2020届新疆乌鲁木齐市高三第一次诊断性测试数学理试题
【精准解析】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试理科数学(问卷)+Word版含解析
2020年新疆高考数学二诊试卷（理科）（问答）一、选择题（共12小题）.1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}，则∁U A＝（）A ．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x≤﹣2或x≥4}C．{x|﹣2＜x＜4}D．{x|﹣2≤x≤4}2．设i为虚数单位，复数z满足z（1+i）3＝4i，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知α是第二象限角，且，则cosα＝（）A．B．C．D．4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品．以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如表所示．[0.5，1]（1，2]（2，3]（3，5]薪资占比岗位数据开发8%25%32%35%数据分析15%36%32%17%数据挖掘9%12%28%51%数据产品7%17%41%35%由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（）A．数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析B．数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析C．数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品D．数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发5．双曲线C：x2﹣y2＝2的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．1D．26．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB的中点，以CD为折痕，将△ABC折成直二面角A﹣CD﹣B，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．18πB．20πC．22πD．24π7．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝|lnx|B．C．D．f（x）＝3|x|8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（）A．B．C．D．9．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的．负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用．今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中k c为静电常量，x1，x2分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且|x1|和|x2|都远小于R，当|x|远小于1时，（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，则U的近似值为（）A．B．C．D．10．设，b＝log213，b＝21.5，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，有，则φ＝（）A．B．C．D．12．已知函数，，若g（x）恰好有3个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[1，2）∪[3，+∞）D．（1，2]∪[3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（）6的展开式中常数项为．（用数字作答）14．在平行四边形ABCD中，，，则．15．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，且，则cos B＝．16．已知椭圆C的焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2（1+S n），求数列的前n项和T n．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，E，F分别是AC 和AB上动点，且AE＝BF．（Ⅰ）求证：B1E⊥C1F；（Ⅱ）若AE＝2EC，求二面角A1﹣EF﹣A的平面角的余弦值．19．某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A，B，C（A，B，C的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗．患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如表所示：（表中的数据都以一个疗程计）药物A B C 单价（单位：元）6001000800治愈率85%95%90%市场使用量（单位：人）305122183（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？（Ⅱ）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望．20．已知⊙M：，直线l：，动圆P与⊙M相外切，且与直线l相切．设动圆心P的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（﹣1，0）的直线与曲线C交于A，B两点（点A在点D，B之间），点Q满足，求△ABM与△ADQ的面积之和取得最小值时直线AB的方程．21．已知f（x）＝xe x﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a的值；（Ⅱ）若a≤1，求证f（x）≥lnx+3．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将曲线C：x2+y2＝1上的点按坐标变换，得到曲线C'，M为C与x轴负半轴的交点，经过点M且倾斜角为60°的直线l与曲线C的另一个交点为N，与曲线C'的交点分别为A，B（点A在第二象限）．（Ⅰ）写出曲线C'的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）求|AN|﹣|BM|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x+4，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象只有一个公共点，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣8＞0}，则∁U A＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞4}B．{x|x≤﹣2或x≥4}C．{x|﹣2＜x＜4}D．{x|﹣2≤x≤4}【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．解：∵A＝{x|x＜﹣2或x＞4}，U＝R，∴∁U A＝{x|﹣2≤x≤4}．故选：D．2．设i为虚数单位，复数z满足z（1+i）3＝4i，则在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．解：z（1+i）3＝4i，∴z•2i（1+i）＝4i，∴z1﹣i．则在复平面内，1+i对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．3．已知α是第二象限角，且，则cosα＝（）A．B．C．D．【分析】又已知利用诱导公式可求sinα的值，结合α是第二象限角，利用同角三角函数基本关系式即可求解．解：∵sinα，又∵α是第二象限角，∴cosα．故选：A．4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品．以北京为例，2018年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如表所示．[0.5，1]（1，2]（2，3]（3，5]薪资占比岗位数据开发8%25%32%35%数据分析15%36%32%17%数据挖掘9%12%28%51%数据产品7%17%41%35%由表中数据可得各类岗位的薪资水平高低情况为（）A．数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析B．数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析C．数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品D．数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发【分析】推导出数据挖掘岗位（51%）薪资水平最高，数据分析岗位（17%）的薪资水平最低，数据产品岗位（41%）的薪资水平要高于数据开发岗位（32%）的薪资水平．解：由表格中薪资落在区间（3，5]的比例可知，数据挖掘岗位（51%）薪资水平最高，数据分析岗位（17%）的薪资水平最低，再由薪资落在区间（2，3]的比例，可知数据产品岗位（41%）的薪资水平要高于数据开发岗位（32%）的薪资水平．故选：B．5．双曲线C：x2﹣y2＝2的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△OPF的面积为（）A．B．C．1D．2【分析】求得双曲线的焦点和渐近线方程，设出P的坐标，由三角形的面积公式可得所求值．解：双曲线C：x2﹣y2＝2的右焦点为F（2，0），渐近线方程y＝±x，由|PO|＝|PF|，可设P在渐近线y＝x上，若|PO|＝|PF|，可得P（1，1），则S△OPF|OF|•|y P|2×1＝1．故选：C．6．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB的中点，以CD为折痕，将△ABC折成直二面角A﹣CD﹣B，则过A，B，C，D四点的球的表面积为（）A．18πB．20πC．22πD．24π【分析】由CD⊥AB，可得BD⊥CD，AD⊥CD．∠ADB为直二面角A﹣CD﹣B的平面角，∠ADB＝90°．设三棱锥B﹣ACD的外接球的半径为R，根据长方体的性质即可得出过A，B，C，D四点的球的半径．解：如图所示，∵CD⊥AB，∴第二个图中，BD⊥CD，AD⊥CD．∴∠ADB为直二面角A﹣CD﹣B的平面角，∠ADB＝90°．设三棱锥B﹣ACD的外接球的半径为R，∴（2R）2＝2×22，可得：4R2＝20．∴过A，B，C，D四点的球的表面积＝4πR2＝20π．故选：B．7．下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数的是（）A．f（x）＝|lnx|B．C．D．f（x）＝3|x|【分析】根据函数的奇偶性和单调性分别进行判断即可．解：A．f（x）的定义域是（0，+∞），函数关于原点不对称性，为非奇非偶函数，不满足条件．B．f（x）的定义域是[0，+∞），函数关于原点不对称性，为非奇非偶函数，不满足条件．C．f（x）的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝﹣x（x）＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，不满足条件．D．f（﹣x）＝3|﹣x|＝3|x|＝f（x），则函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）＝3x为增函数，满足条件，故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（）A．B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的最大棱长．解：根据几何体的三视图转换为几何体图形如下：该几何体为四棱锥体．所以：该几何体的最大棱长为l故选：C．9．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的．负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用．今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中k c为静电常量，x1，x2分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且|x1|和|x2|都远小于R，当|x|远小于1时，（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，则U的近似值为（）A．B．C．D．【分析】把U中的式子变形为（1+x）﹣1的形式，利用当|x|远小于1时，（1+x）﹣1≈1﹣x+x2，即可求出U的近似值．解：[1+1（）2﹣1（）2﹣1（）2]，故选：B．10．设，b＝log213，b＝21.5，则下列正确的是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a【分析】由21.5，可得a与c的大小关系．由135＞219，可得b＝log213＞3.8，即可得出b与a的大小关系．解：∵21.5，∴a＞c．∵135＞219，∴b＝log213＞3.8，∴b＞a．故选：C．11．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，有，则φ＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数关系式的平移变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：函数．把函数f（x）的图象向右平移φ个单位，得到：g（x）＝2sin（2x﹣2φ）．采用代入法，当φ时，正好满足|f（x1）﹣g（x2）|＝4的x1，x2，有，故选：C．12．已知函数，，若g（x）恰好有3个零点，则m的取值范围是（）A．[﹣2，1）B．（﹣2，1]C．[1，2）∪[3，+∞）D．（1，2]∪[3，+∞）【分析】根据m的取值范围分类讨论，确定函数g（x）的解析式，再根据零点的定义求解即可得出．解：当m＝0时，g（x）＝0即x≤0时，（x+2）e x＝0或x＞0时﹣x+3＝0，解得x＝﹣2或x＝3，不符合题意；当m＜0时，g（x）＝0即x≤m时，（x+2）e x＝0或x＞m时﹣x+3＝0，最多只有两个解，不符合题意；当m＞0时，g（x）＝0即x≤0时，（x+2）e x＝0或当0＜x≤m时，x2﹣3x+2＝0或当x＞m时，﹣x+3＝0，解得x＝﹣2，或当0＜x≤m时，x＝1或x＝2，或当x＞m时，x＝3因为函数g（x）恰好有3个零点，若零点为﹣2，1，3，则m∈[1，2），若零点为﹣2，1，2，则m∈[3，+∞）综上，m的取值范围是[1，2）∪[3，+∞）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（）6的展开式中常数项为60．（用数字作答）【分析】根据二项展开式的通项公式，求出常数项来．解：∵的展开式中，T r+1••2γ••，令30，解得r＝2；∴常数项为T2+1＝224×15＝60．故答案为：60．14．在平行四边形ABCD中，，，则﹣3．【分析】把所求问题用向量的三角形法则转化为用已知向量表示，代入求解即可．解：如图；∵平行四边形ABCD中，，，则（）•（）＝（）•（）＝（）•（2）＝（2，1）•（﹣2，1）＝（﹣2）×2+1×1＝﹣3．故答案为：﹣3．15．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为，且，则cos B＝．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，解得cos A cos C，由题意根据三角形的面积公式，正弦定理结合sin B≠0，可解得sin A sin C，进而利用三角函数恒等变换的应用可求cos B的值．解：∵，可得cos（A﹣C）+cos（A+C），∴2cos A cos C，解得cos A cos C，∵△ABC的面积为ac sin B，∴可得b2＝2ac sin2B，由正弦定理可得sin2B＝2sin A sin C sin2B，∵sin B≠0，∴解得sin A sin C，∴cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C．故答案为：．16．已知椭圆C的焦点为F1，F2，过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则椭圆C的离心率为．【分析】利用椭圆的定义可求出，|AF2|＝a＝|AF1|，再在△AF1F2和△ABF2中分别利用余弦定理，通过角A建立关于a和c的等量关系，化简后即可得解．解：由椭圆的定义可知，|BF1|+|BF2|＝2a，∴即，∴|AF1|，∵|AF1|+|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a＝|AF1|，即点A位于椭圆的上或下顶点，在△AF1F2中，由余弦定理可知，①，在△ABF2中，由余弦定理可知，②，由①②化简整理得，，∴离心率．故答案为：．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2（1+S n），求数列的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）先求数列的首项，再研究数列{a n}相邻项的关系，得出通项公式；（Ⅱ）先求S n，再求b n，然后利用裂项相消法求T n．解：（Ⅰ）∵2a n﹣S n＝1，令n＝1，解得a1＝1，n≥2，又2a n﹣1﹣S n﹣1＝1，两式相减，得a n＝2a n﹣1，∴{a n}是以a1＝1为首项，q＝2为公比的等比数列，∴；（Ⅱ）∵1+S n＝2n，∴，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，E，F分别是AC 和AB上动点，且AE＝BF．（Ⅰ）求证：B1E⊥C1F；（Ⅱ）若AE＝2EC，求二面角A1﹣EF﹣A的平面角的余弦值．【分析】以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，不妨设AB＝3，求出相关点的坐标，（Ⅰ）设AE＝n，通过证明，推出B1E⊥C1F．（Ⅱ）求出平面A1EF的法向量，平面EAF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A1﹣EF﹣A的余弦值即可．解：以点A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系，不妨设AB＝3，则A（0，0，0），B（3，0，0），C（0，3，0），A1（0，0，3），B1（3，0，3），C1（0，3，3）．（Ⅰ）设AE＝n，则E（0，n，0），F（3﹣n，0，0），∴，，∵，∴即B1E⊥C1F．（Ⅱ）由AE＝2EC，得E（0，2，0），F（1，0，0），∴，，，设平面AEF的法向量，∵，，由，得，令y＝3，得x＝6，z＝2，∴，∵A1A⊥平面EAF，∴平面EAF的法向量，∴．所以二面角A1﹣EF﹣A的余弦值为．19．某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A，B，C（A，B，C的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗．患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如表所示：（表中的数据都以一个疗程计）药物A B C 单价（单位：元）6001000800治愈率85%95%90%市场使用量（单位：人）305122183（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？（Ⅱ）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望．【分析】（Ⅰ）利用已知条件，直接求解一个疗程被治愈的概率．（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率，治疗费是1000元的概率，治疗费是800元的概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（Ⅰ）；（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为，治疗费是1000元的概率为；治疗费是800元的概率为；分布列为X6001000800P0.50.20.3 EX＝600×0.5+1000×0.2+800×0.3＝740元．20．已知⊙M：，直线l：，动圆P与⊙M相外切，且与直线l相切．设动圆心P的轨迹为C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（﹣1，0）的直线与曲线C交于A，B两点（点A在点D，B之间），点Q满足，求△ABM与△ADQ的面积之和取得最小值时直线AB的方程．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），根据题意有，推出结果．（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，且不为零，其方程为y＝kx+k，设A（x1，y1），B（x2，y2），，推出y Q＝4y1，A（x1，y1），B（x2，y2）满足，利用韦达定理，结合S△ABM+S△ADQ＝S△QDM+S△BDM﹣2S△ADM，转化求解即可．解：（Ⅰ）设P（x，y），根据题意有，化简后，得y2＝4x．（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，且不为零，其方程为y＝kx+k，设A（x1，y1），B（x2，y2），，即（x1﹣x Q，y1﹣y Q）＝3（1﹣x1，0﹣y1），∴y Q＝4y1，A（x1，y1），B（x2，y2）满足，消去x，得ky2﹣4y+4k＝0，y1y2＝4，S△ABM+S△ADQ＝S△QDM+S△BDM﹣2S△ADM＝|y Q|+|y2|＝2|y1|＝4|y1|+|y2|＝2|y1|．当且仅当，即或时，△ABM与△ADQ的面积之和最小，最小值为．时，，，直线l的方程为；时，，，直线l的方程为．∴△ABM与△ADQ的面积之和最小值直线l的方程为或．21．已知f（x）＝xe x﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a的值；（Ⅱ）若a≤1，求证f（x）≥lnx+3．【分析】（Ⅰ）由f'（0）＝1﹣a及f（0）＝2可求得曲线y＝f（x）在x＝0处切线方程为y＝（1﹣a）x+2，由切线与坐标轴围成的图形面积为4，即可求得实数a的值；（Ⅱ）令g（x）＝xe x﹣x﹣lnx﹣1（x＞0），则，设g'（x）的零点为x0，可求得g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0＝0，从而可证得a≤1时，f（x）≥lnx+3总成立．解：（Ⅰ）由f'（x）＝（x+1）e x﹣a，∴f'（0）＝1﹣a，又f（0）＝2，∴切线方程为y＝（1﹣a）x+2，（a≠1）．当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x，由于y＝f（x）在x＝0处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，则，解得，或；（Ⅱ）证明：由f（x）﹣lnx﹣3＝xe x﹣ax﹣lnx﹣1，可知x＞0，又当a≤1时，x•e x﹣ax﹣lnx﹣1≥x•e x﹣x﹣lnx﹣1，令g（x）＝xe x﹣x﹣lnx﹣1（x＞0），则，设g'（x）的零点为x0，则，即且lnx0＝﹣x0，g（x）在（0，x0）上递减，（x0，+∞）上递增，∴g（x）min＝g（x0）＝﹣x0﹣lnx0＝0，∴x＞0时，g（x）≥0恒成立，从而f（x）﹣lnx﹣3≥0恒成立，∴a≤1时，f（x）≥lnx+3总成立．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，将曲线C：x2+y2＝1上的点按坐标变换，得到曲线C'，M为C与x轴负半轴的交点，经过点M且倾斜角为60°的直线l与曲线C的另一个交点为N，与曲线C'的交点分别为A，B（点A在第二象限）．（Ⅰ）写出曲线C'的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）求|AN|﹣|BM|的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）由题得代入C的方程x2+y2＝1得C'：，即C'的方程为，l的参数方程为（t为参数）；（Ⅱ）M（﹣1，0），|MN|＝1，将（t为参数）代入，整理得13t2﹣4t﹣12＝0，设t1，t2为方程的两个根，则，，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）设函数g（x）＝﹣x+4，若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象只有一个公共点，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，然后由f（x）≥0得到|x+1|≥|2x﹣1|，两边平方求出解集；（Ⅱ）由条件知，y＝|x+a|与y＝|2x﹣1|+x+4的图象只有一个交点，然后画出图象这两个函数的图象，结合图象得到a的范围．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，∵f（x）≥0，∴|x+1|≥|2x﹣1|，两边平方，得3x2﹣6x≤0，∴0≤x≤2，∴f（x）≥0的解集为[0，2]；（Ⅱ）由题意知，方程|x+a|﹣|2x﹣1|＝x+4只有一个实根，即y＝|x+a|与y＝|2x﹣1|+x+4的图象只有一个交点，∵y＝|2x﹣1|+x+4，而y＝|x+a|的图象由y＝|x|向左（a＞0）或向右（a＜0）平移了|a|个单位，结合图象可知，它们只有一个公共点，则a＞3或a＝﹣4，∴a的取值范围为{﹣4}∪（3，+∞）．。
新疆乌鲁木齐市2020届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)
新疆乌鲁木齐市2020届高三数学第二次诊断性测试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．【详解】，则，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.设是虚数单位，则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算以及的运算性质化简求值即可．【详解】，故选A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.执行如图所示程序框图的输出结果是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，∴，∴，，则，故选B．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，于，，，可得，，，解得，，所以所求椭圆方程为：，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．【详解】，排除C，D；，排除B，故选A．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果．【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以，由于，故：时，取最大值．故：，解得：，即，由于，故的最小值为，故选D．【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A. 点到的距离为B. 三棱锥的体积是C.与平面所成的角是D.与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；对于B，三棱锥的体积是，故B错误；对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为：150．【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，，解得，则，所以所求的双曲线方程为：，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15.已知，，则__________．【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tan A变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．【详解】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin（），∴cos（），∴tan（）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f （x）的最大值为．【详解】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k PA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，已知，，(1)若，求；(2)求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴；（2），当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师教学绩效考核成绩的期望值，比较即可；（Ⅱ）可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核成绩的分布列为：；第二学期的数据为：44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，∴赵老师的教学绩效考核成绩的分布列为：，∴，所以，王老师的教学绩效考核成绩的期望值较大；（Ⅱ）由题意得：，∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.【点睛】本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1)求抛物线的方程；(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：；（Ⅱ）由，可设：，与联立得：，设，，则，∴，由，，∴，，∴：，即，与联立得，∴，∴点到直线的距离，∴，∴当（即轴），取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；（Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.【详解】（Ⅰ），，，令，，①当，即时，恒成立，∴，∴在上单调递增；②当，即或时，有两个实数根，，若，则，∴，∴当时，，；当时，，，∴上单调递减；在上单调递增，若，则，∴，当或时，，；当时，，，∴在，上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ），令，由，，得，，∴，∴或（舍去），∴，令，，，∴在上单调递减，∴，且当时，，也取得最小值，∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为 (为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）直线：，即，斜率，倾斜角，∵点满足此方程，∴点在直线上；（Ⅱ）曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号，∴.【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若函数的最大值是3，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）代入，值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【详解】（Ⅰ）∵当，时，，∴的解集为；（Ⅱ）∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
【数学】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试试题(文)
新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，{}2|280A x x x =-->，则UA（ ）A. {4x x >或}2x <-B. {2x x ≤-或}4x ≥ C. {}|24x x -<< D. {}|24x x -≤≤【答案】D【解析】因为不等式2280x x -->的解集为{4x x >或}2x <-， 所以集合A ={4x x >或}2x <-， 由补集的定义可知，UA ={}|24x x -≤≤.故选：D.2.设i 为虚数单位，复数z 满足()i 25z -=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因为()i 25z -=，所以()()()5i 252i i 2i 2i 2z +===----+， 由共轭复数的定义知，2i z =-+，由复数的几何意义可知，z 在复平面对应的点为()2,1-，位于第二象限. 故选：B.3.已知α是第二象限角，且31cos 24απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A. B. 14-C.14D.【答案】A【解析】因为31cos 24απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式可得，1sin 4α=，因为22sin cos 1αα+=，α是第二象限角，所以cos 4α===-. 故选：A.4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示： 薪资岗位 由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（ ） A. 数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 B. 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 C. 数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 D. 数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发 【答案】B【解析】由表中的数据可知，数据开发岗位的平均薪资为 1.50.08 2.50.25 3.50.32 4.50.35 3.44⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据分析岗位的平均薪资为1.50.15 2.50.36 3.50.32 4.50.17 3.01⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据挖掘岗位的平均薪资为1.50.09 2.50.12 3.50.28 4.50.51 3.71⨯+⨯+⨯+⨯=（万元）， 数据产品岗位的平均薪资为1.50.07 2.50.17 3.50.41 4.50.35 3.54⨯+⨯+⨯+⨯=（万元），因为3.71 3.54 3.44 3.01>>>，所以该市各类岗位的薪资水平高低情况为： 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析. 故选：B.5.双曲线22 C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =，则∆=OPF S ( )A.14B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】因为双曲线方程为22C:2x y -=， 所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ，因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限； 又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形， 所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ， 所以112∆=⋅=OPF p S OF y . 故选C.6.已知ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，且4AB =，以CD 为折痕，将ABC 折成直二面角A CD B --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A. 9πB. 12πC. 15πD. 18π【答案】B【解析】以CD 为折痕，将ABC 折成直二面角A CD B --，得到如图所示的三棱锥A BCD -，在三棱锥A BCD -中，,,AD BD AD DC CD BD ⊥⊥⊥， 因为4AB =，AD CD BD ==，所以AD CD BD ==2=为正方体相邻的三条棱， 所以过A ，B ，C ，D 四点的球即为正方体的外接球， 其直径为正方体的体对角线，即()22222R AD BD DC =++, 所以2222422212R =++=，由球的表面积公式可得，2=41212S R ππ=⨯=π球. 故选：B.7.下列函数是偶函数，且在()0,∞+上是增函数的是（ ） A. ()ln f x x = B. ()12f x x =C. ()1f x x x=- D. ()3xf x =【答案】D【解析】对于选项A ：因为()ln f x x =，所以其定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数()ln f x x =为非奇非偶函数，故选项A 排除；对于选项B ：因为()12f x x ==[)0,+∞，不关于原点对称，所以函数()12f x x=为非奇非偶函数，故选项B 排除；对于选项C ：因为()1f x x x=-，所以其定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 因为()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以函数()1f x x x =-为奇函数， 故选项C 排除；对于选项D ：因为()3xf x =，所以其定义域为R 关于原点对称，因为()()33xxf x f x --===，所以函数()3x f x =为R 上的偶函数，又当0x >时，()3xf x =，又因为指数函数3xy =为R 上的增函数，所以函数()3xf x =为()0,∞+上的增函数，故选项D 符合题意.故选：D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 2C.D.【答案】B2的矩形，如图所示：由四棱锥的体积公式可得，112233V Sh ===. 故选：B.9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111c U k q R R x x R x R x ⎛⎫=+--⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A. 21232c k q x x RB. 21232c k q x x R -C. 2123c k q x x RD. 2123c k q x x R- 【答案】B【解析】根据题意，221121111cU k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭ 21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪+-- ⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R≈-， 故选：B.10.设a =，2log 13b =， 1.52c =，则下列正确的是（ ） A. c b a << B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】C【解析】由题意知， 1.52c ==y =[)0,+∞上单调递增，>a c >；令()()2log 0f x x x =>，则()1ln 2f x x '==()0f x '=时，22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，因为23ln 2ln e =>=2ln 23>，229ln 2⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()()21316log 160f f >==，即2log 13>b a >， 综上可知，c a b <<. 故选：C11.将函数()sin 23f x x ⎛⎫=+⎝π⎪⎭的图象向右平移02ϕϕπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B【解析】由题意知，函数()sin 223g x x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 所以()()1212sin 2sin 22233f x g x x x ϕ⎛⎫⎛⎫-=+--+= ⎪π ⎪⎝⎭⎝⎭π， 因为11sin 213x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，21sin 2213x ϕ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭π， 所以12sin 213sin 2213x x ϕ⎧π⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨π⎛⎫⎪-+=- ⎪⎪⎝⎭⎩或12sin 213sin 2213x x ϕ⎧π⎛⎫+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨π⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，所以11122222,32222,32x k k x k k ϕππ⎧+=+π∈⎪⎪⎨ππ⎪-+=-+π∈⎪⎩Z Z 或11122222,32222,32x k k x k k ϕππ⎧+=-+π∈⎪⎪⎨ππ⎪-+=+π∈⎪⎩Z Z ，所以()()1212122222,x x k k k k ϕπ-+=±+--π∈Z ， 所以()()121212,2x x k k k k ϕ-=±-+--ππ∈Z ， 因为02ϕ<<π， 可得12min 23x x ϕ-=-=ππ，所以6π=ϕ.故选：B.12.已知函数()232,3,x x x mf x x x m⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()f x 恰好有2个零点，则m 的取值范围是（ ） A. (]2,3 B. [)2,3C. [)[)1,23,+∞ D. (][)1,23,+∞【答案】C【解析】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==， 所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如图所示：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：当3m ≥时，函数()f x 恰 有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.故选：C第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.从3个不同奇数，2个不同偶数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数的概率为______. 【答案】25【解析】】记事件A =“从五个不同的数中随机抽取两个数，这两个数之和是偶数”, 由题意知，从五个不同的数中随机抽取两个数包含总的基本事件数为25C ， 若抽取的两个数为偶数，则这两个数都为奇数或者都为偶数，若这两个数都为奇数，则有23C 种选择；若这两个数都为偶数，则有22C 种选择，由分类加法计数原理可得，事件A 包含的基本事件数为23C +22C ，由古典概型概率计算公式可得，()22322525C C P A C +==. 故答案为：2514.在ABCD 中，()0,2AD =，()2,3AC =，则AB BD ⋅=______. 【答案】3-【解析】如图，在ABCD 中，AD BC =，由平面向量加法的三角形法则知，AC AB BC =+， 即AB AC BC =-，所以()2,1AB =，又BD AD AB =-，()0,2AD =，所以()2,1BD =-， 由平面向量的数量积的坐标表示知，AB BD ⋅=()22113⨯-+⨯=-.故答案为：3-15.设ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为24sin bB，且1cos cos 3A C =，则cosB =______. 【答案】16【解析】因为1sin 2ABCS ac B =△，又24sin ABCb S B=， 所以21sin 24sin b ac B B=，即222sin ac B b =，由正弦定理可得，24sin sin ac R A C =，2224sin b R B =，所以22228sin sin sin 4sin R A C B R B =， 即1sin sin 2A C =，因为1cos cos 3A C =， 所以()111cos cos cos sin sin 326A C A C AB +=-=-=-， 又()B A C π=-+，所以()()1cos cos cos 6B AC A C π=-+=-+=⎡⎤⎣⎦. 故答案：1616.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.【解析】根据题意，作图如下：设1BF x =，则122,3AFx BF AB x ===，由椭圆的定义知， 122AF AF a +=，12342BF BF x x x a +=+==，因为12AF x =，所以22AF x =，在2ABF 中，由余弦定理可得，2222222cos 2AB BF AF ABF AB BF +-∠=⋅()()()22233272339x x x x x+-==⋅⋅，在12BF F △中，由余弦定理可得，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅⋅∠，即()2221273239F F x x x x =+-⋅⋅⋅，解得123F F x =，所以24,23a x c x ==，所以椭圆离心率32xc e ax ===三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足*21()n n a S n -=∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()2log 1n n b S =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .解：（Ⅰ）21n n a S -=，令1n =，解得11a =，2n ≥，1121n n a S ---=，两式相减，得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，2q 为公比的等比数列， 所以数列{}n a 的通项公式为12n n a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n na ，21n n S a =-，所以21nn S =-，即()22log 1log 2nn n b S n =+==，∴1111111111223(1)2231n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，E ，F 分别是AC 和AB 上动点，且AE BF =.（Ⅰ）若E 与C 重合，求证：11B E C F ⊥；的（Ⅱ）若1AE EC ==，求点1B 到平面1A EF 的距离. （Ⅰ）证明：当E 与C 重合时，∵AE BF =， ∴F 与A 重合，要证11B E C F ⊥，即要证11B C C A ⊥.∵90BAC ∠=︒，∴11190B AC ∠=︒，即1111B A AC ⊥，又111B A A A ⊥，1111A A AC A ⋂=，∴11B A ⊥平面11A ACC ，∴111B A AC ⊥， 又正方形11A ACC 中，11C A A C ⊥，1111A CA B A =，∴1C A ⊥平面11A B C ，∴11C A B C ⊥，即11B E C F ⊥；（Ⅱ）解：∵1A A ⊥平面ABC ，∴1190A AE A AF ∠=∠=︒，∵1AE EC ==，∴12A A =，∴11A E A F ==，在Rt EAF中，EF =113222A FE S ==△，1112222A B F S =⨯⨯=△，设点1B 到平面1A EF 的距离为h ，由1111B A EF E A B F V V --=，得1111133A EF AB F h S EA S ⋅⋅=⋅⋅△△，1EA =，∴43h =，即点1B 到平面1A EF 的距离为43.19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A ，B ，C （A ，B ，C 的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）药物（Ⅰ）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？ （Ⅱ）试估算每名感染患者在一个疗程的药物治疗费用平均是多少.解：（Ⅰ）30585%12295%18390%0.885305122183⨯+⨯+⨯=++；（Ⅱ）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为3050.5305122183=++，治疗费是1000元的概率为1220.2305122183=++；治疗费是800元的概率为1830.3305122183=++； 药物治疗费用平均为：6000.510000.28000.3740⨯+⨯+⨯=元. 20.已知抛物线C ：()220y px p =>上一点()m,2到其焦点F 的距离为2.（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程；（Ⅱ）设抛物线C 的准线与x 轴交于点P ，直线l 过点P 且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在点P ，B 之间），点Q 满足3QA AF =，求ABF 与APQ 的面积之和取得最小值时直线l 的方程.解：（Ⅰ）22y px =的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意有422pm =⎧=，解得12m p =⎧⎨=⎩， 所以，抛物线C 的标准方程为24y x =.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线C 的标准方程为24y x =，其准线方程为：1x =-， 所以点()1,0P -易知直线l 的斜率存在，且不为零，其方程为y kx k =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，因为3QA AF =，即()()1111,31,0Q Q x x y y x y -=---， ∴14Q y y =，联立方程24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440ky y k -+=，124y y ，根据题意，作图如下：2ABF APQ PQF PBF APF S S S S S +=+-△△△△△211112222222Q y y y =⨯+⨯-⨯⨯21121242Q y y y y y y =+-=+-122y y =+≥==.当且仅当122142y y y y =⎧⎨=⎩，即12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ABF 与APQ的面积之和最小，最小值为1y 时，211142y x ==，12A ⎛ ⎝，直线l的方程为y =1y =211142y x ==，1,2A ⎛ ⎝，直线l的方程为y x = ∴ABF 与APQ 的面积之和最小值时直线l的方程为33y x =+或33y x =--. 21.已知()()20xf x xe ax a =-+>.（Ⅰ）若曲线()y f x =在0x =处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a 的值； （Ⅱ）若1a =，求证()ln 3f x x ≥+.解：（Ⅰ）由()()'1e xf x x a =+-，∴()'01f a =-，又()02f =，∴切线方程为()12y a x =-+，令0,2,x y == 由题意知，10a -≠ 20,1y x a ==-， 则241A S a ==-，解得12a =或32a =； （Ⅱ）令()()e ln 10xg x x x x x =--->， 则()()1'1e xg x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，设()'g x 的零点为0x ， 则01e 0x x -=，即001e x x =且00ln x x =-， 因为函数e 1xy x=-为()0,∞+上的增函数，所以当00x x <<时，()0g x '<；当0x x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()00,x 上递减，()0,x +∞上递增， ∴()()000min ln 0g x g x x x ==--=，∴0x >时，()0g x ≥恒成立，从而()ln 30f x x =-≥恒成立， ∴()ln 3f x x ≥+总成立.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，将曲线C ：221x y +=上的点按坐标变换'2'x x y y =⎧⎨=⎩，得到曲线'C ，M 为C 与x 轴负半轴的交点，经过点M 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C 的另一个交点为N ，与曲线'C 的交点分别为A ，B （点A 在第二象限）. （Ⅰ）写出曲线'C 的普通方程及直线l 的参数方程； （Ⅱ）求AN BM -的值.解：（Ⅰ）由题得'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入C 的方程221x y +=得'C ：22''14x y +=，即'C 的方程为2214x y +=，因为曲线C ：221x y +=，令0y =，则1x =±，因为M 为C 与x 轴负半轴的交点，所以点()1,0M -， 因为直线l 的倾斜角为60︒，所以13cos 60,sin 602==， 所以l 的参数方程为1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（Ⅱ）因为()1,0M -，所以直线l 的方程为)1y x =+，因为圆C 的圆心为()0,0，半径为1，所以圆心C 到直线l 的距离为2d ==，由弦长公式可得，1MN ===，将112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2214x y +=，整理得2134120t t --=，设1t ，2t 为方程的两个根，则12413t t +=，121213t t ⋅=-， ∴1291113AN BM AM BM t t -=--=+-=-. 23.已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()4g x x =-+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）因为1a =，∴不等式()0f x ≥即为121x x +≥-，两边平方得2360x x -≤， 解得02x ≤≤，即1a =时，()0f x ≥的解集为[]0,2； （Ⅱ）由题意知，方程214x a x x +--=+只有一个实根， 即y x a =+与214y x x =-++的图象只有一个交点，因为153,221413,2x x y x x x x ⎧-≤⎪⎪=-++=⎨⎪+>⎪⎩，又y x a =+的图象由y x =向左()0a >或向右()0a <平移了a 个单位， 作图如下：由图象可知，它们只有一个公共点，则3a >或4a =-.。
2022年3月中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三毕业班高考诊断性测试数学(理)试题及答案
绝密★启用前中学生标准学术能力诊断性测试2022届高三毕业班下学期3月高考诊断性测试数学(理)试题2022年3月本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={xl(x+1)(x—1)v0},B={yly>0}，则A G(R B)=A.0B.[0，1)C.(—1，0)D.(—1，0]2.已知双曲线乂-兰=1的一条渐近线过点(2,1),则此双曲线的离心率为a2b2A.朽B.逼D.空223•若复数z满足z(1+i)=2i—1(i为虚数单位)，则下列说法正确的是A.z的虚部为3iB」z|=》1022C.z+Z=3D.z在复平面内对应的点在第二象限44.设a>0，b>0，则“9a+b W4"是“ab W—"的9A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5•已知函数f(x)的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A.f(x)=ln(l +cosx 2)B.f(x)=x •ln(1—cosx 2)2C.f(x)=ln(1+sinx 2)D.f(x)=x •ln(1—sinx 2)C.BD 丄ABD.BC 丄CD6. 为了得到函数y =sin(2x +呂)的图象，可以将函数y =cos(2x +才)的图象 A.向左平移竺个单位B.向右平移竺个单位 2424C.向左平移-个单位D.向右平移-个单位 227. 已知(ax+—)6(a>0)的展开式中含x —的系数为60，则(ax —丄)6的展开式中的常xx数项为A.—160B.160C.80D.—808.如图所示，已知四边形ABCD 是由一个等腰直角三角形ABC 和一个有一内角为30°的直角三角形ACD 拼接而成，将△ACD 绕AC 边旋转的过程中,下列结论中不9.已知随机变量Z 的分布列如下表所示，且满足E(Z )=0,则下列方差值中最大的是-1 02 P a11 b A.D (Z)B.D(IQ)C.D(2Z +1)D.D(3I Z I —2)10.已知椭圆兰+兰=1(a >b >0)的离心率为应，过左焦点F 作一条斜率为k(k>0)a 2b 23 的直线，与椭圆交于A,B 两点，满足|AF|=2|FB|,则实数k 的值为A.1B<2C.朽D.211.对任意的x 1,x 2^(1,2]，当X ]<x 2时,x 2—x 1+^ln 九<0恒成立，则实数a 的取值范围。
新疆乌鲁木齐2019-2020学年高三年级第二次诊断性测试理科数学试题(解析版)
2020年高三年级第二次诊断性测试理科数学（问卷）（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U=R ，{}2|280A x x x =-->，则U A =ð（ ）A. {4x x >或}2x <- B. {2x x ≤-或}4x ≥C.{}|24x x -<<D.{}|24x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ，再利用补集的定义求出U A ð即可.【详解】因为不等式2280x x -->的解集为{4x x >或}2x <-， 所以集合A ={4x x >或}2x <-，由补集的定义可知，U Að={}|24x x -≤≤.故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和补集的定义；考查运算求解能力；属于基础题. 2.设i 为虚数单位，复数z 满足()314z i i +=，则在复平面内，z 对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简1z i =-，故1z i =+，得到答案.【详解】()314zi i +=，则()()()()32144122111i i iiz i i i i i --====--+-+--+，故1z i =+.故对应的点位于第一象限. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3.已知α是第二象限角，且31cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A. 154-B.14- C.14D.154【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系进行化简求值即可. 【详解】因为31cos 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，由诱导公式可得，1sin 4α=，因为22sin cos 1αα+=，α是第二象限角， 所以2115cos 1sin 1164αα=--=--=-.故选：A【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；属于中档题.4.我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2019年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：由表中数据可得该市各类岗位的薪资水平高低情况为（ ） A. 数据挖掘＞数据开发＞数据产品＞数据分析 B. 数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析 C. 数据挖掘＞数据开发＞数据分析＞数据产品 D 数据挖掘＞数据产品＞数据分析＞数据开发【答案】B 【解析】 【分析】计算每个岗位的平均工资，比较得到答案.【详解】数据开发的平均工资为：1.58% 2.525% 3.532% 4.535% 3.44⨯+⨯+⨯+⨯=； 数据分析的平均工资为：1.515% 2.536% 3.532% 4.517% 3.01⨯+⨯+⨯+⨯=； 数据挖掘的平均工资为：1.59% 2.512% 3.528% 4.551% 3.71⨯+⨯+⨯+⨯=； 数据产品的平均工资为：1.57% 2.517% 3.541% 4.535% 3.54⨯+⨯+⨯+⨯=； 故数据挖掘＞数据产品＞数据开发＞数据分析. 故选：B .【点睛】本题考查了数据的平均值，意在考查学生的计算能力和应用能力.5.双曲线22 C: 2x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =，则∆=OPF S ( )A.14B.12C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程得到渐近线方程，以及右焦点坐标，再由||||PO PF =，求出P 点坐标，进而可求出三角形面积. 【详解】因为双曲线方程为22C:2x y -=， 所以其渐近线方程为y x =±，右焦点为(2,0)F ， 因为点P 为C 的一条渐近线上的点，不妨设点P 在y x =上，且点P 在第一象限；又||||PO PF =，所以∆POF 为等腰三角形， 所以点P 横坐标为1，因此(1,1)P ， 所以112∆=⋅=OPF p S OF y . 故选C【点睛】本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型. 6.已知ABC V 是边长为4的等边三角形，D 为AB 的中点，以CD 为折痕，将ABC V 折成直二面角A CDB --，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为（ ）A. 18πB. 20πC.22πD.24π【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：易知DA ，DB ，DC 两两垂直，E 为BC 中点，F 为AD 中点，故球心O 在平面BCD 的投影为E ，2225R EO DE =+=，计算表面积得到答案.【详解】如图所示：易知DA ，DB ，DC 两两垂直，E 为BC 中点，F 为AD 中点， 故球心O 在平面BCD 的投影为E ，OFAD ⊥，122DE BC ==，112OE DF AD ===， 设球半径为R ，则在Rt ODE △中：2225R EO DE =+=，故2420S R ππ==. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 7.下列函数是偶函数，且在()0,∞+上是增函数的是（ ）A. ()ln f x x =B.()12f x x=C.()1f x x x=-D. ()3xf x =【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的定义、幂函数、指数函数和对数函数的单调性进行逐项判断即可. 【详解】对于选项A ：因为()ln f x x =，所以其定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数()ln f x x=为非奇非偶函数，故选项A 排除； 对于选项B ：因为()12f x x =x =，所以其定义域为[)0,+∞，不关于原点对称，所以函数()12f x x=为非奇非偶函数，故选项B 排除；对于选项C ：因为()1f x x x=-，所以其定义域为{}0x x ≠关于原点对称， 因为()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以函数()1f x x x =-为奇函数， 故选项C 排除；对于选项D ：因为()3xf x =，所以其定义域为R 关于原点对称，因为()()33xxf x f x --===，所以函数()3x f x =为R 上的偶函数，又当0x >时，()3x f x =，又因为指数函数3x y =为R 上的增函数，所以函数()3xf x =为()0,∞+上的增函数，故选项D 符合题意.故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和幂函数、指数函数和对数函数的单调性；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体棱长的最大值为（ ）A. 5B. 6C.7 D.2【答案】C 【解析】【分析】如图所示：在长方体1111ABCD A B C D -中，N ABCD -满足三视图，计算棱长得到答案. 【详解】如图所示：在长方体1111ABCD A B C D -中，N ABCD -满足三视图. 则3ABCD ==，2AD BC ==，2NA ND ==，222117NB NC NA AA AB ==++=.故选：C .【点睛】本题考查了三视图，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能221121111cU k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中c k 为静电常量，1x ，2x 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A. 21232c k q x x RB. 21232c k q x x R-C. 2123c k q x x RD. 2123c k q x x R-【答案】B 【解析】 【分析】把U 的表达式中的分子分母同时乘以R ,然后对括号中的每个分式的分子分母同时除以R ，结合题中的数据1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，化简求解即可.【详解】根据题意，221121111cU k q R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭ 21212c k q R R R R R R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫⎪=+--⎪- ⎪++-⎝⎭， 因为1x 和2x 都远小于R ，当x 远小于1时，()1211x x x -+≈-+，所以212121111111c k q x x x x R R R R⎛⎫ ⎪+-- ⎪- ⎪++-⎝⎭222212121122221111+c k q x x x x x x x x R R R R R R R ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎛⎫≈+-+--+-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()222212121122222c x x k q x x x x x x RR R R R R R ⎡⎤--≈-++---⎢⎥⎢⎥⎣⎦21232c k q x x R≈-， 故选：B【点睛】本题考查U 的近似计算；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对U 的表达式进行适当的变形，充分运用题中的数据是求解本题的关键；属于中档题.10.设a =，2log 13b =， 1.52c =，则下列正确的是（ ） A.c b a <<B. a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】由题意知， 1.52c ==，利用幂函数y =a c >，构造函数()()2log 0f x x x =>，通过求导判断函数()f x 的单调性，利用函数()f x 判断,a b 的大小关系即可.【详解】由题意知， 1.52c ==y =[)0,+∞上单调递增，所以>a c >；令()()2log 0f x x x =>，则()122ln 22ln 2f x x x '==，所以()0f x '=时，22ln 2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当220,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>，当22,ln 2x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在220,ln 2⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增，在22,ln 2⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，因为23ln 2ln ln e =>=2ln 23>，229ln 2⎛⎫< ⎪⎝⎭， 所以()()21316log 160f f >==，即2log 13>b a >，综上可知，c a b <<. 故选：C【点睛】本题考查通过求导判断函数的单调性、利用函数的单调性比较大小；考查运算求解能力和函数与方程的思想；通过构造函数()()2log 0f x x x =>，利用函数的单调性比较,a b 的大小是求解本题的关键；属于难度较大型试题. 11.将函数()222cos 1f x x x =+-的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度后得到函数()g x 的图象，若对于满足()()124f x g x -=的1x ，2x ，有12min 6x x π-=，则ϕ=（ ）A.6π B.4π C.3πD.512π 【答案】C 【解析】 【分析】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，故12min 226T x x ππϕϕ-=-=-=，解得答案.【详解】()222cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，()2sin 226g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ，()()124f x g x -=，则12min226T x x ππϕϕ-=-=-=，故3πϕ=.故选：C .【点睛】本题考查了三角函数平移，根据函数最值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.12.已知函数()()22,032,0x x e x f x x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩，()(),3,f x x mg x x x m ⎧≤=⎨-+>⎩，若()g x 恰好有3个零点，则m 的取值范围是（ ） A. [)2,1- B. (]2,1- C.[)[)1,23,+∞UD.(][)1,23,+∞U【答案】C 【解析】 【分析】画出函数图像，如图所示，讨论3m ≥和3m <两种情况，判断分段函数的零点个数，计算得到答案. 【详解】当0x ≤时，()()2x f x x e =+，则()()'3x f x x e =+，函数在(),3-∞-上单调递减，在[]3,0-上单调递增，()313f e -=-，画出()f x 的图像，如图所示： 当3m ≥时，()()0g x f x ==在(],m -∞上有3个零点，()3g x x =-+在(),m +∞没有零点，满足； 当3m <时，()3gx x =-+在(),m +∞上有一个零点，故()()0g x f x ==在(],m -∞上有两个零点，故12m ≤<.综上所述：[)[)1,23,m ∈+∞U .故选：C .【点睛】本题考查了根据零点个数求参数，意在考查学生的计算能力，作图能力，分类讨论能力和综合应用能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项的数值为________. 【答案】60 【解析】 【分析】通过二项式展开式的通项，令x 的指数等于零，求得r 的值，从而求得常数项. 【详解】()363216622rrr r r r r T Cx C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭当3302r -=，即2r =时，常数项为226260C ⋅=,故填60. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于基础题.14.在ABCD Y 中，()0,2AD =uuu r ，()2,3AC =u u u r ，则AB BD ⋅=u u u r u u u r______.【答案】3- 【解析】 【分析】利用平面向量加减法的三角形法则和坐标表示求出,AB BD u u u r u u u r的坐标，再利用平面向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】如图，在ABCD Y 中，AD BC =u u u r u u u r，由平面向量加法的三角形法则知，ACAB BC =+u u u ru u u r u u u r，即AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r，所以()2,1AB =u u u r ，又BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，()0,2AD =uuur ，所以()2,1BD =-u u u r ， 由平面向量的数量积的坐标表示知，AB BD ⋅=u u u r u u u r()22113⨯-+⨯=-.故答案为：3-【点睛】本题平面向量加减法的三角形法则和坐标表示、平面向量数量积的坐标表示；考查运算求解能力；熟练掌握平面向量加减法的三角形法则和坐标表示是求解本题的关键；属于中档题.15.设ABC V 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的面积为24sin bB，且()2cos cos 3A CB --=，则cos B =______. 【答案】16【解析】 【分析】根据面积公式和正弦定理得到1sin sin 2A C =，利用和差公式计算得到1cos cos 3A C =，再根据()cos cosB AC =-+展开得到答案.【详解】21sin 24sin b S ac B B ==，故222sin b ac B =，即1sin sin 2A C =.()()()2cos cos cos cos 2cos cos 3A C B A C A C A C --=-++==，故1cos cos 3A C =. 故()1cos cos sin sin cos cos 6B AC A C A C =-+=-=. 故答案为：16. 【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 16.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.【答案】【解析】 【分析】根据题意作出图形，设1BF x =，则122,3AF x BF AB x ===，利用椭圆的定义求出2AF 的表达式，在2ABF V 中利用余弦定理求出cos 2ABF ∠，在12BF F △中，利用余弦定理求出12F F 的表达式，代入离心率公式求解即可.【详解】根据题意，作图如下：设1BF x =，则122,3AF x BF AB x ===，由椭圆的定义知，122AF AF a +=，12342BF BF x x x a +=+==，因为12AF x =，所以22AF x =，在2ABF V 中，由余弦定理可得，2222222cos 2AB BF AF ABF AB BF +-∠=⋅()()()22233272339x x x x x+-==⋅⋅，在12BF F △中，由余弦定理可得，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅⋅∠，即()2221273239F F x x x x =+-⋅⋅⋅，解得1243F F x =，所以4324,2a x c x ==，所以椭圆离心率23332xc e ax ===故答案为：3【点睛】本题考查椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质和余弦定理；考查数形结合的思想和运算求解能力；熟练掌握椭圆的定义和性质、椭圆中焦点三角形的性质是求解本题的关键；属于中档题.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*21()n n a S n N -=∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()2log 1nn b S =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）1nnT n =+ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由*21()n n a S n N -=∈，可得，2n ≥，1121n n a S ---=，两式相减得到12n n a a -=，利用等比数列通项公式求解即可；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可求出n S 的表达式，进而可得n b 的通项公式，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（Ⅰ）21n n a S -=，令1n =，解得11a =，2n ≥，1121n n a S ---=，两式相减，得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，2q =为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12n n a -=，21n n S a =-，所以21nn S =-，即()22log 1log 2nn n b S n =+==， ∴1111111111223(1)2231n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++. 【点睛】本题考查利用n a 与n S 的关系求数列的通项公式、等比数列通项公式和裂项相消法求和；考查运算求解能力；熟练掌握已知n a 与n S 的关系求数列通项的方法和裂项相消法求和是求解本题的关键；属于中档题. 18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，E ，F 分别是AC 和AB 上动点，且AE BF =.（1）求证：11B E C F ⊥；（2）若2AE EC =，求二面角1A EF A --的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）27【解析】 【分析】 （1）以点A 为原点，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，设AE n =，110B E C F ⋅=u u u r u u u u r，得到证明.（2）平面AEF 的法向量()16,3,2n =u r ，平面EAF 的法向量()20,0,1n =u u r，计算夹角得到答案.【详解】（1）以点A 为原点，分别以AB ，AC ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，不妨设3AB =，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()0,3,0C ，()10,0,3A ，()13,0,3B ，()10,3,3C .设AE n =，则()0,,0En ，()3,0,0F n -，∴()13,,3B E n =--u u u r ，()13,3,3C F n =---u u u u r，∵()()113,,33,3,30B E C F n n ⋅=--⋅---=u u u r u u u u r ，∴11B E C F ⊥u u u r u u u u r，即11B E C F ⊥.（2）由2AE EC =，得()0,2,0E，()1,0,0F ，∴()10,2,3A E =-u u u r ，()1,2,0EF =-u u u r ，()1,0,0AF =u u u r， 设平面AEF 的法向量()1,,n x y z =u r ，∵()10,2,3A E =-u u u r ，()1,2,0EF =-u u u r， 由11100n A E n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u vu v u u u v ，得23020y z x y -=⎧⎨-=⎩，令3y =，得6x =，2z =，∴()16,3,2n =u r ，∵1A A ⊥平面EAF ，∴平面EAF 的法向量()20,0,1n =u u r，∴12122cos 7n n n n θ⋅==⋅u r u u r ur u u r ，所以二面角1A EF A --的余弦值为27.【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 19.某流行病爆发期间，某市卫生防疫部门给出的治疗方案中推荐了三种治疗药物A ，B ，C （A ，B ，C 的使用是互斥且完备的），并且感染患者按规定都得到了药物治疗.患者在关于这三种药物的有关参数及市场调查数据如下表所示：（表中的数据都以一个疗程计）（1）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？ （2）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望. 【答案】（1）0.885（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用概率定义公式计算得到答案.（2）X 的取值有600，1000，800，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.【详解】（1）30585%12295%18390%0.885305122183⨯+⨯+⨯=++；（2）感染者在一个疗程的药物治疗费是600元的概率为3050.5305122183=++，治疗费是1000元的概率为1220.2305122183=++；治疗费是800元的概率为1830.3305122183=++； 分布列为6000.510000.28000.3740EX =⨯+⨯+⨯=元.【点睛】本题考查了概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 20.已知M e ：()22114x y -+=，直线l ：12x =-，动圆P 与M e 相外切，且与直线l 相切.设动圆心P 的轨迹为C .（1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0D-的直线与曲线C 交于A ，B 两点（点A 在点D ，B 之间），点Q 满足3QA AM =u u u r u u u u r，求ABM V 与ADQ △的面积之和取得最小值时直线AB 的方程.【答案】（1）24y x =（2）y x =+y x =【解析】 【分析】（11x =+，化简得到答案.（2）设方程为y kx k =+，设()11,Ax y ，()22,B x y ，计算14Q y y =，联立方程得到124y y =，122ABM ADQ y S y S +=+△△，利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）设(),P x y 1x =+，化简后，得24y x =.（2）易知直线AB 的斜率存在，且不为零，其方程为y kx k =+，设()11,Ax y ，()22,B x y ，3QA AM =u u u r u u u u r，即()()1111,31,0Q Q x x y y x y -=---，∴14Q y y =，()11,A x y ，()22,B x y 满足24y kx k y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440ky y k -+=，124y y =，2ABM ADQ QDM BDM ADM S S S S S +=+-△△△△△211112222222Q y y y =⨯+⨯-⨯⨯ 21121-242Q y y y y y y =+=+-122y y =+≥==.当且仅当122142y y y y =⎧⎨=⎩，即12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ABM V 与ADQ △的面积之和最小，最小值为1y 时，211142y x ==，12A ⎛ ⎝，直线l的方程为y x =+；1y =时，211142y x ==，1,2A ⎛ ⎝，直线l的方程为33y x =--. ∴ABM V 与ADQ △的面积之和最小值直线l的方程为33y x =+或33y x =--. 【点睛】本题考查了轨迹方程，三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.已知()()2x f x xe ax a R =-+∈.（1）若曲线()y f x =在0x =处的切线与坐标轴围成的图形面积为4，求实数a 的值；（2）若1a ≤，求证()ln 3f x x ≥+.【答案】（1）12a =，或32a =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()'01f a =-，()02f =得到切线方程，241A S a ==-，解得答案. （2）ln 1ln 1x x x e ax x x e x x ⋅---≥⋅---，设()()ln 10x gx xe x x x =--->，求导得到()()1'1x g x x e x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，设零点为0x ，则()()0min 0g x g x ==，得到证明.【详解】（1）由()()'1x f x x e a =+-，∴()'01f a =-，又()02f =，∴切线方程为()12y a x =-+，则241A S a ==-，解得12a =，或32a =；（2）由()ln 3ln 1x f x x xe ax x --=---，易知0x >，∴当1a ≤时，ln 1ln 1x x x e ax x x e x x ⋅---≥⋅---， 令()()ln 10x gx xe x x x =--->，则()()1'1xg x x e x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，设()'g x 的零点为0x ， 则010x ex -=，即001x x e =且00ln x x =-，()g x 在()00,x 上递减，()0,x +∞上递增， ∴()()000min ln 0gx g x x x ==--=，∴0x >时，()0g x ≥恒成立，从而()ln 30f x x =-≥恒成立，∴1a ≤时，()ln 3f x x ≥+总成立.【点睛】本题考查了函数的切线问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，将曲线C ：221x y +=上的点按坐标变换'2'x xy y=⎧⎨=⎩，得到曲线'C ，M 为C 与x 轴负半轴的交点，经过点M 且倾斜角为60︒的直线l 与曲线C 的另一个交点为N ，与曲线'C 的交点分别为A ，B （点A 在第二象限）.（Ⅰ）写出曲线'C 的普通方程及直线l 的参数方程； （Ⅱ）求AN BM -的值.【答案】（Ⅰ）2214xy +=，1122x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（Ⅱ）913- 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用伸缩变换公式，把'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入C 的方程221x y +=，化简整理即可；由曲线C 的方程求出点M 的坐标，利用倾斜角求出其余弦值和正弦值，代入直线参数方程的标准形式即可求解；（Ⅱ）利用弦长公式求出MN ,联立直线的参数方程和曲线'C 的方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义求出,AM BM ，进而求出AN BM -的值.【详解】（Ⅰ）由题得'2'x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入C 的方程221x y +=得'C ：22''14x y +=，即'C 的方程为2214x y +=，因为曲线C ：221x y +=，令0y =，则1x =±，因为M 为C 与x 轴负半轴的交点，所以点()1,0M-，因为直线l 的倾斜角为60︒，所以1cos 60,sin 6022==o o ， 所以l的参数方程为1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（Ⅱ）因为()1,0M-，所以直线l的方程为)1y x =+，因为圆C 的圆心为()0,0，半径为1，所以圆心C 到直线l 的距离为d ==，由弦长公式可得，1MN ===，将112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2214x y +=，整理得2134120t t --=，设1t ，2t 为方程的两个根，则12413t t +=，121213t t ⋅=-， ∴1291113AN BM AM BM t t -=--=+-=-. 【点睛】本题考查伸缩变换公式和、直线参数方程的标准形式、利用直线参数t 的几何意义求弦长；考查运算求解能力；熟练掌握直线参数方程中参数的几何意义是求解本题的关键；属于中档题.23.已知函数()21f x x a x =+--，a R ∈.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（Ⅱ）设函数()4gx x =-+，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一个公共点，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）[]0,2；（Ⅱ）3a >或4a =-. 【解析】 【分析】（Ⅰ）()0f x ≥等价于121x x +≥-，不等式两边同时平方得到关于x 的一元二次不等式，利用一元二次不等式解法求解即可； （Ⅱ）把方程214x a x x +--=+只有一个实数根转化为函数y x a =+与214y x x =-++的图象只有一个交点，分别作出两个函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可. 【详解】（Ⅰ）因为1a =，∴不等式()0f x ≥即为121x x +≥-，两边平方得2360x x -≤，解得02x ≤≤，即1a =时，()0f x ≥的解集为[]0,2；（Ⅱ）由题意知，方程214x a x x +--=+只有一个实根，即y x a =+与214y x x =-++的图象只有一个交点，因为153,221413,2x x y x x x x ⎧-≤⎪⎪=-++=⎨⎪+>⎪⎩，又y x a =+的图象由y x =向左()0a >或向右()0a <平移了a 个单位，作图如下：21由图象可知，它们只有一个公共点，则3a >或4a =-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用数形结合思想解决函数交点问题；考查运算求解能力和数形结合思想；熟练掌握含有两个绝对值不等式的解法是求解本题的关键；属于中档题.。
新疆乌鲁木齐市2020届高三数学第二次诊断性测试试卷 理(含解析)
2020年高三年级第二次诊断性测试理科数学（问卷）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可．【详解】，则，故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2.设是虚数单位，则复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算以及的运算性质化简求值即可．【详解】，故选A.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3.若变量满足约束条件，则的最大值是( )A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将化为，相当于直线的纵截距，由几何意义可得结果．【详解】由题意作出其平面区域，令，化为，相当于直线的纵截距，由图可知，，解得，，则的最大值是，故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.执行如图所示程序框图的输出结果是（）A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，此时，不满足条件，退出循环，输出的值为7，故选C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，，则D. 若，，，则【答案】D【解析】【分析】对于A，B选项均有可能为线在面内，故错误；对于C选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D正确.【详解】若，，则有可能在面内，故A错误；若，，有可能在面内，故B错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.6.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差，由题意可得，用首项和公差表示化为，代入即可得出．【详解】设等差数列的公差，且，，成等比数列，∴，∴，，则，故选B．【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不难发现从而可得【详解】,故选B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．8.已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的性质，根据，可得，，求解，然后推出椭圆方程．【详解】椭圆的焦点分别为，，点A，B在椭圆上，于，，，可得，，，解得，，所以所求椭圆方程为：，故选C．【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．9.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算，的值，利用函数值的对应性进行排除即可．【详解】，排除C，D；，排除B，故选A．【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.10.已知函数的最小正周期为，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先利用三角函数的周期性求出，结合题意可得当时，函数取得最大值，直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的最值得应用求出结果．【详解】函数的最小正周期为，解得：，所以，由于，故：时，取最大值．故：，解得：，即，由于，故的最小值为，故选D．【点睛】本题主要考查了正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．11.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为，设公差为，则，解得，所以该金杖的总重量，，解得，故选C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.12.如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（）A. 点到的距离为B. 三棱锥的体积是C.与平面所成的角是D.与所成的角是【答案】D【解析】【分析】根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，分别判断，即可得出结论．【详解】解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；对于B，三棱锥的体积是，故B错误；对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，故C错误；对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，故选：D【点睛】本题考查根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种．故答案为：150．【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题．14.已知是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（是坐标原点）的面积为1，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出渐近线的斜率为1，可得，根据三角形的面积为1可求出的值，然后求解双曲线方程．【详解】是双曲线的焦点，过作一条渐近线的平行线与另一条渐近线交于点，若（O是坐标原点）的面积为1，可得，，，解得，则，所以所求的双曲线方程为：，故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力，属于基础题.15.已知，，则__________．【答案】7【解析】【分析】由的范围求出的范围，根据sin（）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（）的值，进而求出tan（）的值，tan A变形为tan[（）]，利用两角和与差的正切函数公式化简，计算即可求出值．【详解】解：∵∈（，），∴∈（，π），∵sin（），∴cos（），∴tan（）＝，则tan A＝tan[（）]．故答案为：【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的正切公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．16.已知，是函数（其中常数）图象上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】先推出f（x）的图象关于直线x＝a对称，然后得出直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，再通过导数的几何意义得切线的斜率，解出a＝1，结合图象可得x＝1时，f （x）的最大值为．【详解】解：A，B是函数f（x）（其中a＞0）图象上的两个动点，当x＜a时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x，∴函数f（x）的图象关于直线x＝a对称．当点A，B分别位于分段函数的两支上，且直线PA，PB分别与函数图象相切时，•的最小值为0，设PA与f（x）＝﹣e﹣x相切于点A（x0，y0），∴f′（x）＝e﹣x，∴k AP＝f′（x0）＝e，解得x0＝a﹣1，∵•的最小值为0，∴⊥，∴k PA＝tan45°＝1，∴e1，∴x0＝0，∴a＝1，∴f（x）max．故答案为：【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为，已知，，(1)若，求；(2)求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先由正弦定理求出，进而可求得，再次利用正弦定理即可求得；（2）利用三角形面积公式结合余弦定理得，结合二次函数的性质即可得结果.【详解】（1）∵，，∴，∴，∴，∴；（2），当时，的面积有最大值.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，二次函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，且，点，分别是和的中点.（Ⅰ）求证平面；（Ⅱ）求二面角余弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线线平行证明平面平面，从而证得平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（Ⅰ）如图，取的中点，连结，，则，.∴平面平面，∴平面；（Ⅱ）以的中点为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，得，，，，得，.设平面的法向量为，则，得，同理可得平面的法向量为，∴，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题综合考查空间面面平行的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．19.某学校高二年级的第二学期，因某学科的任课教师王老师调动工作，于是更换了另一名教师赵老师继任.第二学期结束后从全学年的该门课的学生考试成绩中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示如下：学校秉持均衡发展、素质教育的办学理念，对教师的教学成绩实行绩效考核，绩效考核方案规定：每个学期的学生成绩中与其中位数相差在范围内（含）的为合格，此时相应的给教师赋分为1分；与中位数之差大于10的为优秀，此时相应的给教师赋分为2分；与中位数之差小于-10的为不合格，此时相应的给教师赋分为-1分.（Ⅰ）问王老师和赵老师的教学绩效考核成绩的期望值哪个大？（Ⅱ）是否有的把握认为“学生成绩取得优秀与更换老师有关”.附：【答案】（Ⅰ）王老师；（Ⅱ）没有.【解析】【分析】（Ⅰ）分别计算王老师和赵老师教学绩效考核成绩的期望值，比较即可；（Ⅱ）可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．【详解】（Ⅰ）第一学期的数据为：43，44，49，52，53，56，57，59，62，64，65，65，65，68，72，73，75，76，78，83，84，87，88，93，95，其“中位数”为65，优秀有8个，合格有12个，不合格有5个.∴王老师的教学绩效考核成绩的分布列为：；第二学期的数据为：44，49，52，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，81，88，88，94，其“中位数”为65，优秀有5个，合格有15个，不合格有5个，∴赵老师的教学绩效考核成绩的分布列为：，∴，所以，王老师的教学绩效考核成绩的期望值较大；（Ⅱ）由题意得：，∵，∴没有的把握认为“学生成绩优秀与更换老师有关”.【点睛】本小题主要考查独立性检验的基本思想、方法及其简单应用和概率等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识．20.已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，若与轴垂直时，.(1)求抛物线的方程；(2)如图，若点在准线上的投影为是抛物线上一点，且，求面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16.【解析】【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义求出，然后求解抛物线的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，利用韦达定理以及弦长公式，以及点到直线的距离求解三角形的面积．【详解】（Ⅰ）由轴时，，∴抛物线的方程为：；（Ⅱ）由，可设：，与联立得：，设，，则，∴，由，，∴，，∴：，即，与联立得，∴，∴点到直线的距离，∴，∴当（即轴），取最小值16.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.21.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若，且是函数的两个极值点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，对a分类讨论，解不等式即可得到结果；（Ⅱ），构造新函数，研究函数的单调性，极值与最值即可.【详解】（Ⅰ），，，令，，①当，即时，恒成立，∴，∴在上单调递增；②当，即或时，有两个实数根，，若，则，∴，∴当时，，；当时，，，∴上单调递减；在上单调递增，若，则，∴，当或时，，；当时，，，∴在，上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ），令，由，，得，，∴，∴或（舍去），∴，令，，，∴在上单调递减，∴，且当时，，也取得最小值，∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在平面直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为 (为参数).以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)判断点与直线的位置关系并说明理由；(2)设直线与曲线交于两个不同的点，求的值.【答案】（Ⅰ）点在直线上；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把直线化成直角坐标方程后，代入点的坐标看是否满足；（Ⅱ）联立直线的参数方程与曲线，利用参数的几何意义可得．【详解】（Ⅰ）直线：，即，斜率，倾斜角，∵点满足此方程，∴点在直线上；（Ⅱ）曲线的普通方程为①，直线的参数方程为（为参数）②，把②代入①得，得，，又∵，，且与异号，∴.【点睛】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程以及参数的几何意义，属于中档题.23.已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)若函数的最大值是3，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）代入，值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出，结合基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【详解】（Ⅰ）∵当，时，，∴的解集为；（Ⅱ）∵，，，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.故的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
新疆乌鲁木齐2020-2021学年高三年级第二次诊断性测试理科数学试题
所以其渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为点 为 的一条渐近线上的点，不妨设点 在 上，且点 在第一象限；
又 ，所以 为等腰三角形，
所以点 横坐标为 ，因此 ，
所以 .
故选C
【点睛】
本题主要考查双曲线中的三角形面积问题，熟记抛物线的简单性质即可，属于常考题型.
6．B
【分析】
如图所示：易知 ， ， 两两垂直， 为 中点， 为 中点，故球心 在平面 的投影为 ， ，计算表面积得到答案.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知 是第二象限角，且 ，则 （）
A． B． C． D．
4．我们正处于一个大数据飞速发展的时代，对于大数据人才的需求也越来越大，其岗位大致可分为四类：数据开发、数据分析、数据挖掘、数据产品.某市2021年这几类工作岗位的薪资（单位：万元/月）情况如下表所示：
C． D．
9．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为 ，这两个相距为 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能 ，其中 为静电常量， ， 分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且 和 都远小于 ，当 远小于1时， ，则 的近似值为（）
（1）从感染患者中任取一人，试求其一个疗程被治愈的概率大约是多少？
（2）求感染患者在一个疗程的药物治疗费用的分布列及其数学期望.
20．已知 ： ，直线 ： ，动圆 与 相外切，且与直线 相切.设动圆心 的轨迹为 .
新疆乌鲁木齐2020届高三数学第三次诊断性测验试卷(无答案) 人教版
乌鲁木齐2020年高三年级第三次诊断性测验试卷数 学 试 题（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1．本卷是文理科数学合卷，卷中注明（文科）的，理科学生不做；注明（理科）的，文科学生不做；未注明的文理科学生都要做。
2．本卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷的指定位置上。
3．答卷前先将密封线内的项目填写清楚。
4．第I 卷（选择题，共60分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
如果选用答题卡，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；如果未选用答题卡，请将所选项前的字母代号填写在答卷上。
不要答在问卷上。
5．第II 卷（非选择题，共90分），用钢笔或圆珠笔直接答在答卷中。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|0},{|0},M x x N x x x M N =>=-<I 则= （ ）A ．MB ．NC ．φD ．R2．设复数122ω=-+，则1ω的值为（ ）A ．12-- B ．12- C ．12+ D ．13．已知圆22221(2)(2)1x y x y +=-+-=与圆关于直线l 对称，则直线l 的方程是 （ ）A ．20x y +-=B ．20x y ++=C ．20x y -+=D ．20x y --=4．已知点F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过点F 1作垂直于长轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若2ABF ∆为正三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A ．13B ．3C D 5．调查某年级160根据列联表的独立性检验，则（ ）A ．有99%把握认为性别与喜爱运动有关B ．有95%把握认为性别与喜爱运动有关C ．有90%把握认为性别与喜爱运动有关D ．不能说明性别与喜爱运动有关参考公式：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中6．（文科）将函数cos()3y x =-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数的最小正周期为（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．8π（理科）将函数cos()3y x π=-的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴为 （ ）A ．9x π=B ．8x π=C ．2x π=D ．x π=7．已知直线a 、b 和平面α、β，且,,a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则是的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．实数m ，n 满足01n m <<<，则对于①23;mn=②23log log ;m n =③22m n =中可能成立的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．（文科）函数()xxf x e e -=-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数（理科）函数())f x x =是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既非奇函数又非偶函数10．已知各顶点都在同一球面上的长方体的表面积为384，所有棱长之和为112，则这个球的半径为（ ） A ．8 B ．10 C ．16 D ．20 11．已知2()|2|,0,()()f x x a b f a f b =-<<=当时，则ab 的取值范围是（ ）A ．(1-++B ．(1,C ．(0,2)D ．(14)+12．设抛物线2y x =的焦点为F ，点M 在抛物线上，延长线段MF 与直线14x =-交于点N ，则1||||MF NF 1+的值为（ ）A ．14B ．12C ．2D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
【KS5U解析】新疆乌鲁木齐2020届高三年级第二次诊断性测试理科数学试题 Word版含解析
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知， ，利用幂函数 的单调性可得， ，构造函数 ，通过求导判断函数 的单调性，利用函数 判断 的大小关系即可.
【详解】由题意知， ，因为幂函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ；令 ，
则 ，所以 时， ，
当 时， ，当 时， ，
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可求出 的表达式，进而可得 的通项公式，利用裂项相消法求和即可.
【详解】（Ⅰ） ，令 ，解得 ，
， ，两式相减，得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，
所以 ，即 ，
∴Hale Waihona Puke .【点睛】本题考查利用 与 的关系求数列的通项公式、等比数列通项公式和裂项相消法求和；考查运算求解能力；熟练掌握已知 与 的关系求数列通项的方法和裂项相消法求和是求解本题的关键；属于中档题.
2020年高三年级第二次诊断性测试
理科数学（问卷）
（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1.本卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上.
2.答卷前，先将答卷密封线内（或答题卡中的相关信息）的项目填写清楚.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
所以函数 为 上的增函数，故选项D符合题意.
故选：D
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和幂函数、指数函数和对数函数的单调性；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的图象与性质是求解本题的关键；属于中档题.
新疆2020届高三年级第三次诊断性测试数学(理)试题 含答案
A. l ⊥ m ， l ⊥ n ，且 m, n ，则 l ⊥
B. 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 / /
C. 若 m ⊥ ， m ⊥ n ，则 n / /
D. 若 m / /n ， n ⊥ ，则 m ⊥
6. 有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）
三、解答题：第 17-21 题每题 12 分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，说明过程或演算步骤.
17. 在 △ABC 中 ， 内 角 A ， B ， C 所 对 的 边 为 a ， b ， c ， 若 △ABC 的 面 积 S = 1 abc ， 且 4
bsin B − a sin A = 2sin B sin C − 2sin2 C . （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）求 △ABC 面积的最大值.
1. 设集合 A = x | x2 − x − 2 0 ， B = x | log3 x 1 ，则 A B = （ ）
A. −1, 2
B. (0,1
C. (0, 2
D. 1,3
2. 已知复数 z 满足 1+ z = −i （其中 i 是虚数单位），则 1+ z = （ 1− z
A. 1
B. 2
A. 2
B. 2
C. 7
D. 10
12.
若函数
f
( x) 满足
f
(x) =
x(
f
'( x) − ln x) ，且
f
1 e
=
1 e
，则函数
f
( x) （
）
A. 既无极大值又无极小值
B. 有极小值无极大值
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2020年高三年级第一次诊断性测试理科数学
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
1、设集合}03|{2xxxA，}41|{xxB，则BA
.A)4,0( .B ），（41 .C ），（43 .D
)3,1(
2、若复数z满足iiiz311（其中i为虚数单位），则z
.A2 .B 3 .C 10 .D
4
3、已知nm,是两条不同的直线，，,是三个不同的平面，则下列命题正确的是
.A若//,//nm，则nm// .B
若,，则//
.C
若//,//nm，且nm,，则//
.D 若nm,，且，则nm
4、设6.02a，6.0log3.0b，6.0log3c，则有
.Aabc .B cba .C acb .Dbac
5、已知向量ba，满足3,2ba，且a与b的夹角为3，则)2)(2(baba
.A3 .B 1 .C 1 .D
3
6、已知双曲线12222byax（0,0ba）的左、右焦点分别为21,FF，B为虚轴的一个端点，且
12021BFF
，则双曲线的离心率为
.A2 .B 3 .C 23 .D
2
6
7、执行如右图所示的程序框图，则输出的n
.A3 .B 4 .C 5 .D6
8、从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为
.A51 .B 52 .C 53 .D
5
4
9、等比数列}{na的前n项和为nS，且321,2,4aaa成等差数列，若11a，则5S
.A15 .B 16 .C 31 .D32
10、将奇函数)2cos(2sin3)(xxxf）（（0）的图象向右平移个单位长度后
得到函数)(xgy的图象，则下列关于)(xg的一个单调递减区间是
.A125,12 .B 12,125 .C 127,12 .D
1211,12
5
11、已知抛物线C：)0(22ppxy的焦点F，点2)66,(00pxxM是抛物线上一点，以M为
圆心的圆与直线2px交于A、B两点（A在B的上方），若75sinMFA，则抛物线C的方程为
.Axy42 .B xy82 .C xy122 .D
xy162
12、已知函数22)(xxxf00xx，，，若对任意]32,2[mmx，都有)(3)(xfmxf，则实数
m
的取值范围是
.A),4[ .B ),32[ .C ),3[ .D
),22[
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分
13、若实数yx,满足约束条件001022yyxyx，则yxz23的最大值为_______
14、已知543cos，为锐角，则sin_______
15、已知数列}{na满足：221nnnaaa11aaaann，，（*Nn），若33a，则1a____
16.如图，已知在长方体1111DCBAABCD中，AB =3,AD =4,AA1=5，点E为CC1上的一个动点，平面
BED1与棱AA1交于点F，给出下列命题：
①四棱锥B1-BED1F的体积为20；
②存在唯一的点E，使截面四边形BED1F的周长取得最小值742；
③当E点不与C，C1重合时，在棱AD上均存在点G，使得CG//平面BED1
④存在唯一一点E，使得B1D⊥平面BED1，且561CE
其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）
三、解答题：第17~21题每题12分，解答应写出文字说明、证明过计算步骤
17、△ABC的内角CBA,,的对边分别是cba,,，且baAbCcBAsin3sinsinsin
（Ⅰ）求∠C的值
（Ⅱ）若2c，求△ABC面积的最大值；
18、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AD=2BC，M为PD的中点
（Ⅰ）证明：CM//平面PAB
（Ⅱ）若△PBD是等边三角形，求二面角A-PB-M的余弦值
19、“团购”已经渗透到我们每个人的生活，这离不开快递行业的发展，下表是2013-2017年全国快
递业务量（x亿件：精确到0.1）及其增长速度（y%）的数据
（Ⅰ）试计算2012年的快递业务量；
（Ⅱ）分别将2013年，2014年，…，2017年记成年的序号t：1，2，3，4，5；现已知y与t具
有线性相关关系，试建立y关于t的回归直线方程
axby
ˆ
ˆ
ˆ
；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）问中所建立的回归直线方程，估算2019年的快递业务量
附：回归直线的斜率和截距地最小二乘法估计公式分别为：
niiniiixnxyxnyxb1
22
1
ˆ
，
xbya
ˆ
ˆ
20、已知椭圆C：)0(12222babyax过点22，，左焦点F)0,2(
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点F作于x轴不重合的直线l，l与椭圆交于A，B两点，点A在直线4x上的投影N
与点B的连线交x轴于D点，D点的横坐标0x是否为定值?若是，请求出定值；若不是，请说明理由
21、已知函数)(ln12)(2Raxaxxxf
（Ⅰ）讨论)(xf的单调性；
（Ⅱ）若方程xxf2)(有两个不相等的实数根，求证：2)(2eaaf
选考题：共10分，二选一
22、在平面直角坐标系xOy中，曲线C：0422xyx，直线l的参数方程为sincostytx（t
为参数），其中6,0，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系。
（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程和直线l的普通方程；
（Ⅱ）设)0,4(M，2C的极坐标方程sin34，A，B分别为直线l与曲线21,CC异于原点
的公共点，当30AMB时，求直线l的斜率；
23、函数322)(xxxf
（Ⅰ）求不等式52)(xxf的解集；
（Ⅱ）若)(xf的最小值为k，且实数cba,,满足kcba)(，求证：82222cba