高考数学一轮复习 第十二章 统计与概率 第79课 随机事件与概率教案
高考数学一轮复习 12.2随机事件与概率、古典概型与几何概型课件 理
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高考数学一轮总复习 12.1 事件与概率课件(含高考真题)文 新人教版
各自的路径.
点(kǎo diǎn)一
考点(kǎo diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
第十六页，共33页。
误区警示
12.1
第十二章
事件与概率
考纲要求
梳理自测
探究
(tànjiū)突
探究突破
破
巩固提升
解:(1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有
1 ,P(A)= 1-P(B) .
第七页，共33页。
A∩B=⌀
第十二章
12.1
事件与概率
考纲要求
梳理(shūlǐ)
梳理自测
自测
探究突破
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巩固提升
基础(jīchǔ)自测
1.在下列六个事件中,随机事件的个数为(
)
①如果 a,b 都是实数,那么 a+b=b+a;②从分别标有号数 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
考点(kǎo
diǎn)三
第十八页，共33页。
误区警示
第十二章
12.1
事件与概率
考纲要求
梳理自测
探究(tànjiū)
探究突破
突破
巩固提升
方法提炼
频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生可能性的
大小,但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小.通过大量重复试验可以
发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某个固定的值,这个
梳理自测
测
探究突破
巩固提升
想一想“频率”与“概率”有何区别?
答案:频率是个试验值,具有随机性,试验次数不同则得到的频率
高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第十二章 概率、随机变量及其分布 12-1
2．事件的关系与运算
3.概率的几个基本性质
0≤P(A)≤1
(1)概率的取值范围： 1 _____________． (2)必然事件的概率P(E)＝___．
P(． A)＋P(B) (3)不可能事件的概率P(F)＝___ 0
(4)概率的加法公式
1－P(B)
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ ___________．
§12.1 随机事件的概率 [考纲要求] 1.了解随机事件发生的不确 定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及 频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概
率加法公式．
(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下
频率
，随着试验次数的增加，事件A发生的
常数 ______会在某个常数附近摆动并趋于稳定，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生 的可能性大小，并把这个_____称为随机事 件A的概率，记作P(A)．
③至少有1名男生和全是女生．
【解析】 ①是互斥事件，不是对立事件．
“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生 和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同 时发生，所以是互斥事件，不是对立事件． ②不是互斥事件，也不是对立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女 生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有 1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2 名都是女生”两种结果，它们可能同时发生 ． ③是互斥事件且是对立事件．
同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同
学的身高在[160，175](单位：cm)内的概率
为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概 率为( A．0.2 C．0.7 ) B．0.3 D．0.8
【解析】 因为必然事件发生的概率是1，
2019-2020年新人教版高考数学一轮总复习第十二章概率与统计12.1随机事件及其概率课件理新人教B版
含的结果数 结合互斥或对立事 件的概率公式求解
解析 记“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到足球票”为事件A,“乙从第二小组的10张 票中任抽1张,抽到足球票”为事件B,则“甲从第一小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事 件 A ,“乙从第二小组的10张票中任抽1张,抽到排球票”为事件 B ,于是
16 8
(2)解法一:以甲再打的局数分类讨论,若甲再打一局得冠军的概率为p1,则p1= 12 ,若甲打两局得冠
军的概率为p2,则p2= 1 ×1 1 = ,故甲获得冠军的概率为p1+p3 2= ,故选D.
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解法二:先求乙获得冠军的概率p1,则p1= 1 ×1 1 = ,故甲获得冠军的概率为1-p3 1= ,故选D.
突破方法
方法1 随机事件及其概率
随机事件的概率求法:
在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个集合I,这n个结果就是集合I的n个元素,包含m个
结果的事件A对应于集合I的含有m个元素的子集A.于是事件A的概率为P(A)= c a r =d ( A ) . card (I )
例1 (2015河南商丘二模,7,5分)已知函数f(x)= 1 x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个
得冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队每局获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
( )
A. 1 B3. C2 .
答案2
5
(1)D
(2)D
3
3 D.
4
解析 (1)每位同学有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周日中有一天无人参加的基
本事件有2个,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1- 2 = 7 ,故选D.
通用版最新版高考数学一轮复习计数原理概率随机变量及其分布随机事件与古典概型教案理
１．概率与频率（１）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n（A）＝错误!为事件A出现的频率．（２）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．２．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B）相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）A∩B（或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝Ω（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１．（２）必然事件的概率：P（A）＝１．（３）不可能事件的概率：P（A）＝0．（４）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．（５）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P（A∪B）＝１，P（A）＝１—P（B）．４．古典概型（１）基本事件的特点１任何两个基本事件是互斥的；２任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．（２）特点１试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．２每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．（３）概率公式P（A）＝错误!．５．对古典概型的理解（１）一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．（２）古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）事件发生的频率与概率是相同的．（）（２）随机事件和随机试验是一回事．（）（３）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（）（４）两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．（）（５）若A，B为互斥事件，则P（A）＋P（B）＝１．（）（6）在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）×（6）×（２0１6·高考天津卷）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是错误!，甲获胜的概率是错误!，则甲不输的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由题意得，甲不输的概率为错误!＋错误!＝错误!.（教材习题改编）若A，B为对立事件，则（）Ａ．P（A＋B）≤１Ｂ．P（AB）＝１Ｃ．P（AB）＝0Ｄ．P（A）＋P（B）≤１解析：选Ｃ．由对立事件的定义可知：P（A＋B）＝１，P（A）＋P（B）＝１，P（AB）＝0．因此C选项正确．在集合错误!中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x＝错误!的概率是________．解析：基本事件总数为１0，满足方程cos x＝错误!的基本事件数为２，故所求概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!掷一个骰子的试验，事件A表示“小于５的偶数点出现”，事件B表示“小于５的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B发生的概率为________．解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P（A）＝错误!＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，所以P（B）＝１—P（B）＝１—错误!＝错误!，显然A与B互斥，从而P（A＋B）＝P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!随机事件的频率与概率（２0１7·高考全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间１．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对４５00名网上购物消费者进行了调查（每名消费者限选一种情况回答），统计结果如表：Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由题意，n＝４５00—２00—２１00—１000＝１２00，所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为１２00＋２１00＝３３00，由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为错误!＝错误!.２．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：（２）在样本车辆中，车主是新司机的占１0%，在赔付金额为４000元的样本车辆中，车主是新司机的占２0%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为４000元的概率．解：（１）设A表示事件“赔付金额为３000元”，B表示事件“赔付金额为４000元”，以频率估计概率得P（A）＝错误!＝0．１５，P（B）＝错误!＝0．１２．由于投保金额为２800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为３000元和４000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0．１５＋0．１２＝0．２7．（２）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔４000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0．１×１000＝１00（辆），而赔付金额为４000元的车辆中，车主为新司机的有0．２×１２0＝２４（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为４000元的频率为错误!＝0．２４，由频率估计概率得P（C）＝0．２４．互斥事件、对立事件的概率某商场有奖销售中，购满１00元商品得１张奖券，多购多得，１000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖１0个，二等奖５0个．记１张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：（１）１张奖券的中奖概率；（２）１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．【解】（１）设“１张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P（A）＝错误!，P（B）＝错误!＝错误!，P（C）＝错误!，因为A，B，C两两互斥，所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝错误!＝错误!，故１张奖券的中奖概率为错误!.（２）设“１张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“１张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝１—P（A∪B）＝１—错误!＝错误!.故１张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为错误!.错误!间接法体现了“正难则反”的思想方法．１．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0．6５，P（B）＝0．２，P（C）＝0．１，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为（）Ａ．0．7 Ｂ．0．6５Ｃ．0．３５Ｄ．0．５解析：选Ｃ．因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，所以所求概率P＝１—P（A）＝0．３５．２．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数0１２３４５人及５人以上概率0．１0．１60．３0．３0．１0．0４（２）至少３人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“１人排队等候”为事件B，“２人排队等候”为事件C，“３人排队等候”为事件D，“４人排队等候”为事件E，“５人及５人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．（１）记“至多２人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0．１＋0．１6＋0．３＝0．５6．（２）法一：记“至少３人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．３＋0．１＋0．0４＝0．４４．法二：记“至少３人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝１—P（G）＝0．４４．古典概型的概率（高频考点）古典概型是高考考查的热点，考查角度较灵活，常与一些知识交汇考查，其难度较小．高考对本部分内容的考查主要有以下五个命题角度：（１）简单的古典概型的概率；（２）古典概型与平面向量的交汇；（３）古典概型与函数（方程）的交汇；（４）古典概型与解析几何的交汇；（５）古典概型与统计的交汇（下章讲解）．角度一简单的古典概型的概率（２0１7·高考山东卷）从分别标有１，２，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取２次，每次抽取１张，则抽到的２张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】所求概率为P＝错误!＝错误!.【答案】C角度二古典概型与平面向量的交汇从集合{２，３，４，５}中随机抽取一个数a，从集合{１，３，５}中随机抽取一个数b，则向量m＝（a，b）与向量n＝（１，—１）垂直的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】由题意可知m＝（a，b）有：（２，１），（２，３），（２，５），（３，１），（３，３），（３，５），（４，１），（４，３），（４，５），（５，１），（５，３），（５，５），共１２种情况．因为m⊥n，即m·n＝0，所以a×１＋b×（—１）＝0，即a＝b，满足条件的有（３，３），（５，５）共２个，故所求的概率为错误!.【答案】A角度三古典概型与函数（方程）的交汇已知|p|≤３，|q|≤３，当p，q∈Z，则方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率是________．【解析】由方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，可得Δ＝（２p）２—４（—q２＋１）>0，即p２＋q２>１．当p，q∈Z时，设点M（p，q），如图，直线p＝—３，—２，—１，0，１，２，３和直线q＝—３，—２，—１，0，１，２，３的交点，即为点M，共有４9个，其中在圆上和圆内的点共有５个（图中黑点）．当点M（p，q）落在圆p２＋q２＝１外时，方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根，所以方程x２＋２px—q２＋１＝0有两个相异实数根的概率P＝错误!＝错误!.【答案】错误!角度四古典概型与解析几何的交汇将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的概率为P１，相交的概率为P２，若点（P１，P）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，则实数m的取值范围是（）２Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!【解析】对于a与b各有6种情形，故总数为３6种．两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２平行的情形有a＝２，b＝４或a＝３，b＝6，故概率为P１＝错误!＝错误!，两条直线l１：ax＋by＝２，l２：x＋２y＝２相交的情形除平行与重合（a＝１，b＝２）即可，所以P２＝错误!＝错误!，因为点（P１，P２）在圆（x—m）２＋y２＝错误!的内部，所以错误!错误!＋错误!错误!＜错误!，解得—错误!＜m＜错误!，故选Ｄ．【答案】D错误!（１）求古典概型的概率的步骤第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；第三步，利用公式P（A）＝错误!，求出事件A的概率．（２）求解古典概型与其他知识交汇问题的思路解决古典概型与其他知识交汇问题，其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型，再按照求古典概型的步骤求解．１．（２0１7·高考全国卷Ⅱ）从分别写有１，２，３，４，５的５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．依题意，记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有２５个不同的数组（a，b），其中满足a>b的数组共有１0个，分别为（２，１），（３，１），（３，２），（４，１），（４，２），（４，３），（５，１），（５，２），（５，３），（５，４），因此所求的概率为错误!＝错误!，选D.２．（２0１8·湖北省七市（州）联考）从数字１，２，３，４，５中，随机抽取３个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于１２的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．从５个数字中任意抽取３个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有５３＝１２５个，但要使各位数字之和等于１２且没有重复数字时，则该数只能含有３，４，５三个数字，它们有A错误!＝6种，若三位数的各位数字均重复，则该数为４４４；若三位数中有２个数字重复，则该数为５５２，５２５，２５５，有３种．因此，所求概率为P＝错误!＝错误!，故选Ａ．３．设a∈{２，４}，b∈{１，３}，函数f（x）＝错误!ax２＋bx＋１．（１）求f（x）在区间（—∞，—１]上是减函数的概率；（２）从f（x）中随机抽取两个，求它们在（１，f（１））处的切线互相平行的概率．解：（１）由题意—错误!≥—１，即b≤a.而（a，b）共有C错误!·C错误!＝４种，满足b≤a的有３种，故概率为错误!.（２）由（１）可知，函数f（x）共有４种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．因为函数f（x）在（１，f（１））处的切线的斜率为f′（１）＝a＋b，所以这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有（２，３），（４，１）这１组满足，故概率为错误!.错误!对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率f n（A）来估计概率P（A）．对较复杂的古典概型，其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算，计算时要首先判断事件是否与顺序有关，以确定是按排列处理，还是按组合处理．易错防范（１）易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．（２）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．１．设事件A，B，已知P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（A∪B）＝错误!，则A，B之间的关系一定为（）Ａ．两个任意事件B．互斥事件Ｃ．非互斥事件D．对立事件解析：选Ｂ．因为P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!＝P（A∪B），所以A，B之间的关系一定为互斥事件．故选Ｂ．２．（２0１8·安徽“江南十校”联考）从{１，２，３，４，５}中随机选取一个数为a，从{１，２，３}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D.令选取的a，b组成实数对（a，b），则有（１，１），（１，２），（１，３），（２，１），（２，２），（２，３），（３，１），（３，２），（３，３），（４，１），（４，２），（４，３），（５，１），（５，２），（５，３）共１５种情况，其中b>a的有（１，２），（１，３），（２，３）３种情况，所以b>a 的概率为错误!＝错误!.故选Ｄ．３．（２0１8·沈阳市教学质量检测（一））将A，B，C，D这４名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有１名同学”的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．A，B，C，D４名同学排成一排有A错误!＝２４种排法．当A，C之间是B时，有２×２＝４种排法，当A，C之间是D时，有２种排法．所以所求概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．４．满足a，b∈{—１，0，１，２}，且关于x的方程ax２＋２x＋b＝0有实数解的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．满足条件的方程共有４×４＝１6个，即基本事件共有１6个．若a＝0，则b＝—１，0，１，２，此时共组成四个不同的方程，且都有实数解；若a≠0，则方程ax ２＋２x＋b＝0有实根，需Δ＝４—４ab≥0，所以ab≤１，此时（a，b）的取值为（—１，0），（—１，１），（—１，—１），（—１，２），（１，１），（１，0），（１，—１），（２，—１），（２，0），共9个．所以（a，b）的个数为４＋9＝１３．因此，所求的概率为错误!.５．（２0１8·福建省普通高中质量检查）某食品厂制作了３种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”“和谐福”“友善福”，每袋食品中随机装入一张卡片．若只有集齐３种卡片才可获奖，则购买该食品４袋，获奖的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．将３种不同的精美卡片随机放进４个食品袋中，根据分步乘法计数原理可知共有３４＝8１种不同放法，４个食品袋中３种不同的卡片都有的放法共有３×C错误!×A错误!＝３6种，根据古典概型概率公式得，能获奖的概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．6．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球，从中摸出１个球，摸出红球的概率是0．４２，摸出白球的概率是0．２8，若红球有２１个，则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为１—0．４２—0．２8＝0．３．设黑球有n个，则错误!＝错误!，故n＝１５．答案：１５7．已知小李每次打靶命中靶心的概率都为４0%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，１，２，３表示命中靶心，４，５，6，7，8，9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下２0组随机数：３２１４２１１9１9２５２7１9３２800 ４78 ５89 66３５３１２97 ３96 0２１５４6 ３88 ２３0 １１３５07 96５据此估计，小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________．解析：由题意知，在２0组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有４２１，１9１，２7１，9３２，800，５３１，共6组随机数，所以所求概率为错误!＝0．３0．答案：0．３08．如下的三行三列的方阵中有九个数a ij（i＝１，２，３；j＝１，２，３），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率为________．错误!解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C错误!＝错误!＝8４种，取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C错误!·C错误!·C错误!＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为１—错误!＝错误!.答案：错误!9．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据，如表所示．（１）求x，y的值；（２）求顾客一次购物的结算时间超过２分钟的概率．解：（１）由已知得２５＋y＋１0＝５５，x＋３0＝４５，所以x＝１５，y＝２0．（２）记A：一位顾客一次购物的结算时间超过２分钟．A１：该顾客一次购物的结算时间为２．５分钟．A２：该顾客一次购物的结算时间为３分钟．将频率视为概率可得P（A）＝P（A１）＋P（A２）＝错误!＋错误!＝0．３，所以一位顾客一次购物的结算时间超过２分钟的概率为0．３．１0．（２0１7·高考山东卷）某旅游爱好者计划从３个亚洲国家A１，A２，A３和３个欧洲国家B１，B，B３中选择２个国家去旅游．２（１）若从这6个国家中任选２个，求这２个国家都是亚洲国家的概率；（２）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选１个，求这２个国家包括A１但不包括B１的概率．解：（１）由题意知，从6个国家中任选２个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A１，A２}，{A１，A３}，{A２，A３}，{A１，B１}，{A１，B２}，{A１，B３}，{A２，B１}，{A２，B２}，{A，B３}，{A３，B１}，{A３，B２}，{A３，B３}，{B１，B２}，{B１，B３}，{B２，B３}，共１５个．２所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A１，A２}，{A１，A３}，{A２，A３}，共３个．则所求事件的概率为：P＝错误!＝错误!.（２）从亚洲国家和欧洲国家中各任选１个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A１，B１}，{A１，B２}，{A１，B３}，{A２，B１}，{A２，B２}，{A２，B３}，{A３，B１}，{A３，B２}，{A，B３}，共9个．３包括A１但不包括B１的事件所包含的基本事件有：{A１，B２}，{A１，B３}，共２个，则所求事件的概率为：P＝错误!.１．从１到１0这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．不妨设取出的三个数为x，y，z（x<y<z），要满足x＋y＝z，共有２0种结果，从十个数中取三个数共有C错误!种结果，故所求概率为错误!＝错误!.２．已知函数f（x）＝log a x—３log a２，a∈{错误!，错误!，２，４，５，8，9}，则f（３a＋２）>f （２a）>0的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．因为a∈{错误!，错误!，２，４，５，8，9}，所以３a＋２>２a，又f（３a＋２）>f（２a）>0，所以函数f（x）为单调递增函数．因为f（x）＝log a x—３log a２＝log a错误!，所以a>１，又f（２a）>0，所以log a错误!>0，所以错误!>１，即a>４，则f（３a＋２）>f（２a）>0的概率P＝错误!.故选Ｂ．３．某同学同时掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线错误!—错误!＝１的离心率e>错误!的概率是________．解析：由e＝错误!>错误!，得b>２a.当a＝１时，b＝３，４，５，6四种情况；当a＝２时，b＝５，6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数（a，b）共有３6种结果．所以所求事件的概率P＝错误!＝错误!.答案：错误!４．连续抛掷同一颗均匀的骰子，记第i次得到的向上一面的点数为a i，若存在正整数k，使a１＋a＋…＋a k＝6，则称k为幸运数字，则幸运数字为３的概率是________．２解析：连续抛掷同一颗均匀的骰子３次，所含基本事件总数n＝6×6×6，要使a１＋a２＋a３＝6，则a，a２，a３可取１，２，３或１，１，４或２，２，２三种情况，其所含的基本事件个数m＝A错误!＋１C错误!＋１＝１0．故幸运数字为３的概率为P＝错误!＝错误!.答案：错误!５．已知8支球队中有３支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A，B两组，每组４支，求：（１）A，B两组中有一组恰好有２支弱队的概率；（２）A组中至少有２支弱队的概率．解：（１）法一：３支弱队在同一组中的概率为错误!×２＝错误!，故有一组恰好有２支弱队的概率为１—错误!＝错误!.法二：A组恰有２支弱队的概率为错误!，B组恰好有２支弱队的概率为错误!，所以有一组恰好有２支弱队的概率为错误!＋错误!＝错误!.（２）法一：A组中至少有２支弱队的概率为错误!＋错误!＝错误!.法二：A，B两组有一组中至少有２支弱队的概率为１（因为此事件为必然事件）．由于对A组和B 组而言，至少有２支弱队的概率是相同的，所以A组中至少有２支弱队的概率为错误!.6．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（１）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（２）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（３）求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．解：（１）记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E A，那么P（E A）＝错误!＝错误!，即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是错误!.（２）记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，那么P（E）＝错误!＝错误!，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P（错误!）＝１—P（E）＝错误!.（３）有两人同时参加A岗位服务的概率P２＝错误!＝错误!，所以仅有一人参加A岗位服务的概率P＝１—P２＝错误!.１。
2018版高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 12.1 随机事件的概率教师用书 理
第十二章 概率、随机变量及其分布 12.1 随机事件的概率教师用书理 新人教版1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P (A )． 2．事件的关系与运算3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(5)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( √ ) (6)两互斥事件的概率和为1.( × )1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 答案 D解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b >a 的有3种，所以b >a 的概率为315＝15.2．(教材改编)将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( ) A ．必然事件 B ．随机事件 C ．不可能事件 D ．无法确定答案 B解析 抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，正面向上5次是随机事件．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8 答案 B解析 因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B.4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3 C．0.6 D．0.9答案 A解析依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________．答案②解析①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一事件关系的判断例1 (1)从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④ C．③ D．①③(2)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡答案(1)C (2)A (3)A解析(1)③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．(2)若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．思维升华(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念①互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了四组事件：①至少有1个白球与至少有1个黄球；②至少有1个黄球与都是黄球；③恰有1个白球与恰有1个黄球；④恰有1个白球与都是黄球．其中互斥而不对立的事件共有( )A．0组 B．1组 C．2组 D．3组答案 B解析①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生，如恰好1个白球和1个黄球，①中的两个事件不是互斥事件．②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球，则两个事件不互斥．③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都是指有1个白球和1个黄球，因此两个事件是同一事件．④中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选B.题型二随机事件的频率与概率例2 (2016·全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P (A )的估计值； (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值．解 (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a . 思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． (2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．(2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二 设红球有n 个，则n12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A ，B ，C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.方法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.25．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解． 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]1．(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( ) A.56 B.25 C.16 D.13答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56. 2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为( ) A ．① B．② C．③ D．④ 答案 B解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．∴②中两事件是对立事件．3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17 B.1235 C.1735 D ．1 答案 C解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735. 4．(2016·襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A ．互斥但非对立事件 B ．对立事件 C ．相互独立事件 D ．以上都不对答案 A解析 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选A.5．(2016·蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，那么重量不小于30克的概率为( ) A ．0.8 B ．0.5 C ．0.7 D ．0.3 答案 C解析 由互斥事件概率公式知重量大于40克的概率为1－0.3－0.5＝0.2， 又∵0.5＋0.2＝0.7，∴重量不小于30克的概率为0.7.6．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.9．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P A ，0<P B，P A ＋P B⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43.10．一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________． 答案 0.2解析 记事件A ，B ，C 分别是摸出红球，白球和黑球，则A ，B ，C 互为互斥事件且P (A ＋B )＝0.58，P (A ＋C )＝0.62，所以P (C )＝1－P (A ＋B )＝0.42，P (B )＝1－P (A ＋C )＝0.38，P (A )＝1－P (C )－P (B )＝1－0.38－0.42＝0.2.11．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12. 由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.12．(2016·北京)A ，B ，C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：(1)试估计C 班的学生人数；(2)从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取1人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从A ，B ，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位：小时)．这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．(结论不要求证明) 解 (1)由题意及分层抽样可知，C 班学生人数约为 100×85＋7＋8＝100×820＝40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”，i ＝1,2，…，5， 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”，j ＝1,2，…，8. 由题意可知P (A i )＝15，i ＝1,2，…，5；P (C j )＝18，j ＝1,2， (8)P (A i C j )＝P (A i )P (C j )＝15×18＝140，i ＝1,2，...，5，j ＝1，2， (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，E ＝A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4.因此P (E )＝P (A 1C 1)＋P (A 1C 2)＋P (A 2C 1)＋P (A 2C 2)＋P (A 2C 3)＋P (A 3C 1)＋P (A 3C 2)＋P (A 3C 3)＋P (A 4C 1)＋P (A 4C 2)＋P (A 4C 3)＋P (A 5C 1)＋P (A 5C 2)＋P (A 5C 3)＋P (A 5C 4)＝15×140＝38.(3)μ1＜μ0.*13.一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率． 解 方法一 (利用互斥事件求概率) 记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.。
2020届高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.1随机事件、古典概型和几何概型课件理
由题意可知依次抽取两次的基本事件总数n=9×8=72,抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的基
本事件个数m= C15
C14
A22
=40,所以所求概率P= m = 40 = 5 .故选C.
n 72 9
2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同
学中至少有1名女同学的概率是
共有30个,故所求概率P= 30 = 5 .
36 6
3.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一
次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为
.
答案 5
6
解析 记两只黄球为黄A与黄B,从而所有的摸球结果为(白,红),(红,黄A),(红,黄B),(白,黄A),(白,
2.(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥
德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数
中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
12
14
15
18
4
8
2
4
答案 B 本题考查几何概型和概率的计算方法,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
设正方形的边长为2,则正方形的内切圆半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心
对称,则黑色部分的面积为 ,所以在正方形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率P= 2
2
2
2
=
,故选B.
8
3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用课件：第十二章 12.1 随机事件的概率与古典概型
内容索引
NEIRONGSUOYIN
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
1 基础知识 自主学习
PART ONE
知识梳理
ZHISHISHULI
1.概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事 nA
件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ n 为事件A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳 定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.事件的关系与运算
定义
符号表示
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时
包含关系 称事件B_包__含__事件A(或称事件A包含于事 _B_⊇__A_(或A⊆B)
件B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
_A__＝__B_
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B 并事件(和事件) 发生，称此事件为事件A与事件B的_并__事__件_ A∪B(或A＋B)
36＋25＋7＋4
最高气温不低于 20 的频率为
90
＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
命题点3 互斥事件与对立事件 例3 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球. 从中随机取出1球，求： (1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率. 解 方法一 取出1球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝152＋13＋16＝1112. 方法二 因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4， 所以 P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.
近年届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.1随机事件的概率学案(2021学年)
（全国通用）2０19届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.1 随机事件的概率学案编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(全国通用)2019届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布 1２．1 随机事件的概率学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用)2019届高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布１2.１随机事件的概率学案的全部内容。
§12.１随机事件的概率最新考纲考情考向分析1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．2.了解两个互斥事件的概率加法公式。
以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主,常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.1.概率和频率(１）在相同的条件Ｓ下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件Ａ出现的次数ｎＡ为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fｎ(A)=＼ｆ（n A,n）为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A,在相同条件下,随着试验次数的增加,事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性的大小，并把这个常数称为随机事件Ａ的概率，记作P(A).2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B）相等关系若B⊇Ａ且Ａ⊇BＡ=B并事件（和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件Ｂ的并事件(或和事件）A∪B(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件Ａ发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件Ｂ的交事件（或积事件)A∩B(或ＡB）互斥事件若A∩Ｂ为不可能事件（Ａ∩B＝∅）,则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩Ｂ为不可能事件,A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩Ｂ=∅,P(A)＋P(B)＝13。
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随机事件与概率
一、考纲要求
1．了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
2．掌握概率的统计定义及概率与频率的关系，会求一些简单的随机事件的概率．
二、基础梳理
回顾要求
1、 阅读必修三第93—99页，完成以下任务：
(1)什么叫必然事件、不可能事件、随机事件。
(2)明白频率和概率的含义以及两者之间区别和联系，
(3)掌握随机事件所对应的概率。
2、第97页的练习1：引申为若抛一枚硬币向上的概率是二分之一，是否抛两次一定有一次正面朝上。请
说明理由
3、 在教材上的空白处做以下题目：第97页的练习第1、第2题
要点解析
(1)在条件S下一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；肯定不会发生的事件，叫做相对
于条件S的不可能事件；必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．
(2) 在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．一般用大写字母A，B，
C
等表示随机事件，简称为事件．
(3)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数
n
A
为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．
(4)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，
把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．
(5) 频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，
它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似
地当作随机事件的概率．
三、诊断练习
1．教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅
部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学
生内化知识，初步形成能力．点评要简洁，要点击要害．
2．诊断练习点评
题1．给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3:1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差
10C
；③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击1次，命中靶心；⑤当x为实数时，
2
440xx
．其中，必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有 ．（课本练习3）
【分析与点评】（1）强化必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理清何为肯定发生，何为肯定不发生，
何为有可能发生．
（2）对生活实际要有常识性的了解；对基础的数学知识要有清晰的认识，以便于判断一些事件究竟是可
能、不可能还是有可能发生．
题2．下列结论正确的是________．(填序号)
① 事件A的概率为P(A)，则必有0
③ 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡的病人服
用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%；
④ 某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，一定有5张中奖．
答案：③
解析：①不正确，因为0≤P(A)≤1；若A是必然事件，则P(A)＝1，故②不正确；奖券中奖率为50%，
若某人购买此券10张，则可能会有5张中奖，所以④不正确．
题3．袋中有100个大小相同的红球、白球和黑球，从中任取一球，摸出红球、白球的概率分别是0.40和
0.35
，那么黑球共有 个．
【分析与点评】（1）本题所考查的知识点与题2相似，即概率与频率的关系及近似计算方法．
（2）从解题方法来说，本题可以用来说明一些数学思想，如分类讨论、正难则反等，并为后面即将复习
的互斥事件、对立事件作铺垫．
题4．从一篮子鸡蛋中任取1个，如果其重量小于30克的概率为0.3，重量在[30,40]克的概率为0.5，
那么重量不小于30克的概率为________．
答案为： 0.7
3．要点归纳
（1）强化必然事件、不可能事件、随机事件的理解与判断．
（2）掌握频率与概率之间的关系，掌握概率在统计意义上的求解方法．
（3）重视分类讨论、正难则反等思想方法的理解、掌握与运用．
四、范例导析
例1．一个口袋中装有5个白球与3个黑球，从中任意取出一只球．
（1）“取出的球是红球”是什么事件，它的概率是多少？
（2）“取出的球是黑球”是什么事件，它的概率是多少？
（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件，它的概率是多少？
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指定学生板演，老师巡视指导了解学情，再结合板演情况进行点
评．
【引导分析与精讲建议】
1．首先弄清是什么事件，提醒学生回忆三类事件是如何定义的．
2．提示学生随机事件的概率的求法，并分清必然事件和不可能事件的概率．
例2．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中10环次数m 8 19 44 92 178 452
击中10环频率
(1) 计算表中击中10环的各个频率；
(2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解：(1) 击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.904.
(2) 这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.
例3．当使用一仪器去测量一个高为70单位长度的建筑物50次时，所得资料为
测量值 68 69 70 71 72
次数 5 15 10 15 5
（1）求测量50次的平均值；
（2）若再用此仪器测量该建筑物一次，求测得资料为70的概率．
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指定学生板演，老师巡视指导了解学情，再结合板演情况进行点
评．在进行第（2）题的教学时，可以让学生讨论解决，最后教师进行点评．
【引导分析与精讲建议】
1．注意平均值的计算公式，如何计算这种相对复杂的数据的平均值．
2．充分理解试验的频率和事件的概率之间的关系，在本题中尤其要注意两者之间的区别．
五、解题反思
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其概率的求解方法．如诊断练习1和例1．
2．正确理解事件A出现的频率的意义；正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率()nfA与事
件A发生的概率()PA的区别与联系．如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，
我们可以将事件A发生的频率mn作为事件A发生的概率的近似值，即()mPAn．如例2．
3．频率与概率之间的联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，随着试验次数的增加，频率会
在概率附近波动并趋于稳定．
频率与概率之间的区别：频率具有随机性，在试验之前不能确定，随着试验次数的变化而变化；而概
率是客观存在的，与试验次数无关，如例3．由于概率的客观存在性，与试验次数无关，因此，即使是只
做了一次试验，其发生的概率依然是不会变化的．