数学建模作业-人口增长模型

论文结构合理，模型建立详细，思想明确，论述清楚程序和拟合是文章的亮点，模型建立完了没有做误差分析，如果补完整是一篇很不错的文章。

摘要
•随着科学技术的发展，国内资金积累量在不断增加，但是中国人口近几年还是呈增加的趋势，这样就会影响人均收入。

由于国民收入是资金积累的一部分，国民收入变化可以反映资金积累的变化。

因此研究资金积累、国民收入与人口增长的关系可以转化成研究资金积累与人口增长的关系。

若国民平均收入与按人口平均资金积累成正比，说明仅当资金积累的相对增长率大于人口的相对增长率时，国民平均收入才是增长的。

所以认识资金积累与人口增长的关系，对国民平均收入的增长有重大意义。

本文通过微分方程建立三个模型，即人口Malthus模型、资金积累指数模型、资金积累增长率与人口增长率的二次曲线模型。

通过资金积累与人口增长的关系来分析国民平均收入。

关键词：资金积累人口增长国民平均收入资金积累增长率人口增长率
一、问题的重述
资金积累、国民收入、与人口增长的关系：
（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的. （2）作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会引起什么后果.
二、问题分析
人均国民收入主要与国家资金总积累量和总人口数有关，若总人口数的增长率大于资金积累增长率，则增长的资金不能使每一位国民增加收入，只能使少量国民收入增加，因此，总体来说，国家人均收入实际上是减少的。

三、模型假设
假设总资金增长和人口增长均为指数增长，资金积累增长率和人口增长率为二次曲线模型。

四、符号说明
a为国民收入在总资金积累中所占比例；
y(t)为总资金积累量；
N（t）为总人口数；
Nm为人口的峰值；
x(t) 为人均国民收入；
r 为人口增长率；
k 为资金积累增长率。

五、模型的建立与求解
（1）人口增长模型曲线如图1所示：
图1
通过图形，用MATLAB 编程可建立指数增长模型
6
110
)()(⨯+=⨯t
e
t N αα 其中0127
.01
=α 0058
.02
=α
（2）总资金积累模型曲线如图2所示：
图2
由曲线可知资金增长是呈指数整长的并通过MATLAB编程得到指数模型：y(t)=（0.001+e x
003
.0） 106。

国民平均收入如图3所示，由图1和图2可得，国民平均收入呈稳步增长趋势。

图３
总资金积增长率的实际曲线如图4所示：由图可知总资金积增长率的波动较大，80年到84年呈增长趋势，85年到90年呈下降趋势，94年过后较平滑点。

图４
总资金积增长率的实拟合曲线如图5所示：由曲线可得到总资金积增增长率的二次曲线模型，即：k=-0.0007x2+0.0081x+0.0783。

1980
198519901995200020052010
0.020.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
图５
人口自然增长率实际曲线如图6所示：由图可知人口增长率呈下降趋势，但总人口数在不断增加。

图６
人口自然增长率的拟合曲线如图7所示：由拟合曲线可得到人口自然增长率的二次曲线模型，r=-0.0001 t2+0-495.8072
1980
198519901995200020052010
0.020.040.060.080.10.120.140.16
0.18
图７
综上可知：
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨
⎧→∆⨯⨯⨯=∆-∆+=∆+⨯=⨯+=→∆⨯0
,)()()()(lim )
()()()(10
)()(06
1t r t N k t y t t y t t y dt t t dX t N t y t X e t N t t αααα ∴当
k 大于r 时，国民收入才会增加。

当人口激增时，在一定程度上，人口资金积累和人均国民收入相对减少，人们生活水平就会下降。

因此，国家应该实施宏观调控，以控制人口增长，以保证人们的生活水平进一步提高。

六、模型的评价
模型的优点
（1）用Matlab 和Excel 工具对问题中数据的进行处理，得到了较为精确的像坐标。

（2）建立的模型与实际问题联系紧密，结合实际情况对所提出的问题进行求解，使模型更贴近实际，通用性强。

模型的缺点
（1） 由于人口增长率涉及到出生率和死亡率，所以无法很准确的统计到每年人
口的实际数据，只能建立一个估计的模型。

（2）由于每年资金积累率曲线波动很大，所以很难建立准确的拟合曲线来反映资金积累率的变动趋势。

参考文献
《资金积累论》顾建国１９９４
附录
程序：
资金积累与资金增长率：
x=[1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008];
y=[0.078 0.052 0.091 0.109 0.152 0.135 0.088 0.116 0.113 0.041 0.038 0.092 0.142 0.14 0.131 0.109 0.1 0.093 0.078 0.076 0.084 0.083 0.091 0.1 0.101 0.104 0.116 0.13 0.089];
plot(x,y,'r')
hold on
p=polyfit(x,y,3)
x1=linspace(min(x),max(x),300);
y1=polyval(p,x1);
plot(x1,y1)
在Matlab下输入：edit，然后将下面两行百分号之间的内容，复制进去，保存function F=zhidao_fit_4(a,x)
F=a(1)+exp(a(2)*x);
资金增长率：
x=[0:28];
y=[0.078 0.052 0.091 0.109 0.152 0.135 0.088 0.116 0.113
0.041 0.038 0.092 0.142 0.14 0.131 0.109 0.1 0.093 0.078
0.076 0.084 0.083 0.091 0.1 0.101 0.104 0.116 0.13 0.089]; plot(x,y,'r')
hold on
p=polyfit(x,y,3)
x1=linspace(min(x),max(x),300);
y1=polyval(p,x1);
plot(x1,y1)。