2020届浙江卷数学高考模拟试题(有答案)(加精)

浙江省高考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{1U =-，0，l ，2，3}，集合{0A =，1，2}，{1B =-，0，1}，则()U A B =I e（ ） A ．{1}- B ．{0，1} C ．{1-，2，3} D ．{1-，0，1，3} 2．渐进线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ） A ．

2

B ．1

C ．2

D ．2 3．若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??

--??+?

…

?…，则32z x y =+的最大值是（ ）

A ．1-

B ．1

C ．10

D ．12

4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V sh =柱体，其中s 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324 5．若0a >，0b >，则“4a b +?”是“4ab ?”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．在同一直角坐标系中，函数1x

y a =

，1

1()2a

y og x =+，(0a >且1)a ≠的图象可能是（ ）

7．设01a <<．随机变量X 的分布列是

X 0 a 1 P

1

3

13

13

A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 8．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ< 9．设a ，b R ∈，函数32

,0,

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++??g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1a <-，0b < B ．1a <-，0b > C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >

10．设a ，b R ∈，数列{}n a 满足1a a =，2

1n n

a a

b +=+，*n N ∈，则（ ） A ．当12b =

时，1010a > B ．当1

4

b =时，1010a > C ．当2b =-时，1010a > D ．当4b =-时，1010a >

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．已知复数1

1z i

=

+，其中i 是虚数单位，则||z = ． 12．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r ．若直线230x y -+=与圆相切与点(2,1)A --，则m = ，r = ．

13．在二项式9(2)x 的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．

14．在ABC ?中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD = ，cos ABD ∠= ．

15．已知椭圆22195

x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆

心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．

16．已知a R ∈，函数3()f x ax x =-．若存在t R ∈，使得2

|(2)()|3

f t f t +-?

，则实数a 的最大值是 ．

17．已知正方形ABCD 的边长为1．当每个(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

的最小值是

，最大值是 ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．（14分）设函数()sin f x x =，x R ∈．

（1）已知[0θ∈，2)π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124

y f x f x ππ

=+++的值域．

19．（15分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=?，30BAC ∠=?，11

A A AC AC ==，E ，F 分别是AC ，11A

B 的中点． （Ⅰ）证明：EF B

C ⊥；

（Ⅱ）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．

20．（15分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2n

n n

a c

b =*n N ∈，证明：122n

c c c n ++?+<*n N ∈．

21．如图，已知点(1,0)F 为抛物线22(0)y px p =>的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC ?的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记AFG ?，CQG ?的面积分别为1S ，2S ．

（Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；

（Ⅱ）求

1

2

S S 的最小值及此时点G 点坐标．

22．（15分）已知实数0a ≠，设函数()1f x alnx x =++0x >． （Ⅰ）当3

4

a =-时，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）对任意2

1

[

x e ∈，)+∞均有()x f x …

a 的取值范围． 注意： 2.71828e =??为自然对数的底数．

浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．【分析】由全集U 以及A 求A 的补集，然后根据交集定义得结果．

【解答】解：{1U A =-Q e，3}，()U A B ∴I e{1=-，3}{1-?，0，}l {1}=-，故选A ． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2．【分析】由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．

【解答】解：根据渐进线方程为0x y ±=的双曲线，可得a b =，所以2c a =,

则该双曲线的离心率为2c

e a

=

=，故选C ． 【点评】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

3．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+??

--??+?

…

?…作出可行域如图，

联立340340

x y x y -+=??--=?，解得(2,2)A ，化目标函数32z x y =+为31

22y x z =--，

由图可知，当直线31

22y x z =--过(2,2)A 时，直线在y 轴上的截距最大，

z 有最大值为10．故选C ．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．

4．【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即()()11

4632632722

ABCDE S =

+?++?=五边形，高为6，则该柱体的体积是276162V =?=．故选B ． 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：0a >Q ，0b >，42a b ab ∴+厖2ab ∴…4ab ∴?，即44a b ab +?剟， 若4a =，14b =

，则14ab =?，但1

444

a b +=+>，即4ab ?推不出4a b +?，4a b ∴+?是4ab ?的充分不必要条件，故选A ．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力． 6．【分析】对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断； 【解答】解：由函数1x

y a

=，1

1()2a y og x =+， 当1a >时，可得1

x y a

=

是递减函数，图象恒过(0,1)点， 函数11()2a y og x =+，是递增函数，图象恒过1

(2

，0)；

当10a >>时，可得1

x

y a =

是递增函数，图象恒过(0,1)点， 函数11()2a y og x =+，是递减函数，图象恒过1

(2

，0)；

∴满足要求的图象为D .故选D ．

【点评】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． 7．【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 【解答】解：1111

()013333

a E X a +=?+?+?=，

222111111

()(

)()(1)333333

a a a D X a +++=?+-?+-?

2222212211[(1)(21)(2)](1)()

279926

a a a a a a =

++-+-=-+=-+ 01a <

【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．

8．【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，

【解答】解：方法一、如图G 为AC 的中点，V 在底面的射影为O ，则P 在底面上的射影D 在线段AO 上，作DE AC ⊥于E ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 于F ， 过D 作//DH AC ，交BG 于H ， 则BPF α=∠，PBD β=∠，PED γ=∠， 则cos cos PF EG DH BD

PB PB PB PB

αβ===<=，可得βα<； tan tan PD PD

ED BD

γβ=

>=，可得βγ<， 方法二、由最小值定理可得βα<，记V AC B --的平面角为γ'（显然)γγ'=， 由最大角定理可得βγγ'<=；

方法三、（特殊图形法）设三棱锥V ABC -为棱长为2的正四面体，P 为VA 的中点， 易得132cos 3α==，可得33

sin α=，623sin 3

β==，6

223sin 3γ==，

故选B ．

【点评】本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．

9．【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …

时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单

调性画函数草图，根据草图可得．

【解答】解：当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b

x a

=-；()

y f x ax b =--最多一个零点；

当0x …时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，

2(1)y x a x '=-+，

当10a +?，即1a -?时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：

∴01b a <-且32

11(1)(1)(1)032b a a a b ->???+-++-，31

(1)6

b a >-+．

故选：C ．

【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属难题． 10．【分析】对于B ，令2104x λ-+

=，得12λ=，取112a =，得到当1

4

b =时，1010a <；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，得到当2b =-时，1010a <；对于D ，令240x λ--=，得117

λ±=，取1117a +=

，得到当4b =-时，1010a <；对于A ，221122a a =+…，223113

()224

a a =++…，

4224319117()14216216a a a =++++=>…，当4n …

时，11

13

2122n n n n a a a a +=+>+=，由此推导出61043()2a a >，从而10729

1064

a >

>． 【解答】解：对于B ，令2104x λ-+=，得12

λ=， 取112a =

，∴211

,,1022n a a =?=<， ∴当1

4

b =

时，1010a <，故B 错误； 对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-， 取12a =，22a ∴=，?，210n a =<，

∴当2b =-时，1010a <，故C 错误；

对于D ，令240x λ--=

，得λ=

取1a =

∴2a =?

，10n a =<， ∴当4b =-时，1010a <，故D 错误；

对于A ，221122a a =+…，223113

()224a a =++…，

4224319117

()14216216a a a =++++=>…，

10n n a a +->，{}n a 递增，

当4n …时，1113

2122

n n n n a a a a +=+>+=，

∴54

45109

3

23

232a a a a a a ?>???>

????

?>??L

，∴61043()2a a >，107291064a ∴>>．故A 正确．故选A ．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模． 【解答】解：11111(1)(1)22i z i i i i -=

==-++-Q

．||z ∴==

．

【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．

12．【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m ，再由两点间的距离公式求半径．

【解答】解：如图，

由圆心与切点的连线与切线垂直，得

11

22

m +=-，解得2m =-． ∴圆心为(0,2)-，则半径22(20)(12)5r =--+-+2-5．

【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．

13．【分析】写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．

【解答】解：二项式9

(2)x 的展开式的通项为992

19

9(2)2

r r r

r

r r r T C x C x --+==．

由0r =，得常数项是1162T =

当1r =，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个． 故答案为：1625．

【点评】本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．

14．【分析】解直角三角形ABC ，可得sin C ，cos C ，在三角形BCD 中，运用正弦定理可得BD ；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．

【解答】解：在直角三角形ABC 中，4AB =，3BC =，5AC =，4sin 5

C =， 在BC

D ?sin 2

BD

C

=

，可得122BD =；

135CBD C ∠=?-，224372

sin sin(135)sin )()225510CBD C C C ∠=?-=

+=+=

， 即有72

cos cos(90)sin ABD CBD CBD ∠=?-∠=∠=， 12272

，

【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．

15．【分析】求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．

【解答】解：椭圆

22

1

95

x y

+=的3

a=，5

b=，2

c=，

2

3

e=，

设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，

线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，

连接AO，可得||2||4

PF AO

'==，

设P的坐标为(,)

m n，可得

2

34

3

m

-=，可得

3

2

m=-，

15

n=，

由(2,0)

F-，可得直线PF的斜率为

15

215

3

2

2

=

-+

．故答案为：15．

【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

16．【分析】由题意可得33

2

|(2)(2)|

3

a t t at t

+-+-+?，化为2

2

|2(364)2|

3

a t t

++-?，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．

【解答】解：存在t R

∈，使得

2

|(2)()|

3

f t f t

+-?，即有33

2

|(2)(2)|

3

a t t at t

+-+-+?，

化为2

2

|2(364)2|

3

a t t

++-?，可得2

22

2(364)2

33

a t t

-++-

剟，即2

24

(364)

33

a t t

++

剟，

由22

3643(1)11

t t t

++=++…，可得

4

3

a

4

3

．故答案为：

4

3

．

【点评】本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础

题．

17．【分析】由题意可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r

，BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，0AB AD =u u u r u u u r g ，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

221

3562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于(1i i λ=，2，3，

4，5，6)取遍1±，由完全平方数的最值，可得所求最值．

【解答】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC +=u u u r u u u r u u u r ，BD AD AB =-u u u

r u u u r u u u r ，

0AB AD =u u u r u u u r

g ，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++u u u r u u u r

2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，

由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍1±，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=， 可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；

由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为25．故答案为：0，25．

【点评】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题．

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18．【分析】（1）函数()f x θ+是偶函数，则()2

k k Z π

θπ=+∈，根据θ的范围可得结果；

（2）化简函数得3)16

y x π

-+，然后根据x 的范围求值域即可． 【解答】解：（1）由()sin f x x =，得()sin()f x x θθ+=+， ()f x θ+Q 为偶函数，∴()2

k k Z π

θπ=

+∈，[0θ∈Q ，2)π，∴2

π

θ=

或32

π

θ=

， （2）22[()][()]124y f x f x ππ=+++22sin ()sin ()124x x ππ

=+++ 1cos(2)

1cos(2)

622

2

x x π

π

-+-+

=

+

11(cos2cos sin 2sin sin 2)266

x x x ππ=---

33sin 214x x =+3)16

x π

=-+， x R ∈Q ，∴sin(2)[1,1]6

x π

-∈-，∴333)1[16y x π-+∈，

∴函数22[()][()]124

y f x f x π

π

=+

++的值域为：[1+． 【点评】本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题．

19．【分析】法一：（Ⅰ）连结1A E ，则1A E AC ⊥，从而1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，推导出1BC A F ⊥，从而BC ⊥平面1A EF 由此能证明EF BC ⊥．

（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形，推导出1A E EG ⊥，从而平行四边形1EGFA 是矩形，推导出BC ⊥平面1EGFA ，连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），由此能求出直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值．

法二：（Ⅰ）连结1A E ，推导出1A E ⊥平面ABC ，以E 为原点，EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值． 【解答】方法一：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ?平面11A ACC ，

平面11A ACC ?平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，1A E BC ∴⊥， 1//A F AB Q ，90ABC ∠=?，1BC A F ∴⊥，BC ∴⊥平面1A EF ，EF BC ∴⊥．

解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则1EGFA 是平行四边形， 由于1A E ⊥平面ABC ，故1A E EG ⊥，∴平行四边形1EGFA 是矩形， 由（Ⅰ）得BC ⊥平面1EGFA ，则平面1A BC ⊥平面1EGFA ，

EF ∴在平面1A BC 上的射影在直线1A G 上，

连结1A G ，交EF 于O ，则EOG ∠是直线EF 与平面1A BC 所成角（或其补角），

不妨设4AC =，则在Rt △1A EG 中，1A E =，EG =，

O Q 是1A G 的中点，故1

2AG EO OG ==

=

2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∴∠==??，∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3

5

．

方法二：证明：（Ⅰ）连结1A E ，11A A AC =Q ，E 是AC 的中点， 1A E AC ∴⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，1A E ?平面11A ACC ，

平面11A ACC ?平面ABC AC =，1A E ∴⊥平面ABC ，

如图，以E 为原点，EC ，1EA 所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，

设4AC =，则1(0A ，0，，B ，1B ，3

2

F ，(0C ，2，0)，

3

2

EF =u u u r ，(BC =u u u r ，由0EF BC ?=u u u r u u u r ，得EF BC ⊥．

解：（Ⅱ）设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，

由（Ⅰ）得(3,1,0)BC =-u u u

r ，1(0A C =u u u u r

，2，23)-，

设平面1A BC 的法向量(n x =r

，y ，)z ，

则13030BC n x y AC n y z ?=-+=?

?=-=??u u u r r g u u u u r r

g

，取1x =，得(1,3,1)n =r ，||4sin 5||||EF n EF n θ∴==u u u r r g u u u r r g ， ∴直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值为3

5

．

【点评】本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．

20．【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出10a =，2d =，从而22n a n =-，*n N ∈．2n S n n =-，*n N ∈，利用212()()()n n n n n n S b S b S b +++=++，能求出n b ．

（Ⅱ）22

1

22(1)(1)

n

n n

a n n c

b n n n n --=

=++，*n N ∈，用数学归纳法证明，得到122n c c c n ++?+<，*n N ∈．

【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得111

24

333a d a d a d +=??+=+?，

解得10a =，2d =，22n a n ∴=-，*n N ∈．2n S n n ∴=-，*n N ∈， Q 数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，1n n S b ++，2n n S b ++成等比数列．

212()()()n n n n n n S b S b S b ++∴+=++，解得2121()n n n n b S S S d

++=-，解得2

n b n n =+，*n N ∈． 证明：（Ⅱ）22

1

22(1)

(1)

n

n n

a n n c

b n n n n --=

=

++，*n N ∈，

用数学归纳法证明：

①当1n =时，102c =<，不等式成立；

②假设n k =，*()k N ∈时不等式成立，即122k c c c k ++?+< 则当1n k =+时，1211

2(1)(2)1

k k k c c c c k k k k k +++?++<+++

<==1

n k

=+时，不等式也成立．

由①②

得

12n

c c c

++?+<，*

n N

∈．

【点评】本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．

21．【分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1

2

p

=，由此能求出抛物线的准线方程；

（Ⅱ）设(

A

A x，)

A

y，(

B

B x，)

B

y，(

C

C x，)

C

y，重心(

G

G x，)

G

y，令2

A

y t

=，0

t≠，则2

A

x t=，从而直线AB的方程为

21

1

2

t

x y

t

-

=+，代入24

y x

=，得：

2

2

2(1)

40

t

y y

t

-

--=，求出

2

1

(B

t

，

2

)

t

-，由重心在x轴上，得到

2

20

C

t y

t

-+=，从而2

1

(()

C t

t

-，

1

2())t

t

-，

42

2

222

(

3

t t

G

t

-+

，0)，进崦直线AC的方程为2

22()

y t t x t

-=-，得2(1

Q t-，0)，由此结合已知条件能求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1

2

p

=，2

p

∴=，

∴抛物线的准线方程为1

x=-；

（Ⅱ）设(

A

A x，)

A

y，(

B

B x，)

B

y，(

C

C x，)

C

y，重心(

G

G x，)

G

y，

令2

A

y t

=，0

t≠，则2

A

x t=，

由于直线AB过F，故直线AB的方程为

21

1

2

t

x y

t

-

=+，

代入24

y x

=，得：

2

2

2(1)

40

t

y y

t

-

--=，

24

B

ty

∴=-，即

2

B

y

t

=-，

2

1

(B

t

∴，

2

)

t

-，

又

1

()

3

G A B C

x x x x

=++，

1

()

3

G A B C

y y y y

=++，重心在x轴上，

∴

2

20

C

t y

t

-+=，2

1

(()

C t

t

∴-，

1

2())t

t

-，

42

2

222

(

3

t t

G

t

-+

，0)，

∴直线AC的方程为2

22()

y t t x t

-=-，得2(1

Q t-，0)，

Q

Q在焦点F的右侧，22

t

∴>，

∴

42

422

2

1

4244

2

2

2

221

1

|||2|

||||22

3

22

1222211

|||||1||2|

23

A

C

t t

t

FG y

S t t t

t

t t

S t t

QG y t t

t t

-+

--

====-

-+--

---

g

g

g g

，

令22

m t=-，则0

m>，

1

2

2

1

2221

3

434

S m

S m m m

m

=-=--=

++++

…，

∴

当m时，1

2

S

S

取得最小值为1(2,0)

G．

【点评】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

22．【分析】（1）当

3

4

a=-

时，

3

()

4

f x

x

'=-+=，利用导数性质能求出函数()

f x

的单调区间．

（2）由

1

()

2

f x

a

?

，得0

4

a

，当0

4

a

时，()

f x?

20

lnx

-…，令

1

t

a

=，

则t…

，设()22

g t t lnx

=

，t…

，则2

()2

g t t lnx

=--，由此利用分类

讨论思想和导导数性质能求出a的取值范围．

【解答】解：（1）当

3

4

a=-

时，

3

()

4

f x lnx

=-+0

x>，

3

()

4

f x

x

'=-+=，

∴函数()

f x的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)

+∞．

（2）由

1

()

2

f x

a

?

，得0a

当0a

时，()

f x?

20

lnx

-…，

令

1

t

a

=

，则t…

()22

g t t lnx

=

，t…，

则2

()2

g t t lnx

=--，

()i当

1

[

7

x∈，)

+∞

()2

g x g lnx

=

…，

记()

p x lnx

=，

1

7

x…，

则

1

()

p x

x

'=-=

=，列表讨论：

()p x p ∴…（1）0=，()2()2()0g t g p x p x ∴==厖

．

()ii 当2

11

[

,)7x e ∈时，()g t g …，

令()(1)q x x =++，

21[x e ∈，1]7，则()10q x '+>， 故()q x 在21[

e ，1]7

上单调递增，1

()()7q x q ∴?，

由()i 得11()()77q p p =<（1）0=，

()0q x ∴<，()0

g t g ∴=>…

，

由()()i ii 知对任意21

[x e

∈，)+∞，t ∈，)+∞，()0g t …，

即对任意2

1

[

x e ∈，)+∞，均有()f x ?

综上所述，所求的a 的取值范围是(0． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．