理论力学分析力学

第四部分 分析力学 第13章 达朗贝尔原理 上面几章我们是以牛顿定律为基础研究质点和质点系的动力学问题，给出了求解质点和质点系动力学问题的普遍定理。这一章我们要学习求解非自由质点系动力学问题的新方法——达朗贝尔原理，它是用静力学平衡的观点解决动力学问题，又称为动静法。它在解决已知运动求约束力方面显得特别方便，因此在工程中得到广泛的应用。

13.1 达朗贝尔原理 13.1.1惯性力·质点的达朗贝尔原理 设非自由质点的质量为m，加速度为a，作用在质点上的主动力为F，约束力为NF，

如图13-1所示。根据牛顿第二定律，有 NFFa+=m

将上式移项写为 0=m+aFFN- （13-1）

引入记号 aFIm= （13-2）

式（13-1）成为 0=++IFFFN （13-3）

其中，IF具有力的量纲，称为质点的惯性力，它是一个虚拟力，它的大小等于质点的质量

与加速度的乘积，方向与质点的加速度方向相反。式（13-3）是一个汇交力系的平衡方程，它表示：作用在质点上的主动力、约束力和虚拟的惯性力在形式上构成平衡力系，称为质点的达朗贝尔原理。此原理是法国科学家达朗贝尔于1743年提出的。 mamFN

F

F1

图13-1 图13-2

vFF'a

n

利用达朗贝尔原理在质点上虚加惯性力，将动力学问题转化成静力学平衡问题进行求解的方法称为动静法。 应当指出： （1）达朗贝尔原理并没有改变动力学问题的性质。因为质点实际上并不是受到力的作用而真正处于平衡状态，而是假想地加在质点上的惯性力与作用在质点上的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。 （2）惯性力是一种虚拟力，但它是使质点改变运动状态的施力物体的反作用力。 例如，系在绳子一端质量为m的小球，以速度v，用手拉住小球在水平面内作匀速圆周运动，如图13-2所示。小球受到绳子的拉力F，使小球改变运动状态产生法向加速度na，

即nm=aF。小球对绳子的反作用力nm==aFF--

′，这是由于小球具有惯性，力图保

持其原有的运动状态，而对绳子施加的反作用力。 （3）质点的加速度不仅可以由一个力引起，而且还可以由同时作用在质点上的几个力共同引起的。因此惯性力可以是对多个施力物体的反作用力。 例如圆锥摆，如图13-3所示，小球在摆线拉力TF和重力gm作用下作匀速圆周运动，

有 a+FTm=mg

此时的惯性力为 ）gFgFaFTIm(+=m=m=T- 式中TF

′和gm分别为摆线和地球所受到小球的反作用力。由于它们不作用在同一物体

上，当然没有合力，但它们构成了小球的惯性力系。 FI

FT

va

mg图13-3

例题13-1有一圆锥摆，如图13-4所示，重为89.PN的小球系于长为30lcm的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成o60角。已知小球在水平面内作匀速圆周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。

φ

FI

FT

n

P图13-4

n

b¦Σ 解：以小球为研究对象，受由重力P、，绳子的拉力TF以及在小球上虚拟的惯性力，

如图13-4所示。由于小球在水平面内作匀速圆周运动，其惯性力只有法向惯性力nIF，即

sinl

vgPagPFnnI

2

方向与法向加速度相反。 由质点的达朗贝尔原理得 0=+P+nITFF

将上式向自然轴上投影，得下面的平衡方程 01

n

inF 0nITFsinF

01

n

ibF

0PcosF

T

解得 N619.cosPFT m/s122.PsinFglv

13.1.2质点系的达朗贝尔原理 设质点系由n个质点组成，其中第i个质点的质量为im，加速度为ia，作用该质点

的主动力iF、约束力NiF、惯性力iiim=aFI-，由质点的达朗贝尔原理第i个质点有 0=++IiiiFFFN )n,,,i(21 （13-4）

式（13-4）表明：质点系中的每一个质点在主动iF、约束力NiF、惯性力iIF作用下在形式

上处于平衡。 若将作用在质点系上的力按外力和内力分，设第i个质点上的外力为eiF、内力为iiF，

式（13-4）为 0=++Iiie

iiFFF )n,,,i(21 （13-5）

式（13-5）表明：质点系中的每一个质点在外力eiF、内力iiF、惯性力iIF，作用下在形式

上处于平衡。对于整个质点系而言，外力eiF、内力iiF、惯性力iIF)n,,,i(21在形式

上构成空间平衡力系，由静力学平衡理论知，空间任意力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢量和对任一点的主矩等于均为零。即









00111111=)(+)(+)(=++niIioniiionieioniIiniiinieiFMFMFM

FFF （13-6）

由于内力是成对出现的，内力的主矢量01





niiiF，内力的主矩01n

ii

io)(FM。 则式（13-6）为 







001111=)(+)(=+niIionieoniIinieiiFMFM

FF （13-7）

即质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的所有外力与虚加在质点上的惯性力在形式上构成平衡力系。 式（13-7）在直角坐标轴上的投影形式： （1）空间力系





000000

111111111111

=)(+)(=)(+)(=)(+)(+=+=+niIizniezniIiynieyniIixniexniIzinieziniIyinieiyniIxinieixiiiFMFMFMFMFMFMFFFF

FF

（13-8）

（2）平面力系 







000111111

=)(+)(=+=+niIionieoniIyinieiyniIxinieixiFMFMFF

FF

（13-9）

13.2 刚体惯性力系的简化 在应用动静法解决非自由质点系的动力学问题时，需要在每个质点上虚加惯性力，当质点较多，特别是刚体，非常不方便。因此需要对虚加惯性力系进行简化，以便求解。下面对刚体作平移、绕定轴转动和刚体平面运动时惯性力系的简化。

13.2.1平移刚体惯性力系的简化 当刚体作平移时，由于同一瞬时刚体上各点的加速度相等，则各点的加速度都用质心C的加速度表示，即ic=aa，如图13-5所示。将惯性力加在每个质点上，组成平行的惯

性力系，且均与质心C的加速度方向相反，惯性力系向任一点O简化，得惯性力系主矢量 nicniniIi)m(=m==111aaFF

iiiIR

ciaaM=)m(=nic1 （13-10）

iOai

ac

c

irc

ri

FI

图13-5

惯性力系的主矩 niniIio)m(×=×=11iiiiIarFrM

ciiararccniM=)m=

1( （13-11）

式中cr为质心C到简化中心O点的矢径。若取质心C为简化中心0=rc，则惯性力系的主矩为 0=oIM （13-12）

当简化中心不在质心C处，其主矩0≠

oIM。

结论：刚体作平移时，惯性力系简化为通过质心的一个合力，其大小等于刚体的质量和加速度的乘积，方向与加速度方向相反。

13.2.2定轴转动刚体的惯性力系简化 这里只限于刚体具有质量对称平面且转轴垂直与此对称平面的特殊情形。 当刚体作定轴转动时，先将刚体上的惯性力简化在质量对称平面上，构成平面力系，再将平面力系向转轴与对称平面的交点O简化。轴心O为简化中心，如图13-6所示，惯