行列式按行列展开

§6 行列式按行（列）展开

一、余子式与代数余子式 定义1.6 在行列式

111111

j n i ij in n nj

nn

a a a a a a a a a

中划去元素a ij 所在的第i 行与第j 列，剩下的(n -1)2

个元素按原来的顺序构成的n -1级行列式

111,11,111,11,1

1,1

1,1,11,11,11,1

,1,1

j j n i i j i j i n i i j i j i n n n j n j nn

a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+

称为元素ij a 的余子式，记为ij M .记

(1)i j ij ij A M +=-，

称ij A 为元素ij a 的代数余子式.

由定义可知，ij A 与行列式中第i 行、第j 列的元素无关. 例如，在4阶行列式中 ,23a 的代数余子式为

.)(44

42

41

343231

141211

2332231a a a a a a a a a M A -=-=+ 二、行列式的依行依列展开定理

引理 对于n 阶行列式D ，如果第i 行元素除ij a 外全部为零，那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即

ij ij D a A =.

证 先证1,1i j ==的情形.即

11

21222321

2

3

000n n n n nn

a a a a a D a a a a =

232323()1123(1)n n n

j j j j j nj j j j a a a a τ=

-∑ 232323()11

23(1)n n n

j j j j j nj j j j a a a a τ=-∑

21

2223233311

2

3n n n n nn

a a a a a a a a a a =

11111111111111(1)a M a M a A +==-=.

对一般情形，只要适当交换D 的行与列的位置，即可得到结论.

定理1.3（依行依列展开定理） 行列式D 等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

1122i i i i in in D a A a A a A =+++ （i =１，２，…，n ）

或

1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++ （j =１，２，…，n ）.

证

11121121

200

000

00n i i in

n n nn a a a D a a a a a a =

++++++++++

1112111121111211

21

2

1

2

1

2

00000

0n n n i i in n n nn

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++

1122i i i i in in a A a A a A =+++ .

行列式的依行依列展开定理的意义：可把高阶行列式化为较低阶行列式来计算. 例1.11 计算行列式

2004310050100

232

D =

. 解 由定理3知

1114100

310

2(1)0104(1)501232033D ++=⋅-+⋅-

224(615)88=⨯-⨯--=.

注意:直接利用依行依列展开定理并不能简化计算,应利用行列式的性质将行列式的某

行(列)的元素尽可能多的化为0,然后依此行(列)展开.

例1.12 计算行列式

.7

110025102

02140214=

D 解 在第二行中保留121=a ,其余元化为0：

.7

110202510000132274---=D

依第2行开展，得

.6122

12117934171897

113401718

097112021532271=---⨯=---=----=----=D

例1.13 计算行列式

1111

1111

11111111x x D y y

+-=

+-.

解 当

或

时，显然D =0，现假设0≠x 且0≠y ，由引理知

11111011110111

10111101111x D x y y +=

-+-

111111000100010001000x x y y -=----- 2211111

0000

000000000

x x y x y y

==--. 注：以上所用的方法称为加边法.

例1.14 证明范德蒙（V an dermo n de ）行列式

1

2

3

2

22212

3

11

1

1112

3

1111()n

n n i j j i n

n n n n n

x x x x V x x x x x x x x x x ≤≤≤----==

-∏

,

其中连乘积

2131132212211()()()()()()()()()

i j n n n n n n n n j i n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----≤≤≤-=--------∏

是满足条件1≤j

证 用数学归纳法证明.当n =2时，有

22112

1

2

11()i j j i V x x x x x x ≤≤≤=

=-=

-∏

,

结论成立.假设结论对n -1阶范德蒙行列式成立，下面证明对n 阶范德蒙行列式结论也成立.

在V n 中，从第n 行起，依次将前一行乘-x 1加到后一行，得

2132122133212

2

2

221332111110

0()

()

()

()

()

()

n n n n n n n n n n n n x x x x x x V x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------=

------