实数的概念和运算
实数基本概念
实数基本概念实数基本概念及应用一、实数的定义与性质1.1 实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数。
其中，有理数包括整数和分数，无理数则是无法表示为有限小数或无限循环小数的数。
1.2 实数的性质实数具有连续性、完备性、有序性等性质。
连续性指实数在数轴上是可以无限接近的，没有间隙；完备性指实数可以表示为任意精确程度的有限小数或无限循环小数；有序性指实数可以按照大小进行比较，可以排序。
二、实数的表示方法2.1 有限小数表示法有限小数表示法是指用小数点后几位数字来表示实数的方法。
例如，123.45表示为有限小数123.45。
2.2 无限小数表示法无限小数表示法包括无限循环小数和无限不循环小数。
无限循环小数是指小数点后的数字重复出现，例如1/3=0.3333……。
无限不循环小数是指小数点后的数字不重复出现，例如π=3.141592……。
三、实数的运算3.1 加法运算实数的加法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
3.2 减法运算实数的减法运算按照加法交换律和结合律进行。
即a-b=a+(-b)，a-b-c=a+(-b)+(-c)。
3.3 乘法运算实数的乘法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a×b=b×a，(a×b)×c=a×(b×c)。
3.4 除法运算实数的除法运算按照乘法交换律和结合律进行。
即a/b=c，则ac=bc，c/a=b，则ca=cb。
3.5 指数运算实数的指数运算可以使用幂运算进行。
即a^b=c，则log(a)c=b。
3.6 对数运算实数的对数运算可以使用指数运算进行。
即log(a)b=x，则a^x=b。
四、实数在生活中的应用4.1 测量中的应用实数在测量中有着广泛的应用。
例如，长度、面积、体积等都可以用实数来表示。
4.2 工程中的应用在工程中，实数被广泛应用于计算各种物理量。
例如，物体的质量、速度、加速度等都可以用实数来表示。
实数的概念及计算
A. m+n<0 C. |m|−|n|>0
B. −m<−n D. 2+m<2+n
典型题
拓展延伸
（1）定义运算“＊”的运算法则是a＊b= ab 4 ,求（2＊6）＊8；
（2）一个数的算术平方根为2M-6，平
方根为M 2 ，求这个数。
互动探究
例 已知实数a在数轴上的位置如图1－2所示，则化简|1－a|＋ a2的结果为( )
义务教育教科书 数学 七年级 下册第六章实数
实数的概念及运算
七年级数学组
学习目标 1.掌握实数的运算法则和运算顺序； 2.会利用数轴估计实数的大小并进行比较。
情境引入
请同学们回忆有理数的运算律和运算法则
1.交换律 ： 加法 a+b=b+a 乘法a×b=b×a
2.结合律： 加法（a+b)+c=a+(b+c) 乘法（a×b）×c=a×（b×c）
3.分配律： a× (b+c)= a×b+ a×c
注：有理数的运算律和运算法则在实数范围内同样适用
自主学习
计算：
（1） 3 2 3 3 2 2 3
（2）
4
2
6
2 3
(3) (2)3 3 64 (2)2 (2)2 1 3
A．1
B．－1
图1－2 C．1－2a
D．2a－1
a2
a
a,a 0 a,a 0
课堂小结
你学到了什么？还有哪些疑惑？
课堂检测
计算：
（1）2 4 7 3 2 3
关于实数的知识点总结
关于实数的知识点总结一、基本概念1.1 实数的定义实数是一切有理数和无理数的总称。
有理数指整数和分数的集合，无理数指不能表示为分数形式的数。
实数包括了整数、有理数和无理数三种类型的数。
1.2 实数的表示实数可以用十进制、分数、无限不循环小数等形式表示。
其中，十进制形式是常见的实数表示形式，可以直观地表示出实数的大小。
1.3 实数的性质实数具有加法、减法、乘法、除法等运算性质，满足交换律、结合律、分配律等基本性质。
此外，实数还满足最大值和最小值的性质，即任何有上界的非空有限实数集合必有上确界，并且同样地有下确界。
二、实数的子集2.1 有理数集有理数包括整数和分数，其中整数是不含小数部分的数，分数是两个整数的比，可以用分数形式表示。
2.2 无理数集无理数是不能表示为有理数的数，其十进制表示形式为无限不循环小数。
无理数包括了无限多的十进制无限不循环小数，如$\sqrt{2}$、$\pi$等。
2.3 实数集实数集是有理数和无理数的总称，它包括了一切可以表示为十进制数的数。
三、实数的运算3.1 加法和减法实数的加法和减法满足交换律和结合律，对任意两个实数a和b，有a+b=b+a，a-b≠b-a。
3.2 乘法和除法实数的乘法和除法满足交换律和结合律，对任意两个实数a和b，有a×b=b×a，a/b≠b/a。
3.3 幂运算实数的幂运算是指a的n次方，其中a是实数，n是自然数。
幂运算的性质包括a的m 次方与a的n次方的乘积等。
3.4 开方实数的开方是指对任意非负实数a，存在唯一的非负实数b，使得b的平方等于a。
开方的性质包括平方根存在性和唯一性等。
四、实数的序关系4.1 实数的大小比较实数之间可以进行大小比较，对于任意两个实数a和b，有a<b、a>b或a=b中的一种关系。
4.2 实数的绝对值实数a的绝对值是指a到原点的距离，用|a|表示。
如果a≥0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。
实数的有关概念和运算
1 22
1、实数 , 0 , 27 ， 16 ， ， ，0 . 1010010001 ，3 . 1415 ，
3 7
3
其中无理数有( C )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
知识点:2：实数的有关概念数轴、相反数、绝对值
③ 数轴是一条可以向两端无线延伸的直线，故两端不能画端
点
知识点:2：实数的有关概念数轴、相反数、绝对值
2.相反数
（1）定义：
代数定义
像2与-2,5与-5这样，只有符号不同的两个数，叫做互为相反数
几何定义
在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点两侧，并到原点的距离相等
实数a的相反数为 -a ;
若a,b互为相反数, 则a+b=
0
知识点:2：实数的有关概念数轴、相反数、绝对值
3.绝对值
（1）定义
几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a
的绝对值，记作
代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是
它的相反数；0的绝对值是0
用符号表示：实数a的绝对值为|a|=
知识点3：实数的有关运算（有理数、无理数）
<
b.
4.根式比较法:a>b≥0⇔
5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b; (2)a-b<0⇔a<b; (3)a-b=0⇔a=b.
6.求商法比较:若b>0,则(1)
>1⇔a>b;Fra bibliotek(2)
<1⇔a<b;
(3)
=1⇔a=b.
1、实数的运算顺序是先算
《实数的概念》课件
详细描述
实数的指数运算满足a^m*a^n=a^(m+n)和(a^m)^n=a^(mn)等基本性质。
03
实数与数轴
数轴的定义
实数轴
一条无限延伸的直线，每个点对应一个实数，实数轴上 的点是连续且稠密的。
在科学研究、工业生产和日常生活中，物理量的测量和计算都发挥着至关重要的作用。实数使 得这些测量和计算具有可靠性和准确性。
金融和统计数据的表示
金融和统计数据涉及到大量的数值计 算和表示，实数在其中扮演着重要的 角色。例如，股票价格、经济增长率 、人口数量等都是以实数表示的。
实数的精确性和可靠性使得金融和统 计数据的表示和分析更加准确，有助 于做出正确的决策和预测。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以通过加法转换为加法运算， 即a-b=a+(-b)。
乘法运算
总结词
乘法运算的基本性质
详细描述
实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，即ab=ba，(ab)c=a(bc)，a(b+c)=ab+ac。
除法运算
总结词
除法运算的基本性质
详细描述
定义方式
通常采用代数定义，即通过有理数和无理数来定义实数 。
数轴上的点与实数的关系
对应关系
每个实数都可以在数轴上找到一 个唯一的点与之对应，反之亦然 。
顺序关系
实数在数轴上按照大小关系排列 ，从小到大或从大到小。
数轴上的连续性和稠密性
连续性
实数轴上的点是连续不断的，没有间 断或空隙。
稠密性
在任意两个不同的实数之间，总可以 找到一个新的实数。
实数的概念和运算
难点三， 难点三，实数的分类和大小比较
对实数的分类，要做到“标准一致，不重不漏” 实数的大小比较在于两个负数的比较，可以转 化为绝对值之间的大小比较。
1实数的分类 实数的分类
a按大小分 b按性质分
正有理数 正实数
0
正无理数 负有理数
实数
负实数
负无理数
按大小分类
有限小数及无限循环小数
整数 分数
4，数轴与其他概念关系 ，
在数轴上表示一对相反数（除原点）的两个点 同时满足：a,在原点左右两侧b,到原点距离相 等。 实数在数轴上的位置如图所示，则 平 方 的大小关系是（ ）。 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
小小测试
如果数轴上点A和B分别代表-3和1，点P到点A 或者点B距离为4的点，那么所有满足条件的 点P到原点的距离之和是＿＿＿ 注意：距离A的点P有两个，距离B的点P也有 两个。
开 方 是本身
求一个数的平方 求一个数的立方 根的运算叫开平 根的运算叫开立 方 方
0,1
0
0,1,-1
Hale Waihona Puke 1、平方根的定义：若 、平方根的定义：若 叫做a X2=a，则X就叫做a的 __________。 __________。 平方根
a的平方根用________表示 的平方根用________表示 2、平方根的性质 （1）一个正数有 2 平方根，它 们互为________ 们互为________ 相反数 （2）0的平方根还是____ 的平方根还是____ 0 （3）负数没有 平方根 ）负数_______ _______平方根 3、平方根的求法： 如求4 如求4的平方根： ∵ (±2)2 = 4 ∴4的平方根是±2 即
实质问题
1把握相关概念与性质：相反数关系、倒数关 系、绝对值关系，实数与数轴关系、科学记数 法、实数分类、大小比较方法。 2对实数计算运算意义和运算法则的把握，解 题时灵活应用运算律和运算性质，对含有符号 的运算要注意符号变化。
中考总复习实数的有关概念及运算
a = ⎨(a = 0)⎩ a ≤ 0x a第一章数与式1.1 实数的有关概念及运算●知识网络若 a, b 互为倒数，则有 ．（５）有效数字：一个近似数从左边第一个 数字起，到 止所有的数字，叫做这个近似数的有 效数字．如 0.02030 有 个有效数字．（６）科学记数法：将一个数记为 的形式，实 数●要点梳理1．实数的分类实数的分类实数的有 关概念数轴 相反数 绝对值 倒数有效数字 科学记数法（其中 a ），这种记数法叫做科学记数法．●考点解读知识与技能目标知识要点 了 理 掌 灵活解 解 握 运用求相反数与绝对值 √无理数和实数的概念，近似数与有效数字的概念 √实数2．实数的相关概念⑴有理数： ． ⑵无理数： ． ⑶实数： ． 3．实数中的重要概念⑴ 数轴：规定了 的直线叫数轴．实数与数轴上的点建立了 的关系． ⑵相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反 数，数 a 的相反数为 ，－y 的相反数为 ； 若 a 与 b 互为相反数，则 ；互为相反数的 两个数在数轴上到原点的距离 ．（3）绝对值：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到 ． 数 a 的绝对值记为 ． 绝对值的代数意义：⎧ (a ≤ 0)⎪ ⎪若 x = 2 则 x =，若 = -a ，则 a =．绝对值的结果是数，记为．（４）倒数：数 a (a ≠ 0)的倒数表示为．估计无理数的大小范围 √科学记数法 √●典例精析1【例 1】(2009.肇庆)实数 - 2,0.3, , 2,-π 中,无理数的7个数是 ( )A.2B.3C.4D.5解析 :无限不循环小数叫做无理数 , 2,-π 是无理数 ,所以选 A.【例 2】(2009.济南)2009 年 10 月 1 日,第十一届全运会 在美丽的泉城济南召开.奥体中心由体育场、,体育馆、游 泳馆、网球馆,综合服务楼三组建筑组成,呈“三足鼎立”、 “东荷西柳”布局.建筑面积约为 359 800 平方米,用科学 记数法表示建筑面积是 ( 保留 3 个有效数字 ) ( )A. 35.9 ⨯ 105 平方米B. 3.60 ⨯ 105 平方米C. 3.59 ⨯ 105 平方米D. 35.9 ⨯ 10 4 平方米解析:本题不仅考查科学记数法 ,同时也考查近似数中的 有效数字 .首先用科学记数法把 359 800 平方米表示为3.598 ⨯ 105 平方米,然后对 3.598 取保留 3 个有效数字取近似数得 3.598 ≈ 3.60 ,因此正确的答案是 3.60 ⨯ 105 平方米,选 B ．【例 3】(2009.长沙)已知实数 a 在数轴上的位置如右图所示,则化简 1 - a + a 2 的结果为 ( )-1 0 a 12的倒数的绝对值3D．－13D．3A．-4B．-1A.1B.-1C.1-2aD.2a-1解析:由数轴可知0＜a＜1,∴1－a＞０，∴1-a=1-a a2=a=a故原式=1-a+a=1，选Ａ．点评：本题综合考查了绝对值和算术平方根的意义，在求a2的算术平方根时，应先将其化为绝对值的形式，再进行化简．【例4】（2009.本溪）估算17+1的值在()A.2和3之间B.3和4之间C.4和5之间D.5和6之间A．大于0B．小于0C．小．于a D．大于b6．近似数0.056070的有效数字有（）个A．7B．6C．5D．47．(2010.鄂尔多斯)如图，数轴上的点P表示的数可能是（）A．5B．-5C．-3.8D．-108．(2009.泸洲)甲型H1N1流感病毒的直径大约是0.000000081米,用科学记数法可表示为()A.8.1⨯10-9米B.8.1⨯10-8米C.81⨯10-9米D.0.81⨯10-7米解析:首先估算17的值,因为16＜17＜25,所以4＜17＜5,所以5＜17+1＜6,故选D.二、填空题：9.(2010.巴中)-310．(2010.长沙)－3的相反数是．．点评:本题主要考查学生的估算能力,估计无理数的大小,先选取离它最近的两个整数,再进行估计．●能力训练A基础巩固一、选择题：1．（2010.丽水）下面四个数中，负数是() A．-3B．0C．0.2D．3 2．（2010.日照）－3的相反数是（）A．3B．3C．1313．(2010.莱芜)-的倒数是()3A．-3B．-1 3C．14．(2010.株洲)-4的绝对值是()11．（2010.盐城）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则a b(填“<”、“>”或“=”)．12．（2010.昭通）如图4，上海世博会的中国馆建筑外观以“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”为构思主题，建筑面积4.6457万平方米，保留两个有效数字是__________万平方米．三、解答题：13．若a,b互为相反数,c,d互为倒数,x的绝对值等2,求:a+b-cd+2x-3的值.14C．4D．4 5．（2010.宿迁）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值是（）-1a01bb = （．2 , -14．若实数 a, b 满足 a - 3 + (b + 2)2 = 0 .21. 已 知 有 理 数 a, b , c 在 数 轴 上 的 位 置 如 图 所 示 , 且求: (a + 2b )2011的值.a =b .c b 0 a(1)求: a 5 + b 5 的值.=0(2)化简: a - a + b - c - a + c - b + ac - - 2bB 能力提升15.(2010.莱芜)如图，数轴上 A 、B 两点分别对应实数 a 、b ，则下列结论正确的是 ( ) A ． ab > 0 B ． a - b > 0C ． a + b > 0D ． | a | - | b |> 0ABa -10 b 116.(2010.义乌)28 c m 接近于 ( )A ．珠穆朗玛峰的高度B ．三层楼的高度C ．姚明的身高D ．一张纸的厚度 17． 2010.南昌）按照下图所示的操作步骤，若输入 x 的 值为－2，则给出的值为 ．输入 x平方 乘以 3 减去 5 输出 x18 (2010.河北)如图，矩形 ABCD 的顶点 A ， B 在数轴上， D CCD = 6，点 A 对应的数为 - 1 ，则点 B 所对应的数AB22．若 a = 3 , b = 2 且 aab ,求: 3a - 2b 的值.为 ． 23．观察下面一列数,探究其规律:19 ． 已 知 a = 25 , b = -3 , 则 a 99 + b 100 的 末 位 数 字- 1, 1 1 1 1 13 ,4 , -5 ,6 ．．．．．．是 .20．(2009.嵊州)将自然数按以下规律排列,则位于第六行第四十五列的数是 .第一列 第二列 第三列 第四列 …第一行 1 2 9 10 … 第二行 4 3 8 11 … 第三行 5 6 7 12 … 第四行 16 15 14 13 … 第五行 17 … …(1)填出第 7,8,9 三个数 , , ,(2)第 2008 个数是什么?如果这一列数无限排列下去, 与哪个数越来越接近?。
8.3 实数及其简单运算 第1课时 实数的概念 课件(共21张PPT)
它们都可以
写成有限小
数或无限循
环小数的形
式.
讲授新课
事实上，如果把整数看成小数点后是0的小数，
那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循
环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小
数也都是有理数.
讲授新课
讨论
所有的数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式吗？2＝1.414 213 56…
不是. 如：
典例精析
例1
将下列各数分别填入下列相应的括号内：
1
9， ，
4
3
7，π，－ 16，－ 5，－ 8，
4
，0，
9
25，
0.3 232 232 223…
无理数:｛ 9， 7，π，－ 5，0.3232232223… ｝
1
3
4
有理数:｛ 4，－ 16，－ 8， 9，0， 25
｝
1
正实数:｛ 9， ， 7，π， 4， 25，0.3232232223… ｝
y 是（ C ）
输入x
是无理数
取算术平方根
输出y
是有理数
A.9
B.3
C.
3
D.±3
随堂检测
3.判断.
（1）实数不是有理数就是无理数. （
）
（2）无理数都是无限不循环小数. （
）
（3）带根号的数都是无理数.
（ × ）
（4）无理数都是无限小数.
（
）
（5）无理数一定都带根号.
（ ×
）
随堂检测
4．将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小
3 ≈ 1.442 249 570.
其结果都是无限
不循环小数，
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实数的概念和运算
实数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将介绍实数的概念、实数的分类以及实数的基本运算。
一、实数的概念
实数是数学中最基本的数集，包括有理数和无理数两部分。
有理数是可表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能以有限或无限循环小数的形式精确表示。
实数的表示形式有多种，最常见的是十进制表示法，即小数形式。
实数可以表示为有限小数或无限循环小数，例如：- 有限小数：0.25、1.5、3.78
- 无限循环小数：1.333...、2.71828...
除了十进制表示法，实数还可以用分数形式表示，例如：
- 分数形式：1/2、3/4、5/7
实数的性质包括可加性、可乘性等，使其成为数学中重要的研究对象。
二、实数的分类
根据实数的性质，我们可以将实数进行进一步的分类。
实数可以分为有理数和无理数。
1. 有理数
有理数包括整数、分数和整数部分为0的小数。
有理数之间可以进行加法、减法、乘法和除法运算，并且结果仍为有理数。
整数是正整数、负整数和零的集合，例如：-3、0、1、2。
整数之间的运算遵循基本的数学规则。
分数是两个整数的比值，例如：1/2、3/4、5/7。
分数之间的运算同样遵循基本的数学规则。
2. 无理数
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，它们无法用分数或
小数的形式精确表示。
常见的无理数有根号2、圆周率π等。
无理数与有理数的主要区别在于其十进制表示不会出现周期性
循环，例如根号2的十进制表示为1.41421356...，没有规律的循环。
三、实数的基本运算
实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面将依次介
绍这些运算。
1. 加法
实数的加法运算是指将两个实数相加，求得它们的和。
加法运
算遵循交换律和结合律。
例如，将实数-2和实数3相加，得到：
-2 + 3 = 1
2. 减法
实数的减法运算是指将一个实数减去另一个实数，求得它们的差。
减法运算不满足交换律，但满足结合律。
例如，将实数5减去实数2，得到：
5 - 2 = 3
3. 乘法
实数的乘法运算是指将两个实数相乘，求得它们的积。
乘法运算遵循交换律和结合律。
例如，将实数-2和实数3相乘，得到：
-2 × 3 = -6
4. 除法
实数的除法运算是指将一个实数除以另一个非零实数，求得它们的商。
除法运算不满足交换律，但满足结合律。
例如，将实数4除以实数2，得到：
4 ÷ 2 = 2
除法时需要注意被除数不为0，否则将得到无意义的结果。
综上所述，实数是数学中重要的概念之一，包括有理数和无理数。
实数可以用十进制表示法或分数表示法表示。
实数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，运算结果仍为实数。
掌握实数的概念和运算方法，对于数学的学习和应用具有重要意义。