文科数学2010-2019高考真题分类训练专题十 概率与统计第二十九讲 回归分析与独立性检验

专题十 概率与统计

第二十九讲 回归分析与独立性检验

2019年

1.（2019全国1文17）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d ?=++++．

2010-2018年

一、选择题

1．（2015湖北）已知变量x 和y 满足关系0.11y x =?+，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是

A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关

B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关

C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关

D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 2．（2014湖北）根据如下样本数据

得到的回归方程为?y

bx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b >

3．（2014江西）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关

系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是

4．（2012新课标）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不

全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线1

12

y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为

A ．?1

B ．0

C ．1

2

D ．1

5．（2012湖南）设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关

系，根据一组样本数据（i x ，i y ）（i =1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为

y =0.85x ?85.71，则下列结论中不正确．．．

的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）

C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 6．（2011山东）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销

售额为

A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

二、填空题

7．（2015北京）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩

与总成绩在全年级中的排名情况如下，甲、乙、丙为该班三位学生．

从这次考试成绩看，

①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 三、解答题

8．（2018全国卷Ⅱ）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）

的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回

归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1217，

，…，）建立模型①：?30.413.5=?+y

t ；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立模型②：?9917.5=+y

t ．

(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该

生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

经计算得16119.9716i i x x ==

=∑，s ==

0.212≈18.439≈，16

1

()(8.5) 2.78i i x x i =??=?∑，其中i x 为抽取的

第i 个零件的尺寸，i =1，2， (16)

(1)求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s ?+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

(ⅱ)在(3,3)x s x s ?+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生

产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0．01)

附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()()

n

i

i

x x y y r ??=

∑

0.09≈．

10．（2016年全国III 卷）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿

吨）的折线图．

注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化

处理量.

附注：参考数据：

7

1

9.32i

i y

==∑，7

1

40.17i i i t y ==∑

0.55=

≈2.646.

参考公式：相关系数()()

n

i

i

t t y y r ??=

∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

1

2

1

()()

()

n

i

i

i n

i i t t y y b t t ==??=

?∑∑，=.a y bt ?

11．(2015新课标1)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单

位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

表中i w =，w =

1

8

8

1

i i w =∑．

（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年

宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为0.2z y x =?．根据（Ⅱ）的结果回

答下列问题：

（ⅰ）年宣传费49x =时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，???，(,)n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截

距的最小二乘估计分别为1

2

1()()

?()n

i

i

i n

i i u u v v u u β

==??=?∑∑，??v u α

β=

?． 12．（2014新课标2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数

据如下表： （Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收

入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

()()

()

1

2

1

n

i

i

i n

i i t t y y b t t ∧

==??=

?∑∑，??a

y bt =? 13．（2012辽宁）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取

了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性.

（I ）根据已知条件完成下面22?列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

（II ）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育

迷”中有2名女性.若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.

2

1212

211222112

)(++++?=

n n n n n n n n n χ， 附：

专题十 概率与统计

第二十九讲 回归分析与独立性检验

答案部分 2019年

1.解析 （1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为40

0.850

=，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为30

0.650

=，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．

（2）2

2

100(40203010) 4.76250507030

K ????=≈???．

由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

2010-2018年

1．C 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =?+，其中0.10?<，所以x 与y 成负相关；

又因为变量y 与z 正相关，不妨设z ky b =+(0)k >，则将0.11y x =?+代入即可得到：(0.11)0.1()z k x b kx k b =?++=?++，所以0.10k ?<，所以x 与z 负相关，综上可知，

应选C ．

2．A 【解析】画出散点图知0,0b a <>．

3．D 【解析】因为22

2

1

52(6221410)5281636322016363220

χ?????==

??????， 22

2

2

52(4201612)521121636322016363220

χ?????==

??????， 22

2

3

52(824128)52961636322016363220

χ?????==

??????， 22

2

4

52(143062)524081636322016363220

χ?????==

??????， 则有2222

4231χχχχ>>>，所以阅读量与性别关联的可能性最大．

4．D 【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故

选D.

5．D 【解析】由回归方程为y =0.85x –85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的

线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知

?()y bx a bx y bx a y bx =+=+?=?，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），

利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确．

6．B 【解析】样本中心点是（3.5，42），则??429.4 3.59.1a

y bx =?=??=，所以回归方程是?9.49.1y

x =+，把6x =代入得?65.5y =． 7．乙 数学 【解析】①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩

排名比总成绩排名靠前，故填乙．②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学．

8．【解析】(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?30.413.519226.1y

=?+?=(亿元)． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

?9917.59256.5y

=+?=(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线

30.413.5y t =?+上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很

好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据

建立的线性模型?9917.5y

t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明

利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 9．【解析】（1）由样本数据得(,)(1,2,

,16)i x i i =的相关系数为

16

()(8.5)

0.18i

x x i r ??=

=

≈?∑．

由于||0.25r <，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．

（2）（i ）由于9.97,0.212x s =≈，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在

(3,3)x s x s ?+以外，因此需对当天的生产过程进行检查．

（ii ）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为

1

(169.979.22)10.0215

??=， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10．02．

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑，

剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

???≈，

0.09≈． 10．【解析】（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

4=t ，28)(7

1

2

=?∑=i i t t ，

55.0)(7

12=?∑=i i

y y

，

89.232.9417.40))((7

1

71

7

1

=??=?=??∑∑∑===i i i i i i i i

y t y t y y t t

，

99.0646

.2255.089

.2≈??≈

r .

因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.

（Ⅱ）由331.17

32.9≈=

y 及（Ⅰ）得103.028

89

.2)()

)((?7

1

2

7

1

≈=

???=∑∑==i i

i i i

t t

y y t t

b ， 92.04103.0331.1??≈??≈?=t b y a

. 所以，y 关于t 的回归方程为：t y

10.092.0?+=. 将2016年对应的9=t 代入回归方程得：82.1910.092.0?=?+=y

. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

11．【解析】

（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的

回归方程类型．

（Ⅱ）令w =

，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于

8

1

8

21()()

108.8

?681.6

()i

i

i i i w w y y d

w w ==??==

=?∑∑． ??56368 6.8100.6c

y dw =?=??=， 所以y 关于w 的线性回归方程为?100.668y

w =+，因此y 关于x 的回归方程为

?100.6y

=+ （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销售量y 的预报值

?100.6576.6y

=+= 年利润z 的预报值?576.60.24966.32z

=??=． （ⅱ）根据（Ⅱ）得结果知，年利润z 的预报值

?0.2(100.620.12z

x x =+?=?+．

13.6

6.82

=

=，即46.24x =时，?z

取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大． 12．【解析】（I ）由所给数据计算得1

7

t =

（1+2+3+4+5+6+7）=4

1

7

y =

（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3 7

21

1()t t

t =?∑=9+4+1+0+1+4+9=28

7

1

11

()()t t

t y y =??∑=(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)???+???+???

00.110.520.93 1.614+?+?+?+?=

7

1

11

7

2

1

1

()()

14

0.528

()t t t

t y y b t

t ==??=

=

=?∑∑， 4.30.54 2.3a y bt =?=??=. 所求回归方程为0.5 2.3y t =+.

13．【解析】(I)由频率颁布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而2×2列

联表如下:

由2×2列联表中数据代入公式计算,得:

222

112212211212()100(30104515)100

3.0307525455533

n n n n n x n n n n ++++????==≈???

因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关.

（II ）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间12132311{(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b Ω=12212231,(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b

3212(,),(,)}a b b b 其中i a 表示男性，1,2,3i =．j b 表示女性，1,2j =．Ω由10个基本

事件组成，而且这些事件的出现时等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女性”这一事件，则11122122313212{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}A a b a b a b a b a b a b b b = ∴7

()10

P A =