分算子的性质微分算子具有一些重要的性质，包括线性性、乘积法则和链式法则等。
3.1 线性性微分算子具有线性性，即对于任意函数f(x)和g(x)，以及任意实数a和b，有：D(af(x)+bg(x))=aD(f(x))+bD(g(x))其中，D表示微分算子。
信号与系统 (10)
2、 rzi 的求解。 ¾ 对于 rzi ，可以采用等效源的方法，将其转化为求 rzs 的
问题。 ¾ 但是，这里出现的是一个多激励的响应问题，其中的每
一个激励都有其系统函数 Hi (s) 。 ¾ 根据网络分析理论，同一个电路的不同系统函数 Hi (s)
有相同的分母多项式 D(s) 。所以，只要知道其中的一个 Hi (s) ，就可以确定 D(s) 。
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¾ 同样，只要知道求解 rzs 时的系统函数 H(s)，也可以得 到 D(s) ，从而确定 rzi 中各个信号分量的形式，从而可 以用待定系数法解 rzi 。这样就不用求各个 Hi (s) 了。
s2R(s) − s ⋅ r(0− ) − r'(0− )
[ ] a1 ⋅ sR(s) − r(0− ) + a0R(s) = b1sE(s) + b0E(s)
s2R(s) + a1sR(s) + a0R(s) = b1sE(s) + b0E(s) + (s + a1) ⋅ r(0− ) + r'(0− )
两边取 LT，有：
R(s)
=
E(s)H
(s)
—>
H
(s)
=
R(s) E(s)
¾ 这里的 H(s)定义为冲激响应 h(t)的 LT，同时它又和上面 提到的 H(s)是一致的。
¾ 所以可以通过系统的冲激响应 h(t)的 LT 得到 H(s)。 ¾ 反之，也可以通过系统的转移函数 H(s)得到系统的冲激
§2.8 用算子符号表示微分方程
当求系统的零状态响应时，则要解r(t)=H(p)e(t)的非齐次方 当求系统的零状态响应时，则要解r )=H 程。 由上述可以看出：在时域分析中， 由上述可以看出：在时域分析中，算子符号形式提供了简 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同， 单易行的辅助分析手段，但本质上与经典法分析系统相同，而形 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 式上又与后述的拉普拉斯变换分析相似。 返回
e(t)
-
i(t) 1
1H
i(t) 2
1
i(t) 3
1F
用算子符号建立微分方程（续2） 用算子符号建立微分方程（
di di di 3 1 − 2 − 3 =0 dt dt dt di di − 1 + 2 + i 2 − i 3 = e( t ) dt dt − di 1 − i + di 3 + i + t i dt = 0 2 3 ∫− ∞ 3 dt dt
− p p + 3
−1
e ( t ) 0
( 2 p 2 + 10 p + 3 )i 2 = pe ( t )
d 2 i2 即： 2 2 + 10 di 2 + 3i 2 = d e ( t ) dt dt dt
1H 1H
+
例2-8-2：如图所示电路，激 如图所示电路， 励电压为e ),请用算子符号列 励电压为e(t),请用算子符号列 写求电流i 的微分方程。 写求电流i1(t)的微分方程。 解：列出3个网孔的回路方程 列出3
( C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n − 1 p + C n )r ( t ) = ( E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m )e ( t ) D ( p ) = C 0 p n + C 1 p n −1 + L + C n −1 p + C n N ( p ) = E 0 p m + E 1 p m −1 + L + E m −1 p + E m
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
信号与线性系统-2 (1)
信号与线性系统-2(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：19，分数：100.00)已知信号f(t)波形如图(a)所示，试绘出下列函数的波形：（分数：6.00）(1).f(2t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 f(2t)可由f(t)的波形沿时间轴压缩2倍而得到，如图(b)所示；(2).f(t)ε(t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 f(t)ε(t)可由f(t)的波形取t＞0的部分而得到，如图(c)所示；(3).f(t-2)ε(t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解将f(t)的波形沿时间轴右移2得到f(t-2)，如图(d)所示，再取f(t-2)的波形中t＞0的部分即得f(t-2)ε(t)，如图(e)所示；(4).f(t-2)ε(t-2)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解 f(t-2)ε(t-2)可由f(t)ε(t)的波形沿时间轴右移2而得到，如图(f)所示；(5).f(2-t)；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解将f(t)的波形沿纵轴反褶得到f(-t)，波形如图(g)所示，再将其沿时间轴右移2即得到f(2-t)，如图(h)所示；(6).f(-2-t)ε(-t)。
信号与系统第五章
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与线性系统第二章
i=1
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
三、零输入响应法求解系统的冲激响应
⎪⎧h(n−1) (0+ ) = 1
⎨ ⎪⎩h
(
线性系统响应 的时域求解
二阶系统 求解得：
�求解c1、c2
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
n阶系统
可以写成： 均为单根时，求解得： 有重根的情况：
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
f(t ) = Aε(t ) − Aε(t − τ )
有始周期矩形脉冲： f(t ) = Aε(t ) − Aε(t − τ ) + Aε(t − T ) − Aε(t − T − τ )
+ Aε(t − 2T ) − Aε(t − 2T − τ ) + ⋅ ⋅ ⋅
∞
= A∑[ε(t − nT ) − ε(t − nT − τ )] n =0
卷积及其性质
线性系统响应 的时域求解
t
f(t ) = ∫0f(τ )δ(t − τ )dτ
系统方程的 算子表示法
系统的 零输入响应
奇异函数
信号的 脉冲分解
阶跃响应和 冲激响应
叠加积分
卷积及其性质
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电路系统算子方程的建立
表 2.2 电路元件的算子模型
在电路分析中，独立源信号代表 系统激励，待求解的电流或电压为系统
3
设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算
子H(为p) H B(p( p)，)
A( p)
且 bm pm bm1 pm1
pn an1 pn1
b1 a1 p
p b0 a0
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
其一阶和二阶导函数为 yx' y(tx)(t)c10eett
c(221e2tt
)e2t
2(c20
c2t1t)e02t
系统的微分算子方程
1 微分算子和积分算子
p d dt
1 t ( )d
p
p称为微分算子，1/p称为微分逆
算子或积分算子。
例 ：
微分算子的运 算性质
性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，
在形式上可以像代数多项式那样进
( p 2)( p 3) y(t) ( p2 5p 6) y(t)
行展开和因式分解。
pn an1 pn1 an2 pn2 L a1 p a0 y(t) bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L b1 p b0 f (t)
或缩写为
n
ai
pi
y(t
)
m
bj
p
j
f
(t )
i0
j0
A( p) y(t) B( p) f (t)
微分算子方程
n
A( p) ai pi i0
c10et (1 2t)c21e2t 2c20e2t
y"x (t) c10et 2c21e2t 2[(1 2t)c21 2c20 ]e2t
c10et 4(t 1)c21e2t 4c20e2t
令t=0-,并考虑到y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13
代入初始条件值并整理得
m
B( p) bj p j j0
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
H( p)
B( p) A( p)
bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L pn an1 pn1 an2 pn2 L
b1 p b0 a1 p a0
传输算子
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
y(t) B( p) f (t) H ( p) f (t) A( p)
例 2 ：已知系统框图，求系统的传输算子
－2
f (t)
∫
x(t) ＋
y(t)
4
－5
－3
解 设中间变量x(t)，左端加法器
列方程 x"(t) x '(t) 3x(t) f (t) 右端加法器
y(t) 2x'(t) 4x(t)
yx(t)=(c0+c1t)eλt。
例 某系统输入输出微分算子方程为
( p 1)( p 2)2 y(t) ( p 3) f (t)
已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，
y″(0-)=13, 求系统的零输入响应yx(t)。 解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2
( p 1) yx1(t) c10et ( p 2)2 yx2 (t) (c20 c21t)e2t
系统的特征 A( p) 0 y方(t)程和：f(t)满足的算子方程为
A( p) y(t) B( p) f (t)
系统的 特征多 项式
yx(t)满足的算子方程为
A( p) yx (t) 0
t0
简单系统的零输入响应
简单系统1
若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0e
简单系统2
若 A(p)=(p-λ)2，则
D(p)B(p)
B(p)
A(p) D(p)f (t) A(p) f (t)
B(p)D(p)
B(p)
2 LTI系统的微分算子方程 对于LTI n阶连续系统，其输入输出方
程是线性常系数n阶微分方程。若系统输 y(n) (t) an1y(n1) (t) an2 y(n2) (t) L a1y(1) (t) a0 y(t) 入为f(t)，输出为y(t)， 则可表示为 bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) bm2 f (m2) (t) L b1 f (1) (t) b0 f (t) 用微分算子P表示可写成
果。因为y(t)与y(ft()t)之f (t间) 可c 以相差一个常数 c也。不能由方程( p a) y(t) ( p a) f (t) 通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得
到y(t)=f(t)
性质4 但是
设A(p),B(p)和D(p)均为p的正
幂D(p多) 项A(式p) f (t)=A(p) f (t)
yx (0 ) yx' (0 )
c10 c20 3 c10 c21 2c20
6
c10 =1 c20 =2
y"x (0 )
c10
4c21
4c20
13
c21 =-1
一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：
第一步，将A（p）进行因式分解，即 l A( p) ( p i )ri i 1
( p2 4) f (t) ( p 2)( p 2) f (t)
性质2 设A(p)和B(p)是p的正幂多
项A( p式)B，( p) f则(t) B( p)A( p) f (t)
性质3 微分算子方程等号两边p的公因
式例不如能，随便py消(t) 去pf。(t) 不能随意方消程去公因子p而得到y(t)=f(t)的结
第二步，求出第ii个根 对应
的零输入响应y (t) yxi(t)
[ci0
ci1t
ci2t
2
xi
ci(
ri
tr
1) i
1
]eit
i 1,2,....,l
第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得
入响应，yx (即t) l yxi(t) t 0 i 1
传输算子代表了系统将输入转变 为输出的作用，或系统对输入的传输 作用，故称H(p)为响应y(t) 对激励f(t) 的传输f (t)算子或系H(统p) 的传输算y(t)子。
用H(p)表示的系统输 入输出模型
例 1：设某连续系统的传输算子为
H ( p)
p3
p2 2p2 3p 4
写出系统的输入输出 微分方程