结构基本计算原则

第2章结构基本计算原则

2.1极限状态

2.1.1 结构上的作用

使结构产生内力或变形的原因称为“作用”，分直接作用和间接作用两种。荷载就是直接作用，混凝土的收缩、温度变化、基础的差异沉降、地震等引起结构外加变形或约束的原因称为间接作用。间接作用不仅与外界因素有关，还与结构本身的特性有关。例如，地震对结构物的作用，不仅与地震加速度有关，还与结构自身的动力特性有关，所以不能把地震作用称为“地震荷载”。

结构上的作用使结构产生的内力(如弯矩、剪力、轴向力、扭矩等)、变形、裂缝等统称为作用效应或荷载效应。荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。

1）荷载的分类

按作用时间的长短和性质，荷载可分为三类：

（1）永久荷载在结构设计使用期间，其值不随时间而变化，或其变化与平均值相比可以忽略不计，或其变化是单调的并能趋于限值的荷载。例如，结构的自身重力、土压力、预应力等荷载，永久荷载又称恒荷载。

（2）可变荷载在结构设计基准期内其值随时间而变化，其变化与平均值相比不可忽略的荷载。例如，楼面活荷载、吊车荷载、风荷载、雪荷载等，可变荷载又称活荷载。

（3）偶然荷载在结构设计基准期内不一定出现，一旦出现，其值很大且持续时间很短的荷载。例如，爆炸力、撞击力等。

2）荷载的标准值

荷载标准值是荷载的基本代表值。实际作用在结构上的荷载的大小具有不定性，应当按随机变量，采用数理统计的方法加以处理。这样确定的荷载是具有一定概率的最大荷载值称为荷载标准值。《建筑结构荷载规范》(GBJ 50009)规定，对于结构自身重力可以根据结构的设计尺寸和材料的重力密度确定。可变荷载通常还与时间有关，是一个随机过程，如果缺乏大量的统计资料，也可近似地按随机变量来考虑。考虑到我国的具体情况和规范的衔接，《建筑结构荷载规范》采用的基本上是经验值。

2．1．2 结构的功能要求

1）结构的安全等级

建筑物的重要程度是根据其用途决定的。例如，设计一个大型体育馆和设计一个普通仓库，因为大型体育馆一旦发生破坏引起的生命财产损失要比普通仓库大得多，所以对它们的安全度的要求应该不同，进行建筑结构设计时应按不同的安全等级进行设计。我国根据建筑结构破坏时可能产生的后果严重与否，分为三个安全等级，见表3—1。对人员比较集中使用频繁的影剧院、体育馆等，安全等级宜按一级设计。对特殊的建筑物，其设计安全等级可视具体情况确定。还有建筑物中梁、柱等各类构件的安全等级一般应与整个建筑物的安全等级相同，对部分特殊的构件可根据其重要程度作适当调整。

表3-1 建筑结构的安全等级

2）结构的设计使用年限

计算结构可靠度所依据的年限称为结构的设计使用年限。结构的设计使用年限，是指设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其预定目的使用的时期。设计使用年限可按《建筑结构可靠度设计统一标准》确定，业主可提出要求，经主管部门批准，也可按业主的要求确定。一般建筑结构的设计使用年限可为50年。各类工程结构的设计使用年限是不应统一的。例如，就总体而言，桥梁应比房屋的设计使用年限长，大坝的设计使用年限更长。

注意，结构的设计使用年限虽与其使用寿命有联系，但并不等同。超过设计使用年限的结构并不是不能使用，而是指它的可靠度降低了。

3）建筑结构的功能

设计的结构和结构构件应该在规定的设计使用年限内，在正常维护条件下，应能保持其使用功能，而不需进行大修加固。根据我国《建筑结构可靠度设计统一标准》，建筑结构应该满足的功能要求可概括为：

(1)安全性建筑结构应能承受正常施工和正常使用时可能出现的各种荷载和变形，在偶然事件(如地震、爆炸等)发生时和发生后保持必需的整体稳定性，不致发生倒塌。

(2)适用性结构在正常使用过程中应具有良好的工作性。例如，不产生影响使用的过大变形或振幅，不发生足以让使用者不安的过宽的裂缝等。

(3)耐久性结构在正常维护条件下应有足够的耐久性，完好使用到设计规定的年限，即设计使用年限。例如，混凝土不发生严重风化、腐蚀、脱落，钢筋不发生锈蚀等。

良好的结构设计应能满足上述功能要求，这样设计的结构是安全可靠的。

2．1. 3 结构功能的极限状态

整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计指定的某一功能要求，这个特定状态称为该功能的极限状态，例如，构件即将开裂、倾覆、滑移、压屈、失稳等。也就是，能完成预定的各项功能时，结构处于有效状态，反之则处于失效状态。有效状态和失效状态的分界，称为极限状态，是结构开始失效的标志。

极限状态可分为两类：

1）承载能力极限状态

结构或构件达到最大承载能力或者达到不适于继续承载的变形状态，称为承载能力极限状态。当结构或构件由于材料强度不够而破坏，或因疲劳而破坏，或产生过大的塑性变形而不能继续承载，结构或构件丧失稳定；结构转变为机动体系时，结构或构件就超过了承载能力极限状态。超过承载能力极限状态后，结构或构件就不能满足安全性的要求。

2）正常使用极限状态

结构或构件达到正常使用或耐久性能中某项规定限度的状态称为正常使用极限状态。例如，当结构或构件出现影响正常使用的过大变形、裂缝过宽、局部损坏和振动时，可认为结构或构件超过了正常使用权限状态。超过了正常使用极限状态，结构或构件就不能保证适用性和耐久性的功能要求。

结构或构件按承载能力极限状态进行计算后，还应该按正常使用极限状态进行验算。

2.2概率极限状态设计法

概率极限状态设计法是将荷载和材料强度都看作随机变量，对于结构的可靠性与否，以结构在一定条件下完成预定功能的概率来度量。

2.2.1 随机变量的统计特征值

钢材、混凝土及砌体的强度均是随机变量，需要概率统计的方法来确定具有一定概率保证率的统计特征值。一般可认为材料强度的概率分布服从正态分布。在结构设计中，常要用到保证率不小于95%的材料强度，该强度值称为材料强度的标准值。

图2—1 荷载标准值的确定方法

作用于结构上的各类荷载的大小同样具有波动性或随机性，考虑荷载的大小对结构的影响时，亦应采用其统计特征值。荷载的标准值应定得足够大，以使所设计的结构构件足够安全可靠。如图2-1所示，事件发生在区间( 1.645,)μσ++∞的概率为5%，而事件发生在()σμ645.1,+∞-的概率为95%。设μ为某种荷载的统计平均值，σ为其标准差，则该种荷载的标准值为

荷载的标准值=σμ645.1+ （2-1）

即结构构件可能承受的荷载低于荷载标准值的概率为95%，而比荷载标准值大的可能性仅为5%。

2.2.2 荷载组合、结构抗力及可靠性和可靠度

1）荷载组合

工程结构设计时，为保证结构的可靠性，应根据两种或两种以上可变荷载在设计基准期内的相遇情况及其组合的最大荷载效应的概率分布，按承载能力极限状态和正常使用极限状态设计的要求分别进行荷载组合，并考虑不同荷载效应组合时结构构件可靠性指标具有一致性的原则确定，最后取各自的最不利效应组合进行设计。

（1）承载能力极限状态的荷载组合

进行承载能力极限状态设计时，应考虑荷载的基本组合和偶然组合两种情况。所谓基本组合，指永久作用和可变作用的组合。偶然组合则指永久作用、可变作用和一个偶然作用的组合。

基本组合 对于基本组合，荷载效应组合的设计值S 可按下述规定采用，从下列组合值中取最不利值： ①由可变荷载效应控制的组合：

G Gk Q1Q1k Q c Q k 2n

i i i i S S S S γγγψ==++∑ （2-2）

式中 G γ——永久荷载的分项系数，当其效应对结构不利时，取1.2；当其效应对结构有利时，一般情

况取1.0；对结构进行倾覆、滑移或漂浮验算时，取0.9；

Q i γ——第i 个可变荷载的分项系数，一般情况下取1.4；对标准值大雨4KN/m 2

的房屋楼屋面结构

的活载取1.3；

Gk S ——按永久荷载标准值k G 计算的荷载效应值；

Q k i S ——按可变，荷载标准值k Q i 计算的荷载效应值，其中Q1k S 为诸可变荷载效应中最大者，当

对Q1k S 无法明显判断其效应设计值为诸可变荷载效应设计值中最大者时，可轮次以各可

变荷载效应为Q1k S ，选取其中最不利的荷载效应组合；

c i ψ——可变荷载i Q 的组合值系数，其值应不大于1；

n ——参与组合的可变荷载数。

②由永久荷载效应控制的组合：

∑n

i i i i S S 1k Q c Q Gk G S ＝＋＝ψγγ （2-3）

式中 G γ一般取1.35，当永久荷载效应对结构有利时，G γ取1.0。

偶然组合 对于偶然组合，其相应的荷载效应组合设计值宜按下列规定确定；偶然荷载的代表值不乘以分项系数；与偶然荷载同时组合的其他荷载可根据观测资料和工程经验采用适当的代表值。各种情况下荷载效应的设计值公式，可参照有关规范的规定。

（2）正常使用极限状态的荷载组合

进行正常使用极限状态验算，主要是验算构件的变形和抗裂度或裂缝宽度。此时，可变荷载作用时间的长短对构件的变形和裂缝宽度显然是有影响的。结构构件应分别采用荷载的标准组合和准永久组合进行设计，并使变形、裂缝等设计值不超过相应的规定限值。

标准组合 标准组合主要用于当一个极限状态被超越时将产生严重的永久性损害的场合，其荷载效应组合设计值S 可按下式采用：

n

Gk Q1k c Q k 2i i i S S S S ψ==++∑ （2-4）

频遇组合 荷载的频遇值是一种在统计上确定的值，要使此值在选定的时期内被超越的总时间仅为所选时期中给定的一小部分，或其超越频率仅限于一给定值。荷载的频遇值是正常使用极限状态按频遇组合设计所采用的一种可变荷载代表值。相应地，荷载的频遇值，应根据荷载在设计基准期的一小部分确定，或其超越频率限于一给定值确定。频遇组合主要用于当一个极限状态被超越时将产生局部损害、较大变形或瞬间振动等情形的场合。其荷载效应组合的设计值S 可按下式采用：

n

Gk f1Q1k q Q k 2i i i S S S S ψψ==++∑ （2-5）

式中 f1ψ——可变荷载1Q 的频遇值系数，其取值应符合荷载规范的要求；f 11Q ψ为第一个可变荷载的频遇值；

q i ψ——可变荷载i Q 的准永久值系数，其取值应符合荷载规范的要求q Q i i ψ为第i 个可变荷载的准

永久值。

准永久组合 荷载的准永久值也是一种在统计基础上确定的值，要使此值在规定的时期内被超越的总时间为所选时间量值之半。荷载的准永久值是正常使用极限状态按准永久组合设计所采用的一种可变荷载代表值。相应地，荷载的准永久值，应根据荷载在设计基准期内达到和超过该值的总持续时间为设计基准期的一半确定。准永久组合主要用于当长期效应是决定性因素时的一些场合。其荷载组合效应的设计值S 可按下式采用：

n Gk q Q k 1i i i S S S ψ

==+∑ （2-6）

例2-1 某办公楼楼面采用预应力混凝土七孔板。安全等级为二级。板长3.3m ，计算跨度3.18m 。板宽0.9m 。七孔板自重2.042kN/m ，后浇混凝土层厚40mm ，板底抹灰层厚20mm ，可变荷载取1.52kN/m 。试计算按承载力极限状态和正常使用极限状态设计时的截面弯矩设计值。

解：查《建筑结构荷载规范》。得：0 1.0γ=，G 1.2γ=，Q1 1.4γ=，组合值系数为0.7，准永久值系数为0.5，频遇值系数为0.6。

永久荷载标准值的计算如下：

结构层的自重： 2.042

kN/m

40mm 后浇面层： 2250.041(kN/m )?=

20mm 板底抹灰层：2200.020.4(kN/m )?=

永久荷载标准值为 22.0410.4 3.44(kN/m )++=

沿板长每米均布永久荷载标准值为

0.9 3.44 3.1(kN /m)?=

可变荷载每米标准值为

0.9 1.5 1.35(kN /m)?=

简支板在均布永久荷载作用下的弯矩为

22011 3.1 3.18 3.92(kN m)88

M gl ==??= 简支板在均布可变荷载作用下的弯矩为

22011 1.35 3.18 1.71(kN m)88

M ql ==??= (1) 按承载能力极限状态设计时的弯矩设计值

由可变荷载效应控制的基本组合：

G Gk Q1Q1k 1.2 3.92 1.4 1.717.10(kN m)S S S γγ=+=?+?=

弯矩组合设计值应取7.10kN m 。

(2) 按正常使用极限状态验算时的弯矩设计值

标准组合：

Gk Q1k 3.92 1.71 5.63(kN m)S S S =+=+=

准永久组合：

Gk a Q1k 3.920.5 1.71 4.78(kN m)S S S ?=+=+?=

频遇组合：

Gk b Qk 3.920.6 1.71 4.95(kN m)S S S ?=+=+?=

2) 结构抗力

结构构件对抵抗各种作用的承载力，及对变形、裂缝等的抵抗能力，统称为结构抗力。结构抗力的确定是结构设计要解决的另一个问题。影响结构抗力大小的因素主要是结构构件的几何尺寸、所用材料的性能（如强度、弹性模量、变形模量等）。此外，所采用的计算模式对结构抗力也有一定的影响。考虑到材料的变异性、构件几何特征的不定性以及计算模式的不定性，由这些因素综合确定的结构抗力也应是一个随机变量。

3) 可靠性和可靠度

结构设计的目的是用最经济的方法设计出足够安全可靠的结构。所谓安全可靠，意指所设计的结构能满足预定的各项功能要求，是关于安全性、适用性、耐久性的概称。结构的可靠性反映了结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的能力。

与荷载及材料强度的取值一样，结构的可靠性同样具有一定的随机性。当结构构件完成其预定功能的概率达到一定程度，或不能完成其预定概率（失效概率）小到某一公认的、大家可以接受的程度，就可认为结构构件是安全可靠的。《统一标准》用可靠度来定量描述结构的可靠度。结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率，称为结构的可靠度。上面所提到的规定的时间，即指结构的设计工作寿命；规定的条件，是指设计、施工、使用、维护均属正常的情况。

2.2.3 实用设计表达式

1) 可靠指标β

概率极限状态设计法按结构不同极限状态的要求来进行设计，且在其计算中应用了概率的方法。通常也称为基于概率的极限状态设计法。

下面研究失效概率的计算方法。通常考虑最简单的情况：结构或构件只有荷载产生的效应S 和结构或构件的承载能力R 两个变量。该两变量均为随机变量，通过统计分析可确定其所服从的概率分布，现假定其服从正态分布，且相对独立。令Z R S =-，则Z 也应服从正态分布，显然

0Z R S =->，表示结构可靠；

0Z R S =-=，表示结构处于极限状态；

0Z R S =-<，表示结构失效。

因此，结构的可靠度要研究的是随机变量Z 取值不小于零的概率。由于有效概率P （0Z ≥）和失效概率f P （0Z <）是互补的，故如求得结构的失效概率即可得结构得可靠概率。

上述关系式中

0Z R S =-= （2—7）

称为极限状态方程，即表示结构正处于极限状态。超过这一状态，结构就不能满足设计规定的安全性的要求。

假设S 、R 的平均值分别为S μ、R μ，标准差分别为S σ、R σ，其概率密度分布曲线如图2—3所示。从图中可以看出，大多数情况下构件的抗力R 大于荷载效应S 。

图2—2 S 、R 的概率密度分布曲线

但由于离散性，在两条概率密度分布曲线相重叠的范围内，仍有可能出现荷载效应大于结构抗力的情况。重叠范围的大小（图中阴影部分的面积），反映了结构抗力小于荷载效应（结构失效）的概率的高低。S μ比R μ小的多，或S σ和R σ越小时，均可使重叠范围减小，从而降低结构的失效概率。

图2—3 随机变量Z 的概率密度曲线

Z 的概率密度分布曲线如图2—4所示，0Z <的事件（结构失效）出现的概率为图中阴影部分的面积，其值为

f (0)()P P Z f Z dz -∞=<=

? （2—8）

失效概率的计算由于要用到积分，比较麻烦，不便于设计，故通常采用一种比较简便的方法。由图2—4可看出，阴影部分的面积与Z μ和Z σ的大小有关，增大Z μ，曲线右移，阴影部分的面积将减少；减小Z σ，曲线变高变窄，阴影部分的面积亦将减少。现令

Z Z μβσ= （2-9）

则有

Z Z μβσ== （2-10） β越大，失效概率越小。因此，β和失效概率一样可作为度量结构可靠度的一个指标，称为可靠度指标。图2－4表示了β和失效概率f P 之间的对应关系。

结构构件的可靠指标应根据基本变量（系指结构上的各种作用和材料性能、几何参数等）的平均值、标准差及其概率分布类型进行计算。

图2－4 β和失效概率f P 之间的对应关系

为了使设计安全可取，经济合理，《统一标准》又根据结构构件的安全等级、破坏类型，确定了结构构件的可靠指标值。对于承载能力极限状态，结构构件的可靠指标值见表2－3。由结构构件实际的破坏情况可知，破坏状态有延性破坏和脆性破坏之分。结构构件发生延性破杯前有明显的预兆可察，可及时采取补救措施，故可靠指标值定得稍低。反之，若构件发生脆性破坏，因破坏系突然发生，故可靠指标值定得高些。

对于正常使用极限状态，结构构件的可靠指标值应根据结构构件的特点和工程经验确定。

表2-3 结构构件承载力极限状态设计时采用的可靠标准值

注：当受偶然作用时，结构构件的可靠标准应符合专门规范的规定。

2）极限状态实用设计表达式

结构设计中需要考虑的不仅是结构对荷载的承载力，有时还要考虑结构对变形或裂缝开展等的抵抗能力，即不仅需要考虑安全性的要求而且包括结构功能要求中关于适用性和耐久性的要求。如前所述，结构抗力是一个广义的概念，包括抵抗荷载产生的内力、变形、裂缝的开展等能力。因此，按极限状态进行设计时，应考虑承载力极限状态和正常使用极限状态两种情况。

《统一标淮》提出了便于实际使用的设计表达式，以符合设计人员的习惯，使设计能按传统的方式进行。实用设计表达式采用了以荷载和材料强度的标准值以及相应的分项系数来表达的方式，其中分项系数是按照可靠指标值并考虑工程经验确定的。

（1）承载能力极限状态实用设计表达式

()0R k k R ,,,S f a γγ≤ （2-11）

式中 0γ——重要性系数，对安全等级为一级或设计工作寿命为100年以上的结构构件，不应小于1.1；

对安全等级为二级或设计工作寿命为50年的结构构件，不应小于1.0；对安全等级为三级

或设计工作寿命为5年及以下的结构构件，不应小于0.9；在抗震设计中，不考虑结构构件

的重要性系数；

S ——荷载效应组合的设计值；对于混凝土结构和钢结构，S 可根据结构构件的计算要求采用2.2.2

节介绍的荷载组合值；

() R ——结构构件的抗力函数；

R γ——结构构件抗力分项系数；

k f ——材料性能的标准值；

k a ——几何参数的标准值，当几何参数的变异性对结构的性能有明显影响时，可另增减—个附加值

a ?以考虑其不利影响。

采用式（2-11）进行计算时，还有以下几方面的问题需加以说明：

①对于砌体结构，应根据下列情况确定S ：

当可变荷载多于一个时，应按下列公式中最不利组合计算S ：

n 0Gk Q1k Q 0Q k 21.2 1.4i i i S S S S γγψ=??=++ ???

∑ （2-12）

n 0Gk 0Q k 11.35 1.4i i S S S γψ=??=+ ???

∑ （2-13）

当仅有一个可变荷载时，可按下列公式中最不利组合进行计算：

()0Gk Qk 1.2 1.4S S S γ=+ （2-14）

()

0Gk Qk 1.35S S S γ=+ （2-15）

②式（2-11）中材料强度标准值k f ，对于混凝土结构，是指混凝土和钢筋的强度标淮值；对于砌体结构，是指砌体的强度标准值；对于钢结构是指钢材的强度标准值。

③式（2-11）中的结构构件抗力分项系数R γ，对于混凝土结构，是指钢筋强度的分项系数0γ和混凝土强度的分项系数t γ，《混凝土规范》规定0γ取1.2，t γ取1.4；对于砌体结构是指砌体结构的材料性能分项系数f γ，—般情况下统—按施工等级为B 级考虑，取f γ=1.6；在钢结构中为钢材的抗力分项系数，对Q235钢取1.087，对Q345钢、Q390钢、Q420钢取1.111。各种材料强度设计值等于其标准值除以相应的材料性能分项系数。

④当砌体结构作为一个刚体，需验算整体稳定时，例如倾覆、滑移、漂浮等，应采用下列设计表达式

n G1k G2k Q1k Q k 20.8 1.2 1.40i i S S S S =---

≥∑ （2-16）

式中 G 1k S ——起有利作用的永久荷载的内力标准值；

G 2k S ——起不利作用的水久荷载的内力标准值； Q1k S ，Q k i S ——起不利作用的第一个和第i 个可变荷载的内力标准值。

(2)正常使用极限状态实用设计表达式

①混凝土结构。如前所述，按正常使用极限状态设计，主要是验算构件的变形、抗裂度或裂缝宽度，使其不超过规范规定的相应限值。

②钢结构。对于钢结构或构件的正常使用极限状态，应按短期荷载效应组合考虑，验算式为

[]n Gk Q1k c Q k 2i i i f f f f f ψ

==++≤∑ （2-17）

式中 Gk f ——永久荷载标准值在结构构件中产生的变形值；

Q1k f ——第一个可变荷载的标准值在结构构件中产生的变形值，该值大于其他第i 个可变荷载标准

值产生的变形值；

Q k i f ——第i 个可变荷载标准值产生的变形值；

[]f ——结构构件的容许变形值，见相关规范的规定。

对于轴心和偏心受力钢结构构件，其正常使用极限状态用构件的长细比来保证以免构件过于纤细，易于弯曲和颤动，对构件工作不利。

思 考 题

2-1 “荷载”如何分类？

2-2 “作用”和“荷载”有什么区别？影响结构可靠性的因素有哪些？结构构件的抗力与哪些因素有关？为什么说构件的抗力是一个随机变量？

2-3 结构可靠性的含义是什么？它包含哪些功能要求？结构超过极限状态会产生什么后果？建筑结构安全等级是按什么原则划分的？

2-4 什么是结构的极限状态？机构的极限状态分为几类，其含义各是什么？

2-5 建筑结构应该满足哪些功能要求？结构的设计工作寿命如何确定？结构超过其设计工作寿命是否意味着不能再使用？为什么？

2-6 什么叫结构的可靠度和可靠指标？我国《建筑结构设计统一标准》对结构可靠度是如何定义的？ 2-7 什么是结构的功能函数？什么是结构的极限状态？功能函数0Z >、0Z <和0Z =时各表示结构处于什么样的状态？

2-8 什么是结构可靠概率s p 和失效概率f p ？什么是目标可靠指标？可靠指标与结构失效概率有何定性关系？怎样确定可靠指标？为什么说我国“规范”采用的极限状态设计法是近似概率设计方法？其主要

2-9 我国“规范”承载力极限状态设计表达式采用何种形式？说明式中各符号的物理意义及荷载效应基本组合的取值原则。

2-10 什么是荷载标准值？什么是活荷载的频遇值和准永久值？什么是荷载的组合值？对正常使用极限状态验算，为什么要区分荷载的标准组合和荷载的准永久组合？如何考虑荷载的标准组合和准永久组合？

2-11 什么是材料强度标准值？