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高中解析几何专题（精编版）

1. （天津文）设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)

P a b 满足212||||.PF F F =

（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与

圆

22(1)(16x y ++-=相交于M ，N 两点，且5

||||8

MN AB =，求椭圆的

方程。

【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距

离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。

（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，

2c =，整理得2

210,1c c c a a

a ??

+-==- ???得（舍）

或11

,.22

c e a ==所以

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直

线FF 2

的方程为).y x c =-

A ，

B 两点的坐标满足方程

组2223412,

x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得

2580x cx -=。解得1280,5x x c ==

，得方程组的解21128,0,5,.

x c x y y ?=?=???

=???=??

不妨设8,55A c c ??

? ???

，

(0,)B ，

所以16||.5AB c == 于是5

||||2.8

MN AB c ==

圆心(-到直线PF 2

的距离|||2|

.22

c d +=

= 因为2

||42MN d ??+= ???

，所以223(2)16.4c c ++=

整理得2712520c c +-=，得26

c =-（舍），或 2.c =

所以椭圆方程为22

1.1612x y +

= 2. 已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b

+=>>

右焦点为

（），斜率

为I 的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）.

（I ）求椭圆G 的方程；（II ）求PAB ?的面积. 【解析】

解：

（Ⅰ）由已知得c c a ==

解得a =

又222 4.b a c =-=

所以椭圆G 的方程为22

1.124

x y +

= （Ⅱ）设直线l 的方程为.m x y += 由???

??=+

+=14

1222y x m x y 得

.01236422=-++m mx x

设A 、B 的坐标分别为),)(,(),,(212211x x y x y x

则,4

32210m

x x x -=+=

00m

m x y =+=

因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB.

所以PE 的斜率.14

3342-=+

m m k 解得m=2。

此时方程①为.01242=+x x 解得.0,321=-=x x 所以.2,121=-=y y 所以|AB|=23.

此时，点P （—3，2）到直线AB ：02=+-y x 的距离,2

223|=

+--=d 所以△PAB 的面积S=

9||21=?d AB

3. (全国大纲文)已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=u u u r u u u r u u u r

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（II ）设点P 关于O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。【解析】22．解：（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =-+，

代入2

1y x +=并化简得 242210.x x --=

…………2分

设112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y

则122626

,44x x =

= 1212122

2()21,x x y y x x +=+=++=

由题意得3123122

()() 1.x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2

(1).2

-- 经验证，点P 的坐标为2

(1)-满足方程 22

1,2

y x +=故点P 在椭圆C 上。

（II ）由2(1)P -和题设知， 2Q PQ 的垂直一部分线1l 的方程为

2.y x = ①

设AB 的中点为M ，则21

(

)42

M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为 21.24

y x =

+ ②

由①、②得12,l l 的交点为21

(,)88

N -

||||

AB x x

=-=

故|NP|=|NA|。

又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，

所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，

由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上。

4. （全国新文）在平面直角坐标系xOy中，曲线261

y x x

=-+与坐标轴的交点都在圆C上．

（I）求圆C的方程；

（II）若圆C与直线0

x y a

-+=交于A，B两点，且,

OA OB

⊥求a的值．【解析】解：（Ⅰ）曲线1

y与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（).

0,2

故可设C的圆心为（3，t），则有,

(

+解得t=1.

则圆C的半径为.3

(

所以圆C的方程为.9

(

-y

（Ⅱ）设A（

x），B（

x），其坐标满足方程组：

(

消去y，得到方程

由已知可得，判别式.0

562>

因此，,

)

8(2

2,1

=从而

x①

由于OA⊥OB，可得,0

又,

=所以

)

(

x②

由①，②得1

a，满足,0

?故.1

5. （辽宁文）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两

点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设

e=，求BC与AD的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

【解析】解：（I）因为C

，C

的离心率相同，故依题意可设

22222

2242

:1,:1,(0)

x y b y x

C C a b

a b a a

+=+=>>

设直线:(||)

l x t t a

=<，分别与C1，C2的方程联立，求得

2222

(),().

a b

A t a t

B t a t

b a

--………………4分

当

,,,

2A B

e b y y

时分别用表示A，B的纵坐标，可知

2||3

||:||.

2||4

y b

BC AD

y a

===………………6分

（II）t=0时的l不符合题意.0

t≠时，BO//AN当且仅当BO的斜率k BO与AN 的斜率k AN相等，即

2222

b a

a t a t

a b

t t a

解得

222

ab e

t a

a b e

=-=-?

因为

||,01,1, 1.

t a e e

<<<<<<

又所以解得

所以当

<≤时，不存在直线l，使得BO//AN；

当

<<时，存在直线l使得BO//AN. ………………12分

6. （江西文）已知过抛物线()

y px p

=2>0的焦点，斜率为22

于(,)

A x y

和(,)()

B x y x x

2212

<两点，且AB=9,

（1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若λ

=，求λ的值．【解析】19．（本小题满分12分）

（1）直线AB 的方程是22()2

y x =-，

与22y px =联立，从而有22450,x px p -+=

所以：1254

x x +=

由抛物线定义得：12||9,AB x x p =++=

所以p=4，从而抛物线方程是28.y x = （2）由224,450p x px p =-+=可简化为

212540,1,4,x x x x -+===从而

1222,42,y y =-=

从而(1,22),(4,42)A B - 设33(,)(122)(4,42)(41,4222)OC x y λλλ==-+=+-u u u r

又22338,[22(21)]8(41),y x λλ=-=+即

即2(21)41λλ-=+ 解得0, 2.λλ==或 7. （山东文）22．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2

2:13

x C y +=．如图所示，斜率为

(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -．（Ⅰ）求22m k +的最小值；

（Ⅱ）若2

OG OD =?OE ，

（i ）求证：直线l 过定点；

（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？

若能，求出此时ABG V 的外接圆方程；若不能，请说明理由．

【解析】22．（I ）解：设直线(0)l y kx t k =+>的方程为，

由题意，0.t >

由方程组22

,1,3

y kx t x y =+??

?+=??得 222(31)6330k x ktx t +++-=，由题意0?>，所以2231.k t +>

设1122(,),(,)A x y B x y ，

由韦达定理得1226,31kt x x k +=-+所以1222.31

y y k +=+

由于E 为线段AB 的中点，因此223,,3131

E E kt t

x y k k ==++

此时1.3E OE E y k x k =

=-所以OE 所在直线方程为1,3y x k

=- 又由题设知D （-3，m ），令x=-3，得1

m k

=，即mk=1，

所以2222,m k mk +≥=当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时由0?>得02,t <<因此当102m k t ==<<且时， 22m k +取最小值2。

（II ）（i ）由（I ）知OD 所在直线的方程为1

,3y x k

将其代入椭圆C 的方程，并由0,k >

解得(G ，又2231

(,),(3,)3131k t E D k k k --++，

由距离公式及0t >得

2222

2291||(,

31||||31

k OG k OD k

OE k +=+=+====+

由2||||||,OG OD OE t k =?=得

因此，直线l 的方程为(1).y k x =+ 所以，直线(1,0).l -恒过定点

（ii ）由（i

）得(G 若B ，G 关于x 轴对称，

则(B

代入2(1)31y k x k =+-=整理得

即426710k k -+=，

解得21

k =（舍去）或21,k =

所以k=1，

此时3131

(,),(,)2222

B G ---关于x 轴对称。

又由（I ）得110,1,x y ==所以A （0，1）。由于ABG ?的外接圆的圆心在x 轴上，可设ABG ?的外接圆的圆心为（d ，0），

因此22311

1(),,242

d d d +=++=-解得

故ABG ?

的外接圆的半径为2

r ==

所以ABG ?的外接圆方程为2215

().24

x y ++=

8. （陕西文）17．（本小题满分12分）

设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为3

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为4

的直线被C 所截线段的中点坐标。

【解析】17．解（Ⅰ）将（0，4）代入C 的方程得216

= ∴b=4

又3

c e a == 得222

925a b a -= 即2169125

a -=， ∴a=5

∴C 的方程为22

12516

x y +

= （ Ⅱ）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()4

y x =-，

设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，

将直线方程()4

y x =

-代入Ｃ的方程，得 ()2

2312525x x -+=，即2

380x x --=，解得

1x =，2x =

∴ AB 的中点坐标123

x x x +==，

()121226

6255y y y x x +==+-=-，

即中点为36,25??

- ???

。

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。

9. （上海文）22．（16分）已知椭圆2

22:1x C y m

+=（常数1m >），点P 是C 上

的动点，M 是右顶点，定点A 的坐标为(2,0)。（1）若M 与A 重合，求C 的焦点坐标；（2）若3m =，求||PA 的最大值与最小值；

（3）若||PA 的最小值为||MA ，求m 的取值范围。

【解析】22．解：⑴ 2m =，椭圆方程为2

214

x y +=，c ==

∴ 左．右焦点坐标为(。

⑵ 3m =，椭圆方程为2

219

x y +=，设(,)P x y ，则

22222

2891||(2)(2)1()(33)9942

x PA x y x x x =-+=-+-=-+-≤≤

∴ 9

x =时min 2||2PA =； 3x =-时max ||5PA =。

⑶ 设动点(,)P x y ，则

2222

22124||(2)(2)1()5()11

x m m m PA x y x x m x m m m m m -=-+=-+-=--+-≤≤--

∵ 当x m =时，||PA 取最小值，且22

10m m ->，∴ 2

221

m m m ≥-且1m > 解得112m <≤+。 10. （四川文）21．（本小题共l2分）

过点C (0，1)的椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为3

，椭圆与x 轴交于两

点(,0)A a 、(,0)A a -，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并

与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ．

（I ）当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长；

（Ⅱ）当点P 异于点B 时，求证：OP OQ ?u u u r u u u r

为定值．

本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．

解：（Ⅰ）由已知得3

1,c b a ==，解得2a =，所以椭圆方程为2214

x y +=．

椭圆的右焦点为(3,0)，此时直线l 的方程为 3

1y x =-+，代入椭圆方程得

27830x x -=，解得12830,x x ==，代入直线l 的方程得 121

1,7

y y ==-，所以831(,)7

D -，

故2283116

||(

0)(1)777

CD =-+--=．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．

设直线l 的方程为11(0)2

y kx k k =+≠≠且．代入椭圆方程得22(41)80k x kx ++=．

解得12280,41

x x k -==+，代入直线l 的方程得2122141,41k y y k -==+，

所以D 点的坐标为2

22814(,)4141k k k k --++．

又直线AC 的方程为12x y +=，又直线BD 的方程为12(2)24k

y x k

+=+-，联立得

2 1.

x k y k =-??

=+?

因此(4,21)Q k k -+，又1

(,0)P k

-．所以1

(,0)(4,21)4OP OQ k k k

?=--+=u u u r u u u r

．

故OP OQ ?u u u r u u u r

为定值． 11. （浙江文）（22）（本小题满分15分）如图，设P 是抛物线1C ：2x y =上的

动点。过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线，交直线l ：3y =-于,A B 两点。

（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离。

（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处得切

线平分，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、

直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）解：因为抛物线C 1的准线方程为：1

4y =-

所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为：111

|(3)|.44

---=

（Ⅱ）解：设点P 的坐标为2

00(,)x x ，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D 。

再设A ，B ，D 的横坐标分别为,,A B C x x x

过点2

(,)P x x 的抛物线C 1的切线方程为： 2

0002()y x x x x -=-

（1）

当01x =时，过点P （1，1）与圆C 2的切线PA 为：15

1(1)8

y x -=- 可得17

,1,1,215

A B D A B D x x x x x x =-

==-+≠ 当10-=x 时，过点P （—1，1）与圆C 2的切线PA 为：15

1(1)8

y x -=- 可得D B A D B A x x x x x x 2,1,15

,1≠+==

-= 17

,1,1,215A B D A B D x x x x x x =-

==-+≠ 所以2

10x -≠ 设切线PA ，PB 的斜率为12,k k ，则

010:()PA y x k x x -=- （2） 2020:()PB y x k x x -=-

（3）

将3y =-分别代入（1），（2），（3）得

222

00000012011

333(0);;(,0)2D A B x x x x x x x x x k k x k k -++=≠=-=--≠

从而2

2(3)().A B x x x x k k +=-++ 又

0102

k =+

即222220

10010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-= 同理，2222

20020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=

所以12,k k 是方程2222

000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不相等的根，从而222000121222

002(3)(3)1

,.11

x x x k k k k x x ++-+=?=-- 因为02x x x B A =+

所以22000

120120

311111

2(3)(),.x x x k k x k k x --++=+=即

从而2

0022

02(3)1(3)1x x x x +=+-

进而得4

4008,8x x ==±

综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为4(8,22).± 12. （重庆文）21．（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）

如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=2

，一条准线的方程是22x =

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设动点P 满足：2OP OM ON =+u u u v u u u u v u u u v

，其

中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON

的斜率之积为1

-，问：是否存在定点F ，

使得PF 与点P 到直线l ：210x =的距离之比为定值；若存在，求F 的坐标，若不存在，说明理由。

【解析】21．（本题12分）

解：（I ）由2

2,22,2c a e a c

= 解得2222,2,2a c b a c ===-=，故椭圆的标准方程为

1.42

x y += （II ）设1122(,),(,),(,)P x y M x y N x y ，则由

2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r 得

112212121212(,)(,)2(,)(2,2),

2,2.

x y x y x y x x y y x x x y y y =+=++=+=+即

因为点M ，N 在椭圆2224x y +=上，所以

2222

112224,24x y x y +=+=，

故222222

1212122(44)2(44)x y x x x x y y y y +=+++++

2222

112212121212(2)4(2)4(2)

204(2).

x y x y x x y y x x y y =+++++=++

设,OM ON k k 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知

12121

OM ON y y k k x x ?==-因此121220,x x y y +=

所以22220.x y += 所以P

221+

上的点，该椭圆的右焦点为F ，

离心率:2

e l x =

=直线是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，

存在定点F ，使得|PF|与P 点到直线l 的距离之比为定值。

13. （安徽文）（17）（本小题满分13分）

设直线.02,,1:,1:21212211=+-=+=k k k k x k y l x k y l 满足其中实数（I ）证明1l 与2l 相交；

（II ）证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.

【解析】（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I ）反证法，假设是l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1=k 2，代入k 1k 2+2=0，得 .0221=+k

此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.

（II ）（方法一）由方程组???-=+=1

21x k y x k y

解得交点P 的坐标),(y x 为???

???-+=-=.,2121212k k k k y k k x

而

.14

4228)()2(222

2212

221212122212122212122

1222=++++=-++++=-++-=+k k k k k k k k k k k k k k k k k k y x 此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P （方法二）交点P 的坐标),(y x 满足

021

1,02.1,1.011212121=++?-=+???

????+=-=≠??

?=+=-x y x y k k x y k x y k x x

k y x k y 得代入从而故知整理后，得,122

2=+y x

所以交点P 在椭圆.1222上=+y x 14. （福建文）18．（本小题满分12分）

如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2

=4y 相切于点A 。

（I ）求实数b 的值；

（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．。【解析】18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基

础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。

解：（I ）由22,

4404y x b x x b x y

=+?--=?=?得，（*）

因为直线l 与抛物线C 相切，所以2(4)4(4)0,b ?=--?-= 解得b=-1。

（II ）由（I ）可知21,(*)440b x x =--+=故方程即为，解得x=2，代入24, 1.x y y ==得故点A （2，1），

因为圆A 与抛物线C 的准线相切，

所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y=-1的距离，即|1(1)|2,r =--=

所以圆A 的方程为22(2)(1) 4.x y -+-=

15. （湖北文）21．（本小题满分14分）平面内与两定点()1,0A a -、

()2,0A a （0a >）连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 、A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线。

（Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系；

（Ⅱ）当1m =-时，对应的曲线为1C ；对给定的),0()0,1(+∞-∈Y m ，对应的曲线为2C ，设1F 、2F 是2C 的两个焦点。试问：在1C 上，是否存在点N ，使得△

1F N 2F 的面积2||S m a =。若存在，求tan 1F N 2F 的值；若不存在，请说明理由。

【解析】21．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理

运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）解：（I ）设动点为M ，其坐标为(,)x y ，当x a ≠±时，由条件可得12

,MA MA y y y k k m x a x a x a

?=?==-+- 即222()mx y ma x a -=≠±，

又12(,0),(,0)A a A A -的坐标满足222,mx y ma -= 故依题意，曲线C 的方程为222.mx y ma -=

当1,m <-时曲线C 的方程为22

1,x y C a ma

+=-是焦点在y 轴上的椭圆；当1m =-时，曲线C 的方程为222x y a +=，C 是圆心在原点的圆；

当10m -<<时，曲线C 的方程为22

1x y a ma +=-，C 是焦点在x 轴上的椭圆；

当0m >时，曲线C 的方程为22

1,x y a ma -

=C 是焦点在x 轴上的双曲线。（II ）由（I ）知，当m=-1时，C 1的方程为222;x y a += 当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时，

C 2

的两个焦点分别为12((F F - 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U ，

C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是

2220002

0,0,12|||.2

x y a y y m a ?+=≠?

??=?? 由①得00||,y a <≤

由②得0||y =

当0,0,a m <

≤≤<

或102

m +<≤时，

存在点N ，使S=|m|a 2；

,a >即

或12

m +>时，

不存在满足条件的点N ，

当m ??∈? ? ????U 时，

由100200(),(,)NF x y NF x y =--=-u u u r u u u u r

，

可得222

21200(1),NF NF x m a y ma ?=-++=-u u u r u

① ②

令112212||,||,NF r NF r F NF θ==∠=u u u r u u u u r

，

则由22

121212cos ,cos ma NF NF r r ma r r θθ

?==-=-u u u r u u u u r 可得，

从而22121sin 1

sin tan 22cos 2

ma S r r ma θθθθ==-

=-，于是由2||S m a =，

可得2212||tan ||,tan .2m ma m a m θθ-==-即

综上可得：

当m ?∈??

时，在C 1上，存在点N ，使得2

12||,tan 2;S m a F NF ==且

当10,2m ?∈ ?

?时，在C 1上，存在点N ，使得2

12||,tan 2;S m a F NF ==-且

当11(1,(,)22

m -+∞U 时，在C 1上，不存在满足条件的点N 。 16. （湖南文）21．（本小题满分13分）

已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点

,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求,AD EB u u u r u u u r

的最小值.

【解析】21．解析：（I ）设动点P 的坐标为(,)x y ，

|| 1.x =

化简得222||,y x x =+

当20,4;0x y x x ≥=<时当时,y=0.、

所以动点P 的轨迹C 的方程为2,4(0)0)y x x x =≥<和y=0(.

（II ）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为

(1)y k x =-．

由2(1)4y k x y x

=-??=?，得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是

121224

2,1x x x x k

+=+=．

因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1

-．

设3344(,),(,),D x y B x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=

故

12123434()1()1x x x x x x x x =+++++++

当且仅当2

21k k

=即1k =±时，AD EB ?u u u r u u u r 取最小值16．

17. （广东文）21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，直线:2l x =-交x 轴于点A ，设P 是l 上一点，M

是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP （1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知T （1，-1），设H 是E 上动点,求HO +HT 的最小值，并给出此时点H 的坐标；

（3）过点T （1，-1）且不平行与y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同

的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围。【解析】21．（本小题满分14分）解：（1）如图1，设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q ， ,,||||.MPQ AOP MP l MO MP ∠=∠∴⊥=Q 且因此22|2|,x y x +=+即

24(1)(1).y x x =+≥- ①

另一种情况，见图2（即点M 和A 位于直线OP 的同侧）。

Q MQ 为线段OP 的垂直平分线， .MPQ MOQ ∴∠=∠

又,.MPQ AOP MOQ AOP ∠=∠∴∠=∠Q

因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(,0).x

为分析(,0)M x x 中的变化范围，设(2,)P a -为l 上任意点().a R ∈

由||||MO MP =

（即22||(2)x x a =++

1 1.4

x a =--≤-

故(,0)M x 的轨迹方程为

0,1y x =≤-

②

综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为

4(1),1,0, 1.x x y x +≥-?=?

<-?

18. （江苏）18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12

2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k

（1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

【解析】18．本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂

直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--==N M b a 故所以线段MN 中点

的坐标为)2

,1(-

-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过坐标原点，所以.2

2122=--

k （2）直线PA 的方程22

21,42

x y y x =+

=代入椭圆方程得解得).3

,32(),34,32(,32--±=A P x 因此

于是),0,3

2(C 直线AC 的斜率为

.032,13

232340=--=++

y x AB 的方程为故直线 .32

323432|,21=+--=d 因此

（3）解法一：

将直线PA 的方程kx y =代入

22221,421212x y x k k

μ+==++解得记

则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--

故直线AB 的斜率为

,20k

k =++μμμ 其方

程为

0)23(2)2(),(2

22222=+--+-=k x k x k x k y μμμ代入椭圆方程得

解得223

222

(32)(32)(,)222k k k x x B k k k

μμμμ++==-+++或因此. 于是直线PB 的斜率.1)

2(23)

2(2)23(222232

1k k k k k k k k k

k k -=+-++-=

++-+=

μμμ

因此.,11PB PA k k ⊥-=所以

解法二：

设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.

设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以.2

2)()(0111112k x y x x y k ==---=

从而

()

(212112*********+----?--?

=+=+x x y y x x y y k k k k .044)2(1222

1222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y 因此.,11PB PA k k ⊥-=所以

https://www.360docs.net/doc/f411626713.html,

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ；（2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ；（3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ；（4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：0≥x ，R y ∈；（2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：p ；（6）焦点： )0,2(p F ；（7）准线： 2p x - =；（8）焦准距：p ；（9）离心率：1=e ；（10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =；（11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是（） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章第1节一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2，特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆（x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为（ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案（1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析（1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以（|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

高三数学《平面解析几何》

高三数学《平面解析几何》单元练习七（考试时间120分分值160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________．

9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________．

高中数学解析几何题型

解析几何题型考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22 162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123 301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-? =+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b -- +，又由11 (,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出2 211 14(2)32AB =+-?-=．例3．如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆22 12516 x y +=的方程知225, 5.a a =∴= ∴1234567 7277535.2 a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 考点3. 曲线的离心率

(完整word版)高中数学解析几何大题精选

解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ．由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?．显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围．【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

高中数学解析几何答题全攻略,2020高考生必看!

高中数学解析几何答题全攻略，2020高考生必看！解析几何由于形式复杂多样，一直是难于解决的问题，很多同学对于解析几何的把握还差很多，很多同学对此知识点提出了相应的问题。对此清华附中数学老师有针对性的回答了同学们的共性问题。下面是对本次答疑情况的汇总，希望对大家学习数学尤其是解析几何部分有所帮助。 1 考试时间分配问题1：老师我怎么这么短时间内做几道题通解一类题目呢？解析几何也有不少类型题老师：理解的基础上去做，不要单纯的套公式，做题一定要保证真的会了，而不是只追求数量。如果感觉自己的水平没有提高，那么问问自己错题有没有好好整理，有没有盖住答案重新做过，再做的时候能不能保证很快的就有思路，之前出过的问题有没有及时得到解决？总之刷题不能埋头死刷，要有总结和反思。如果都做到了，考试还是没有好成绩，那么看看是不是考试时过于紧张，这个时候心态也很重要！问题2：错题也有很多呀，怎么从错题那里去帮助学习数学呀？都抄几遍和看几遍吗？很多呀！该怎么办呢？老师：对待错题，不要抄也不要只是看，当做新题重新做一遍，有时候一道题我们直接去看答案，总是发现不了问题，我建议把错题的题目直接汇编在一起，不要有答案，每隔一段时间都重新做一下，如果做题的过程很肯定，没有模糊的地方，这道题才可以过。这个过程比做新题更重要。

问题3：老师我数学只有三四十分马上高考该从哪里开始复习分数会提高呢？老师：简单的题目模块比如复数、集合、线性规划、程序框图、三角函数与解三角形、简单的等差等比数列以及立体几何等，还有导数和圆锥曲线的第一问，找出前几年的高考题，看看都考了哪些简单模块，一个模块练几十道，绝对会有效果的，别放弃，只要努力一定能看到进步！问题4：三视图怎么想也想不出来！有什么好的办法呀！老师！救救我老师：平时见到三视图的题目无论问什么，都是去画他的立体图形，训练自己。如果考试时真的想不出来了，那么看看能不能判断出这个图形是什么，比如正视图和侧视图都只有一个最高顶点，那么基本可以判断这是一个椎体，如果是求体积的题目，直接底面积乘以高除以3就可以了，但是这个方法不是所有题目都适用。还有就是如果正视侧视和俯视都和正方形或者等腰直角三角形有关，那么可以画一个正方体，去找这个立体图形的可能性。 2 解析几何如何把握

高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ；（ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<

（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 2 2=+b y a x （0>>b a ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）. 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注 2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 2 2=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ， ),0(2b B -；（4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；

高二数学解析几何专项测试题

一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 1. (2017 年 11 月月考)已知双曲线的方程为22 164x y -= ，则该双曲线的焦距为 . 2. (2018 年 01 月期末)抛物线 x 2 = 2 y 的焦点到其准线的距离为 . 3. (2017 年 11 月月考)已知抛物线 x 2 = 2 py (p > 0)的准线方程为 y = -1，则实数 p 的值为 . 4. (2017 年 11 月月考)已知点 F 为双曲线22 142 x y -=的左焦点，则点 F 到双曲线的右准线的距离为 . 5. (2017 年 11 月月考)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线 y 2 = 4 x 的准线上，则双曲线的方程是 . 6. (2018 年 01 月期末)已知双曲线22 221x y a b -= (a > 0,b > 0)的右焦点与右顶点到渐近线的距离之比为 2，则该双曲线的渐近线方程为 . 7. (2017 年 11 月月考)设 F 1 ， F 2 分别为椭圆 C : 22 193 x y +=的左、右焦点，若点 P )在椭圆上，则 ?PF 1 F 2 的面积为 . 8. (2017 年 11 月月考)已知抛物线经过点 P (-2,4)，则该抛物线的标准方程是 . 9. (2018 年 01 月期末)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 上一点 p 到焦点的距离为 5，到 y 轴的距离为 3，则 p = . 10. (2016 年 09 月月考)若关于 x = x + b 有两个不同解，则实数 b 的取值范围是 . 11. (2018 年 01 月期末)设 F 1 、 F 2 分别是椭圆 C : 22 12516 x y +=的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且点 P 到左焦点的距离是其到右准线25 倍，则 P F 2 = . 12. (2017 年 11 月月考)已知椭圆的方程为22 1169 x y +=，则椭圆内接正方形的周长为 .

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上；（3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

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解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值；（Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。（2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的