天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题(含答案)

天津大学《最优化方法》复习题（含答案）

第一章 概述(包括凸规划)

一、 判断与填空题

1 )].([arg

)(arg min max

x f x f n n

R x R

x -=∈∈ √

2 {}{}.:)(m in :)(m ax n

n

R D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯ 3 设

.

:R R D f n →⊆ 若n

R x

∈*

，对于一切n

R x ∈恒有

)

()(x f x f ≤*，则称*

x 为最优化问题)

(min

x f D

x ∈的全局

最优解. ⨯

4 设.

:R R

D f n

→⊆ 若D

x

∈*

，存在*

x 的某邻域)

(*x N

ε

，

使得对一切)

(*∈x N x ε

恒有)()(x f x f <*

，则称*

x 为最

优化问题)

(min

x f D

x ∈的严格局部最优解. ⨯

5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √

6 非空集合n

R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点

连线段上任一点属于D . √

7 非空集合n

R D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限

个点的凸组合仍属于D . √

8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数R

R D f n

→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅

当f -为D 上的凹函数. √

10 设R

R

D f n

→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，

D

x ∈*

.

则对D x ∈∀，有).

()()()(***

-∇≤-x x x f x f x f T

⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}

0)( {≥∈=x c R x D n

是凸集。

√

12 设{}k

x 为由求解)

(min

x f D

x ∈的算法A 产生的迭代

序列，假设算法A 为下降算法，则对

{}Λ,2,1,0∈∀k ，

恒有

)()(1

k

k x f x f ≤+ .

13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。

14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。

√

15 函数R

R

D f n

→⊆:在点k

x 沿着迭代方向}

0{\n k

R d

∈进行精确一维线搜索的步长k

α，则其搜索公

式

为 .

16 函数R

R

D f n →⊆:在点k

x 沿着迭代方向}

0{\n k

R d

∈进行精确一维线搜索的步长

k

α，则

=

+∇k T k k k d d x f )(α 0 .

17 设}

0{\n k

R d

∈为点n

k

R D x

⊆∈处关于区域D 的一个

下降方向，则对于0>∀α，),0(αα∈∃使得.

D d x

k k

∈+α

⨯

二、 简述题

1 写出Wolfe-Powell 非精确一维线性搜索的公式。

2 怎样判断一个函数是否为凸函数.

（例如: 判断函数212

2

212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数）

三、 证明题

1 证明一个优化问题是否为凸规划.（例如

判断0

..2

1)(min ≥=++=

x b

Ax t s b x c Gx x x f T T

（其中G 是正定矩阵）是凸规划.

2 熟练掌握凸规划的性质及其证明.

第二章 线性规划

考虑线性规划问题：

,

0,

..min )

(≥=x b Ax t s x c LP T

其中，m n m n R b R A R c ∈∈∈⨯,, 为给定的数据，且rank .,n m m A ≤=

一、 判断与选择题

1 (LP)的基解个数是有限的. √

2 若(LP)有最优解，则它一定有基可行解为最优解. √

3 (LP)的解集是凸的. √

4 对于标准型的(LP)，设{}k x 由单纯形算法产生，则对{}Λ,2,1,0∈k ，有

.1+>k T k T x c x c ×

5 若*x 为(LP)的最优解，*y 为(DP)的可行解，则.**y b x c T T ≥ √

6 设0x 是线性规划(LP)对应的基),,(1m P P B Λ=的基可行解，与基变量

m x x ,,1Λ对应的规范式中，若存在0

×

7 求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法：____________________.

8 对于线性规划(LP)，每次迭代都会使目标函数值下降. ×

二、 简述题

1 将以下线性规划问题化为标准型： .0,0,2,1242,

6..32)(max 323213213213

21≥≥≥+-≥++≤+++-=x x x x x x x x x x x t s x x x x f