2014年考研数学二真题(含解析)

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α

+，1

(1cos )x α

-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）

（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2

【答案】B

【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】

当0x +

→时，ln (12)~(2)x x αα

+，1

1

21(1cos )~2x x α

α⎛⎫-

⎪⎝⎭

因为它们都是比x 高阶的无穷小，故12

,1>>α

α，即21<<α

2、下列曲线中有渐近线的是（ ）

（A ）sin y x x =+ （B ）2

sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）2

1sin y x x

=+ 【答案】C

【考点】函数的渐近线 【详解】 关于C 选项：

()1sin

lim

lim 1

1

lim limsin 0

1

sin x x x x x y

x k x x y x x

y x y x

x

→∞

→∞

→∞→∞+===-==∴=+=存在斜渐近线 3、设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥

（B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≤时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≤时，()()f x g x ≤ 【答案】C

【考点】函数单调性的判别 【详解】 【解法一】

令)()()(x f x g x F -=

则)()1()0()(x f f f x F '-+-='

由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF

又因为)()(x f x F ''-=''

若0)(≤''x f ，则0)(≥''x F ，所以)(x F '单调递增， 当)(,0)(),,0(x F x F x <'∈ξ单调递减， 当)(,0)(),1,(x F x F x >'∈ξ单调递增，

又0)1(.0)0(==F F ，所以0)(≤x F ，即()()f x g x ≥，故选C 【解法二】

令2

)(x x f -=，则函数()f x 具有2阶导数，且0)(≤''x f 所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+=- 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≥，故选C

4、曲线2

2

7,

41

x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A

（B

（C

）（D

）【答案】C

【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】

22

2321

2

13

3222

2

33

22

2242222(24)8(2)2(2)3,1"1

(1')

(13)

1(13)10t t dy dy t dt dx dx t

dt

t t d y t dx t t dy d y dx dx y k y R k

==+==⋅-+-==∴==-∴=

=

++∴==+==Q

5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则2

2

lim

x x

ξ→=（ ）

（A ）1 （B ）

23 （C ）1

2

（D ）13

【答案】D

【考点】函数求导、函数求极限 【详解】

2

()arctan 1

1f x x x x ξ==+Q

. 2arctan arctan x x

x ξ-∴=.

2

2

23

0arctan arctan lim

lim

lim rctan x x x x x x x

x x a x x ξ→→→--∴==⋅

222220

01

111lim

lim 33(1)3

x x x x x x x →→-+===

+. 6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u

x y ∂≠∂∂及

2222

0u u

x y ∂∂+=∂∂，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得

（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得 【答案】A

【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】

因为22220u u x y ∂∂+=∂∂，故22

u A x ∂=∂与22u

C y

∂=∂异号.又20u B x y ∂=≠∂∂， 则2

0AC B -<，所以函数(,)u x y 在区域D 内没有极值.

又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.

7、行列式

0000000

a

b a b

c

d c d

=（ ）

（A ）2

()ad bc - （B ）2

()ad bc -- （C ）2

2

22

a d

b

c - （D ）22

2

2

b c a d - 【答案】B

【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理