一次函数的概念和图像

1、 一次函数的概念（1） 一般地，解析式形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数； （2） 一次函数y kx b =+的定义域是一切实数；（3） 当0b =时，解析式y kx b =+就成为y kx =（k 是常数，且0k ≠）这时，y 是x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；（4） 一般地，我们把函数y c =（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．一次函数的图像及性质知识结构知识精讲模块一：一次函数的概念【例1】下列函数中，哪些是一次函数?（1）232y x =-；（2）12y x -=；（3）(5)(0)y m x m =-≠； （4）1(0)y ax a a =+≠ ； （5）(0)ky kx k x=+≠；（6）(3)(3)y k x k =-+≠-．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】（1）已知函数2(2)1y k x =-+是一次函数，则k 的取值范围是_________；（2）当m =________时，函数215(4)my x m -=+-是一次函数，且不是正比例函数．【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】已知一个一次函数，当自变量2x =-时，函数值为1y =-；当2x =时，11y =．求这个函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析【例4】已知一次函数()23317k k y k x -+=-+是一次函数，求实数k 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例5】若()f x 是一次函数，且[()]87f f x x =+，求()f x 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例6】若()f x 是一次函数，且{[()]}4f f f x x =-+， （1） 求(0)f 的值；（2） 若()f m =1，求m 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、 一次函数的图像：一般地，一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的图像是一条直线．一次函数y kx b =+的图像也称为直线y kx b =+，这时，我们把一次函数的解析式y kx b =+称为这一直线的表达式．画一次函数y kx b =+的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．2、 一次函数的截距：一条直线与y 轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y 轴上的截距，简称直线的截距， 一般地，直线y kx b =+（0k ≠）与y 轴的交点坐标是(0)b ，，直线y kx b =+（0k ≠）的截距是b ．3、 一次函数图像的平移：一般地，一次函数y kx b =+（0b ≠）的图像可由正比例函数y kx =的图像平移 得到．当0b >时，向上平移b 个单位；当0b <时，向下平移b 个单位． （函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”） 4、 直线位置关系：如果12b b ≠，那么直线1y kx b =+与直线2y kx b =+平行．反过来，如果直线11y k x b =+与直线22y k x b =+平行，那么12k k =，12b b ≠．【例7】若一次函数2(3)(9)y a x a =-+-函数图像过原点，求a 的值，并在坐标系中画出函数的图像． 【难度】★例题解析知识精讲模块二：一次函数的图像【答案】【解析】【例8】若一次函数y kx b=+，当x=2时，y=-1，且函数图像的截距为-3，求函数的解析式．【难度】★【答案】【解析】【例9】若一次函数y=-x+b的图像的截距是-4，求将这个一次函数向左平移2个单位后的函数解析式．【难度】★【答案】【解析】【例10】将直线y=+1向右平移1个单位，相当于将直线y=+1向上平移了多少个单位? 【难度】★★【答案】【解析】【例11】已知一次函数的图像平行于直线y=23x，且当3x=-时，函数y的值是1，求这个函数解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例12】若直线2(3)(21)y m x m =-++与直线23y x =-+平行，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例13】根据下列条件，求解相应的直线表达式．（1）直线经过（3，2）以及（1，1）； （2）直线经过（7，0）以及截距是14；（3）直线经过(30)-，以及截距是【难度】★★ 【答案】 【解析】【例14】直线2(13)(22)y k x k =-+-与已知直线21y x =-+平行，且不经过第三象限，求k 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例15】设点P (3，m )，Q (n ，2)都在函数y =x +b 的图象上，求m +n 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例16】设一次函数y kx b=+的图像过点P（3，2），它与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且OA+BO=12时，求一次函数的解析式．【难度】★★【答案】【解析】【例17】已知一次函数21544my x+=-与233my x=-+的图像在第四象限内交于一点，求整数m的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例18】已知两个一次函数14 4by x=--和212y xa a=+；（1）a、b为何值时，两函数的图像重合?（2）a、b满足什么关系时，两函数的图像相互平行?（3）a、b取何值时，两函数图像交于x轴上同一点，并求这一点的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【例19】（1）一次函数3y x b=+的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求b的值；（2）一次函数y kx b=+的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，求一次函数的解析式．【难度】★★★【答案】【解析】【例20】（1）求直线14222y x y x =-=+和与y 轴所围成的三角形的面积； （2）求直线24y x =-与直线31y x =-+与x 轴所围成的三角形的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例21】如图，已知由x 轴、一次函数4(0)y kx k =+<的图像及分别过点C （1，0）、D （4，0） 两点作平行于y 轴的两条直线所围成的图形ABDC 的面积为7，试求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】1、 一次函数的增减性：一般地，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，0k ≠）具有以下性质： 当0k >时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大，图像为上升； 当0k <时，函数值y 随自变量x 的值增大而减小，图像为下降．知识精讲模块三：一次函数的性质2、一次函数图像的位置情况：直线y kx b =+（0k ≠，0b ≠）过(0,)b 且与直线y kx =平行，由直线y kx =在平面直角坐标系内的位置情况可知：（要用图像的平移推导可得） 当0k >，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、三象限； 当0k >，且0b <时，直线y kx b =+经过一、三、四象限； 当0k <，且0b >时，直线y kx b =+经过一、二、四象限； 当0k <，且0b <时，直线y kx b =+经过二、三、四象限．【例22】如果一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（）A ． 0k >，0b >B ．0k >，b <0C ．0k <，b >0D ．0k <，0b <【难度】★ 【答案】 【解析】【例23】一次函数y =－2x +3的图象不经过的象限是 （ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析【例24】根据下列条件填空：（1）已知函数245(1)(3)mm y m x m -+=-+-，当m 等于______时，它是一次函数，此时它的图象经过__________象限，y 随x 的增大而_____________；（2）如果一次函数2y x =和y x k =+的图象的交点在第一象限，则k 的取值范围是_________；（3）已知关于x 的一次函数(27)2y a x a =-+-的图象与y 轴的交点在x 轴的上方，且y 随x 的 增大而减小，则a 的取值范围是________________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图像画在同一平面直角坐标系内，则有一组a ，b 取值，使得下列四幅图中的一个为正确的是（ ）ABCD【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】若k 、b 是一元二次方程20x px q +-=的两个实根（0kb ≠），在一次函数y kx b =+中，y 随x 的增大而减小，则一次函数的图像一定经过（ ）A、第一、二、四象限B、第一、二、三象限C、第二、三、四象限D、第一、三、四象限【难度】★★【答案】【解析】【例27】已知0abc≠，而且a b b c c apc a b+++===，那么直线y px p=+一定经过（）A、第一、二象限；B、第二、三象限；C、第三、四象限；D、第一、四象限【难度】★★★【答案】【解析】【例28】在式子()y kx b k b=+，为常数中，3119x y-≤≤≤≤当时，，kb求的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例29】已知一次函数1121y xk=+-中y随x的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三角形的面积不超过32，反比例函数23kyx-=的图像在第二、四象限，求满足以上条件的k的整数值．【难度】★★★【答案】【解析】【例30】如图，已知函数1y x =+的图象与y 轴交于点A ，一次函数y kx b =+的图象经过点 B （0，1-），并且与x 轴以及1y x =+的图象分别交于点C 、D ；（1）若点D 的横坐标为1，求四边形AOCD 的面积（即图中阴影部分的面积）；（2）在第（1）小题的条件下，在y 轴上是否存在这样的点P ，使得以点P 、B 、D 为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P 坐标；如果不存在，说明理由；（3）若一次函数y kx b =+的图象与函数1y x =+的图象的交点D 始终在第一象限，则系数k的取值范围是________（请直接写出结果）．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 根据下列与的关系式，判断是否是关于的一次函数?（1）23y x +=-；（2）2xy xy x =-； （3）2331x y -+=-．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 已知：2231()3m m y m m x m -+=-+-是一次函数，则m =_________．【难度】★ 【答案】 【解析】随堂检测A BC DO xy【习题3】 已知一次函数y kx b =+（0k ≠），把它的图像向右平移3个单位，再向下平移5个单位，所得到的图像与原来的图像重合，则k =___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】 已知23(2)1m y m x m -=++-表示关于x 的一次函数；（1）求函数解析式；（2）求(10)f ，1()2f -的值；（3）如果()4f a =，求实数a ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题5】 若直线23y mx m =++的截距是4，且y 随x 的增大而减小，求该直线的函数解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】 若00b ca a<>，，请指出一次函数y abx ac =+的图像所经过的象限． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】 已知2217(45)2(1)my m x x m x λ-=-+-++是一次函数，且当1x =时，5y =，试写出满足条件的m 和λ，并写出解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题8】 已知一次函数(1)4y m x m =-+-不经过第二象限，求m 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】 已知直线23y x =-，把这条直线沿y 轴向上平移5个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，求两次平移后的直线解析式? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题10】 根据下列要求求一次函数解析式：（1）一次函数经过A (23)，且其与y 轴的截距为-2；（2）一次函数的截距为-5，且与1y =+无交点； （3）一次函数的图像经过点( 1.2 4.5)(2.4 2.7)M N --，，，．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题11】 已知一次函数y kx b =+（0k ≠）与x 轴、y 轴围成的三角形面积为24，且与直线4733y x =-平行，求此一次函数的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题12】直线1l ：y kx b =+过点B （-1，0）与y 轴交于点C ，直线2l ：y mx n =+与1l 交于点P（2，5）且过点A （6，0），过点C 与2l 平行的直线交x 轴于点D ； （1）求直线CD 的函数解析式； （2）求四边形APCD 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题13】如图所示，直线323y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将DAB ∆沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题14】直线31y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，且90BAC ∠=，如果在第二象限内有一点P （a ，12），且ABP ∆的面积与Rt ABC ∆的面积相等，求a 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ）222211.3(1) .. .(3)A y x B y x C y x D y x x x x =-=+=-=+-　【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 正比例函数y =(1－2m )x 的图象经过点（x 1，y 1）和点（x 2，y 2）当x 1＜x 2时，y 1＞y 2 ，则m 的取值范围是（ ） A ．m <0B ．m >0C ．m ＜12D ．m ＞12【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】 一次函数(2)3y k x k =-+-的图像能否可以不经过第三象限?为什么? 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业4】 已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点第四象限，那么k 的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业【作业5】 如图，据函数y kx b =+的图像，填空：（1） 当1x =-时，y =____________；（2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当24x -≤≤时，y 的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】 根据下列条件求解相应函数解析式：（1）直线经过点(45)，且与y=2x +3轴无交点； （2）直线的截距为(1． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业7】 已知函数1y x =+与3y x =-+，求：（1）两个函数图象交点P 的坐标． （2）这两条直线与x 轴围成的三角形面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】把一次函数的图像向上平移个单位，得到的函数解析式为y x =-，求平移前的函数图像与函数y x =-- 【难度】★★ 【答案】 【解析】xy2 -4O【作业9】直线1y =+和x 轴、y 轴分别相交于点A 、点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ，如果在第一象限内有一点P （12m ，）且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．【难度】★★★【答案】 【解析】【作业10】 函数12y y y =+且12y x m =+，2131y x m =+-． （1）若12y y 与图像的交点的纵坐标为4，求y 关于x 的函数解析式；（2）若（1）中函数y 的图像与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，若将此函数绕A 点顺时针旋转90°后交y 轴于C 点，求直线AC 的解析式．【难度】★★★ 【答案】 【解析】（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。