【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教B版

C
3 4
D 1
(3)已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)上单调递增，则满足
f 2x 2 f ( 2) 的x的取值范围是(


)
2
A ,0
B 0,
2

C 0, 2

D(
2, )
【解题指南】解答本题需利用函数的奇偶性： (1)将求f(1)的值转化为求f(-1)的值的问题求解； (2)由题意可知f(-x)+f(x)=0，从而得到关于x的恒等式，再构 建a的方程求解； (3)得到 f 2x 2 f | 2x 2 | , 将原不等式转化为
【例3】(2011·新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实 数x满足：f x 1 1 , 且当x∈［-1,1］时，f(x)=x2.
f x
(1)求f(2 012);
(2)确定函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点个数.
【解题指南】解答(1)题需先由 f x 1 1
探究出函数
f (x)
f(x)的周期，进而利用周期性，求f(2 012),(2)作出y=f(x) 及y=|lgx|的图象，从而使问题得解.
【规范解答】(1)∵对任意x∈R,都有 f x 1 1 ,
f x
f x 2 f x 1 1
1 1 f x . 1 f x 1 f x
1 ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一 ② f x a f x
个周期；
③ f x a
个周期；
1 ，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一 f x
(2)如果T是函数y=f(x)的周期，则 ①kT(k∈Z,k≠0)也是函数y=f(x)的周期，即f(x+kT)=f(x)； ②若已知区间［m,n］(m<n)上的图象，则可画出区间［m+kT, n+kT］(k∈Z,k≠0)上的图象.
1 x
1 x
解得函数的定义域为(-1,1］,不关于原点对称，因此函数f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为：
(-∞，0)∪(0,+∞)，关于原点对称， ∵当x<0时，-x>0，则f(-x)=-(-x)2-x =-x2-x=-f(x)； 当x>0时,-x<0，则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(-x)=-f(x)成立， ∴函数f(x)为奇函数.
(C)2和4
【解题指南】解答本题需根据函数f(x)解析式的结构特征，构造 奇函数g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质g(-1)+g(1)=0,探究 出f(-1)+f(1)与c的关系，从而由c∈Z限定f(1)与f(-1)不可能的 取值.
【规范解答】选D.令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,
【反思·感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解 析式或图象，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其 他区间上的图象，关键是用好其周期性进行转化.
【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性
【典例】(2011·福建高考)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中 a,b∈R,c∈Z)，选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1)，所得出 的正确结果一定不可能是( (A)4和6 (B)3和1 ) (D)1和2
【反思·感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先要求定义域，
当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-x),否则
可能得到错误结论.
函数奇偶性的应用 【方法点睛】 应用函数奇偶性可解决的问题及方法
(1)已知函数的奇偶性，求函数值
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式
答案：(1)2 012
(2)2
判定函数的奇偶性 【方法点睛】 判定函数的奇偶性的常用方法及思路 (1)定义法：
确定定义域
定义域 关于原点对称 是
否 既不是奇函数 也不是偶函数
计算f(-x)
确定f(x)与f(-x)的关系
结论
(2)图象法：
(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇 偶性 奇函数与奇函数 差 和 奇函数 奇函数与偶函数 偶函数与偶函数 偶函数
③ yx
1 x
(
(
)
)
④y=3x-3-x
⑤y=|x|cosx
⑥y=x2,x∈(-1,1］
Байду номын сангаас
(
(
)
)
(2)已知f(x)=ax2+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b
的值是__________.
(3)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则 f(x)=__________. 【解析】(1)由奇函数、偶函数定义知，函数①,⑤为偶函数，②, ③,④为奇函数,⑥是非奇非偶函数.
第三节 函数的奇偶性与周期性
三年11考 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
高考指数:★★★
2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；
3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函
数的周期性．
1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向； 2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; 3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目.
(3)由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0,
∴f(-x)=(-x)2=x2, 又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2,
x 2 , x 0 综上，f x 0，x 0 . x 2 , x 0
答案：(1)①否
1 （2） 3
②是
③是
④是
⑤否
⑥否
x 2 , x 0 3 2 x , x 0
数，所以其图象关于y轴对称. (2)已知y=f(x)是偶函数，且其图象与x轴有5个交点，则方程 f(x)=0的所有实根之和是_______. 【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，故其与x轴的5个交点
亦关于y轴对称，或在y轴上，故其和为0.
答案：0
3.周期性 (1)周期函数：T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; f(x+T)=f(x) ②对定义域内的任意x都有_______________成立. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 最小的正数 ______________，那么这个______________就叫做它的最小正
f | 2x

2 | f 2 , 从而求解.
【规范解答】(1)选A.由奇函数的定义有f(-x)=-f(x)， 所以f(1)=-f(-1)=-［2×(-1)2+1］=-3. (2)选A.∵函数f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0恒成立， 即
x x 0 恒成立. 2x 1 x a 2x 1 x a
∴f(x)是以2为周期的函数，
∴f(2 012)=f(2×1 006+0)=f(0)=02=0.
(2)根据f(x)的周期性及f(x)在［-1,1］上的解析式可作图 如下
可验证当x=10时，y=|lg10|=1;
x>10时，|lgx|>1,因此结合图象及数据特点y=f(x)与
y=|lgx|的图象交点共有10个.
周期．
【即时应用】
(1)已知函数f(x),对 x∈R，都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)时，
f(x)=2 012x2,则f(2 013)=_________.
(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最 小正周期为_________.
【解析】(1)∵f(x+4)=f(x), ∴4为f(x)的一个周期， ∴f(2 013)=f(503×4+1)=f(1)=2 012×12=2 012. (2)∵f(x+1)=-f(x), ∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x). ∴最小正周期为2.
可化为(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)恒成立. 整理得2(1-2a)x=0恒成立，则必有1-2a=0,
1 a . 2
(3)选B.∵f(x)为偶函数，
f 2x 2 f | 2x 2 | ，



又f(x)在［0,+∞)上单调递增, ∴由 f | 2x 2 | f ( 2) 得：2x 2 2, 解得: 0 x 2.
【例2】(1)(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，
当x≤0时，f(x)=2x2-x，则f(1)=(
(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3
)
(2)(2011·辽宁高考)若函数 f x
则a=( )
x 为奇函数， 2x 1 (x a)
A
1 2
B
2 3
【解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原
点对称，再计算f(-x)，并判断其与f(x)的关系，从而得出函数
的奇偶性.
【规范解答】(1)显然函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 又∵f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)使 f x x 1 1 x 有意义，则有 1 x 0 且1+x≠0,
将待求区间上的解析式转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，
或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的 解析式.