数值分析试题与答案

一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。

2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。

3.设110111011A -????=--????-??，233x ??

??=??

????

，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？

2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？

3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说

明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。

三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：

i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '

3

并估计误差。（10分）

四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1

01

1I dx x

=+?

。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：

1232

5610413191963630

x x x -????????????-=??????

??????----?????? （10分）

七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231

23202324812231530

x x x x x x x x x ++=??

++=??-+=? 的迭代格式，并

判断其是否收敛？（10分）

八．就初值问题0(0)y y

y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）

《数值分析》（A ）卷标准答案

（2009－2010－1）

一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()

()()

x x x x l x x x x x --=

--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。

二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1. 解：系数矩阵为对称正定的方程组可用平方根法。 （4分）

对于对称正定阵 A ，从2

1

i

ii ik k a l ==

∑

可知对任意k ≤ i 有||ik ii l a ≤。即 L 的元素不会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 （4分） 2. 解：（1）若()*

*x

x ?=，则称*x 为函数()x ?的不动点。 （2分）

（2）()x ?必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于

()x ?的不动点：

1）()x ?是在其定义域内是连续函数； （2分） 2）()x ?的值域是定义域的子集； （2分） 3）()x ?在其定义域内满足李普希兹条件。 （2分） 3.解：参照幂法求解主特征值的流程 （8分）

步1：输入矩阵A ，初始向量v0，误差限ε，最大迭代次数N; 步2：置k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步3：计算vk=Auk-1; 步4：计算

[][]1max ;

k k r i i n

v v ≤≤=

并置mk:=[vk]r, uk:=vk/mk;

步5：若|mk- μ |< ε，计算，输出mk,uk ；否则，转6； 步6：若k

设()2p x 满足 ()()()22212,24,312,p p p ===则()2

2376,p x x x =-+（3分）

再设()()()()()32123p x p x K x x x =+--- （3分） 2K = （1分） ()32329156p x x x x =-+- （1分）

（2）()()()()()()2

4311234!

R x f x x x ξ=

--- （2分）

四．解：应用梯形公式得()()11

012

I I f f ≈=+???? （2分） 0.75= （1分）

应用辛普森公式得：()()21104162I I f f f ?

???

≈=

++ ???????

（2分）

0.69444444= （1分）

应用科特斯公式得：

()()41113703212327190424I I f f f f f ?

???

??

??

≈=

++++ ? ? ???

????????

（2分） 0.6931746= （2分） 五．解：由零点定理，cos 0x x -=在(0,

)2

π

内有根。 （2分） 由牛顿迭代格式1cos 0,1,......1sin n n

n n n

x x x x n x +-=-=+ （4分）

取04

x π

=

得，

12340.73936133;0.739085178

0.7390851330.739085133

x x x x ==== （3分）

故取*40.739085133x x ≈= （1分） 六．解：对系数矩阵做三角分解：

1112

1321222331323325610

0413********u u u l u u l l u -??????

??????-=????????????---??????

（2分）

125621373414A LU -????

????=-=????????-????

（4分）

若Ly b =，则12310,1,4y y y ==-=； （2分）

若Ux y =，则(3,2,1)T

x =。 （2分）

七．解：（1）对于方程组，雅可比方法的迭代矩阵为

00.50.51010.50.50B -????=--??????

（2分）

其特征多项式为()2

det() 1.25I B λλ

λ

-=+，且特征值为

1230, 1.25, 1.25i i λλλ===- （2分） 故有() 1.251B ρ=>，因而雅可比迭代法不收敛。 （1分） （2）对于方程组，Gauss-Seidel 迭代法迭代矩阵为

00.50.500.50.5000.5B -????=--????-??

（2分） 其特征值为1230,0.5λλλ=== （2分） 故有()0.51B ρ=<，因而雅可比迭代法收敛。 （1分） 八．证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

1. 证：该问题的精确解为0()x y x y e λ= （2分）

欧拉公式为1(1)i i i i y y h y h y λλ+=+=+ （2分） 对任意固定的i x x ih ==， 有/1/00(1)[(1)]i i x h

x h i y y h y h λλλλ=+=+， （2分）

则0()i

x i y e

y x λ= （1分）

2.证：牛顿迭代格式为125,0,1,2,

66n n n

x a

x n x +=

+

= （3分）

因迭代函数为()25,66x a x x ?=+而()35,63a

x x

?'=+又*3x a =， （2分） 则

()

()

3

3

351

062

3a

a a

?'

=

+

=

≠。 故此迭代格式是线性收敛的。 （2分）

《数值分析》参考解答

三．计算题（每小题7分，共42分）：

1. 设 x

e x

f =)(, 试构造基函数求)(x f 的2次插值多项式 )(2x P ,满足: )1()1(),0(')0('),0()0(222f P f P f P ===.

解 设)(2x P 的基函数为)(),(),(010x x x βαα，则它们满足下列关系

（1分）

x 0 1 x 0

)(2x P 1 e )('2x P 1

)

(0x α 1 0

)('

0x α 0

)(1x α 0 1 )('1x α 0 )

(0x β0 0

)('0x β 1

（2分）

(1) 令002

00)(c x b x a x ++=α，则有?????===++===0

)0(0)1(1

)0(0'

0000000b c b a c ααα,

即1,0,1000==-=c b a . 所以1)(2

0+-=x x α.

或由0)1(0=α，先得))(1()(0l kx x x +-=α.

再由1)0(0=α，得1=-l ，即1-=l . 由1)0(0

='α，得0=-k l ，即1-==l k . 所以1)1)(1()(2

0+-=+--=x x x x α.

（1分）

(2) 令112

11)(c x b x a x ++=α，则有?????===++===0

)0(1)1(0

)0(1'

1111111b c b a c ααα,

即0,0,1111===c b a . 所以2

1)(x x =α.

或由0)0()0(1

1='=αα,先得2

1)(kx x =α. 再由1)1(1=α，得1=k . 所以2

1)(x x =α.

（1分）

(3) 令222

20)(c x b x a x ++=β，则有?????===++===1

)0(0)1(0

)0(2'

0222020b c b a c βββ，

即 0,1,1222==-=c b a . 所以x x x +-=2

0)(β

或由0)1()0(00==ββ,先得)1()(0-=x kx x β.

再由1)0(0='

β，得1=-k ，即1-=k . 所以x x x x x +-=--=2

0)1()(β （1分） 最后得 1)2()()0()()1()()0()(2

0'102++-=++=x x e x f x f x f x P βαα.

（1分）

2. 求 x x x x f ++=2

323)( 在区间 [-1,1] 上的２次最佳一致逼近多项式;

解 设所求的2次最佳一致逼近多项式为)(*2x P . 令)]()([3

1

)(*2x P x f x Q -=. （2分）

则)(x Q 的首项系数为1, 并且当)(2

1)]()([31)(32*

2x T x P x f x Q =-=时, )(x Q 与0的偏

差最小, 即)(x f 与)(*

2x P 的偏差最小.

（2分） 因为]1,1[-上的3次切比雪夫Chebyshev 多项式为x x x T 34)(3

3-=.

（1分） 所以x x x x x x x x T x f x P 4

13

2)493(23)(43)()(23233*

2+=--++=-

=. （2分）

3．利用龙贝格公式计算定积分(计算到1R 即可)：

?

-+7

1

.2dx x

解 ]7,1[,2)(-∈+=x x x f ，16)]7()1([2

)

1(71=+---=

f f T , （1分）

94428.16548)3(28

2112=?+=+=f T T ,

22774.17)73(247214.8)]5()1([24

2124=+?+=++=f f T T ,

)]6()4()2()0([22

2148f f f f T T ++++=

30599.178********.8=++++=,

（2分）

25904.173134121=-=T T S ,32223.1731

34242=-=T T S ,

33207.173

1

34484=-=T T S , （2分） 32644.1715

11516121=-=S S C ,

T S C R n=1 16 17.25904 17.32644 17.33283 n=2 16.94428 17.32223 17.33273 n=4 17.22774 17.33207 n=8

17.30599

33273.17151

1516242=-=

S S C , 33283.1763

1

6364121=-=C C R .(2分)

4．利用改进的尤拉方法求解常微分方程初值问题：（要求取步长2.0=h 计算）

解 令x y y x f +=),(，则改进的尤拉公式为：

))],(,(),([21n n n n n n n n y x hf y h x f y x f h

y y ++++=+

（2分）

22)2(2)2(12h x h h y h h n n +++??

?

???++=.

（2分)

取2.0=h 得，02.022.022.11++=+n n n x y y . （1分)

计算结果如下：

x

y 1 1 1.2 1.46 1.4 2.0652 1.6

2.84754

（2分)

5．用牛顿法求方程 023)(3

=--=x x x f 在 30=x 附近的根（只要求迭代２步）。

解 牛顿迭代公式为：)

()

('

1n n n n x f x f x x -

=+ （2分)

)

1(32

2

----

=n n n n x x x x .

（2分)

取迭代初值为30=x ，则迭代结果如下表所示：

（3分） 6．写出解如下线性方程组的高斯－塞德尔迭代公式，并讨论其收敛性。如果不收敛，则应怎样处理才能得到收敛的高斯－塞德尔迭代公式？

n

n x

0 3

1

2.33333

2 2.05555

??

?=≤≤+='.

1)1()6.11(y x x y y

??

?=+=-.

123,

0322121x x x x

解 2332A -??

=????,2002D ??=????,0030L ??=-????,0300U -??=-????,??

????=10b . （1分）

则 ()

1

1

2020132324D L --????

-==????-??

??, （1分）

得 ()1

2003061132000944G D L U -??????

=-=

=??????--??????

, （1分）

()

1

200011321244f D L b -??????

=-==??????-??????

,

（1分）

()

()()1600419024k k k X GX f X +?

???????=+=+??????

-??????

为高斯-塞德尔迭代公式.

（1分）

这时G 的2个特征值为129

,04

λλ=-=,故()1G ρ>，迭代法不收敛. （1分）

若原方程 1212230321x x x x -=??

+=?改写成为 1212321230x x x x +=??-=?, 这时3223A ??

=??

-??

是严格对角 优势矩阵，则由此得到的迭代法必收敛.

（1分）

四．证明题(每小题9分,共18分)：

1. 证明本试卷第三大题（即计算题）第１小题的插值余项：

)1(6)()()(222-=-=x x e x P x f x R ξ)10(<<ξ, 并有误差估计.8

1

|)(|2≤x R

证：方法一：因为()()22()R x f x P x =-，则0,1是()2R x 的零点且0为二重的, (1分) 于是可设()()2

2()1R x k x x x =??-，令[]2

2()()()()(1),0,1t f t P t k x t t t φ=---∈

(2分) 则()t φ有4个零点:0,0,1,x ,连续使用三次罗尔定理,则()0,1,ξ?∈使'''

()0φξ=,

(2

分)

即''''''

()()()3!0()3!6

f e f k x k x ξ

ξξ-?=?=

=, 得()()2216e R x x x ξ=??-. (2

分)

方法二: 设2

222

()()()()()(1)(1)

f x P x t f t P t t t x x φ-=----, 则()t φ有3个零点0,1,x , (1分)

'()t φ有2+1个零点,。'''()t φ有一个零点，所以''''''22()()

0()()3!(1)

f x P x f x x φξξ-==-

- (2

分)

'''22()()

()3!(1)

f x P x f x x ξ-=

-

(2

分)

''2

2211()()()(1)(1)66

f x P x f x x x e x x ξ-=-=-， 即()()2216e R x x x ξ=??-.

(2

分)

最后()()()2

2223(1)1||11166628

e e x x R x x x x x x ξ+-????=-≤-≤??

分)

2．证明: 求积公式

)5

3

(95)0(98)53(95)(1

1

f f f dx x f ++-≈

?

-恰有5次代数精度. 证：当()1f x =时，1

1()f x dx -?1

1

1()2d x -==?， 53853585

()(0)()1(0)1295995999

f f f f -++=?++?=;

(1分)

当()f x x =时，

1

2

1

1

11

1

()()02x f x dx xd x ---??

===??????, 5385353853

()(0)()()(0)()09599595995

f f f f -++=-++=; (1分)

当2

()f x x =时，1

31

1

211

12()()33

x f x dx x d x ---??===??????,

2253853538532

()(0)()()(0)()95995959953

f f f f -++=-++=; (1分)

当3

()f x x =时，1

1

31

1

()()0f x dx x d x --==??,

335385353853

()(0)()()(0)()09599595995

f f f f -++=-++=; (1分)

当4

()f x x =时， 1

51

1

411

12()()55

x f x dx x d x ---??===??????,

4453853538532()(0)()()(0)()95995959955

f f f f -++=-++=; (1

分)

当5

()f x x =时，

1

1

51

1

()()0f x dx x d x --==?

?,

555385353853

()(0)()()(0)()09599595995

f f f f -++=-++=. (1

分)

即求积公式对次数不超过5的多项式准确成立, 但当6

()f x x =时，

1

71

1

611

1

2()()77x f x dx x d x ---??===??????, 6653853538536

()(0)()()(0)()959959599525

f f f f -++=-++=, 不成立. (2

分)

综之，求积公式具有5次代数精度.

(1

分)

数值分析试题1

1. 已知325413.0,325413*

2*

1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）

解：

由已知可知,n=6

5.0102

1

,0,6,10325413.0016*1=?=

=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分

620*2102

1

,6,0,10325413.0-?=

-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分

2. 已知?????=001A 220

- ????

?440求21,,A A A ∞ （6分） 解：

{},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分

()

A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ??

??

?

-420?????001 220

- ?????440=?????001 080 ????

?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A

3. 设3

2

)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式

② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （k=0,1……）产生的序列{}k x 收敛于2

解：

①Newton 迭代格式为：

x

a x x x a

x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2

2

32

1

+=

+=---=-=+? 3分

②时迭代收敛即当222,112

10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分

4. 给定线性方程组Ax=b ，其中：???=13A ???22，??

?

???-=13b 用迭代公式

)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（k=0,1……）求解Ax=b ，问取什么实数α，可使迭代收

敛 （8分）

解：

所给迭代公式的迭代矩阵为?

?

?

--?

??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为

0)

21(2)31(=----=

-αλα

ααλλB I 2分

即，解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意，须使1)(

5. 设方程Ax=b ，其中?????=211A 212 ??

??

?-112，??????????=765b 试讨论解此方程的Jacobi 迭代法的收

敛性，并建立Gauss-Seidel 迭代格式 （9分）

解：

U D L A ++=

??

???--=+-=-210

)(1U L D B J 202-- ?

????-012 3分 0,03213=====-λλλλλJ B I 2分

即10)(<=J B ρ，由此可知Jacobi 迭代收敛 1分 Gauss-Seidel 迭代格式：

?????--=--=+-=++++++)

1(2

)1(1)1(3

)

(3)1(1)

1(2

)

(3)(2)1(12276225k k k k k k k k k x x x x x x x x x （k=0,1,2,3……） 3分

6. 用Doolittle 分解计算下列3个线性代数方程组：i i b Ax =（i=1,2,3）其中

?????=222A 331 ?????421，23121,,974x b x b b ==????

?

?????= （12分）

解：

①11b Ax =

?????222 331 ?????421????

??????=9741x A=??

???111 110 ?????

100?????002 021 ????

?

211=LU 3分 由Ly=b1，即??

???111 110 ?????100y=??????????974 得y=?????

?????234 1分 由Ux1=y ，即?????002 021 ?????211x1=??????????234 得x1=????

?

?????111 2分 ②22b Ax =

?????222 331 ?????421x2=????

?

?????111 由Ly=b2=x1，即??

???111 110 ?????100y=??????????111 得y=?????

?????001 1分 由Ux2=y ，即?????002 021 ?????211x2=??????????001 得x2=??

??

?

?????005.0 2分

③33b Ax =

?????222 331 ?????421x3=????

?

?????005.0 由Ly=b3=x2，即??

???111 110 ?????100y=??????????005.0 得y=?????

?????-05.05.0 1分 由Ux3=y ，即?????002 021 ?????211x3=??????????-05.05.0 得x3=????

?

?????-025.0375.0 2分

7. 已知函数y=f(x)有关数据如下：

要求一次数不超过3的H 插值多项式，使

'11'

33)(,)(y x H y x H i i == （6分）

解：

作重点的差分表，如下：

3分

2

1021101011001003))(](,,,[))(](,,[)](,[][)(x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x H --+--+-+= =-1+(x+1)-x(x+1)+2x.x(x+1)

=2

3

2x x + 3分

8. 有如下函数表：

试计算此列表函数的差分表，并利用Newton 前插公式给出它的插值多项式 （7分）

解：

由已知条件可作差分表，

3分

i ih x x i =+=0 （i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton 向前插值公式为： 03

3

2100

22100003!3))()((!2))((!1)()(f h x x x x x x f h x x x x f h x x f x N ?---+?--+?-+

= =4+5x+x(x-1)

=442

++x x 4分

9. 求f(x)=x 在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式)(2x P ，并求出平方误差 （8分）

解：

令2

2102)(x a x a a x P ++= 2分

取m=1, n=x, k=2

x ,计算得： (m,m)=dx ?-1

11=0 (m,n)=

dx x ?-1

1

=1 (m,k)=

dx x ?

-1

1

2=0

(n,k)= dx x ?

-1

13=0.5 (k,k)=

dx x ?

-1

1

4=0 (m,y)=

dx x ?-1

1

=1

(n,y)=

dx x

?-1

1

2

=0 (k,y)=

dx x

?-1

1

3

=0.5

得方程组：??

?

??==+=5

.05.005.011201a a a a 3分

解之得c a a c a 2,1,210-=== （c 为任意实数，且不为零）

即二次最佳平方逼近多项式2

22)(cx x c x P -+= 1分 平方误差：3

2

),(2

2222

2

22

=

-=-=∑=i i i y a f

p f ?δ 2分

10. 已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson 公式计算?+=

1

0214

dx x π的近似值（保

留小数点后三位） （8分）

解：

用复合梯形公式： )}1()]8

7

()43()85()21()83()41()81([2)0({1618f f f f f f f f f T ++++++++=

=3.139 4分

用复合Simpson 公式： )}1()]4

3

()21()41([2)]87()85()83()81([4)0({2414f f f f f f f f f S ++++++++=

=3.142 4分