第1讲 一次函数的概念与图像(学生版)

第1讲 一次函数的概念与图像
知识精要
一、一次函数的概念
1、概念：一般地，解析式形如y kx b =+（k 、b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数。

定义域：一切实数。

2、一次函数与正比例函数的关系：
正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。

3、常值函数
一般的，我们把函数()
y c c =为常数叫做常值函数。

二、一次函数的图像 1、画法：列表、描点、连线
2、直线的截矩：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距。

3、一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移得到：
当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 单位。

4、已知两直线111y k x b =+和222y k x b =+
1）12k k ≠⇔两直线相交
2）1212k k b b =≠⇔且两直线平行
3）1212k k b b ==⇔且重合
5、一次函数与一元一次不等式的关系：
由一次函数y kx b =+的函数值y 大于0（或小于0），就得到关于x 的一元一次不等式0kx b +>（或0kx b +<）。

在一次函数y kx b =+的图像上且位于x 轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集。

精解名题
例1、直线2y x =-与y 轴交于点A ，直线y kx b =+与y 轴交于点B ，且与2y x =-交于点C ，已知点C 点纵坐标为1，且S △ABC ＝9，求k 与b 的值。

例2、一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是－3 ≤x ≤6，相应函数值的取值范围是
－5≤y≤－2，求这个一次函数的解析式。

例3、 已知：一条直线经过点A （0，4）、点B （2，0），将这条直线向左平移与x 轴负半轴、y 轴负半轴分别交于点C 、点D ，使DB ＝DC 。

求：以直线CD 为图象的函数解析式
例4、如图，直线L ：22
1
+-
=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点 C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。

（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式； （3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。

巩固练习
1、下列函数中，是一次函数的有（ ）个 △y=x; △x y 3=
;△65+=x y ;△1
1-=x y ;△23x y =. A.1 B.2 C.3 D.4
2、下列哪个点在一次函数43-=x y 上（ ） A.(2,3) B.(-1,-1) C.(0,-4) D.(-4,0)
3、一次函数y=-2x+3的图像所经过的象限是（ ）
A.一、二、三
B.二、三、四
C.一、三、四
D.一、二、四 4、如图所示，表示直线y=-x -2的是( )
2
-2-2
2
-2
-2
22
D
C
B
A
y
x
O
y
x
O y x
O O x
y
5、点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y ＝－4x + 3 图象上的两个点，且 x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）
A ．y 1＞y 2
B ．y 1＞y 2 ＞0
C ．y 1＜y 2
D ．y 1＝y 2
6、一次函数y=kx+b 的图像经过第一、三、三、四象限，则（ ） A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＜0 D.k ＜0,b ＞0
7、已知正比例函数y=kx 的图像经过第一、三象限，则一次函数y=kx -k 的图像可能是图中的（ ）
8、一根蜡烛长30cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时蜡烛剩余的长度h （cm ）和燃烧时间
t （小时）之间的函数关系用图像可以表示为图4中的（ ）
9、一次函数y=kx+b 的图像经过点（12+m ，1）和（-1，12
+m ）（m≠0），则k 、b 应满足的条件是（ ）
A.k ＞0,b ＞0
B.k ＞0,b ＜0
C.k ＜0,b ＜0
D.k ＜0,b ＞0
10、小红骑自行车到离家为2千米书店买书，行驶了5分钟后，遇到一个同学因说话停留
10分钟,继续骑了5分钟到书店.图5中的哪一个图象能大致描述她去书店过程中离书店．．．
D
C B A y
x
O
y
x
O
y
x
O
O
x
y
D
B
A
的距离．．．s (千米)与所用时间t （分）之间的关系( )
11、已知y m +与()
,x n m n +为常数成正比例， （1） 判断y 与x 成什么函数关系；
（2）如果当3x =时，y =5;当x =5时，y =11, 求y 与x 的函数关系式。

12、已知一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26x -≤≤，相应函数值y 的取值范围
是119y -≤≤，求此函数的关系式。

13、已知直线1l 过点A(0,2)及C(1,1)直线2l 过点B （0，-2）及点C
（1） 求直线1l 和直线2l 的函数解析式；
（2）当x 为何值时，
12
y y =？
12
y y >？
12
y y <？
（3）当x 为何值时，不等式组12
0y y >⎧⎨>⎩成
14、已知直线23y x =+与直线21y x =--，（1）求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标； （2）求两直线交点C 的坐标；（3）求ABC ∆的面积。

15、在直角坐标系中，O 为原点．点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数12
y x
=
的图象经过点A ． （1）求点A 的坐标；
（2）如果经过点A 的一次函数图象与y 轴的正半轴交于点B ，且OB AB =，求这个一次函数的解析式．
热身练习
1、函数39y x =-+的截距是 ，它与x 轴的交点坐标为
2、一次函数y kx b =+的图像经过点（1，5），交y 轴于点(0,3),则k= ，b=
3、若点（2m,m+3）在函数1
22
y x =-
+的图像上，则m= 4、直线36y x =+与坐标轴围成的三角形的面积为
5、若直线y ＝
2
x
＋n 与y ＝mx －1相交于点（1，－2），则（ ）． A. m ＝
12，n ＝－52 B. m ＝
1
2
，n ＝－1 C. m ＝－1，n ＝－
52 D. m ＝－3，n ＝－32
6、已知一次函数的图像经过点（-1，3）和点（2，-3），
y
x
O
（1）求一次函数的解析式；
（2）判断点（-2，5）是否在该函数的图像上。

7、已知函数()()243y m x n =++-，求
（1）当n m ,为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方？ （2）n m ,为何值时，函数图像经过原点？
自我测试
1、直线24y x =-+经过点 与点
2、函数53y x =-，当2x =时，y = ；当7y =时，x = 。

3、在同一坐标系中，直线2y x =-与直线23y x =-+的位置关系是 。

4、将直线132
y x =-+向下平移3个单位，得到直线y = 。

5、在同一直角坐标系中，直线3y x =-+和直线23y x =-+都经过点 。

6、将直线45y x =-向上平移7个单位，得到直线 。

7、已知函数3m b y x b -=+是正比例函数，则m = ，b = 。

8、一次函数y kx b =+的图像经过点(1,1)-，且与直线25y x =-+平行，则此一次函数的解析式为 。

9、已知2y +与x 成正比例，且1x =时，6y =-，则y 与x 的函数关系式是
10、已知23y -与31x +成正比例，且2x =时，5y =，（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出它是什么函数。

（2）当1x >-时，求函数y 的取值范围。

11、已知正比例函数1y k x =的图像与一次函数29y k x =-的图像交于点P （3，-6），
（1）求12,k k 的值；（2）如果一次函数29y k x =-的图像与x 轴交于点A ，求∆AOP 的面积。

12、已知A(8,0)及在第一象限的动点P （x,y)，且10x y +=,设△OPA 的面积为S.
（1）求S关于x的函数解析式；（2）求x的取值范围；
（3）求S=12时P点坐标。