方程与不等式-一轮复习

1

方程与不等式

知识点一:一元一次方程 1.方程

含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3.等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。 4.一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程

）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b

是常数项。 典例精析

例1.已知等式a =b ，c 为任意有理数，则下列等式不一定成立的是( ) A ．a ?c =b ?c

B ．a +c =b +c

C ．a

c =b

c

D ．?ac =?bc

例2.若

13m +与27

3

m -互为相反数，则m 的值为( ) A ．

34 B ．

43

C ．34

-

D ．43

-

例3.已知方程513ax +=的解是2x =，则a 的值为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2

例4.某城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过8吨，每吨水费x 元；超过8吨，超过部分每吨加收2元，某市民一家今年11月份用水14吨，共交水费为54元，根据题意列出关于x 的方程正确的是（ ） A ．814(2)54x x ++= B ．814(2)54x x +-= C ．86(2)54x x ++= D ．86(2)54x x +-=

例5.若关于x 的方程

()0521

=+--k x

k 是一元一次方程,则k=

.

例6.方程2－

2x 4x 7

312

－－＝－去分母得（ ）.

A ．2－2(2x －4)＝－(x －7)

B ．12－2(2x －4)＝－x －7

C ．24－4(2x －4)＝－(x －7)

D ．12－4x ＋4＝－x ＋7

例7.解方程：

（1）1721x x -=-；

（2）

123126

x x +--=-

例8.某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

3

知识点二:二元一次方程组 1.二元一次方程

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式为()0,0≠≠=+b a c by ax 。 2.二元一次方程组

两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3.二元一次方程组的解法（消元） （1）代入消元法（2）加减消元法 4.三元一次方程组

由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 典例精析

例1.若关于x,y 的方程组{3x-y =m,x +my =n 的解是{x =1,

y =1,则|m-n|的值是( )

A.5

B.3

C.2

D.1

例2.

若40,x y ++=则32x y +=_______.

例3.如果方程组4

{

5

x ax by =+=的解与方程组3

{

2

y bx ay =+=的解相同，则a+b=________．

例4.已知 x ，y 满足方程组 612

328x y x y +=??-=?

，则x+y 的为_____．

4

例5、为庆祝“六一”国际儿童节,爱辉区某小学组织师生共360人参加公园游园活动,有A,B 两种型号客车可供租用,两种客车载客量分别为45人、30人,要求每辆车必须满载,则师生一次性全部到达公园的租车方案有( ) A.3种

B.4种

C.5种

D.6种

例6.小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯,他把纸杯整齐地叠放在一起,如图,请你根据图中的信息,若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时,它的高度约是( )

A.106 cm

B.110 cm

C.114 cm

D.116 cm

例7.解方程组 {2x +y =3,

3x -5y =11. 212110y x x y =-??+-=? ()1

3233216

x y x y +?+=???-+=?

例8.已知方程组515412ax y x by +=??

+=?①

②

， 王芳看错了方程①中的a ，得到的方程组的解为

5

4x y =??

=?

，李明看错了方程（2）中的b ，得到的方程组的解为45x y =??=?， 求原方程组的解.

例9.一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲.乙.丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：(假设每辆车均满载)

（1）若全部物资都用甲.乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲.乙两种车型各几辆？

（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲.乙.丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？

（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？

知识点三:分式方程

1.分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的一般方法

5

6

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 3.分式方程的特殊解法 换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 典例精析

例1.下列式子中，是分式的有 个 .

⑴； ⑵ ；⑶；⑷；⑸；⑹.

例2.当x 时，分式

1

21+-a a

的值为0 例3.当x 时，分式

5

1

-x 有意义. 例4.分式

x

x -+21

2中，当____=x 时，分式没有意义. 例5.若关于x 的方程x+m x-3+

3m

3?x

=3的解为正数,则m 的取值范围是( )

A.m<9

2 B.m<9

2,且m ≠3

2 C.m>-94

D.m>-9

4,且m ≠-3

4

275x x -+123x -25a a -22x x π

--22b b -222xy x y +

7

例6.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是25 km,但交通比较拥堵,路线二的全程是30 km,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10 min 到达.若设走路线一时的平均速度为x km/h,根据题意,得( ) A .25x

?30(1+80%)x =10

60

B .25x

?30

(1+80%)x =10

C .

30

(1+80%)x

?

25x

=

1060

D .

30

(1+80%)x

?

25x

=10

例7.在数轴上,点A,B 对应的数分别为2,x-5

x+1,且A,B 两点关于原点对称,则x 的值为 .

例8. 257233212x x x x x -=+-+--；; 2

2221111??

?

??-+-???? ??-÷--a a a a a a a

例9.某镇道路改造工程,由甲.乙两工程队合作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程.

求甲.乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天;

知识点四:一元二次方程 1.一元二次方程及有关概念

一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.

一般形式:ax2+bx+c=0(其中a.b.c为常数，a≠0)，其中:ax2 、bx、c分别叫做二次项.一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.

一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.

2.一元二次方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

3.一元二次方程的解法：

直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.

4.一元二次方程的根的判别式

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：

(1)b2－4ac＞0?方程有两个不相等的实数根；

(2)b2－4ac＝0?方程有两个的实数根；

(3)b2－4ac＜0?方程没有实数根．

5.一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝．

典例精析

例1.下列方程中，是一元二次方程的有( )

①x2＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③3x2＝x；④2x(x＋4)－2x2＝0；

⑤(x2－1)2＝9；⑥1

x2+1

x

－1＝0.

A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

b a

c

a

8

9

例2.已知关于x 的方程(m 2

－1)x 2

＋(m －1)x －2＝0. (1)当m 为何值时，该方程为一元二次方程？ (2)当m 为何值时，该方程为一元一次方程？

例3.关于x 的一元二次方程(k －1)x 2

+6x+k 2

－k=0的一个根是0，则k 的值是 ． 例4.已知1)1(+=+x x x ,则x=_________.

例5.关于x 的方程a(x +m)2+b =0的解是x 1=?2，x 2=1(a .m.b 均为常数，a ≠0)，则方程a(x +m +1)2+b =0的解是( ) A ．x 1=?3，x 2=0 B ．x 1=0，x 2=3 C ．x 1=?4，x 2=?1

D ．x 1=1，x 2=4

例6.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2x －1＝0有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0

B ．m ＞0

C ．m ≥0且m ≠1

D ．m ＞0且m ≠1

例7.有两个一元二次方程M:ax 2+bx +c =0，N:cx 2+bx +a =0，其中a +c =0，下列四个结论中，错误的是（ ）

A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根

B ．b =0时，方程M 和方程N 有一个相同的根,那么这个根必是x =1

C ．如果5是方程M 的一个根，那么5

1是方程N 的一个根

D ．ac ≠0

例8.关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

例9.等腰△ABC的一边长为4,另外两边的长是关于x的方程x2?10x+m=0的两个实数根,则m的值是( )

A．24 B．25 C．26 D．24或25

例10.用适当的方法解下列方程

（1）3x(x?1)=2x?2（2）x2+4x+3=0

例11.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为2

570m，则道路的宽为多少？Array

知识点五:不等式（组）

1.不等式的概念

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2.不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个

不等式的解集。

10

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3.用数轴表示不等式的方法

4.不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

5.一元一次不等式

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

6.一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

7.一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

8.一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

9.取公共解集的方法

同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解。

11

12

典例精析

例1.若x>y,则下列式子错误的是( ) A.x-3>y-3

B. x+3>y+3

C. -3x >-3y

D .x

3>y

3

例2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）

A.5+4>8

B.12-x

C.x 2≤５

D.

x x

31

-≥０ 例3.下面给出的不等式组中①23x x >-????+>?③2

2124x x x ?>+??+>??④30

7

x x +>??<-?

⑤10

1x y x +>??

-

其中是一元一次不等式组的个数是（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

例4.若是关于的一元一次不等式，则的取值是 ．

例5.解不等式

中，出现错误的一步是（ ）

A ．6x ﹣3＜4x ﹣4

B ．6x ﹣4x ＜﹣4+3

C ．2x ＜﹣1

D ．

例6.不等式

的正整数解为（ ） A.1个 B.3个 C.4个 D.5个

例7.不等式组()???

??≤+≥-132

1

3x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A.

B.

C. D.

(1)20m

m x ++>x m 45

111

x -<

13

例8.已知关于x 的不等式组??

?

-≥-1

40 x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是（ ） A ．－3＜a ＜－2 B ．－3＜a ≤－2 C ．－3≤a ≤－2

D ．－3≤a ＜－2

例9.若不等式≥4x+6的解集是x ≤﹣4，则a 的值是（ ）

A ．34

B ．22

C ．﹣3

D ．0

例10.不等式组的解集在数轴上表示如图,则该不等式组可能为( )

A .{x >?1,x ≤2

B .{x ≥?1,

x <2

C .{x ≥?1,x ≤2

D .{x

例11.已知关于x 的不等式组{

x 2

+

x+1

3>0,

x +5a+43

>4

3(x +1)+a

恰有两个整数解,则实数a 的取值范

围是 .

例12.解不等式组:{2x +5≤3(x +2),

2x-1+3x

2<1,把不等式组的解集在数轴上表示出来. 基础训练

1.将方程﹣＝1去分母得（ ）

14

A ．2x ﹣（x ﹣2）＝6

B ．2x ﹣x ﹣2＝6

C ．2x ﹣（x ﹣2）＝1

D ．2x ﹣x ﹣2＝1

2.如果方程组的解与方程组的解相同，则的值为

（ ）.

A.-1

B.2

C.1

D.0

3.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八.九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是 ( )

A ． 50(1＋x 2

)＝196 B ． 50＋50(1＋x 2

)＝196

C ． 50＋50(1＋x)＋50(1＋x) 2

＝196 D ． 50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

4.已知?

?

?+=+=+12242k y x k

y x ，且－1＜y x -＜0，则k 的取值范围是（ ）

A ．－1＜k ＜－

21 B ．0＜k ＜21 C ．0＜k ＜1 D ．2

1

＜k ＜1 5.为了绿化校园，某班学生参与共种植了144棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，且该班男生比女生多8人，设男生有x 人，女生有y 人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a ，b 对应的密文为a-2b ，2a+b ．例如，明文1，2对应的密文是-3，4，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是 .

7.解下列方程：

(1)

=1－； (2)=－1；

22y y 1

2y

62a 3a a

15

（3）2x 2?7x +6=0 (4)

41x =2

1

-x +3

8.解关于x 的方程

223

242

ax x x x +=

--+无解，则常数a 的值。

9.解不等式组并将解集在数轴上表示．

10.某市环保局决定购买A 、B 两种型号的扫地车共40辆，对城区所有公路地面进行清扫．已知1辆A 型扫地车和2辆B 型扫地车每周可以处理地面垃圾100吨，2辆A 型扫地车和1辆B 型扫地车每周可以处理垃圾110吨．

（1）求A 、B 两种型号的扫地车每辆每周分别可以处理垃圾多少吨？

（2）已知A型扫地车每辆价格为25万元，B型扫地车每辆价格为20万元，要想使环保局购买扫地车的资金不超过910万元，但每周处理垃圾的量又不低于1400吨，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金是多少？

11.百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元。市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元时，平均每天能多售出1台。（销售利润=销售价—进价）

(1)如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的销售利润为元，平均每天可销售冰箱台；（用含x的代数式表示）

(2)商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元，且尽可能地清空冰箱库存，每台冰箱的定价应为多少元？

16

17

巩固提高 1.若是2

m

5x y 与n m 1

2n 24x y ++-同类项，则2m n -的值为( )

A ．1

B ．1-

C ．3-

D ．以上答案都不对

2.下列方程变形正确的是（ ）

A ．方程

110.20.5x x --=化成1010101025

x x

--= B ．方程 3﹣x=2﹣5（x ﹣1），去括号，得 3﹣x=2﹣5x ﹣1 C ．方程 3x ﹣2=2x+1 移项得 3x ﹣2x=1+2

D ．方程

23t=3

2

，未知数系数化为 1，得t=1 3.小刚从家跑步到学校，每小时跑12km ，会迟到5分钟；若骑自行车，每小时骑15km ，则可早到10分钟．设他家到学校的路程是xkm ，则根据题意列出方程是（ ）

A ．

10515601260x x -=+ B ．

105

15601260x x -=- C ．1051512

x x

+=- D ．

10515601260

x x +=- 4.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x 人，物品价值y 元，则所列方程组正确的是( )

A ．8374y x

y x

+=??

-=?

B ．8374x y

x y

+=??

-=?

C ．8374x y x y -=??+=?

D ．8374y x

y x -=??+=?

18

5.游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x 人，女孩有y 人，则下列方程组正确的是（ ）

A ．12x y x y -=??=?

B ．2(1)x y

x y =??=-?

C ．12(1)x y

x y -=??=-?

D ．+12(1)x y

x y =??=-?

6.有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A ．8人

B ．9人

C ．10人

D ．11人

7.关于x 的方程

1

211

m x x =+--如果有增根，那么增根一定是_____． 8.若关于x 的方程

122x a x x

=---无解，则a ＝__________. 9.如图，若开始输入的x 的值为正整数，最后输出的结果为144，则满足条件的x 的值为_______．

10.定义一种新运算“※”，规定x ※y =2

ax by +，其中a .b 为常数，且

1※2=5,2※1=3，则2※3=____________．

11.阅读材料：喜欢看书的刘翔在看一本数学课外读物，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代换”法：例：解方程组{

2x +3y =1①,4x +7y =3②.

解：将方程②变形：4x ＋6y ＋y ＝3，即2(2x ＋3y)＋y ＝3③， 把方程①代入③，得2×

1＋y ＝3，∴y ＝

1.

19

把y ＝1代入①，得x ＝－1，∴方程组的解为{x =?1,y =1.

请你模仿这种方法，解下面方程组：{3x ?2y =4,9x ?5y =13.

尖子培优

1.若方程组1122a x y c a x y c +=??+=?的解是2

3x y =??=?，则方程组111222a x y a c a x y a c +=-??+=-?的解是（ ）

A ．1

3x y =??=?

B ．1

3x y =??=-?

C ．1

3x y =-??=?

D ．1

3x y =-??=-?

2.已知关于x 的不等式组???????-+-+x t x x x 2

353

5

2恰有5个整数解，则t 的取值范围是

（ ）

A ．19

92

t <<

B ．1992

t ≤<

C ．1992

t <≤

D ．1992

t ≤≤

3.若关于x 的方程kx 2-（k+1）x+1=0的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

4.若方程组23133530.9a b a b -=??+=?的解为8.3

1.2

a b =??=?，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=??++-=?的解为

_______.

5.如图1,长方形OABC的边OA在数轴上,O为原点,长方形OABC的面积为12,OC边长为3．

（1）数轴上点A表示的数为__________；

''''，移动后的长方形（2）将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C

''''与原长方形OABC重叠部分（例如图2中阴影部分）的面积记为S．

O A B C

S=时，数轴上点A'表示的数为______；

①当4

'=，当点O'到点A的距离是点O到点A'的距离的2倍时，求x ②设点A的移动距离AA x

的值．

20