2009-2011年四川省高考数学试题考点分布
2009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07数系的扩充与复数的引入)
135. (2009广东理)设z 是复数，a(z)表示满足D. -1，所以满足 A.8B. 25.解：因为i - -1 ,c.z n 二1的最小正整数n ，则对虚数单位i , a(i)二 2i n =1的最小正整数n 的值是4。
故，选C6. (2009海南、宁夏文)(A ) 16•【答3+2i复数——2 - 3i (B ) -1(C ) i(D) -i【解析】C3 2i (3 2i)(2 3i) 2-3i(2-3i)(23i)6 9i 4i -613=i ，故选.C o3 2i 3 -2i7. (2009海南、宁夏理)复数2 -3i 2 +3i(C ) -2i3 2i 2 3i 3-2i 2-3i 26i --------------- --------------------------- = =2i ,选 D(A) 07.解析:(B ) 23 2i 3—2i (D)2i2 -3i 2 3i13 132009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(07数系的扩充与复数的引入)一、选择题：1. ( 2009安徽文)i 是虚数单位，i(1+i)等于A . 1+i B. -1-i C.1-i21.【解析】依据虚数运算公式可知i =「1可得i(1 • i)二i - 1，选D.1 +7i2。
(2009安徽理)i 是虚数单位，若a ・bi(a,b ・R)，则乘积ab 的值是…2-i(A )— 15( B ) - 3( C ) 3(D ) 15 ■-2.［解析］1 7i =(1_7i )(2 —- -1 亠 3i ，二 a = _1,b=3,ab = _3，选 B 。
2 —i 53. (2009北京理)在复平面内，复数 z =i(1 • 2i)对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查••• ^i(1 2i^i 2^ -2 i ••复数z 所对应的点为 -2,1，故选B.4. (2009广东文)下列n 的取值中，使i n =1 (i 是虚数单位)的是A . n=2B. n=3C. n=4D. n=524354.答 c 。
高考数学考点解析及分值分布
高考数学考点解析及分值分布Prepared on 22 November 2020高考数学考点解析1．集合与简易逻辑： 10-18分主要章节：必修1第一章《集合》、第三章《函数的应用》选修1-1（文）2-1（理）《常用逻辑用语》考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。
简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。
2．函数与导数： 30分+主要章节：必修1第二章《基本初等函数》、第三章《函数的应用》必修4第一章《三角函数》必修2第三章《直线与方程》、第四章《园与方程》选修1-1（文）2-1（理）《圆锥曲线与方程》、《导数》选修4-4《极坐标方程》《参数方程》函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。
以指数函数、对数函数、复合函数为载体，结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数生成考题，作为选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
函数与导数的结合的解答题，以切线、极值、最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，结合不等式、数列综合成题，也是解答题拉分关键。
3．不等式：5-12分主要章节：必修5第三章《不等式》选修4-5全书一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。
选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。
解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。
4．数列：20-28分主要章节：必修5第二章《数列》数列是高中数学的重要内容，是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，另外一个与其它知识的综合题。
高考数学试题分值及考点分布表
5
线性规划
三角函数
5+12
恒等变换、解斜三角形
正态分布
5
面积
概率、期望
12
概率、分布列、期望
函数
5+5
图形及性质、值域
立体几何
5+12
建系、二面角、平行垂直
平面向量
5
平行四边形法则
圆锥曲线
5+13
存在性探究
直线与圆
5
最值
导数
14
恒成立、最值、求参数
统计
5
回归方程
集合
5
基础运算
几何证明
10
圆的性质、相似4-1
数学理科试题分值及考点分布表
专题
分值
考点
专题
分值
考点
数列
5+12
通项公式、求和、讨论
不等式
5
线性规划
三角函数
5+12
恒等变换、解斜三角形
算法
5
框图计算
概率、期望
12
概率、分布列、期望
函数
5+5
图形及性质、值域
立体几何
5+12
建系、二面角、平行垂直
平面向量
5
平行四边形法则
圆锥曲线
5+13
存在性探究
直线与圆
5
最值
导数
14
恒成立、最值、求参数
统计
5
回归方程
集合
5
基础运算
正态分布
5
面积
复数
5
基础运算
几何证明
10
圆的性质、相似4-1
排列组合
2009年普通高等学校招生全国统一考试
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 理科数学 第Ⅰ卷本试卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径一、选择题： 设集合{}{}2|5,|4210,S x x T x x x =<=+-<则S T =Ａ.{}|75x x -<<- Ｂ.{}|35x x <<Ｃ.{}|53x x -<< Ｄ.{}|75x x -<<２.已知函数22log (2)()24(22a x x f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩当时在点处当时）连续，则常数a 的值是Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５３.复数2(12)34i i +-的值是Ａ.－１ Ｂ.１ Ｃ.－i Ｄ.i4.已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误的是A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C.函数()f x 的图像关于直线0x =对称D.函数()f x 是奇函数5.如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面 C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为45 6.已知,,,a b c d 为实数，且c d >。
则“a b >”是“a c b d ->-”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.已知双曲线2221(0)2x y b b -=>的左右焦点分别为12,F F，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在该双曲线上，则12PF PF ∙=A. 12-B. 2- C .0 D. 48.如图，在半径为3的球面上有,,A B C 三点，90,ABC BA BC ︒∠==，球心O 到平面ABC的距离是2，则B C 、两点的球面距离是A.3πB.πC.43πD.2π9.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值是A.2B.3C.115D.371610.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
2011年高考全国2卷数学理科详细解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅱ卷理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一、选择题：（每小题５分，共60分）1．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=（ ）A ．2i -B ．i -C ．iD ．2i 【详细解析】1(1)(1)(1)1211zz z i i i i i --=+--+-=---=-【考点定位】复数与共轭复数的概念及复数的四则运算法则，考查复数的运算，属于简单题。
2．函数y =0x ≥）的反函数为（ ）A ．24x y =（x R ∈）B ．24x y =（0x ≥）C ．24y x =（x R ∈） D ．24y x =（0x ≥）【详细解析】由y =0x ≥），得20,2y y x ≥=，故反函数为2(0)4x y x =≥ 【考点定位】考查反函数的求法。
属于简单题。
3．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要条件是（ ）A ．1a b >+B ．1a b >-C ．22a b >D ．33a b >【详细解析】由a b >，可得1a b >+，反之不成立，故选A 【考点定位】考查不等式的性质与充要条件问题。
属于简单题。
4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 【详细解析】()222221,244245n n k k a n S n S S k k k k +=-=-=+-=+=∴=【考点定位】考查等差数列的前n 项和公式及计算，属于简单题。
09年—11年各省高考数学题目分类之立体几何篇.doc
09年—11年各省高考数学题目分类之立体几何篇1、（09北京，文）（本小题共14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上. （Ⅰ）求证：平面AEC PDB ⊥平面；（Ⅱ）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB所成的角的大小.2、（09湖北，文）（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ,SD AD a ==，点E 是SD 上的点，且(01)DE a λλ=<≤(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1]，都有AC BE ⊥； (Ⅱ)若二面角D AE D --的大小为600，求λ的值。
3、（09江西，文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ． （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线PC 与平面ABM 所成的角； （3）求点O 到平面ABM 的距离．4、（09宁夏，文）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲BC如图，已知∆ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B=60 ，F 在AC 上，且AE AF =。
（1）证明：,,,B D H E 四点共圆；（2）证明：CE 平分∠DEF 。
5、（09全国一，文）(本小题满分12分)如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，60ABM ∠=（Ⅰ）证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S AM B --的大小。
6、（09陕西，文）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱111ABC A B C -中， AB=1，1AC AA ==ABC=600.(Ⅰ)证明：1AB A C⊥；（Ⅱ）求二面角A —1A C—B 的大小。
2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文科)
2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合S={x||x|＜5}，T={x|(x+7)(x-3)＜0},则S∩T=()A.{x|-7＜x＜-5}B.{x|3＜x＜5}C.{x|-5＜x＜3}D.{x|-7＜x＜5}【答案】C【解析】S={x|-5＜x＜5},T={x|-7＜x＜3},故S∩T={x|-5＜x＜3}.2.函数y=2x+1(x∈R)的反函数是…()A.y=1+log2x(x＞0)B.y=log2(x-1)(x＞1)C.y=-1+log2x(x＞0)D.y=log2(x+1)(x＞-1)【答案】C【解析】∵y=2x+1(x∈R),∴x=-1+log2y(y＞0).∴反函数为y=-1+log2x(x＞0).3.等差数列{a n}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{a n}的前10项之和是()A.90B.100C.145D.190【答案】B【解析】设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由题意可建立方程a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),由a1=1可以解出d=2,∴数列{a n}的前10项之和.4.已知函数=sin()（x∈R)，下面结论错误的是()A.函数的最小正周期为2πB.函数在区间［0,］上是增函数C.函数的图象关于直线x=0对称 D.函数是奇函数【答案】D【解析】=sin()=-cosx(x∈R),函数是偶函数.∴选D.5.设矩形的长为a，宽为b，其比满足b∶a=≈0.618,这种矩形给人以美感，称为黄金矩形.黄金矩形常应用于工艺品设计中,下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:甲批次:0.5980.6250.6280.5950.639乙批次:0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值0.618比较,正确结论是()A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲、乙批次的总体平均数=0.617,=0.613,知甲批次的总体平均数与标准值0.618更接近.6.如图,已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°【答案】D【解析】设底面正六边形边长为a,则AD=2a,PA=2AB=2a.由PA⊥平面ABC，可知PA⊥AD，且PA=AD，∴在R t△PAD中知直线PD与平面ABC所成的角为45°.7.已知a,b,c,d为实数,且c＞d,则“a＞b”是“a-c＞b-d”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】令a=2,b=1,c=3,d=-5,则a-c=-1＜b-d=3-(-5)=8;由a-c＞b-d，可得a＞b+(c-d)，∵c＞d，则c-d＞0，∴a＞b+（c-d)＞b.故“a＞b”是“a-c＞b-d”的必要而不充分条件.8.已知双曲线(b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y=x,点P（,y0)在该双曲线上，则=()A.-12B.-2C.0D.4【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线方程可求出双曲线方程,则左、右焦点坐标分别为F1(-2,0)、F2(2,0),再将点P(,y0)代入双曲线方程可求出P(,±1),则可得.9.如图，在半径为3的球面上有A.B.C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则C.B.C两点的球面距离是( )D.A.E.B.πF.C.G.D.2π【答案】B【解析】过球心O作平面ABC的垂线交平面ABC于点D,∠ABC=90°,BA=BC,则D在直线AC上.由于,则,∴.由△ABC为等腰直角三角形可得BC=3,∴△OBC为等边三角形,则B、C两点的球面距离是.10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是()A.12万元B.20万元C.25万元D.27万元【答案】D【解析】设在这个生产周期内生产甲产品x吨，乙产品y吨，可获得利润z万元，根据题目提供信息,可得其中z=5x+3y,画出可行域（如图）,可得在点（3，4）处得到最大值z max=27.11.2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A.60B.48C.42D.36【答案】B【解析】当甲在乙的左边有排法种排法；当甲在乙的右边同样有24种排法，则不同的排法种数有48种.12.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf (x+1)=(1+x),则的值是()A.0B.C.1D.【答案】A【解析】由已知,令,得,∴;又令得,又∵,∴;再令,得,∵,∴.二、填空题(本大题共4小题，共16.0分)13.抛物线y2=4x的焦点到准线的距离是______.【答案】2【解析】由抛物线y2=4x知直线x=-1为其准线，焦点为F（1，0），则焦点到准线的距离为2.14.的展开式的常数项是_______.(用数字作答)【答案】-20【解析】由展开式通项T r+1=,则由6-2r=0,可得到r=3，常数项为T4=(-1)3=-20.15.如图,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是___________.【答案】90°【解析】建立如图所示的坐标系，O为BC中点.设三棱柱的棱长为2a,则A(,0,0),B(0,a,0),B1(0,a,2a),M(0,-a,a),则,所以异面直线AB1与BM所成的角为90°.16.设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V→V, a∈V,记a的象为f( a).若映射f:V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa+μb)=λf( a)+μf( b),则f称为平面M上的线性变换,现有下列命题:①设f是平面M上的线性变换, a、b∈V,则f( a+b)=f( a)+f( b);②若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f( a)= a+e,则f是平面M上的线性变换;③对a∈V,设f( a)=- a,则f是平面M上的线性变换;④设f是平面M上的线性变换, a∈V,则对任意实数k均有f(k a)=kf( a).其中的真命题是___________.(写出所有真命题的编号)【答案】①③④【解析】对于f(λa+μb)=λf( a)+μf( b)来说，令λ=1，μ=1可得f( a+b)=f( a)+f( b)，故①正确；若f( a)= a+e,则令λ=2,μ=0可得f(2 a）=2 a+e，而2f( a)=2( a+ e)，显然f(2 a)≠2f( a),故②错误；若f( a)=- a，则令λ=1,μ=0可知f(λa+μb)=λf( a)+μf( b)成立，故f是平面M上的线性变换，故③正确；若λ=k,μ=0，则f(λa+μb)=f(ka+0·b)=f(k a)=kf( a)+0·f( b)=kf( a),故④正确.三、解答题(本大题共6小题，共74.0分)17.在△ABC中,A、B为锐角,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.(1).求A+B的值；(2).若，求a、b、c的值.【答案】解：(1)∵A、B为锐角，，，∴，∴cos（A+B）=cos A cos B-sin A sin B=.∵0＜A+B＜π,∴.（2）由（1）知，∴.由正弦定理,得,即,.∵,∴.∴b=1.∴,.【解析】本小题主要考查同角三角函数间的关系、两角和差的三角函数公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力.18.为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客,在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.(1).在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;(2).在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.【答案】解：(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡,省内游客有9人,其中6人持银卡. 设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，.所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.(2)设事件B为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”，事件A1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”，事件A2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”..所以采访该团2人中,持金卡人数与持银卡人数相等的概率是.【解析】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算,考查运用概率知识解决实际问题的能力.19.如图,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.(1).求证:EF⊥平面BCE;(2).设线段CD、AE的中点分别为P、M,求证:PM∥平面BCE;(3).求二面角F-BD-A的大小.【答案】解法一：（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以∠AEB=45°.又因为∠AEF=45°,所以∠FEB=45°+45°=90°,即EF⊥BE.因为BC平面BCE,BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.(2)证明：取BE的中点N,连结CN,MN,则MN PC,所以四边形PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,所以PM∥平面BCE.(3)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而,FG⊥平面ABCD.作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH.因此,∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.设AB=1，则AE=1，，FG=AF·sin∠FAG=.在R t△BGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=,GH=BG·sin∠GBH=.在R t△FGH中，tan∠FHG=.故二面角F-BD-A的大小为.解法二：（1）证明：因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直.建立如图所示的直角坐标系A—xyz.设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.从而,F(0,),=(0,),=(0,-1,1),=(1,0,0).·=,·=0.所以EF⊥BE，EF⊥BC.因为BE平面BCE,BC平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.(2)证明：M(0,0,),P(1,,0).从而=(-1,),于是·=(-1,)·(0,)=0.所以PM⊥FE.又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,故PM∥平面BCE.(3)设平面BDF的一个法向量为n1,并设n1=(x,y,z).=(1,-1,0),=(0,).即取y=1,则x=1,z=3.从而n1=(1,1,3).取平面ABD的一个法向量为n2=(0,0,1).cos〈n1, n2〉=.故二面角F-BD-A的大小为.【解析】本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识,考查空间想象能力、逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力.20.已知函数=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.(1).求函数的解析式;(2).设函数,若g(x)的极值存在,求实数m的取值范围以及函数g(x)取得极值时对应的自变量x的值.【答案】解：(1)由已知,切点为(2,0),故有f(2)=0,即4b+c+3=0,①f′(x)=3x2+4bx+c,由已知,f′(2)=12+8b+c=5,得8b+c+7=0.②联立①②，解得c=1,b=-1,于是函数解析式为=x3-2x2+x-2.（2）,，令g′(x)=0.当函数有极值时，Δ≥0,方程有实根，由Δ=4(1-m)≥0，得m≤1.①当m=1时，g′(x)=0有实根,在左右两侧均有g′(x)＞0，故函数g(x)无极值.②当m＜1时,g′(x)=0有两个实根,,当x变化时,g′(x)、g(x)的变化情况如下表:故在m∈(-∞,1)时，函数g(x)有极值：当时,g(x)有极大值；当时,g(x)有极小值.【解析】本小题考查函数、函数极值的概念，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.21.已知椭圆(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率,右准线方程为x=2.(1).求椭圆的标准方程；(2).过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线l的方程.【答案】解：(1)由条件有解得,c=1.∴.∴所求椭圆的方程为.（2）由（1）知，F1（-1，0）、F2（1，0）.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1,将x=-1代入椭圆方程,得.不妨设M(-1,)、N(-1,),∴=(-2,)+(-2,)=(-4,0).∴，与题设矛盾.∴直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+1).设M(x1,y1)、N(x2,y2),联立消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由根与系数的关系知,从而y1+y2=k(x1+x2+2)=.又∵=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),∴=(x1+x2-2,y1+y2).∴|+|2=(x1+x2-2)2+(y1+y2)2==.∴.化简得40k4-23k2-17=0.解得k2=1或(舍).∴k=±1.∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.【解析】本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力.22.设数列{a n}的前n项和为S n,对任意的正整数n,都有a n=5S n+1成立，记(n∈N*).(1).求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；(2).设数列{b n}的前n项和为R n,是否存在正整数k,使得R k≥4k成立?若存在,找出一个正整数k;若不存在,请说明理由;(3).记c n=b2n-b2n-1(n∈N*)，设数列{c n}的前n项和为T n,求证：对任意正整数n，都有.【答案】解：(1)当n=1时,a1=5a1+1,∴.又∵a n=5S n+1,a n+1=5S n+1+1,∴a n+1-a n=5a n+1,即.∴数列{a n}成等比数列,其首项,公比. ∴.∴.(2)不存在正整数k,使得R k≥4k成立.下证:对任意的正整数n,都有R n＜4n成立.由(1)知.∵==.∴当n为偶数时,设n=2m(m∈N*)，则R n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)＜8m=4n; 当n为奇数时，设n=2m-1(m∈N*),则R n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1＜8(m-1)+4=8m-4=4n.∴对一切的正整数n,都有R n＜4n.∴不存在正整数k,使得R k≥4k成立.(3)由(1)知.∴c n=b2n-b2n-1===.又b1=3,,∴.当n=1时,.当n≥2时，.【解析】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?U A）∪（?U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ＝=．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++Cn n a0b n，各项的通项公式为：Tr+1=C nr a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πＲ2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试四川卷文科数学(2011年四川省高考文科数学)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(文史类) 第一部分(选择题共60分)1．选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上． 2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．若全集{1,2,3,4,5}M =，{2,4}N =，则M N =(A)∅ (B){1,3,5} (C){2,4} (D){1,2,3,4,5} 2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l[31.5，35.5) 12[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占(A)211 (B)13 (C)12 (D)233．圆22460x y x y +-+=的圆心坐标是(A)(2，3) (B)(－2，3) (C)(－2，－3) (D)(2，－3)4．函数1()12x y =+的图象关于直线y ＝x 对称的图象像大致是5．“x ＝3”是“x 2＝9”的(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 6．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ (B)12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥ (C)233////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面 (D)1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=(A)0 (B)BE (C)AD (D)CF8．在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是(A)(0,]6π (B)[,)6ππ (C)(0,]3π (D)[,)3ππ9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝(A)3×44 (B)3×44＋1 (C)44 (D)44＋110．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 (A)4650元 (B)4700元 (C)4900元 (D)5000元11．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 (A)(2,9)-- (B)(0,5)- (C)(2,9)- (D)(1,6)-12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b =α，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积等于2的平行四边形的个数为m ，则mn=(A)215 (B)15(C)415(D)13第二部分(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．9(1)x +的展开式中3x 的系数是_________．(用数字作答)14．双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左准线的距离是____．15．如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_________．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x ＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数2()f x x =(x ∈R )是单函数；②指数函数()2x f x =(x ∈R )是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题共l2分)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14、12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12、14；两人租车时间都不会超过四小时．(Ⅰ)分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； (Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．18．(本小题共l2分)已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ．(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值；(Ⅱ)已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤．求证：2[()]20f β-=．19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ．(Ⅰ)求证：PB 1∥平面BDA 1；(Ⅱ)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；20．(本小题共12分)已知{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和． (Ⅰ)当1S 、3S 、4S 成等差数列时，求q 的值；(Ⅱ)当m S 、n S 、l S 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．21．(本小题共l2分)过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆与x 轴交于两点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．(I)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；(Ⅱ)当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ⋅为定值．22．(本小题共l4分)已知函数21()32f x x =+，()h x = (Ⅰ)设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；(Ⅱ)设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24f x h a x h x --=---；(Ⅲ)设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6f n h n h h h n -+++≥．参考答案及解析1．答案：B解析：∵{1,2,3,4,5}M =，则MN ={1,3,5}，选B ．2．答案：B解析：大于或等于31.5的数据共有12＋7＋3＝22个，约占221663=，选B ． 3．答案：D解析：圆方程化为22(2)(3)13x y -++=，圆心(2，－3)，选D ． 4．答案：A解析：1()12x y =+图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y ＝x 对称的图象过点(2,0)且单调递减，选A ． 5．答案：A解析：若x ＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则3x =±，选A ． 6．答案：B解析：由12l l ⊥，23//l l ，根据异面直线所成角知1l 与3l 所成角为90°，选B ． 7．答案：D解析：BA CD EF CD DE EF CF ++=++=，选D ． 8．答案：C解析：由222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-得222a b c bc ≤+-，即222122b c a bc +-≥，∴1cos 2A ≥，∵0A π<<，故03A π<≤，选C ．9．答案：A解析：由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)，相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)＝3a n ，则a n ＋1＝4a n (n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，则a 6＝a 2·44＝3×44，选A ． 10．答案：C解析：设派用甲型卡车x (辆)，乙型卡车y (辆)，获得的利润为u (元)，450350u x y =+，由题意，x 、y 满足关系式12,219,10672,08,07,x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≥⎨⎪≤≤⎪≤≤⎪⎩作出相应的平面区域，45035050(97)u x y x y =+=+在由12,219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C ． 11．答案：A解析：令抛物线上横坐标为14x =-、22x =的点为(4,114)A a --、(2,21)B a -，则2AB k a =-，由22y x a a '=+=-，故切点为(1,4)a ---，切线方程为(2)60a x y ---=，该直线又和圆相切，则d ==，解得4a =或0a =(舍去)，则抛物线为2245(2)9y x x x =+-=+-，定点坐标为(2,9)--，选A ．12．答案：B解析：∵以原点为起点的向量(,)a b =α有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数2615n C ==个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则31155m n ==，选B ．13．答案：84解析：∵9(1)x +的展开式中3x 的系数是639984C C ==． 14．答案：16解析：离心率54e =，设P 到右准线的距离是d ，则454d =，则165d =，则P 到左准线的距离等于2641616105⨯+=． 15．答案：32π解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积24sin 24cos S παα=⨯⨯⨯＝32sin2πα，当4πα=时，S 取最大值32π，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32π．16．答案：②③④解析：对于①，若12()()f x f x =，则12x x =±，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．17．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．解：(Ⅰ)分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A 、B ，则111()1424P A =--=，111()1244P A =--=．答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14．………………(5分)(Ⅱ)记两人所付的租车费用之和小于6元为事件C ，则1111111111113()()()()4244222442444P C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为34.………………………(12分)18．本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．解(Ⅰ))243sin()247sin()(ππππ+-+-+=x x x f )4sin()4sin(ππ-+-=x x).4sin(2π-=x)(,2x f T π=∴的最小值为－2.……………………(6分)(Ⅱ)由已知得4cos cos sin sin 5αβαβ+=，4cos cos sin sin 5αβαβ-=- 两式相加得2cos cos 0αβ=，∵02παβ<<≤，∴cos 0β=，则2πβ=．∴22[()]24sin 204f πβ-=-=．19．本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一：(Ⅰ)连结AB 1与BA 1交于点O ，连结OD ，∵C 1D ∥平面AA 1，A 1C 1＝C 1P ，∴AD ＝PD ，又AO ＝B 1O ， ∴OD ∥PB 1，又OD ⊂面BDA 1，PB 1⊄面BDA 1， ∴PB 1∥平面BDA 1．…………………………(6分)(Ⅱ)过A 作AE ⊥DA 1于点E ，连结BE ．∵BA ⊥CA ，BA ⊥AA 1，且AA 1∩AC ＝A ，∴BA ⊥平面AA 1C 1C ．由三垂线定理可知BE ⊥DA 1．∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角． 在Rt △A 1C 1D中，1A D ，又1111122AA D S AE ∆=⨯⨯=，∴AE =． 在Rt △BAE中，BE == ∴.32cos ==∠BE AE BEA 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23．……………………(12分) 解法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ，(0,2,0)P ．(Ⅰ)在△P AA 1中有1112C D AA =，即1(0,1,)2D ． ∴1(1,0,1)A B =，),21,1,0(1=D A ，1(1,2,0)B P =-． 设平面BA 1D 的一个法向量为1(,,)a b c =n ，则11110,10.2A B a c A D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令1c =-，则11(1,,1)2=-n ． ∵1111(1)2(1)002B P ⋅=⨯-+⨯+-⨯=n ，∴PB 1∥平面BA 1D .………………(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，平面BA 1D 的一个法向量11(1,,1)2=-n ．又2(1,0,0)=n 为平面AA 1D 的一个法向量．∴12121212cos ,3||||312⋅<>===⋅⨯n n n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23．……………………(12分) 20．本小题考查等比数列和等差数列的基础知识以及基本运算能力和分析问题、解决问题的能力．解：(Ⅰ)由已知，1n n a aq -=，因此1S a =，23(1)S a q q =++，234(1)S a q q q =+++．当1S 、3S 、4S 成等差数列时，1432S S S +=，可得32aq aq aq =+．化简得210q q --=．解得q =．……………………(6分) (Ⅱ)若1q =，则{}n a 的每项n a a =，此时m k a +、n k a +、l k a +显然成等差数列．若1q ≠，由m S 、n S 、l S 成等差数列可得2m l n S S S +=，即(1)(1)2(1)111m l n a q a q a q q q q ---+=---． 整理得2m l n q q q +=．因此，11()22k m l n k m k l k n k a a aq q q aq a -+-++++=+==．所以，m k a +、n k a +、l k a +也成等差数列．…………………………(12分)21．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：(Ⅰ)由已知得1,c b a ==，解得2a =，所以椭圆方程为2214x y +=．椭圆的右焦点为，此时直线l的方程为1y =+，代入椭圆方程化简得270x -=，解得120,x x =l 的方程得1211,7y y ==-，所以1)7D -，故16||7CD ==．……………………(6分) (Ⅱ)当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为11(0)2y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．解得12280,41kx x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，所以D 点的坐标为222814(,)4141k k k k --++．又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24ky x k +=+-，联立得4,2 1.x k y k =-⎧⎨=+⎩因此(4,21)Q k k -+，又1(,0)P k-．所以1(,0)(4,21)4OP OQ k k k⋅=--+=．故OP OQ ⋅为定值．………………………………(12分)22．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：(Ⅰ)223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，2()312F x x '∴=-+．令()0F x '∴=，得2x =(2x =-舍去)．当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数．2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．……………………(3分)(Ⅱ)方法一：原方程可化为42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x h x --=---，即为4222log (1)log log log x -==，且,14,x a x <⎧⎨<<⎩①当14a <≤时，1x a <<，则14a xx--=，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时3x ==±1x a <<，此时方程仅有一解3x =②当4a >时，14x <<，由14a xx x--=-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-，若45a <<，则0∆>，方程有两解3x = 若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =；若1a ≤或5a >，原方程无解．………………………………(9分) 方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-， 即2221log (1)log log 2x -+，10,40,0,(1)(4).x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨->⎪⎪--=-⎩214,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩①当14a <≤时，原方程有一解3x =②当45a <<时，原方程有二解3x =± ③当5a =时，原方程有一解3x =；④当1a ≤或5a >时，原方程无解．……………………(9分) (Ⅲ)由已知得(1)(2)()]12h h h n n +++=+++，11()()66f n h n -．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n h n =-(*n ∈N ) 从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，1k k k a S S -=-=又1[(4(46k a k k =+-2216=106=>．即对任意2k ≥时，有k a >11a ==1212n a a a n +++≥+++．则(1)(2)()n S h h h n ≥+++，故原不等式成立．。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
、 、 A ．B ．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1．（5 分）设集合 A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集 U=A ∪B ，则集合∁U （A ∩B ）中的元素共有（ ）A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个2．（5 分）已知=2+i ，则复数 z=（ ） A ．﹣1+3i B ．1﹣3iC ．3+iD ．3﹣i 3．（5 分）不等式＜1 的解集为（ ）A ．{x |0＜x ＜1}∪{x |x ＞1}B ．{x |0＜x ＜1}C ．{x |﹣1＜x ＜0}D ．{x |x ＜0}4．（5 分）已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x 2+1 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种 6．（5 分）设 是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣7．（5 分）已知三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等，A 1 在底面 ABC 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC 1 所成的角的余弦值为（）C ．D ．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣210．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．411．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3二、填空题（共4 小题，每小题5 分，满分20 分）13．（5 分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009 年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1．（5 分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B 的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5 分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5 分）不等式＜1 的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1 相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a 和b 的关系，从而推断出a 和c 的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．、 、 【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5 分）甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学．若 从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）A ．150 种B ．180 种C ．300 种D ．345 种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理． 【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C 51•C 31•C 62=225 种选法； （2）乙组中选出一名女生有 C 52•C 61•C 21=120 种选法．故共有 345 种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5 分）设 是单位向量，且，则• 的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】16：压轴题． 【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值． 【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴， =．∴•=﹣（）•+ =0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos ≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC1 所成的角的余弦值为（）C．D．A．B．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB 与CC1 所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B 的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC 的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB 即为异面直线AB 与CC1 所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1 的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5 分）已知直线y=x+1 与曲线y=ln（x+a）相切，则a 的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5 分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q 分别在面α、β内，P 到β的距离为，Q 到α的距离为，则P、Q 两点之间距离的最小值为（）A．1 B．2 C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ 中将PQ 表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l 于C，PB⊥β 于B，PD⊥l 于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A 与点P 重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5 分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4 的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5 分）已知椭圆C：+y2=1 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C 于点B，若=3，则||=（）A．B．2 C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B 作BM⊥x 轴于M，设右准线l 与x 轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B 作BM⊥x 轴于M，n n n nn r +1 n 10 10 10 10 10 10并设右准线 l 与 x 轴的交点为 N ，易知 FN=1．由题意，故 FM=，故 B 点的横坐标为，纵坐标为±即 BM=， 故 AN=1， ∴．故选：A ．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13．（5 分）（x ﹣y ）10 的展开式中，x 7y 3 的系数与 x 3y 7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA ：二项式定理． 【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a +b ）n =C 0a n b 0+C 1a n ﹣1b 1+C 2a n ﹣2b 2++C r a n ﹣ r b r ++C n a 0b n ，各项的通项公式为：T =C r a n ﹣r b r ．然后根据题目已知求解即可． 【解答】解：因为（x ﹣y ）10 的展开式中含 x 7y 3 的项为 C 3x 10﹣3y （3 含 x 3y 7 的项为 C 7x 10﹣7y 7（﹣1）7=﹣C 7x 3y 7． 由 C 3=C 7=120 知，x 7y 3 与 x 3y 7 的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．﹣1）3=﹣C 3x 7y 3， 【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a +b ）n =C n 0a n b 0+C n 1a n﹣1b1+C 2a n﹣2b2++C r a n﹣r b r++C n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．n n n14．（5 分）设等差数列{a n}的前n 项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n 项和．【分析】由s9 解得a5 即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n 项和公式和等差数列的性质．15．（5 分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC 中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5 分）若，则函数y=tan2xtan3x 的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx 的函数，将tanx 看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6 小题，满分70 分）17．（10 分）在△ABC 中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC 化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b 即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC 中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4 或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC 由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12 分）如图，四棱锥S﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M 在侧棱SC 上，∠ABM=60°（I）证明：M 是侧棱SC 的中点；（II）求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M 是侧棱SC 的中点，作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE 即可得x 的值，进而得到M 为侧棱SC 的中点；法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S 点的坐标、C 点的坐标和M 点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D 为坐标原点，分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B 的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD 交CD 于N，作NE⊥AB 交AB 于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB 中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE 中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M 为侧棱SC 的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS 为x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1 即M（0，1，1）所以M 是侧棱SC 的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M 是侧棱SC 的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB 的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B 的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12 分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2 局中，甲、乙各胜1 局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（II）设ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2 局中，甲、乙各胜1 局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i 表示事件：第i 局甲获胜，（i=3、4、5）B i 表示第j 局乙获胜，j=3、4（1）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2 局中，甲、乙各胜1 局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3 局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52 P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12 分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n 项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．=b n+，由此能够推导出所求的通【分析】（1）由已知得=+，即b n+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n 项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣= ﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12 分）如图，已知抛物线E：y2=x 与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D 四个点．（I）求r 的取值范围；（II）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC、BD 的交点P 的坐标．【考点】IR ：两点间的距离公式；JF ：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去 y ，得到 x 的二次方程，根据抛物线E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出 r 的范围．（2）先设出四点 A ，B ，C ，D 的坐标再由（1）中的 x 二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点 P 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线 E ：y 2=x 代入圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）的方程，消去 y 2，整理得 x 2﹣7x +16﹣r 2=0（1）抛物线 E ：y 2=x 与圆 M ：（x ﹣4）2+y 2=r 2（r ＞0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根．（II ） 设四个交点的坐标分别为、 、 、 ．∴ 即 ．解这个方程组得，则直线AC、BD 的方程分别为y﹣= •（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P 的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12 分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx 有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2 是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c 表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0 有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c 满足的约束条件为（4 分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8 分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10 分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
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16单函数
16
2011年四川省高考数学试题所考查知识点大致分布如下表
内容
代数
三角
向量
立体几何
解析几何
概率统计
极限导数
文科
52
17
5
21
26
17
12
理科
57
12
10
21
21
17
12
2010年四川省高考数学试题所考查知识点大致分布如下表
内容
代数
三角
向量
立体几何
解析几何
概率统计
极限导数
文科
40
17
5
21
31
22
14
理科
立体几何
6（平行垂直线面角）9（球面距离）15（异面直线夹角）19（垂直平行二面角）
12（空间球面距离）15（空间角）18（公垂线证明及二面角）
6（空间想象力）15（球的表面积与内接圆柱）19（直三菱柱性质，线面关系二面角等）
排列组合二项式定理
11（排列组合）14（通项公式）
9（排列组合），13（二项式定理）
40
17
5
21
26
17
24
2009年四川省高考数学试题所考查知识点大致分布如下表
内容
代数三角ຫໍສະໝຸດ 向量立体几何解析几何
概率统计
极限导数
文科
48
17
4
26
21
22
12
理科
48
17
4
26
26
17
12
2009—20011年高考数学（理科）考点分布表
2009年
2010年
2011年
备注
集合与简易逻辑
1（结合不等式进行集合运算）6（不等式充要条件）
11（球面距离）15（面面角线面角）18（公垂线证明二面角及三棱锥体积）
3（空间想象力）15（球表面积与圆柱侧面积）19（直三凌柱面面角点面距）
排列组合二项式定理
11（排列组合综合）13（通项公式）
10（排列组合）13（通项公式）
12
12
概率
18（独立事件，互斥事件，分布列与期望）
17（1）相互独立事件
12
2009—20011年高考数学（文科）考点分布表
2009年
2010年
2011年
备注
集合与简易逻辑
1（结合不等式进行集合运算）7（充要条件）
1（运算）16（新定义集合）
1（运算）5（充要条件）
函数
2（反函数）12（偶函数，赋值法）
2（对数图像）5（二次函数）22（反函数，有解求范围，证明不等式，比较大小）
1（频数统计表及概率计算）18（1）互斥事件相互独立事件
18
统计
17（2）分布列与期望
18（2）分布列及期望
18
极限复数导数
2（结合函数连续性分段函数）3（复数运算）21（函数单调性极限导数应用）
1（复数运算）2（函数连续性）
2（复数运算）5（函数连续性）22（1）
创新
16
16封闭集
12图形，16单函数
14（弦长）
21（1）直线方程
21
圆锥曲线
7（双曲线渐进线定义）9（抛物线，点到直线距离）20（直线椭圆平面向量）
9（椭圆）20（双曲线与弦长圆）
14（双曲线第一与二定义）21（2）椭圆与直线相交
21
立体几何
5（空间线线，线面关系）8（球的截面性质，球面距）15（异面直线夹角）19（垂直平行二面角）
12（排列组合）13(二项式定理)
概率
18（独立事件，互斥事件）
17（相互独立事件，互斥事件）
17（相互独立事件，互斥事件）
统计
5（样本估计）
4（初步及分层抽样）
2（频数统计表及概率计算）
导数
20（切线极值）
22（对数函数，反函数，不等式，导数及其应用
22（导函数应用与不等式的证明，解方程等）
创新
16
4（反函数）16（单函数）
16
数列
3（等差，等比中项，前N项和）22（通项与求和）
20（通项与求和）
9（递推）20（等比和等差）
三角函数
4（诱导公式，奇偶性，周期性，单调性）17（解三角形）
7（图像平移及解析式）19（同角三角函数关系，两角和差公式与诱导公式）
8（解三角形）18（同角三角函数关系，两角和差公式与诱导公式）
平面向量
6（平面向量几何意义及几何性质）
7（向量加法化简）
不等式
10（线性规划）
8（线性规划）11（重要不等式）
10（线性规划）
直线与圆
14（弦长计算）
3（圆的标准方程）
圆锥曲线
8（双曲线渐进线）13（抛物线焦准距）21（椭圆）
3（抛物线几何性质）10（椭圆）
21（直线，轨迹与双曲线）
11（直线与圆锥曲线）14（双曲线几何性质）21（直线与椭圆）
16
12集合与图形个数
12
函数
12（抽象函数赋值法）
3（对数计算）4（二次函数）
13（指数与对数计算）7（反函数）11（函数与数列极限）16单函数22（2）解方程
11，16
数列
22（数列与不等式）
8（递推，数列极限）21（等差判定与前N项和）
8（等差数列及累加法）20（等比判定及错位想减）
三角函数
4（诱导公式，奇偶性，周期性，单调性）17（解三角形）
6（图形变换）19（证明推导两角和正余弦公式与综合平面向量数量积解三角形）
17（化简周期最值）
平面向量
16
5（平面向量几何意义及几何性质）
4（运算）6（解三角形）
不等式
10（线性规划最优解）
7（线性规划）12（重要不等式求最值）
9（线性规划）22（3）比较大小
直线与圆
14（圆的标准方程，两直线位置关系）