函数概念与图像性质的关系
对数函数的图像及其性质
一、对数函数的概念
一般地，函数y = loga x (a＞0,且 a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量, 函数的定义域是（ 0 , +∞）值域R
求下列函数的定义域：
(1) y = log a x 2
1 (3) y = log 7 x- 1
(2) y = log a (4 - x)
- (0,+ (-4)
(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为
(3)
因为
3-x>0 x-1>0 x-1≠
所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)
(4)因为
4x-3>0
x>3/4
4x-3≤
与 x 轴的交点（1，0）
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升
R
增函数 在(0,+∞)上是：
探索发现:认真观察 x 函数 y log1
2
y 2
1 11
4 2
的图象填写下表
0 -1 -2
1 2 3 4
x
图象特征
图象位于y轴右方 与 x 轴的交点（1，0） 图象向上、向下无限延伸
代数表述
-1 O -1
-2
函数 :
y log a , y log b ,
x x
y log c , y log d
x
x
的图象如下，则a,b,c,d的大小关系为 ___________
Y
b>a>d>c
Y=logax Y=logb x
O
1 Y=logdx
函数的性质与函数图像的关系
函数的性质与函数图像的关系由特殊到一般,得出指数函数的图象特征,进一步得出图象性质：教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。
探究：指数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 探索研究：1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：（1）x )31(y =（2）x )21(y =（3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y =2．从画出的图象中你能发现函数x 2y =的图象和函数x )21(y =的图象有什么关系？可否利用x 2y =的图象画出x )21(y =的图象？3．从画出的图象（x 2y =、x 3y =和x 5y =）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？图象特征 函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 函数图象都过定点（0，1） 1a 0=自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于11a ,0x x >>1a ,0x x <>在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于11a ,0x x << 1,0><x a x图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21<；[来源:学科网要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。
函数性质图像知识点总结
函数性质图像知识点总结一、函数的定义在数学上，函数可以定义为一种特殊的关系，它将输入（自变量）映射到输出（因变量）。
具体来说，如果对于每一个自变量值，函数都有唯一的对应因变量值，那么这个关系就是一个函数。
形式上，我们可以用f(x)来表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量。
例如，y = 2x + 3就是一个函数，其中y是因变量，x是自变量。
二、函数的性质1.定义域和值域函数的定义域是指所有可能的自变量值的集合，而值域是所有可能的因变量值的集合。
在图像上，定义域通常表示为x轴上的取值范围，而值域则表示为y轴上的取值范围。
例如，对于函数f(x) = x²，其定义域为所有实数，而值域为非负实数集合。
2.奇函数与偶函数奇函数与偶函数是函数的对称性质。
如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就是偶函数。
奇函数在原点对称，而偶函数在y轴对称。
3.单调性函数的单调性是指在定义域上，函数值的增减关系。
如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≤f(x₂)，那么函数f(x)就是递增的；如果对于任意的x₁和x₂，当x₁< x₂时有f(x₁)≥f(x₂)，那么函数f(x)就是递减的。
4.周期性如果存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就是周期函数。
其中最小的T称为函数的周期，通常用P来表示。
常见的周期函数有sin(x)和cos(x)。
5.有界性函数的有界性是指函数值的范围限制。
如果存在两个实数M和N，使得对于任意的x，有|f(x)| ≤ M，那么函数f(x)就是有界的。
如果函数在定义域上有上界和下界，则称为有界函数。
6.反函数若对于一个函数f(x)，存在一个函数g(x)，使得f(g(x)) = x且g(f(x)) = x，那么函数g(x)就是函数f(x)的反函数。
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
函数的概念与函数图像的绘制
函数的概念与函数图像的绘制在数学的广袤天地中，函数是一个极其重要的概念，它就像一座桥梁，连接着数量之间的关系，帮助我们理解和描述各种自然和社会现象。
而函数图像则是函数的直观表现，通过图形能够让我们更清晰地洞察函数的性质和规律。
首先，咱们来聊聊函数的概念。
简单来说，函数就是一种对应关系。
假设我们有两个集合，集合 A 和集合 B，对于集合 A 中的每一个元素，按照某种特定的规则，在集合 B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么我们就说这构成了一个函数。
比如说，我们考虑一个生活中的例子：汽车行驶的路程与时间的关系。
如果我们把时间看作集合 A 中的元素，路程看作集合 B 中的元素，那么给定一个具体的时间，按照速度乘以时间等于路程的规则，就能唯一确定对应的路程。
这就是一个简单的函数关系。
再比如，在商店买东西时，商品的数量和总价之间也构成函数关系。
每种商品都有一个固定的单价，当确定了购买的数量，总价也就唯一确定了。
函数中的每一个输入值，也就是集合 A 中的元素，称为自变量；而通过函数关系得到的输出值，即集合 B 中的元素，称为因变量。
接下来，咱们谈谈函数的表示方法。
常见的有解析式法、列表法和图像法。
解析式法就是用数学式子来表示函数关系，比如 y ＝ 2x ＋ 1就是一个一次函数的解析式。
列表法呢，则是通过列出自变量和因变量的对应值来表示函数，像统计学生的考试成绩表就可以看作是一个函数的列表表示。
而图像法，就是我们今天要重点说一说的函数图像的绘制。
绘制函数图像的第一步是确定自变量的取值范围。
这要根据函数的实际情况来定，有些函数的自变量可以取任意实数，而有些则有一定的限制。
比如，在分式函数中，分母不能为零；在根式函数中，根号下的式子必须大于等于零。
确定好取值范围后，我们就可以选取一些有代表性的自变量的值，计算出相应的因变量的值，列出一个表格。
这些值选取得越多、越均匀，画出的图像就越准确。
然后，我们以自变量的值为横坐标，因变量的值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出这些点。
三角函数的概念、图像、性质
三角函数的概念、性质和图象【知识网络】一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合（α为第一象限角）： },2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ；与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ；与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；任意角的概念弧长公式角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式诱导 公式计算与化简 证明恒等式任意角的 三角函数三角函数的 图像和性质已知三角函数值求角和角公式倍角公式差角公式应用应用应用应用应用应用应用（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
（5）弧长公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αc s c ；=αsec ；=αcot ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
（2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
4.1.2第一课时指数函数的概念、性质与图像
(1)解析 因为y＝ax(a>0且a≠1)的图像过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1， 则f(－1)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图像过定点(－1，－1). 答案 (－1，－1)
(2)解析 因为y＝2x在R上是增函数，故当x∈[2，3]时，2x∈[4，8]，所以f(x)＝2x＋3的 值域为[7，11]. 答案 [7，11] (3)解 y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数 y＝3x 的图像关于 y 轴的对称图像得函数 y ＝3－x 的图像，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)的图像，最后再向 上平移 2 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2 的图像，如图所示.
4.1.2 指数函数的性质与图像 第一课时 指数函数的概念、性质与图像
课标要求
素养要求
1.通过理解指数函数的概念和意义，发展
1.了解指数函数的实际背景，理解指数 数学抽象素养.
函数的概念.
2.通过利用计算机软件作指数函数的图像，
2.掌握指数函数的性质与图像.
发展直观想象素养.
3.初步学会运用指数函数来解决问题. 3.通过指数函数的实际应用，提升数学建
解析 (1)①中，3x 的系数是 2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1 的指数是 x＋1， 不是自变量 x，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是 1，幂的指数是自变量 x， 且只有 3x 一项，故③是指数函数；④中，y＝x3 的底为自变量，指数为常数，故④
x
不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数；⑥中 y＝32＝( 3)x 是指数函数.
B.－89，8
C.19，9
D.19，9
一次函数的概念_图像和性质复习
一次函数的概念，图像和性质一次函数的概念 一般地，解析式形如y=kx+b(k,b 是常数，且0≠k )的函数叫做一次函数。
一次函数的定义域是一切实数。
当b=0时，y=kx （0≠k ）是正比例函数。
一般地，我们把函数y=c （c 为常数）叫做常值函数。
Y=-1,π=y ,2)(=x f 都是常值函数。
二、一次函数的图像1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（截距有正负）（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).三、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线 l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k 1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k2.四、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数(0)y kx k =≠一定经过 点，经过(1)， ，一次函数(0)y kx b k =+≠经过(0)，点，(0) ，点． 2.直线26y x =-+与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。
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函数概念与图像性质的关系
函数概念与图像性质之间存在着密切的关系。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中的规则或关系。
函数的图像则是由函数定义域内所有元素在值域上的对应的点所组成的。
下面是几个与函数概念相关的图像性质：
1. 定义域：函数的定义域是指输入值的集合。
图像能帮助我们理解函数的定义域。
如果函数在某个区间内具有定义，那么在图像上就会有对应的点。
2. 值域：函数的值域是指输出值的集合。
图像可以帮助我们理解函数的值域。
如果函数在定义域内取到了某个特定的值，那么图像上就会存在对应的点。
3. 单调性：函数的单调性描述了函数在给定区间内的增减趋势。
图像上的曲线可以显示函数的单调性。
如果函数在某个区间内是递增的，那么对应的图像曲线应该是向上的。
4. 极值点：函数的极值点是函数达到最大值或最小值的点。
图像可以帮助我们找到函数的极值点。
在图像上，极值点对应的地方通常是曲线的最高点或最低点。
5. 对称性：函数的对称性描述了函数图像关于某条直线对称的特征。
图像上的对称性可以帮助我们判断函数是否具有对称性。
如果函数图像关于y轴对称，那
么函数具有奇偶性。
总之，函数概念与图像性质之间是相互关联的。
通过观察函数的图像，我们可以更加直观地理解函数的定义域、值域、单调性、极值点和对称性等性质。
同时，通过这些性质，我们也能够更好地理解和分析函数的行为。