2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题

一、单选题

1．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc >

C ．a c b c ->-

D ．22ac bc >

【答案】C

【解析】根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小. 【详解】

对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误； 对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；

对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得a c b c ->-，因而C 正确；

对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误. 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】

本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题. 2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

【答案】D

【解析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】

由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是

61092

y

++=，得到2y =，因此3x y +=.

故选：D. 【点睛】

本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．

3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A ．20π

B ．24π

C ．28π

D ．32π

【答案】C

【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，

，所以几何体的

表面积为

．

【考点】三视图与表面积．

4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n

B ．若//m n αβαβ??，，，则//m n

C ．若m n n m αβα=?⊥I ，，，则n β⊥

D ．若//m m n n αβ⊥?，，，则

αβ⊥

【答案】D

【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】

选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；

选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β?，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D . 【点睛】

本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.

5．已知1,6,()2a b a b a ==?-=r r r r r ，则向量a r 与向量b r

的夹角是（ ）

A ．

6

π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π 【答案】C

【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=?=r

r

r r

r ，所以

.1cos ,2.a b a b a b ??==r r r r

r r ，所以夹角为3

π，故选择C

【考点】向量的运算

6．已知圆的方程为，过点

的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ． B ．1

C ．2

D ．4

【答案】C

【解析】试题分析：

，最短的弦长为

，选C.

【考点】直线与圆位置关系

7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．5

2

a ≥

D ．52

a ≤

【答案】D

【解析】根据题意得不等式对应的二次函数()2

1f x x ax =-+开口向上，分别讨论

0,0,0?=?>?<三种情况即可．

【详解】

由题意得：当02a ?=?=±

当()()22

052251020222a a a a f f a a ?->??

??<-<≤??≥≥≤≤??

?

V 或或或或 当022a ?

2

a ≤,选D. 【点睛】

本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：

0,0,0?=?>?<．有时还需要结合韦达定理进行解决．

8．在ABC ?中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a B

b A

=，则ABC V 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或

直角三角形 【答案】D 【解析】由

a b cosB cosA =，利用正弦定理可得sinA sinB

cosB cosA

=，进而可得sin2A=sin2B ，由此可得结论． 【详解】

∵

a b cosB cosA

=， ∴由正弦定理可得sinA sinB

cosB cosA

= ∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A +2B=π ∴A=B 或A +B=

2

π ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D ． 【点睛】

判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

9．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，()()1618n n n S n T +=+．若

n

n

a Z

b ∈，则n 的取值集合为（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5} D ．{1,2,3,6}

【答案】D

【解析】首先根据()()1618n n n S n T +=+即可得出n n

S T ，再根据前n 项的公式计算出

n

n b a 即可。 【详解】

()()618

16181

n n n n S n n S n T T n ++=+?

=+Q ()

()121211212121212626222n n n n n n n n n a a a a S n n b b b b T n n

----++∴=====++

n

n

a Z

b ∈Q {}1,2,3,6n ∴∈，选D.

【点睛】

本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有：

（1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-

（2）若{}n a 为等差数列， p q m n p q m n a a a a +=+?+=+；

（3）若{}n a 是等差数列，公差为d ，,2,k k m k m a a a ++ ，则是公差md 的等差数列；

10．已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ??

?，其图像相邻的两个对称中心之间的距

离为

4

π，且有一条对称轴为直线24x π

=，则下列判断正确的是 （ ）

A ．函数()f x 的最小正周期为4π

B ．函数()f x 的图象关于直线724

x π

=-

对称

C ．函数()f x 在区间713,2424ππ??

????

上单调递增 D ．函数()f x 的图像关于点7,024π??

???

对称 【答案】C

【解析】本题首先可根据相邻的两个对称中心之间的距离为

4

π

来确定ω的值，然后根据直线24

x π

=

是对称轴以及2

π

?<

即可确定?的值，解出函数()f x 的解析式之后，

通过三角函数的性质求出最小正周期、对称轴、单调递增区间以及对称中心，即可得出结果． 【详解】

图像相邻的两个对称中心之间的距离为4

π，即函数的周期为242ππ?=，由22T ππ

ω=

=得4ω=，所以()()sin 4f x x ?=+，又24

x π

=是一条对称轴，所以

6

2

k π

π

?π+=+

，k Z ∈，

得,3

k k Z π

?π=+

∈，又2

π

?<

，得3

π

?=

，所以()sin 43f x x π?

?=+ ???.

最小正周期242

T ππ

=

=，A 项错误； 令432x k π

π

π+

=+

，k Z ∈，得对称轴方程为424k x ππ

=

+，k Z ∈，B 选项错误；

由242232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得单调递增区间为5,224224k k ππππ??

-+???

?，k Z ∈，C 项中的区间对应1k =，故C 正确；

由43x k π

π+

=，k Z ∈，得对称中心的坐标为,0412k ππ??

-

???

，k Z ∈，D 选项错误， 综上所述，故选C ． 【点睛】

本题考查根据三角函数图像性质来求三角函数解析式以及根据三角函数解析式得出三角函数的相关性质，考查对函数()()

sin ωφf x A x B =++的相关性质的理解，考查推理能力，是中档题．

11．设函数21(0)()lg (0)

x

x f x x x ?+≤?=?>??，若关于x 的方程2

()()20f x af x -+=恰有6个不

同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(2,

B ．()

C ．()3,4

D ．()

4

【答案】B

【解析】由已知中函数

21(0) (

)

lg(0)

x x

f x

x x

?+≤

?

=?

>

??

，若关于x的方程2()()20

f x af x

-+=恰有6个不同的实数解，可以根据函数()

f x的图象分析出实数a的取值范围．

【详解】

函数

21(0)

()

lg(0)

x x

f x

x x

?+≤

?

=?

>

??

的图象如下图所示：

关于x的方程2()()20

f x gf x

-+=恰有6个不同的实数解，

令t＝f（x），可得t2﹣at+2＝0，（）

则方程（）的两个解在（1，2]，

可得

2

120

4220

12

2

80

a

a

a

a

-+>

?

?-+≥

??

?

<<

?

?

->

??

，解得()

22,3

a∈，

故选：B.

【点睛】

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结合是解答本题的关键．

12．在ABC

?中，

1

6,7,cos

5

AC BC A

===，O是ABC

?的内心，若

OP xOA yOB

=+

u u u r u u r u u u r

，其中01,01

x y

≤≤≤≤，动点P的轨迹所覆盖的面积为（）A．

106

3

B．

56

3

C．

10

3

D．

20

3

【答案】A

【解析】由OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r

且01,01x y ≤≤≤≤，易知动点P 的轨迹为以,OA OB 为邻边的平行四边形的内部（含边界），在ABC V 中，由1

6,7,cos 5

AC BC A ===，利用余弦定理求得边AB ，再由1

sin 2

ABC S AB AC A ?=

???和()1

2

ABC S AB AC BC r ?=

?++?，求得内切圆的半径r ，从而得到AOB S ?，再由动点P 的轨迹所覆盖的面积2AOB S S ?=得解. 【详解】

因为OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r

且01,01x y ≤≤≤≤，

根据向量加法的平行四边形运算法则，

所以动点P 的轨迹为以,OA OB 为邻边的平行四边形的内部（含边界）， 因为在ABC V 中，1

6,7,cos 5

AC BC A ===

， 所以由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-??? ， 所以214936265

AB AB =

+-???

， 即2512650AB AB --=， 解得：5AB =，

sin 5

A ==

，

所以1

sin 2

ABC S AB AC A ?=

???=设ABC V 的内切圆的半径为r ，

所以()1

5672

ABC S r ?=

++=

所以3

r =

.

所以123

AOB S AB r ?=

??=.

所以动点P

的轨迹所覆盖的面积为：23

AOB S S ?==. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了动点轨迹所覆盖的面积的求及正弦定理，余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

二、填空题

13．已知0a >，0b >，若()469log log log a b a b ==+，则a

b

=______．

【解析】首先令()469log log log a b a b t ==+=，分别把,a b 解出来，再利用整体换元的思想即可解决． 【详解】

令()469log log log 4,6,9t

t

t

a b a b t a b a b ==+=?==+=

所以2

2294691033t t

t t t t

a b ??????+=?+=?+-=?? ? ?????

????

令()203t

x x ??=> ???

，所以21102x x x +-=?=

所以421632

t

t t a b ??=== ???

【点睛】

本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程．整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握． 14．数列{}n a 中，若12a =，123n n a a +=+，则10a =__________. 【答案】2557

【解析】利用数列的递推关系式，推出 【详解】

解：数列{}n a 中，，若12a =，123n n a a +=+，

可得()1323n n a a ++=+，即{}3n a +是首项为5，公比为2的等比数列.

所以1

352n n a -+=?，

9105232557a ∴=?-=.

故答案为：2557. 【点睛】

本题考查数列的递推式，考查了等比数列的确定，属于中档题.

15．在矩形ABCD 中，5AB =，7AC =，现向该矩形ABCD 内随机投一点P ，则

90APB ∠>?的概率为_________.

【答案】

5696

π 【解析】由已知求出矩形的面积，以及使90

APB ∠>?成立的点P 的对应区域面积，利用几何概型求值. 【详解】

解：由题意，2226AD AC AB =

-=，

矩形的面积为106，如图，

使90APB ∠>?成立的区域为以AB 为直径的半圆，面积为2

1525228

π

π??= ???，

由几何概型公式得到向该矩形ABCD 内随机投一点P ，则90APB ∠>?的概率为：

25568106

π

π=.

故答案为：5696

π

. 【点睛】

本题考查几何概型中的面积型及圆的面积公式，属于中档题.

16．设向量,,a b c v v v 满足1a =v ，||2b =v ，3c =v

，0b c ?=v v ．若12λ-≤≤，则

(1)a b c λλ++-v v v

的最大值是________．

【答案】1

【解析】令()1n b c λλ=+-v v v ，计算出n r 模的最大值即可，当n r 与a r 同向时a

n +v v 的模最大． 【详解】

令()1n b c λλ=+-v v v ，则

n =v 12λ-≤≤，

所以当1λ=-

，max n ==v

，因此当n r 与a r 同向时a n +v v

的模最大，max 1a n a n +=+=v v v v

【点睛】

本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．

三、解答题

17．已知函数

()21

4sin 2x f x x ππ?

?-+ ??

?=??+ ???

（1）求()f x 的定义域；

（2）设α是第三象限角，且1

tan 2

α=，求()f α的值. 【答案】（1）,2x x k k π

π??

≠-

∈???

?

Z （

2） 【解析】（1）由分母不为0可求得排烟阀；

（2）由同角间的三角函数关系求得sin ,cos αα，由两角差的余弦公式展开，再由二倍角公式化为单角的函数，最后代入sin ,cos αα的值可得． 【详解】

（1）由sin 02x π??

+≠ ???

得2x k ππ+≠，k ∈Z ，

所以2

x k π

π≠-

，k ∈Z ，

故()f x 的定义域为,2x x k k ππ??≠-∈????

Z

（答案写成“,2x x k k π

π??

≠+

∈???

?

Z ”也正确） （2）因为1

tan 2

α=

，且α是第三象限角， 所以由22sin cos 1sin 1cos 2αααα?+=??=??

可解得sin 5α=-

，cos 5α=-

. 故(

)21

4cos f πααα

?

?-+ ???=

221cos ααα

?++????=

cos2sin 21

cos ααα

++=

22cos 2sin cos cos ααα

α

+=

(

)2cos sin αα=+=【点睛】

本题考查三角函数的性质，考查同角间的三角函数关系，考查应用两角差的余弦公式和二倍角公式求值．三角函数求值时一般要先化简再求值，这样计算可以更加简便，保证正确．

18．某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．

第5组 [)180,185

10

0.100

（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．

【答案】（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）

3

5

. 【解析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．

（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率． 【详解】

（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人， ②第3组的频率为

30

0.300100

=， 频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3,4,5组共有60名学生，

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组： 30

6360

?=人， 第4组：人，

第5组：

10

6160

?=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．

（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，

则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），

其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：

11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），

31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），

∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93

155

=． 【点睛】

本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．

19．已知a ，b ，c 分别为ABC ?三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2cos B b c

A a a

+=. （1）求角A 的大小；

（2）若2a =，ABC ?的面积为3，求边b ，c . 【答案】（1）3

A π

=

；（2）2b c ==.

【解析】（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出1

cos 2

A =

，进而求得角A 的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出4bc =，再利用余弦定理求出228b c +=，联立即可求解出b ，c 的值．

【详解】 （1）由

cos 2cos B b c

A a a

+=及正弦定理得 cos sin 2sin cos sin sin B B C

A A A

+=， 整理得，sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，

()sin 2sin cos A B C A +=，

因为()()sin sin sin A B C C π+=-=，且sin 0C ≠， 所以，1cos 2

A =

， 又0A π<<，所以，3

A π

=

.

（2）因为ABC ?的面积11sin sin 3223

S bc A bc π

===， 所以，4bc = ①

由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，

22222cos

3

b c bc π

=+-

所以，228b c += ② 联立①②解得，2b c ==. 【点睛】

本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．

20．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点.

(1)求证：PA ⊥BD ；

(2)求证：平面BDE ⊥平面PAC ；

(3)当PA ∥平面BDE 时，求三棱锥E －BCD 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

1

3

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明线线垂直，一般转化为证明线面垂直；（Ⅱ）要证明面面垂直，一般转化为证明线面垂直、线线垂直；（Ⅲ）由1

3

BCD V S DE =

??V 即可求解. 试题解析:（I ）因为PA AB ⊥，PA BC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ， 又因为BD ?平面ABC ，所以PA BD ⊥.

（II ）因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥， 由（I ）知，PA BD ⊥，所以BD ⊥平面PAC . 所以平面BDE ⊥平面PAC .

（III ）因为PA P 平面BDE ，平面PAC ?平面BDE DE =， 所以PA DE P .

因为D 为AC 的中点，所以1

12

DE PA =

=，2BD DC ==. 由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC . 所以三棱锥E BCD -的体积1163

V BD DC DE =

??=. 【名师点睛】线线、线面的位置关系以及证明是高考的重点内容，而其中证明线面垂直又是重点和热点，要证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线与平面内的两条相交直线垂直，也可根据性质定理转化为证明面面垂直. 21．已知等差数列

满足

，

，公比为正数的等比数列

满足

，. （1）求数列，

的通项公式；

（2）设

，求数列

的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1 ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得； （2）由（1）知，

，利用错位相减法即可得到数列

的

前项和. 【详解】 （1）设等差数列的公差为，等比数列

的公比为，

因为，所以

，解得

. 所以.

由

及等比中项的性质，得

，

又显然必与同号，所以.

所以.又公比为正数，解得

. 所以

.

（2）由（1）知，

，

则 ①. ②.

①-②，得

.

所以.

【点睛】

用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

22．已知函数()2

()340f x ax x a =-+>．

（1）若()y f x =在区间[]0,2上的最小值为

5

2

，求a 的值；

（2）若存在实数m ，n 使得()y f x =在区间[],m n 上单调且值域为[],m n ，求a 的取值范围． 【答案】（1）

32；（2）11315,,116416????

?????????

. 【解析】（1）根据二次函数单调性讨论即可解决．

（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决． 【详解】 （1）若3022a <<，即34a >时，min 3954242y f a a ??

==-

= ???

， 解得：3

2

a =， 若

322a ≥，即304

a <≤时，()min 52422y f a ==-=，

解得：9

8

a =（舍去）.

（2）（ⅰ）若()y f x =在[],m n 上单调递增，则3

2m n a

<…， 则22

3434am m m an n n

?-+=?-+=?， 即,m n 是方程2440ax x -+=的两个不同解，所以16160a ?=->，即01a <<， 且当3422x a a

=

>时，要有2440ax x -+≥， 即2

3344022a a a ????-+≥ ? ?????

，可得1516a ≥， 所以

15

116

a ≤<； （ⅱ）若()y f x =在[],m n 上单调递减，则32m n a

<≤

， 则2234(1)34(2)

am m n an n m ?-+=?-+=?， 两式相减得：2m n a

+=， 将2m n a =

-代入（2）式，得22

240an n a

-+-=， 即,m n 是方程2

2240ax x a

-+-=的两个不同解，

所以24440a a ???=--

> ???，即304

a <<，

且当

34

22

x

a a

=<时要有2

2

240

ax x

a

-+-≥，

即

2

332

240

22

a

a a a

????

-+-≥

? ?

????

，可得

11

16

a≥，

所以113 164

a

≤<，

（iii）若对称轴在[],m n上，则()

f x不单调，舍弃．

综上，

11315

,,1

16416

a

????

∈?

??

??

????

.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题．