北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习(二模)数学试题(含答案解析)
， ，故 ，
根据正弦定理： ，故 ， ，故 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了同角三角函数关系，正弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
6．C
【分析】
由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解.
【详解】
由题意 .
故选：C.
【点睛】
19．已知椭圆 ： 过 ， 两点，离心率为 .
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 交直线 于点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ，求 的值．
20．已知函数 ．
（1）求 的单调递增区间；
（2）求证：曲线 在区间 上有且只有一条斜率为2的切线．
21．在平面直角坐标系中， 为坐标原点．对任意的点 ，定义 ．任取点 ， ，记 ， ，若此时 成立，则称点 ， 相关．
②若函数 无最小值，则 的取值范围为 ；
③若 且 ，则 ，使得函数 .恰有3个零点 ， ， ，且 ．
其中，所有正确结论的序号是______．
三、双空题
15．已知点 ， ， ， ， 为坐标原点，则 =______， 与 夹角的取值范围是______．
四、解答题
16．已知 是公差为 的无穷等差数列，其前 项和为 ．又______，且 ，是否存在大于1的正整数 ，使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
18．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．
北京市丰台区2020届高三上学期期末考试数学(理)试卷Word版含解析
北京市丰台区2020届高三上学期期末考试数学（理）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.2.若复数的实部与虚部互为相反数，则实数A. 3B.C.D.3.执行如图所示的程序框图，输出的的值为A. B. C. D.4.已知等差数列中，，，若，则数列的前5项和等于（）A. 30B. 45C. 90D. 1865.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为A. 2B.C.D.6.设是非零向量，则是的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.一种画双曲线的工具如图所示，长杆通过处的铰链与固定好的短杆连接，取一条定长的细绳，一端固定在点，另一端固定在点，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆，拉紧绳子，移动笔尖（长杆绕转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若，，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为A. B. C. D.8.如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为A. B. 1 C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在极坐标系中，圆C：的圆心到点的距离为____．10.展开式中的系数为____．11.能够说明“设是任意非零实数．若，则”是假命题的一组整数．．的值依次为____．12.若满足则的最大值为____．13.动点在圆上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的值域为____．14.已知函数(1) 若，则函数的零点有____个；(2) 若存在实数，使得函数总有三个不同的零点，则实数的取值范围是____．三、解答题共6小题，共80分。
北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ）A. (2,1)-B. (0,1)C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>-故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（ ） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案. 【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误；对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2x y =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ）A. 2x -B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=rrr 若2a b -rr与c r共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=r r因为2a b -rr与c r共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m -=m =（ ）A. 14B. 12C.D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221xym-==解得：12 m=故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13B.23C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示的所以111212ABC A B C V '''-=⨯⨯⨯= 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u r r 为非零向量，则“λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r r m n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案【答案】A【解析】【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A，B两处共需向C，D两处调15个商品，这15个商品应给D处11个商品，C处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A调动11个给D，B调动1个给A，B调动4个给C，共调动16次；方案二：A调动10个给D，B调动5个给C，C调动1个给D，共调动16次；故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分x-的展开式中，3x的系数为________．（用数字作答）11.在()52【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rrr C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】 (1). 2(2). (3,±【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos23a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】 【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅， 故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题.16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______.【答案】(1).(2). 【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=.【（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题.18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ= 【解析】 【分析】(1)按照比例求解即可；(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望. 【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人.采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===.所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cossin ,222xxxf x ωωω=+其中0>ω.（1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围. 【答案】（1）π；（2）43ω≥【解析】 【分析】(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值；(2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()cossin 222xxxf x ωωω=+1cos 2xx ωω-=+11sin cos 222x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+.因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω==所以πω=.（2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-.若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥.【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PMPC的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2（3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=u u u u r u u u r，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM u u u u r ，PA u uu r 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD 因为PA ⊂平面PAD 所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB 因为PA PD = 所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD = 因为PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD 所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥= 所以//,BC OD BC OD = 所以四边形OBCD 是平行四边形 所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P -- (2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u v u u u v.设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u uv v 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩ 令1x =，则1,1y z ==.所以(1,1,1)n =r.因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r，所以cos ,n OB n OB n OB⋅==u u u v v u u u v vu u u v v 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角，所以二面角C PA D --（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r.设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==- 所以(,2,1)M λλλ--.所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r.因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I ,CD PD ⊂平面PCD 所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r是平面PCD 的一个法向量.若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r .所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．【（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB V 的面积为S，证明：S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析 【解析】【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.可得222,2c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=． 因为焦点在x 轴上，所以椭圆C的焦点为12(F F ．所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+.因为直线l 与圆O 相切，所以点O 到直线l的距离为d ==.即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140kmx x km x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩.因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+．又2266m k =+，所以232(2)0k ∆=->.所以22k >.又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OAB S AB d ∆=⋅=⨯= 设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆== 令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++ 因为()h u 在1(0,)9上单调递减， 所以()1h u <.所以OAB S ∆<【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题. 22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；（2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ．【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+. 令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）． 又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． 当'()0g x >时，01x <<；当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-.（3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++. 因为22(1)3'()x k x h x x -+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=.因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==.又因为2k <，所以120,1x x <>.取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >；所以()h x 在0(1,)x 上单调递增.所以()(1)0h x h >=.即()(1)>-f x k x .所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。
北京市海淀区2020届高三年级第二学期期末练习(二模)数学试题(解析版)
2
2a
，得到答案.
【详解】
(a
+
b)
a
=
2
2a
，则
2
a
+
a
b
=
2
2a
，即
a
b
=
2
a
，
取b =2a ，
a, b
=
3
，此时满足 (a
+
b) a
=
2
2a
，而
a
b
；
当
a
=
b
时，
(a
+
b)
a
=
2
2a
.
.故“
(a
+
b)
a
=
2
2a
”是“
a
=
b
”的必要而不充分条件.
故选：B
【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
2.下列函数中，值域为[0, +) 且为偶函数的是（ ）
A. y x2
B. y =| x −1|
C. y = cos x
D. y = ln x
【答案】A 【解析】 【分析】 由题意结合函数奇偶性与函数的值域分别进行检验，即可得解．
【详解】对于 A，由 (−x)2 = x2 可得函数 y x2 为偶函数，且 y x2 的值域为0, +) ，故 A 正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.
5.在 ABC 中，若 a = 7 ， b = 8 ， cos B = − 1 ，则 A 的大小为（ ） 7
北京市东城区2020届高三第一学期期末数学试题(word版含答案)
北京市东城区2020届第一学期末统一检测 高三数学 2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|1}A x x =≤，()(){|210}B x x x =-+<，那么A B =I (A){|12}x x -<< (B){|11}x x -<≤ (C){|12}x x <≤(D){|11}x x -<≤(2)复数z=i(i 1)-在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0+)∞，上单调递增的为 (A)1y x=(B)ln y x = (C)2xy -=(D)1y x =-(4)设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b π>π”的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是 (A)若m α⊥，m n ⊥，则 n α∥(B) 若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥ (C)若n α∥，m n ⊥，则m α⊥(D)若αβ∥，m ⊂α，n ⊂β，则m n ∥(6)从数字1,2,3,4,5中，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为 (A)7 (B) 9(C)10(D)13(7)设αβ，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若2αβπ+<，则sin sin αβ+<若2αβπ+<，则cos cos αβ+<(C)若2αβπ+>，则sin sin 1αβ+>(D)若2αβπ+>，则cos cos 1αβ+>(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论： ①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是 (A) ① (B)②③ (C) ① ② (D) ① ②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2020届高三数学5月期末练习(二模)试题文
北京市海淀区2020 届高三数学 5 月期末练习（二模）试题文本试卷共 4 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务势必答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题国要求的一项。
(1) 已知会合A x 1 x 5 ， B x 3 x 6 ，则 A I B(A)[1,3](B)[3,5](C)[5,6](D)[1,6](2) 复数z a i (i R) 的实部是虚部的 2 倍，则a的值为(A)1(B)1(C) -2(D)2 22(3) 已知双曲线x2y21(a 0) 的右极点和抛物线 y28x 的焦点重合，则 a 的值为a23(A)1(B)2(C)3(D)41a 在 (0,) 上有解，则 a 的取值范围是(4) 若对于x的方程xx(A)(0，+∞)(B)[1，+∞)(C)[2，+∞)(D)[3，+∞)(5)某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的全部棱长组成的会合为(A)2,4,2 3,6(B)2,4,2 5,4 3,6(C)2, 4,2 5, 4 2,6(D)2,4,2 5,4 3(6)把函数y 2x的图象向左平移t 个单位长度，获得的图象对应函数的分析式为y 3 2x，则 t 的值为(A )log3 2(B)log2 3(C)2 (D)3(7) 已知函数f ( x)sin x(0) ，则“函数 f ( x) 的图象经过点（，1）”是“函数f (x)4的图象经过点（,0）”的2(A) 充足而不用要条件(B)必需而不充足条件(C) 充足必需条件(D)既不充足也不用要条件(8) 记x2y21表示的平面地区为W，点O为原点，点P为直线y 2x 2上的一个动点．若地区 W 上存在点 Q ，使得 OQ PQ ，则 OP 的最大值为(A)1 (B)2(C)3(D)2第二部分（非选择题共 1 10分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．(9) 已知直线l1: x y10 与 l2: x ay30 平行，则 a， l1与 l 2之间的距离为( 10)已知函数 f ( x)( x t)( x t) 2是偶函数，则t( 11)a 1, b log 4 3,c sin，则这三个数中最大的是28( 12)已知数列a n知足an1an，且 a515 ，则 a8_____．n1n(13)在矩形 ABCD 中， AB2, BC1，点 E 为 BC 的中点，点 F 在线段 DC 上．若uuur uuur uuur uuurAE AF AP ，且点P在直线AC上，则 AF(14)已知会合 A0x 0 x 1.给定一个函数y f ( x) ，定义集合A n y y f (x), x An 1若 A n IAn 1对任意的 n N*建立，则称该函数y f ( x) 拥有性质“”．(I)拥有性质“ 9”的一个一次函数的分析式能够是；( Ⅱ) 给出以下函数：①y1；② y 2x；③ y sin ( x) 1 ，此中拥有性质“9”的x2函数的序号是 ____．（写出全部正确答案的序号）三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．( 15)（本小题满分 13分）在 ABC 中， a7, b8, A．Ⅰ ) 求sin B的值；3(( Ⅱ) 若ABC是锐角三角形，求ABC 的面积．(16)（本小题满分 13 分）已知数列 a n为等比数列，且a n 1a n=2 3n．(I)求公比 q 和a3的值；( Ⅱ) 若a n的前n项和为S n，求证：3, S n , a n 1成等差数列．(17)（本小题满分 14 分）如图 1 所示，在等腰梯形ABCD ， BC ∥AD， CE AD ，垂足为 E ，AD3BC3， EC1.将DEC 沿 EC 折起到D1EC的地点，使平面D1 EC平面ABCE ，如图 2 所示，点G 为棱AD1的中点。
北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析
昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A. (2,1)- B. (0,1) C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（ ） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案. 【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误； 对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()f x =（ ）A. 2x -B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】 【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=r r r 若2a b -r r 与c r 共线，则实数k =（ ）A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=rr因为2a b -rr与c r共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=，则m =（ ）A.14B.12C.2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221x y m-==解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u r r 为非零向量，则“λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r rm n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答） 【答案】40 【解析】 【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】 【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】(1). 2 (2). (3,± 【解析】 【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M 的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】 【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅， 故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题. 16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】【解析】 【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】 【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题. 18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ= 【解析】【分析】(1)按照比例求解即可； (2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望.【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cos sin ,222xx x f x ωωω=+其中0>ω. （1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值； （2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围.【答案】（1）π；（2）43ω≥【解析】【分析】 (1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值；(2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()cos sin 222xxxf x ωωω=+1cos 2x x ωω-=+11cos 22x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+. 因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω== 所以πω=.（2）因为π0,02x ω≤≤>， 所以6626x ππωππω-≤-≤-. 若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥， 所以43ω≥. 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PM PC 的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）不存在，理由见解析 【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=u u u u r u u u r，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM u u u u r ，PA u u u r 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD因为PA ⊂平面PAD所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB因为PA PD =所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =因为PO ⊂平面PAD所以PO ⊥平面ABCD所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=所以//,BC OD BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --(2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u v u u u v .设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==.所以(1,1,1)n =r. 因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r ，所以cos ,3n OB n OB n OB⋅==u u u v v u u u v v u u u v v 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角，所以二面角C PA D --（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r. 设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r 所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==-所以(,2,1)M λλλ--.所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r .因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I ,CD PD ⊂平面PCD所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r 是平面PCD 的一个法向量.若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r .所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，点2)M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB V 的面积为S ，证明：3S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析 【解析】【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明3S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 可得22232,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=． 因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为12(6,0),(6,0)F F -．所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+.因为直线l 与圆O 相切，所以点O 到直线l的距离为d ==即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩. 因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+．又2266m k =+，所以232(2)0k ∆=->.所以22k >.又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OAB S AB d ∆=⋅=⨯=． 设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆==令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++因为()h u 在1(0,)9上单调递减，所以()1h u <.所以OAB S ∆<.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；（2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ．【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+.令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）． 又(1)0f =， 所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则 2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）． 当'()0g x >时，01x <<；当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-.（3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-； 所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++. 因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=， 令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=. 因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==. 又因为2k <，所以120,1x x <>.取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >；所以()h x 在0(1,)x 上单调递增.所以()(1)0h x h >=.即()(1)>-f x k x .所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）说明:本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟;考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上.）1.若集合A ＝{x ∈Z ||x |＜3}，B ＝{x ∈Z |x 2﹣3x ﹣4＜0}，则A ∩B ＝（ ） A. {0，1，2} B. {﹣2，﹣1，0，1，2，3} C. {﹣1，0，1，2，3} D. {﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}【答案】A 【解析】 【分析】化简集合,A B 后利用集合的交集运算进行运算可得. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2}A =--,{0,1,2,3}B =, 所以{0,1,2}A B ⋂=, 故选：A【点睛】本题考查了集合的交集运算,含绝对值不等式的解法,一元二次不等式的解法,属于基础题.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.【此处有视频，请去附件查看】3.已如函数f （x ）sinxx=，则f ′（π）+f ′（﹣π）＝（ ） A. ﹣2 B. 2 C. 2π-D. 0【答案】D 【解析】 【分析】利用导数公式以及导数的除法法则求导后,代入π和π-计算可得.【详解】因为f （x ）sinx x =,所以cos sin ()2x x x f x x-'=, 所以22cos sin cos()sin()()()()f f ππππππππππ-----''+-=+=-220ππππ-+=.故选:D【点睛】本题考查了导数公式以及导数的除法法则,属于基础题. 4.“sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：因为，所以“sin cos αα=”是“cos20α=”的充分不必要条件；故选A ． 考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件判定． 【此处有视频，请去附件查看】5.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a+2a=e b+3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】【详解】若223a b e a b +=+，必有22a b e a e b +>+． 构造函数：()2xf x e x =+，则()()f a f b >，则()20xf x e ='+>恒成立，故有函数()2xf x e x =+在x ＞0上单调递增，所以a ＞b 成立．故选A ． 6.已知曲线y ＝2sin （x 4π+）cos （4x π-）与直线y 12=相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5|等于（ ） A. π B. 2πC. 3πD. 4π【答案】B 【解析】 【分析】 将2sin()cos()44y x x ππ=+-化为1sin 2y x =+,根据已知条件得到关于x 的方程,求出方程的解,进而得到12345,,,,P P P P P 的横坐标,从而可得15||PP 的值. 【详解】因为2sin()cos()2sin[()]cos()44244y x x x x πππππ=+-=---22cos ()1cos(2)1sin 242x x x ππ=-=+-=+,所以由11sin 22x +=,得1sin 22x =-,所以7226x k ππ=+或11226x k ππ=+,k Z ∈,所以712x k ππ=+或1112x k ππ=+,k Z ∈,所以12345,,,,P P P P P 的横坐标依次是7117117,,,,21212121212ππππππππ+++, 所以1577||221212PP ππππ=+-=. 故选:B【点睛】本题考查了诱导公式,降幂公式,简单的三角方程,本题是一道关于关于三角函数的问题,掌握三角函数的转换公式是答题的关键,属于中档题.7.函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证． 8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，给出如下命题：①()30f =；②直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴；③函数()y f x =在[]9,6--上为增函数； ④函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ②④C. ①②③D. ①②④【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】①令3x =，则由()()()63f x f x f +=+，函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得：()()()()33323f f f f =-+=，故()30f =，故①正确②由()30f =可得：()()6f x f x +=，故函数()f x 是周期等于6的周期函数()f x Q 是偶函数，y 轴是对称轴，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，故②正确③Q 当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，()()12120f x f x x x ->-，故()f x 在[]03，上为增函数 ()f x Q 是偶函数，故()f x 在[]30-，上为减函数Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数故()f x 在[]96--，上为减函数，故③错误 ④Q 函数()f x 是周期等于6的周期函数()()()()93390f f f f ，∴-=-===故函数()y f x =在[]9,9-上有四个零点，故④正确 综上所述，则正确命题的序号为①②④ 故选D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解．二、填空题（本大题共6道小题，每小题5分，共30分.请将每道题的最简答案填写在“答题纸”第9-14题的相应位置上.)9.函数()f x =________． 【答案】[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 10.计算112ex dx x ⎛⎫⎰+ ⎪⎝⎭【答案】2e 【解析】 【分析】先求出被积函数2x 1x +的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可． 【详解】解：1e⎰（2x 1x+）dx ＝（x 2+lnx ） 1|e＝e 2+lne ﹣1﹣ln 1 ＝e 2故答案为e 2【点睛】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题．11.如图，点P 是函数y ＝2sin （ωx +φ）（x ∈R ，ω＞0）图象的一个最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若△MPN 为直角三角形，则ω＝_____．【答案】4π 【解析】 【分析】结合题意得到||4MN =,所以周期8T =,再根据周期公式可得答案. 【详解】三角函数的最大值为2，即三角形MPN 的高为2， ∵△MPN直角三角形，∴根据对称性知△MPN 为等腰直角三角形，即MN ＝4，即三角函数的周期T ＝8，由T 2πω==8，得ω284ππ==， 故答案为:4π. 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期性,根据题意得到||4MN =,是答题的关键,属于基础题.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 212=ac ，则sinB 等于_____．7【解析】 【分析】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ，再由b 2﹣a 212=ac 得b 2=,然后由余弦定理可求得cos B ,根据同角公式可得sin B .【详解】由sinC ＝2si n A 以及正弦定理得c ＝2a ， 又b 2﹣a 212=ac ，得b 2﹣a 212=a ×2a ＝a 2， 即b 2＝2a 2，则b 2=，由余弦定理得cosB 22222222423322244a cb a a a a ac a a a +-+-====⋅，因为0B π<<,所以sinB 239771()1416164=-=-==， 故答案为:74. 【点睛】本题考查了正弦定理角化边,余弦定理,同角公式,属于基础题.13.已知函数()122,0,20x x c f x x x x ⎧⎪≤≤=⎨⎪+-≤<⎩，其中c >0.那么f (x )的零点是________；若f (x )的值域是，则c 的取值范围是________．【答案】 (1). －1和0 (2). (0,4] 【解析】 【分析】根据分段函数的概念，分x 为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f （x ）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f （x ）的值域恰好是[−14，2]，所以当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 的最大值小于等于2，即可解出实数c 的取值范围. 【详解】当x≥0时，令12x =0，得x=0；当x ＜0时，令x 2+x=0，得x=-1或x=0（舍去） ∴f（x ）的零点是-1和0∵函数y=x 2+x=21124x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ，在区间[-2，-12）上是减函数，在区间（-12，0）上是增函数∴当x∈[-2，0）时，函数f （x ）最小值为f （-12）=-14，最大值是f （-2）=2 ∵当0≤x≤c 时，f （x ）=12x 是增函数且值域为[0c ] ∵f （x ）的值域是[−14，2]c ≤2，即0＜c≤4【点睛】函数的零点是实数，是方程f （x ）=0的根，若能直接解方程求解，解方程即可；若不方便解方程，可通过图象法，函数的零点也是函数y=f （x ）与x 轴的交点的横坐标.分段函数的值域，是每个分段区间内对应的函数的值域的并集.14.设集合 {}n P 1,2,,n =L ，*n N ∈．记 ()f n 为同时满足下列条件的集合 A 的个数：① n A P ⊆； ②若 x A ∈，则 2x A ∉；③若 n P x A ∈ð，则 n P 2x A ∉ð． 则（1） ()f 4=_____________；（2） ()f n 的解析式（用 n 表示）()f n =_____________．【答案】 (1). 4 (2). ()n2n 122,n ,f n 2,n .+⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数【解析】（1）当4n =时，{}41,2,3,4P =，符合条件的集合A 为{}{}{}{}2,1,4,2,3,1,3,4， 所以()44f =．（2）任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2L ，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是2k x m =⋅，其中m 为奇数，k N +∈．由条件知，若m A ∈，则m A k ∈⇔为偶数；若m A Ï，则m A k ∈⇔为奇数． 于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定．设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集个数．当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n（或12n +）， 所以()2122,2,nn n f x n 为偶数为奇数+⎧⎪=⎨⎪⎩.点睛：本题主要考查了有关集合的创新性试题和函数的解析式的求解问题，其中解答中涉及到元素与集合的关系，求解函数的解析式，以及集合之间的包含关系等知识点的综合考查，试题比较新颖，具有一定的创新性，解答是需要认真审题，仔细作答，有一定的难度，属于难题.三、解答题（本大题共6道小题，共80分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程，请将解答题的答案填写在“答题纸”第15-20题的相应位置上.) 15.在ABC V 中，AC=6，4cos .54B C π==， （1）求AB 的长； （2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）52（2）72620- 【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC V 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cossin sin,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 525210A =-⨯+⨯=-因为0A π<<，所以272sin 1cos 10A A =-=因此23721726cos()cos cossin sin66610102A A A πππ--=+=-+= 【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等. 【此处有视频，请去附件查看】 16.有时可用函数0.115ln ,(6)(){ 4.4,(6)4ax a xf x x x x +≤-=->-描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数（*x ∈N ），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1） 证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2） 根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121],(121,127],(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.【答案】（1）见解析（2）乙科 【解析】【详解】⑴中，要证明掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降，只需利用函数的单调性证明(1)()f x f x +-单调递减即可；⑵中，根据题意，()60.85f =建立方程求a 的估计值，结合给出的范围，进行判断. ⑴证明：当7x ≥时，()()0.41(3)(4)f x f x x x +-=--，(3)(4)0x x -->，函数(3)(4)y x x =--单调递增，故()()1f x f x +-单调递减， 所以当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降. ⑵解：由题意知0.115ln0.85,6a a +=-整理可得0.05,6ae a =-所以(]0.050.05620.506123.0,123.0121,127.1e a e =⋅≈⨯=∈-由此可知，该学科为乙科.【此处有视频，请去附件查看】17.已知函数f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的对称轴方程，并求函数f （x ）在区间[12π-，2π]上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ； （Ⅱ）最小值为﹣1，最大值为2． 【解析】【详解】（Ⅰ）f （x ）＝cos （2x 23π+）+2sin （4x π-）sin （4π+x ） ＝cos 2xcos23π-sin 2xsin 23π+2cos （4π+x ）sin （4π+x ） 12=-cos 2x sin 2x +sin （2π+2x ）12=-cos 2x sin 2x +cos 2x12=cos 2x sin 2x ＝cos （2x 3π+）， 由2k π﹣π≤2x 3π+≤2k π，k ∈Z 得k π23π-≤x ≤k π6π-，k ∈Z ， 即函数的单调递增区间为[kπ23π-，kπ6π-]，k ∈Z ． （Ⅱ）由2x 3π+=kπ得x 26k ππ=-，即函数的对称轴方程为x 26k ππ=-，k ∈Z ，当122x ππ-≤≤时，6π-≤2x ≤π，6π≤2x 433ππ+≤， 所以当2x 3π+=π,即3x π=时，函数f （x ）取得最小值，最小值为f （x ）＝cosπ＝﹣1，当2x 36ππ+=,即12x π=-时，函数f （x ）取得最大值，最大值为f （x ）＝cos6π=． 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式,诱导公式,函数的单调区间,对称轴,最大最小值,属于中档题.18.设函数f （x ）＝x ﹣x 2+3lnx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）证明：曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)． 【答案】（Ⅰ）极大值3ln 3324-；无极小值； （Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求导后,得到函数的单调性,根据单调性可求得极值;（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），转化为证明()0g x ≤,利用导数求得最大值即可证明结论.【详解】（Ⅰ）f （x ）的定义域是（0，+∞），f ′（x ）＝1﹣2x ()()2231323x x x x x x x--+-+++==， 令f ′（x ）＞0，解得：0＜x 32＜，令f ′（x ）＜0，解得：x 32＞， 故f （x ）在（0，32）递增，在（32，+∞）递减， 故f （x ）极大值＝f （32）3924=-+3ln 32=3ln 3324-；无极小值；（Ⅱ）令g （x ）＝f （x ）﹣2x +2＝﹣x 2﹣x +2+3lnx ，（x ＞0），g ′（x ）＝﹣2x ﹣1()()2223132323x x x x x x x x x x+---++-+==-=-， 令g ′（x ）＞0，解得：0＜x ＜1，令g ′（x ）＜0，解得：x ＞1， 故g （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减， 故g （x ）max ＝g （1）＝﹣1﹣1+2+3ln 1＝0，故曲线y ＝f （x ）在直线y ＝2x ﹣2的下方(除点(1,0)外)．【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值和最值,等价转化思想,易错警示:忽视函数的定义域,本题属于中档题.19.已知函数2(),()()xf x x ax bg x e cx d =++=+.若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ,且在点P 处有相同的切线42y x =+.（Ⅰ）求a b c d ,,,的值;（Ⅱ）若2x ≥-时,()()f x kg x ≤,求k的取值范围.【答案】（I ）4,2,2,2a b c d ====；（II ）2[1,e ].【解析】试题分析：（1）先求导,根据题意()()02,02f g ==,由导数的几何意义可知()()'04,'04f g ==,从而可求得a b c d ,,,的值．（2） 由（1）知，()()()242,21x f x x x g x e x =++=+,令()()()F x kg x f x =-,即证2x ≥-时()0F x ≥．先将函数()()()F x kg x f x =-求导,讨论导数的正负得函数的增减区间,根据函数的单调性求其最值．使其最小值大于等于0即可．试题解析：（1）由已知得()()02,02f g ==，()()'04,'04f g == 而()()()'2,'xf x x ag x ecx d c =+=++，4,2,2,2a b c d ∴====（4分）（2）由（1）知，()()()242,21xf x x xg x ex =++=+，设函数()()()()()22142,2xF x kg x f x kex x x x =-=+---≥-，()()()()'2224221x x F x ke x x x ke =+--=+-．由题设可得()00F ≥，即1k ≥，令()'0F x =得12ln ,2x k x =-=-, ．．（6分） ①若21k e ≤<，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()'0F x <，当()1,x x ∈+∞时，()'0F x >，即F （x ）在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增，故()F x 在1x x =取最小值()1F x ， 而()()2111111224220F x x x x x x =+---=-+≥．∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ．（8分） ②若2k e =，则()()()22'22x F x ex e e =+-，∴当2x ≥-时，()'0F x ≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增，而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立， ③若2k e >，则()()22222220F kee k e ---=-+=--<，∴当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立． ．（10分）综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．（12分） 考点：用导数研究函数的性质． 【此处有视频，请去附件查看】20.对于集合M ，定义函数()1,1,.x MM f x x M -∈⎧=∉⎨⎩对于两个集合M ，N ，定义集合()(){|1}.M N M N x f x f x =⋅=-V 已知{2,A =4，6，8，10}，{1,B =2，4，8，16}．(Ⅰ)写出()1A f 和()1B f 的值，并用列举法写出集合A B V ；(Ⅱ)用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B +V V 的最小值；(Ⅲ)有多少个集合对(),P Q ，满足P ，Q A B ⊆⋃，且()()P A Q B A B =V V V V ？【答案】(1)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =，(2)4，（3）128 【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义直接得到答案；（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X , ①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.，据此结论找出满足条件的集合，从而求出()()ΔΔCard X A Card X B +的最小值．（Ⅲ）由P ，Q ⊆A ∪B ，且（P △A ）△（Q △B ）=A △B求出集合P ，Q 所满足的条件，进而确定集合对（P ，Q ）的个数． 试题解析：(Ⅰ)()11A f =,()11B f =-,{}Δ1,6,10,16A B =. (Ⅱ)根据题意可知：对于集合,C X ,①a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-; ②若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+.所以要使()()ΔΔCard X A Card X B +的值最小,2,4,8一定属于集合X ;1,6,10,16是否属于X 不影响()()ΔΔCard X A Card X B +的值;集合X 不能含有A B ⋃之外的元素. 所以当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时,()()ΔΔCard X A Card X B +取到最小值4.(Ⅲ)因为()(){|1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-, 所以ΔΔA B B A =.由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅.所以对任意元素x ,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅,()()()()()()()ΔΔΔA B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x =⋅=⋅⋅.所以()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =. 所以()()ΔΔΔΔA B C A B C =.由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =知：()()ΔΔΔΔP Q A B A B =. 所以()()()()()ΔΔΔΔΔΔΔΔP Q A B A B A B A B =. 所以ΔΔP Q ∅=∅. 所以ΔP Q =∅,即P Q =. 因为,P Q A B ⊆⋃,所以满足题意的集合对(),P Q 的个数为72128=.点睛：本题主要考查新定义问题、集合与集合间的基本关系、函数、集合的基本运算，考查了分类讨论思想与逻辑推理能力.(1)由题意易得结论；(2)根据题意可知：对于集合,C X ,若a C ∈且a X ∉,则{}()()(Δ1Card C X a Card C X ∆⋃=-;若a C ∉且a X ∉,则{}()()(ΔΔ1Card C X a Card C X ⋃=+，由此可得结论；(3)由题意易得ΔΔA B B A =，由定义可知：()()()ΔA B A B f x f x f x =⋅，易知()()()()ΔΔΔΔA B C A B C f x f x =，由()()ΔΔΔΔP A Q B A B =可得()()ΔΔΔΔP Q A B A B =，则结论易得.。
北京市东城区2020届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析
东城区2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学第一部分(选择题共40 分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A x|x 1 ，B {x|(x 2)(x1)0} ，那么AI B ( )A. x| 1 x 2B.x|1x1C. x|1 x 2D.x|1x1【答案】D【解析】【分析】即可求解求得集合B {x| 1 x2} ，结合集合的交集的运算，【详解】由题意，集合 B {x|(x 2)(x 1)0}{x|1x 2} ，所以AI B x| 1 x 1 .故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 复数z i(i 1)在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限.【详解】z 1 i ，对应点为( 1, 1) ，在第三象限.故答案选B【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3.下列函数中，是偶函数，且在区间0,上单调递增的为（1 A. y —B . y ln|x|xy 1 |x|【答案】B 【解析】 【分析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法, 【详解】由题意，对于 A 中，函数f x 对于B 中，函数f xln|x|满足f x当x 0时，函数y Inx 为0,上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数y 2x 为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，y 1 |x|为偶函数，当x 0时，函数y 1 x 为单调递减函数，不符合题意, 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法， 以及初等函数的性质是解答的关键， 着重考查了推理与论证 能力，属于基础题.4.设a, b 为实数，则“ a b 0 ”是“ a b ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数f xx为单调递增函数，结合充分条件和必要条件判定方法，即可求解.X【详解】由题意，函数 f x为单调递增函数，当a b 0时，可得fa f b ，即a b 成立,C. y 2xD.以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解.1 f x ，所以函数为奇函数，不符合题意；xIn | x| l n|x| f x ，所以函数为偶函数，b，即f a f b 时，可得a b ，所以a b 0 不一定成立，所以“ a b 0”是“ a b”的充分而不必要条件故选：A.点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5. 设，是两个不同的平面，m,n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（）A.若m , m n，则n//B.若，m , n ，则mnC. 若n/ / ，m n ，则mD. 若/ / ，m ，n ，则m// n【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案.详解】由题意，对于 A 中，若m，所以不正确；对于 C 中，若n/ / 可能平行，相交或在平面内，所以不正确；对于D中，若//，n ，则m与n平行、相交或异面，所以不正确;对于 B 中，若，n ，，根据线面垂直的性质，可证得m n 成立，故选：B.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.6. 从数字1，2，3，4，5 中，取出3 个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（）A. 7B. 9C. 10D. 13【答案】C【解析】【分析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4 , 1,2,3 , 2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解.【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有C3 3种排法；（2）当三个数为1,2,3时，共有A 6种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有3 6 1 10种不同排法，即这样的数共有10个•故选：C【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.设是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（)A若，贝U sin sin 2 B.若-，则22cos cos&C.若—贝y sin sin 1D.若—,则2，2cos cos1【答案】A【解析】【分析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案【详解】对于A中，因为-，则04' 4又由sin sin 2sin ------------------- c os -------- 2sin—cos --------2 2 4 2所以sin sin 、2是正确的；1 ,恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论•如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：对于B中，例如—, —,此时cos cos—.32，6 6 6 6所以COS cos2不一定成立，所以不正确；对于C中，因为，例如5,时, sin 5sin —2 6 12 6 12所以sin sin1不正确；对于D中，因为，例如牛，2时，cos 2cos—2 3 6 3 6所以cos cos1不正确，故选: :A.6 2.32其中解答熟记三角8.用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距O1O2 4，球的半径为.3，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大其中，所有正确结论的序号是（）A.①B.②③C.①②D.①②③【答案】C【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用, 以及三角函数值的应用,2 2 2 2 2 2即 |OC b a ,所以 |OC a b ，由OO 4，可得OQ 2，又由球的半径为 3，即R .3， 在直角 OQC 中，OC|2 OO i 2 R 2 22 (T3)2 1，由①可知，即c 1，所以2c 2，即椭圆的焦距为 2，所以②是正确的；RRR c xsin由①可得a，c，所以椭圆的离心率为etancossi ntana R tan sin所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用， 其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征， 以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档【解析】 【分析】R设圆柱的底面半径为 R ，根据题意分别求得b R , a — , OCsin的结合性质，即可求解•R tan，结合椭圆【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示, 2b 2R ，即 b R ，长轴长为c 2R 2a-，即a Rsinsin在直角O 1OC 中， O 1C可得— tan ，即 OCO 1C ROCtantan2 2又由OCb 2R 2 tan 2R 2 R 2 11 tan 2R 2 sin 2又因为椭圆中c 2a 2b 2，所以 OCc ,即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的;所以当当圆柱的轴与 设圆柱的底面半径为 R ，根据题意可得椭圆的短轴长为 故选：C第二部分（非选择题共110分）—y1m3 2【答案】 4【解析】【分析】结合双曲线的几何性质，得到m 13 2，即可求解，得到答案.22 2【详解】 由题意，双曲线y 2 1与 1有相同的焦点，m32可得m 1 3 2，解得 m 4.故答案为 :4.【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用， 其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题10.已知a n 是各项均为正的等比数列，S n 为其前n项和，右a 1 6， a 2 2a 3 6，则公比q，S 4【答案】(1).丄45⑵.24【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，得到2q 21q 10，求得q ?再由等比数列的前 n 项和公式，求得S 4，得到答案.【详解】 由题意，在数列On 是各项均为正的等比数列，因为4 6， a 22a 36，可得眄 2a 1q 2 6q 12q 2 6，即2q2q 1 0，解得1q 一或q21 （舍去），22x2x2试题•、填空题共 6小题，每小题5分，共30分.则满足圆心到直线的距离小于圆的半径，即3 .10 m3 -10，所以命题为真命题的一个 m 的值为0 . 故答案为：0 .【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，列出不等式求得 m 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.uuu uuur uuur uuur uuir umr12.在平行四边形ABCD 中，已知AB AC AC AD ，| AC | 4，|BD |2，则四边形ABCD 的面积是 __________【答案】4 【解析】又由等比数列的前n 项和公式，可得S 4145 故答案为：丄，45 •241 46口（2）］452【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式, 以及等比数列前n 项和公式的应用,其中解答中熟练等比数列的通项公式和前 n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11.能说明“直线x y m 0与圆x 2 y 2 4x 2y0有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 __________ 【答案】0 【解析】 【分析】根据直线与圆相交，利用圆心到直线的距离小于圆的半径,的取值范围，即可求解 【详解】由题意，圆 x 2y 4x 2y 0的圆心坐标为（2,1），半径为r若直线x y m 0与圆x 22 — —y 4x 2y 0有两个不同的交点,，解得【分析】菱形，即可求得四边形的面积，得到答案 【详解】由题意，在平行四边形ABCD 中，uuu AB uuu AC uuu AC uuu AD ，uuu uiuu u uu uuu uuu luuu iuu可得 AB AC AC (AD AB) AC BD 0，所以 uuu AC uuu BD所以四边形ABCD 是菱形，uuu uuu1 又由|AC | 4，|BD| 2，所以面积为S — 4 24.2故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的应用，以及菱形的面积的计算,答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题13.已知函数 f(x) 2sin( x)(0)，曲线yf x 与直线y相父，若存在相邻两个交点间的距离为 一，则6的所有可能值为-【答案】2或10【解析】【分析】令 2sin( x ) 、、3，解得x 2k, k Z 或 x2 2k,k Z , 33 根据存在相邻两个交点间的距离为，得到x 2 x 16 2 13w 6或x2 5 x 1,即可求3w 6解，得到答案【详解】由题意，函数 f (x) 2sin( x)(0)，曲线yf x 与直线y , 3相交,令 2sin(x )、3，即 sin( x )2解得 x2k, k Z 或 x 32k23'k Z，由题意存在相邻两个交点间的距离为 —，结合正弦函数的图象与性质，62可得2k w(x 2 xj, k Z ，令 k 0,可得 x 2 x 1，解得 w 2.3 33w 6uuu umr 由 AB AC uu ur ACuuur 一AD ，根据向量的线性运算，/口— uuu 得到ACuuuBD ，进而得到四边形ABCD 是其中解答熟练应用向量的减法运算公式, 以及向量的数量积的公式, 求得四边形为菱形是解72 5 或2kw （X 2 X i ）, k Z ，令 k 0，可得 X 2 x i，解得 w 10.333w 6故答案为：2或10.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用， 以及三角方程的求解， 其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质， 列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理能力与计算鞥能力，属于中档试题•14•将初始温度为0 C 的物体放在室温恒定为 30 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为 t n ，已知t i 0 C .已知物体温度的变化与实验室和 物体温度差成正比（比例系数为k ）•给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ________________ ：（填写模型对应的序号）k① t n 1 t n - 30 ；笑 t n 1 人 k 30 t n 二③—k 30 t n • 〔n 30在上述模型下，设物体温度从 5 C 升到10 C 所需时间为amin ，从10 C 上升到15 C 所a b需时间为bmin ，从15 C 上升到20 C 所需时间为Cmin ，那么一与—的大小关系是b c_________ （用“ ”，“ ”或“ ”号填空）【答案】 （1）. ②（2）.【解析】 【分析】由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ），即可得到 t n 1 t n k 30 t n ，再根据函数模型，分别求得 k 的值，结合作差比较，即可得到答案 .【详解】由题意，将第 n 次测量得到的物体温度记为t n ，则两次的体温变化为t n 1 t n ，又由温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）,所以t n 1 t n k 30 t n ，5 C 升到10 C 所需时间为amin ，可得10 5 k 30 5，可得k 空125 5110 C 上升到15 C 所需时间为bmin ，可得15 10 k 30 10，可得k -， 415 C 上升到20 C 所需时间为cmin ，可得20 15 k 30 15，可得当物体温度从 当物体温度从 当物体温度从40,2 3题，正确理解题意，选择适当的函数模型是解答的关键， 着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在 ABC 中，已知 csi nA 、.3acosC 0. (1 )求 C 的大小;(2)若b 2，c 2.3，求ABC 的面积.2【答案】(1) C ( 2)33【解析】 【分析】(1)由正弦定理可得 si nCsi nA , 3cosC si nA 0，求得si nC 、、3cosC 0，即可求解C 的大小;可是a-m,b 51 m , cac b 2 bca b即a 与的大小关系是b c故答案为：②，1 c m, m 0， 31 1 m 5 3 1 m 4b1 J 、2m （一 m ）4 1m 31 2 1 2 m m 15 16 1 2 m 121 1 15 16 1 12【点睛】本题主要考查了函数的模型的选择,以及实际应用问题的求解, 其中解答中认真审40,2 3结合三角形的面积公式，即可求解【详解】(1)因 csi nA 、. 3acosC 0，由正弦定理可得sin C si nA . 3 cosC si nA 0，又因为 A (0,)，所以 si nA 0，所以 sin C 3 cosC 0，即 tanC 、3， 又因为0 C ，所以 C(2)由正弦定理，可得sinB-，得到2B，进而得到6（2）由正弦定理，可得.厂bsinCQin R2乜,2 1，2.3 2 c又因为0 B ，所以B —，所以 A B C -3 661所以ABC的面积S -bcsin A 1 223 —j73.222【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题16.2019年6月，国内的5G运营牌照开始发放•从2G到5G，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对5G的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：我们将大学生升级5G时间的早晚与大学生愿意为5G套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系（例如早期体验用户中愿意为5G套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的40%)人巔占比■（1 ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到5G的概率；（2）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以X表示这2人中愿意为升级5G 多支付10元或10元以上的人数，求X的分布列和数学期望；（3）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由【答案】（1）0.8（2）详见解析（3）事件D虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化，详见解析【解析】【分析】（1）由从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；（2）由题意X的所有可能值为0,1,2，利用相互独立事件的概率计算公式，分别求得相应的概率，得到随机变量的分布列，禾U用期望的公式，即可求解（3）设事件D为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约5G套餐”，得到七概率为P （D），即可得到结论.【详解】（1）由题意可知，从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即270 530 0.8 .1000(2)由题意X 的所有可能值为0,1,2， 记事件A “从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级 5G 多支付10元或10元以上”，事件B 为“从中期跟随用户中随机抽取1人, 该学生愿意为升级5G 多支付 10元或 10元以上”，由题意可知，事件 A ，B 相互独立，且P(A)1 40%0.6， P(B) 1 45% 0.55，所以 P(X 0) P(AB) (1 0.6)(10.55) 0.18，P(X 1) P(AB A B ) P(AB)P(AB) P(A)(1 P(B)) (1 P(A)P(B)0.6 (1 0.55) (1 0.6) 0.55 0.49，P(X 2) P(AB) 0.6 0.550.33，所以X 的分布列为故 X 的数学期望 E(X) 0 0.18 1 0.49 2 0.33 1.15.(3)设事件D 为“从这1000人的样本中随机抽取 3人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，C 3 那么P(D) 严 0.02. C 1000回答一：事件D 虽然发生概率小，但是发生可能性为 0.02，所以认为早期体验用户没有发生变化.回答二：事件D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，数学期望的求解及应用，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值， 计算得出概率，列出离散 型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望， 其中列出离散型随机变量 概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题17.如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，BB! 平面ABC , AB BC , AA AB BC 2 .(1)求证：BC1平面ABC ；(2)求异面直线B1C与AB所成角的大小；B1M(3)点M在线段BC上，且石((0,1))，点N在线段AB上，若MN //平面B〔CAACG，求A^NB的值(用含的代数式表示).【答案】(1)证明见解析(2) — ( 3)13【解析】【分析】(1)根据三棱柱ABC A1B1C1的结构特征，利用线面垂直的判定定理，证得AB 平面3BCG，得到A1B1 BC1，再利用线面垂直的判定定理，即可证得BC1平面A B1C；umr uuur(2 )由(1)得到AB BC,建立空间直角坐标系B xyz，求得向量B1C,A1B，利用向量的夹角公式，即可求解.(3)由旦丛，得M (2 ,0,2 2 )，设樂，得N (0,2 2 ,2 2 )，求得向B1C A1Buuiu uuuu r量MN的坐标，结合MN / /平面A1ACC1，利用M N n0，即可求解.【详解】(1)在三棱柱ABC A1B1C1中，由BB1平面ABC，所以BB1平面A1B1C1,又因为BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面A1B1C1，交线为B1C1.又因为AB BC，所以A1B1 B1C1，所以AB1 平面BBCG .因为BC1平面B1BCC1，所以AB BC1又因为BB i BC 2，所以B i C BC i , 又A B i I BQ B i，所以BG 平面A BC .G(2)由(1)知BB i底面ABC , AB BC，如图建立空间直角坐标系由题意得B 0,0,0 ,C 2,0,0 , A 0,2,2 , B 0,0,2UU LT uuur所以B1C2,0, 2 , A1B 0,2, 2 .uiur uuur所以cos uuu uuu；A1B BCAB,BC uuur uuur1丨 BA II BQ 12B xyz ,由器，得MS0’22).，得N (0,2 2 ,2uum2 )，贝U MN (2 ,2 2 ,2故异面直线B1C与A B所成角的大小为 -. (3)易知平面A i ACC i的一个法向量n 1,1,0，3数 g(x)2 3 2x 2x 2x【详解】(1)由题意，函数3a b ，转化为g x 在区间 ， 1 3 2f (x) x x 3ax ，则 f (x)上单调递增，即可求解x 2 2x 3a ，因为MN / /平面A 1ACC 1，所以UMNU n 0，即(2 ,22 ,2 2 ) (1,1,0) 0，解得想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理， 通过严密推理是线面位置关系判定的关键， 同时对于立体几何中角的计算问题， 往往可以利用空间向量法, 通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解1 3 218.已知函数 f (x) xx 3ax(a R).3(1 )若f x 在x 1时，有极值，求a 的值;(2)在直线x 1上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线 y f x 相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)a 1( 2)不存在，详见解析 【解析】 【分析】由f x 在x 1时，有极值，可得 f ( 1)1 2 3a 0，，所以誓AB【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明, 以及空间角的求解问题， 意在考查学生的空间(1)求得f (x) x 2 2x 3a ，根据函数x 在x 1取得极值，即可求解;(2)不妨设点P 1,b ，设过点p 与yx 相切的直线为I ，切点为 x 0,y 0，求得切线 1方程，根据直线I 过P 1,b ，转化为bx o x 0 3ax 0 3x 0 2x 0 3a 1 x 0，设函277【答案】 (1)2y 1( 2) 0^4【解析】 【分析】(1 )由题意,列出方程组，求得2，即可得到椭圆的方程;解得a 1.经检验，a 1时，f x 有极值. 综上可得a 1.(2)不妨设在直线x 1上存在一点P 1,b , 设过点P 与y f x 相切的直线为I ，切点为 x 0,y 0 ， 则切线I 方程为yx ] 3 x ox 0 2x o 3a x X D ，31又直线 I 过 P 1,b ，有 bx 3 x 2 3ax 0 x 2 2怡 3a 1 x 0 ，32 3 2即三 x 3 2x 2 2x 0 3a b 0，3设 g(x) 2x 3 2x 2 2x 3a b ，则 g (x) 2x 2 4x 22(x 1)2 0，3所以g x 在区间 ，上单调递增，所以g x0至多有一个解，过点P 与y f x 相切的直线至多有一条,故在直线x 1上不存在点P ，使得过P 至少有两条直线与曲线 y f x 相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用， 其中解答中熟记函数的导数与函数间的关 系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力.219.已知椭圆c :务 y 21(a 1)的离心率是a(1)求椭圆C 的方程;范围•(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点,过F 2作斜率为k 的直线I ,交椭圆C 于A, B两点，直线RA ，FB 分别交y 轴于不同的两点M,N .如果 MF 1N为锐角，求k 的取值(2)设直线I 的方程为y k x 1，联立方程组，根据根和系数的关系，结合向量的数量同理可得N 0,将①代入并化简，得【详解】(1)由题意，椭圆2X c r ay 2 1(a 1)的离心率是学，a可得 b 2 a 2 I 22! 1 解得a 2 2 2b c 22，所以椭圆C 的方程为7(2)由已知直线I 的斜率不为0，设直线I 的方程为y k x 1，直线|与椭圆C 的交点为X 1,y 1 ，B X 2,y 2 .y 由x 2k(x 1) 得12 2 2 22k 1 x 4k x 2k 20.由已知, 判别式恒成立，且X-I + x 2 =2k2，X 22k 2 2k 7直线RA 的方程为七(xx 1 11)，ULUir 所以F 1M UU LUF Ny 』2k 2 x 1X 1X 2 X 1 X 1 1 x 2 1x 2 11 k 21 x2 1为1 x 2x-|X 2 1 k 2 x 1 x 2 1 k 2X 1X 2 X 1 X 2 1X 1X 2 X-I X 2 1ULUir ULUU F M F N7k 2 1 8 k 2 1依题意，角uuLur UULU LUUUT uuu MF 1N 为锐角，所以 F 1M F 1N 0，即 F 1M F 1N —0.8k 1解得k 2 -或k7综上，直线I的斜率的取值范围是【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等20.已知数列a n，记集合T S(i, j)|S(i, j) a i a： 1 L a j,1, i j,i,j N* .(1 )对于数列a n ：1,2,3,4，写出集合T ；(2)若a n 2n，是否存在i, j N*，使得S i, j 1024?若存在，求出一组符合条件的i, j ；若不存在，说明理由•(3 )若a n 2n 2，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：d,b2丄b n丄，若b m 2020，求m的最大值.【答案】(1)T {3,5,6,7,9,10} (2)不存在i, j N*，使得S i, j 1024成立.(3)详见解析【解析】【分析】(1)根据集合的定义T S(i, j)|S(i, j) a, a, 1 L a j,1, i j,i, j N* ，即可求解；(2 )假设存在i, j N*，使得S i, j 1024，得到1024 (j i 1)(i j)，根据i j 与j i奇偶性相同，所以i j与j i 1奇偶性不同，进而得到结论.(3)若i,j N*，使得i (i 1) L j (j " 2)°j) 2t，得到(j i 1)(i j) 2t 1不成立，结合数学归纳法，把数列a n 2n 2，转化为数列0,1,2,3,L ,n,L，其相应集合T中满足b 1010有多少项，即可得到结论•【详解】(1)由题意，集合T S(i, j)|S(i, j) a i q 1 L a j,1, i j,i, j N 可得T {3,5,6,7,9,10}(2)假设存在i, j N*，使得S i, j 1024,则有1024 a a i L a j 2i 2(i 1) L 2j (j i 1)(i j),由于i j与j i奇偶性相同，所以i j与j i 1奇偶性不同.又因为i j 3，j i 1 2，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存i, j*，使得S i, j 1024成立.N(3 )首先证明a n n时，对任意的m N*都有b m2t，*t N .j)2t，若i,j N*，—1)L jT由于j i 1与j i均大于2且奇偶性不冋，所有(j i1)(i j) 2t 1不成立•其次证明除2t t N形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和若正整数h2t2k 1，其中t N，t N*.当2t 1 2k1时, 由等差数列的性质有：h (2 k 1)(2 k1) L (2 k 1) 2t k L2t 1 2t2t 1 L 2t k此时结论成立当2t 1 2k1时, 由等差数列的性质有：h (2 k 1)(2 k1) L (2 k 1)k 2t1L(k 1) k (k 1) (k 2) L k2t此时结论成立对于数列a n2n2，此问题等价于数列0,1,2,3, L,n,L，其相应集合T中满足：b n 1010有多少项•由前面的证明可知正整数2，4，8，16，32，64，128，256, 512不是集合T中的项，所以n的最大值为1001.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及数列的综合应用，其中解答中认真审题，利用题设条件，结合数列的运算和数学归纳法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题综合性强，属于难题。
北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题(含解析)
北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三数学上学期10月月考试题（含解析）一、选择题 1.已知集合,B ＝{|(1)(3)0}x x x --<,则A∩B=（ ）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或1}x <【答案】B 【解析】试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点：集合间的运算．2.若角θ的终边过点()3,4P -,则()tan θπ+=( ) A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析：利用任意角三角函数的定义,诱导公式,求得要求的式子的值详解：Q 角θ的终边过点()34P -，, 则()4tan 3y tan x θπθ+===- 故选D点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义,属于基础题,结合诱导公式运用定义即可求出结果。
3.已知函数,log ab y x y x ==的图像如图所示,则A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象,得log b y x =在(0,)+∞上单调递增,即1b >,ay x =在[0,)+∞上单调递增,且增加得越来越慢,即01a <<,则1b a >>.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数a 与1的大小,若0a >时,幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增,要与常见函数2y x =、y x =、12y x =的图象对照确定.4.已知函数()f x 的定义域为R ,则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()2f x x =满足()00f =,但不是奇函数,因此充分性不成立；若()f x 是奇函数,又定义域为R ,因此()()()0000f f f =-⇒=,必要性成立,因此选B. 考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法 （1）命题判断法：设“若p,则q”为原命题,那么：①原命题为真,逆命题为假时,p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假,逆命题为真时,p 是q 的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时,p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时,p 是q 的既不充分也不必要条件． （2）集合判断法：从集合的观点看,建立命题p,q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立},q ：B ＝{x|q(x)成立},那么：①若A ⊆B,则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时,则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A,则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时,则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A,即A ＝B 时,则p 是q 的充要条件． （3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件． 5.已知3cos ,(,0)42παα=∈-,则sin 2α的值为（ ）A. 38B. 38-D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin α===,所以sin 22sin cos ααα=32(4=⨯⨯=故选D ． 考点：同角间的三角函数关系,二倍角公式．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯, 由题意{a n }是公比为2的等比数列,∴S 7=()711212a --=381,解得a 1=3． 故选：B ．7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5 C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析,看是否满足条件,然后可得结论． 详解：对于A,若参赛人数最少为4人,则当冠军3次平局时,得3分,其他人至少1胜1平局时,最低得3分,所以A 不正确．对于B,若参赛人数最少为5人,当冠军1负3平局时,得3分,其他人至少1胜1平局,最低得3分,所以B 不正确．对于C,若若参赛人数最少为6人,当冠军2负3平局时,得3分,其他人至少1胜1平局,最低得3分,此时不成立；当冠军1胜4平局时,得6分,其他人至少2胜1平局,最低得5分,此时成立．综上C 正确．对于D,由于7大于6,故人数不是最少．所以D 不正确． 故选C ．点睛：本题考查推理问题,考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析,看是否得到不合题意的结果．8.已知定义在R 上的的数()()20xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，若方程()1=2f x 有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是（ ） A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤ 【答案】A 【解析】【详解】当12a=-时,11222xx≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或11ln()22xx>⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e=+,即有两个不相等的实数根,所以去掉B,C,D,选A.二、填空题9.已知函数()y f x=的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x=在x=_____处取得极值.【答案】-1【解析】【分析】利用导函数的图象,通过导函数的零点,以及函数返回判断函数的极值点即可．【详解】由图象,得当1x<-时, ()0f x'<,当1x>-且2x≠时, ()0f x'>, ()20f'=,即函数()f x在(),1-∞-上单调递减,在()1,-+∞上单调递增,即函数()f x在1x=-处取得极小值.【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用,函数的极值的判断,是基础题．10.32-,123,2log5三个数中最大数的是．【答案】2log5【解析】【详解】31218-=<,12331=>,22log5log423>>>,所以2log5最大.11.在ABC△中,13cos,7314A a b==,则B=______________.【答案】π3或2π3【解析】因为13cos14A=,所以π6A<<且33sin A=,又因为73a b=,所以7sin3sinA B=,即3373sin B⨯=,解得3sin B=,因为0πB<<,所以π3B=或2π3B=.12.去年某地的月平均气温()y C︒与月份x（月）近似地满足函数πsin()6y a b xϕ=++.（,a b为常数,π2ϕ<<）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为______________,Cϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2).π6【解析】由题意,得当51182x+==时,πsin(8)16ϕ⨯+=±,又因为π2ϕ<<,所以π4π11π236ϕ<+<,即4π3π32ϕ+=,π6ϕ=,即ππsin()66y a b x=++,则5ππsin()13668ππsin()3166a ba b⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩,即1331aa b=⎧⎨-=⎩,即1315ab=⎧⎨=-⎩,当2x=时,2ππ1318sin()566y=-+=-.13.在等腰梯形ABCD中,已知AB DCP,2,1,60,AB BC ABC==∠=o点E和点F分别在线段BC和CD上,且21,,36BE BC DF DC==u u u r u u u r u u u r u u u r则AE AF⋅u u u r u u u r的值为．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB DCP,2,1,60,AB BC ABC==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积. 【此处有视频,请去附件查看】14.如图,线段AB =8,点C 在线段AB 上,且AC =2,P 为线段CB 上一动点,点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ,V CPD 的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 ；()f x '的零点是 ．【答案】（2,4）（2分）,3（3分） 【解析】 试题分析： 由题意知,,,的三边关系如图,三角形的周长是一个定值,故其面积可用海伦公式表示出来 即令故答案为；考点：函数的实际应用． 三、解答题15.已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点（0,12）,最小正周期为23π,且最小值为－1. （1）求函数()f x 的解析式.（2）若[,]6x m π∈,()f x 的值域是[1,-,求m 的取值范围. 【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的性质求出最大值A,再利用周期公式求出参数ω,最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.（2）由题意求出33x π+的取值范围,然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析：（1）由函数的最小值为－1,可得A=1,因为最小正周期为23π,所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+,又因为函数的图象过点（0,12）,所以1cos 2ϕ=,而02πϕ<<,所以3πϕ=,故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈,可知533633x m πππ≤+≤+,因为5()cos 66f ππ==,且cos π=－1,7cos6π=,由余弦曲线的性质的,7336m πππ≤+≤,得25918m ππ≤≤,即25[,]918m ππ∈. 考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用. 16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9,公差为1-的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =,且数列{}n b 的前n 项和记为n T ,求415T T +的值.【答案】(1)211n a n =-+；(2)149. 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得n S ,再由数列的递推式,可得所求通项公式；（2）求得|||112|n n b a n ==-,讨论当15n 剟时,6n …时结合等差数列的求和公式,可得所求和．【详解】解：（1）Q 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9,公差为1-的等差数列, ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-,即210n S n n =-+,① 2n ∴…时,21(1)10(1)n S n n -=--+-,②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+, 又当1n =时,119a S ==,满足上式, 211n a n ∴=-+；（2）由题意,|||112|n n b a n ==-,∴当15n 剟时,212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+；6n …时,2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查分类讨论思想和转化思想,考查运算能力,属于基础题．17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()8sin 17A C +=,且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=,ABC △的面积为2,求边长b . 【答案】(1)1517；(2)2. 【解析】 【分析】（1）由三角函数的诱导公式进行转化,结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可． （2）结合三角形的面积公式求出ac 的值,利用余弦定理进行转化求解即可． 【详解】解：（1）8sin()17A C +=Q , ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦, Q 角B 为锐角,cos 0B ∴>,即15cos 17B =．（2）ABC ∆Q 的面积为2, 118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=,则172ac =, 6a c +=Q ,2222cos b a c ac B ∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac =+--=-⨯-⨯⨯=--=g ,则2b =．【点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合同角关系式,三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键． 18.已知函数1()xax f x e-=. （Ⅰ）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;（Ⅱ）当0a <时,求函数()f x 在区间[0,1]上的最小值.【答案】（Ⅰ）(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减；（Ⅱ）10a -≤<时,min ()1,1f x a =-<-时,min 11()aa f x e+=.【解析】试题分析：（Ⅰ）代值,求导,利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（Ⅱ）求导,通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性,进而确定函数的最值.试题解析：（Ⅰ）当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e '--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;（Ⅱ）由()1xax f x e -=得: ()[]1,0,1xax a f x x e-+-∈'=, 令()0,0,f x a ='<Q 解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e +⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步,利用分类讨论求函数的最值,分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一,学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清,如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.已知函数()39f x x x =-,函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公共切线,求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞,求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或﹣27；(2)(](),275,-∞-+∞U . 【解析】 【分析】（1）设出切点坐标,利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点,列出方程组,解出切点坐标和a 的值．（2）构造函数()h x ,把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞,利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值,画出函数图象,数形结合得到符合题意的a 的取值范围． 【详解】解：（1）2()39f x x '=-,()6g x x '=,设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ,0)y ,则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩,解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩,a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--,则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞,2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-Q ,∴令()0h x '=,得：1x =-或3, 列表：()h x +-+()h x '增 极大值 减极小值 增()h x ∴的极大值为(1)5h -=,极小值为h （3）27=-,又Q 当x →+∞时,()h x →+∞,当x →-∞时,()h x →-∞, 如图所示：∴当5a >或27a -…时,满足题意,∴实数a 的取值范围为： (](),275,-∞-+∞U ．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数画出函数的大致图象,做题时注意数形结合,是中档题．20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=…；②1231n a a a a ++++=…. (1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”； (2)若某2013阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式； (3)记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…,试证：12k S ≤. 【答案】（1）数列12-,0,12为三阶期待数列,数列38-,18-,18,38为四阶期待数列；(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯；(3)证明见解析.【解析】 【分析】（1）数列12-,0,12为三阶期待数列,数列38-,18-,18,38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ,由于1220130a a a ++⋯+=,可得10070a =,1008a d =,对d 分类讨论,利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当k n =时,显然1||02n S =…成立；当k n <时,根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+,即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+,再利用绝对值不等式的性质即可得出． 【详解】解：（1）数列12-,0,12为三阶期待数列, 数列38-,18-,18,38为四阶期待数列． （2）设该2013阶“期待数列”的公差为d , 1220130a a a ++⋯+=Q ,∴120132013()02a a +=,120130a a ∴+=,即10070a =, 1008a d ∴=,当0d =时,与期待数列的条件①②矛盾,当0d >时,据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=, 100610051100622d d ⨯∴+=,即110061007d =⨯, *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯,2013)n …,当0d <时,同理可得100710061007n n a -+=⨯,*(n N ∈,2013)n …．（3）当k n =时,显然1||02n S =…成立； 当k n <时,根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+, 即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+,12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…,1||(12k S k ∴=…,2,⋯,)n ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”,推理能力与计算能力,属于中档题．。
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海淀区高三年级第一学期期末练习数学 本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合1,2,3,4,5,6U，13,5A,，2,3,4B，则集合UABIð是
( )
A. 1,3,5,6} B. 1,3,5} C. 1,3} D. 1,5} 【答案】D 【解析】 【分析】 利用补集和交集的定义可求出集合U
ABIð.
【详解】Q集合1,2,3,4,5,6U，13,5A,，2,3,4B，则1,5,6UBð， 因此，1,5UABIð.
故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 2.抛物线24yx的焦点坐标为（ ）
A. (1,0) B. (1,0) C. (0,1) D. (0,1) 【答案】B 【解析】 解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于x 轴正半轴，由24p ，可得：12p ，即焦点坐标为1,0 . 本题选择B选项. 3.下列直线与圆22112xy相切的是（ ）
A. yx B. yx C. 2yx D. 2yx 【答案】A 【解析】 【分析】 观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方程即可. 【详解】由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上， 圆心坐标为1,1，圆心与原点连线的斜率为1， 所以，圆22112xy在原点处的切线方程为yx.
故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题. 4.已知a、bR，且ab，则（ ）
A. 11ab B. sinsinab C. 1133ab D. 22ab
【答案】C 【解析】 【分析】 利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A选项，取1a，1b，则ab成立，但11ab，A选项错误； 对于B选项，取a，0b，则ab成立，但sinsin0，即sinsinab，B选项错误；
对于C选项，由于指数函数13xy在R上单调递减，若ab，则1133ab，C选项正确； 对于D选项，取1a，2b，则ab，但22ab，D选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.
5.在51xx的展开式中，3x的系数为（ ）
A. 5 B. 5 C. 10 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】 写出二项展开式的通项，令x的指数为3，求出参数的值，代入通项即可计算出3x的系数.
【详解】51xx的展开式通项为5525511kkkkkkCxCxx，令523k，得1k.
因此，3x的系数为1
515C
.
故选：A. 【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，考查计算能力，属于基础题. 6.已知平面向量ar、br、cr满足0abcrrrr，且1abcrrr，则abrr的值为（ ）
A. 12 B. 12 C. 32 D. 32
【答案】A 【解析】 【分析】 由等式0abcrrrr得abcrrr，等式两边平方可求出abrr的值. 【详解】由0abcrrrr可得abcrrr，等式两边平方得2222cababrrrrr，即221abrr，
因此，12ab
rr
.
故选：A. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属于中等题. 7.已知、、是三个不同的平面，且mI，nI，则“//mn”是“//”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出“//mn”是“//” 的必要而不充分条件. 【详解】如下图所示，将平面、、视为三棱柱的三个侧面，设a，将a、m、n视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“//mn”“//”；
另一方面，若//，且mI，nI，由面面平行的性质定理可得出//mn.
所以，“//”“//mn”，因此，“//mn”是“//”的必要而不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题. 8.已知等边ABC边长为3，点D在BC边上，且BDCD，7AD.下列结论中错误的是（ ）
A. 2BDCD B. 2ABDACDSS C. cos2cosBADCAD D. sin2sinBADCAD
【答案】C 【解析】 【分析】 利用余弦定理计算出BD，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行判断. 【详解】如下图所示： Q点D在BC边上，且BDCD，1322BDBC，
由余弦定理得2222cos3ADABBDABBD，整理得2320BDBD， 32BDQ，解得2BD，1CD∴，则2ABDACDSBDSCD，
由正弦定理得sinsinsin3BDADCDBADCAD，所以，sin2sinBADBDCADCD
.
由余弦定理得22227cos27ABADBDBADABAD，同理可得57cos14CAD， 则cos271442cos7557BADCAD
.
故选：C. 【点睛】本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 9.声音的等级fx（单位：dB）与声音强度x（单位：2/Wm）满足1210lg110xfx. 喷气
式飞机起飞时，声音的等级约为140dB；一般说话时，声音的等级约为60dB，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（ ） A. 610倍 B. 810倍 C. 1010倍 D. 1210倍
【答案】B 【解析】 【分析】 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x、2x，根据题意得出1140fx，
260fx，计算出1x和2x的值，可计算出12xx的值.
【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为1x、2x， 由题意可得111210lg140110xfx，解得2110x， 2
21210lg60110xfx
，解得6210x，所以，81210xx， 因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的810倍， 故选：B. 【点睛】本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属于中等题.
10.若点N为点M在平面上的正投影，则记NfM.如图，在棱长为1的正方体
1111ABCDABCD中，记平面11ABCD为，平面ABCD为，点P是棱1CC上一动点（与C、1C不
重合）1QffP，2QffP.给出下列三个结论：
①线段2PQ长度的取值范围是12,22； ②存在点P使得1//PQ平面； ③存在点P使得12
PQPQ^.
其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
【答案】D 【解析】 【分析】 以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，设点P的坐标为0,1,01aa，求出点1Q、2Q的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误. 【详解】取1CD的中点2Q，过点P在平面11ABCD内作1PECD，再过点E在平面11CCDD内作