两种基本积分法
不定积分分部积分公式
x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
高中数学中的积分与积分应用的计算技巧解析
高中数学中的积分与积分应用的计算技巧解析积分是数学中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域。
在高中数学课程中，积分是一个重要的内容，它与微分一起构成了微积分的基础。
本文将详细解析高中数学中的积分与积分应用的计算技巧。
一、积分的概念与性质积分的概念源自于求导的逆运算，它表示了函数曲线下面的面积。
在高中数学中，我们主要学习了不定积分和定积分两种形式。
不定积分表示的是一个函数的原函数，它可以看作是求导运算的逆运算。
在不定积分中，我们常用的记号是∫f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，dx表示对x进行积分。
定积分表示的是一个函数在一定区间上的累积变化量，它可以表示曲线下面的面积。
在定积分中，我们常用的记号是∫[a,b]f(x)dx，其中f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分的区间。
积分具有一些重要的性质，比如线性性质、积分与导数的关系等。
线性性质表示积分可以分解为两个函数积分的和，即∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
积分与导数的关系则体现了微积分的基本思想，即导数是积分的逆运算，积分是导数的逆运算。
二、积分的基本计算技巧在高中数学中，我们接触到的主要是一些简单的函数的积分计算。
下面介绍一些常见函数的积分计算技巧：1. 幂函数的积分计算：对于幂函数的积分计算，常用的方法是使用幂函数的导函数公式。
比如对于函数f(x)=x^n，其中n是常数，它的积分结果为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为常数。
2. 指数函数的积分计算：对于指数函数的积分计算，可以利用指数函数的性质进行计算。
比如对于函数f(x)=e^x，它的积分结果为∫e^x dx=e^x+C，其中C为常数。
3. 三角函数的积分计算：对于三角函数的积分计算，可以利用三角函数的性质进行计算。
比如对于函数f(x)=sinx，它的积分结果为∫sinx dx=-cosx+C，其中C为常数。
22不定积分的分部积分法
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分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
例10 求 2x ln( x2 1)dx.
解 2x ln( x2 1)dx
ln( x2 1)d (x2 1)
(x2 1) ln( x2 1)
sin x cosn1 x (n 1)( cosn2 x dx cosn x dx ),
.
回归
cosn x dx 1 sin x cosn1 x n 1 cosn2 x dx.
n
n
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分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
用分部积分法,使多项式的次数降低
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分部积分过程： uvdx udv uv v du uv vudx
例例34
x
ln
xdx
1 2
xldnxxdx122dx
21 2
x
2
ln
x
1 2
x2
1 x
dx
4
x
ln
xdx
ex sin x exd(sin x)
ex sin x ex cos xdx ex sin x cos xdex
ex sin x (ex cos x exd cos x)
ex (sin x cos x) ex sin xdx
实用多次分部积分法
实用多次分部积分法分部积分法是微积分中的基本技巧之一，它用于求解含有乘积项的积分，也是解决一些复杂积分的重要工具。
但是，有时候单次分部积分法并不能直接得到积分的解析式，需要多次分部积分才能得到答案。
本文将介绍实用多次分部积分法，以及一些常见的例子。
一、基本分部积分法首先，我们回顾一下基本分部积分法。
对于两个可导函数u(x)和v(x)，其积分的分部积分公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)是被积函数中的“内函数”，v'(x)是被积函数中的“外函数”。
这个公式的思想是将一个积分转化为另一个积分，从而简化计算。
例如，对于积分：∫xsinxdx我们可以将其写成：∫xsinxdx = x∫sinxdx - ∫(x)'∫sinxdx dx= x(-cosx) - ∫(-cosx)dx= -xcosx + sinx + C其中，C是常数项。
二、二次分部积分法当基本分部积分法不能直接得到积分解析式时，我们可以使用二次分部积分法。
这种方法的思路是，通过多次分部积分，将被积函数中的某些项转化为可以直接求解的项，从而简化计算。
例如，对于积分：∫x^2e^xdx我们可以选择u(x) = x^2，v'(x) = e^x，然后使用分部积分公式：∫x^2e^xdx = x^2e^x - ∫2xe^xdx现在，我们需要再次使用分部积分，将∫2xe^xdx转化为可以直接求解的形式。
选择u(x) = 2x，v'(x) = e^x，然后使用分部积分公式：∫2xe^xdx = 2xe^x - ∫2e^xdx将这个结果代入上一个式子中，得到：∫x^2e^xdx = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C= (x^2 - 2x + 2)e^x + C其中，C是常数项。
三、三次分部积分法有些情况下，二次分部积分法仍然无法得到积分的解析式，需要使用更高次的分部积分法。
基本的3种不定积分方法
基本的3种不定积分方法不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求解函数原函数的过程。
在求不定积分时，通常会遇到各式各样的函数形式，因此需要运用不同的方法来求解。
在本文中，将介绍基本的三种不定积分方法：代入法、分部积分法和换元法。
1.代入法：代入法是一种简单而常用的不定积分方法，它适用于特定的函数形式。
当被积函数是一个复合函数的时候，可以通过代入法来求积分。
具体来说，就是将整个或部分被积函数进行代入。
举个例子，如果要求解函数f(x)=2x^3的不定积分∫f(x)dx，可以通过代入法进行计算。
将x^3看作一个整体，令u=x^3，那么f(x)可以写成f(u)=2u。
所以∫f(x)dx=∫2udx=2∫udx=2∫dx^3=(2/4)x^4+C=x^4/2+C。
2.分部积分法：分部积分法是求解一些函数积分时常用的方法。
它基于求导法则d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)的逆过程。
根据此法则，可以将一个积分转化为一个简化的形式。
具体的计算步骤如下：步骤1：将被积函数f(x)表示为两个函数的乘积，即f(x)=u(x)v'(x)。
步骤2：计算出u(x)的导数du/dx和v(x)的不定积分∫v'(x)dx。
步骤3：将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，即∫f(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)du/dx。
举个例子，如果要求解函数f(x)=xln(x)的不定积分∫f(x)dx，可以通过分部积分法来计算。
将f(x)表示为f(x)=ln(x)×x，令u=ln(x)，v'=x，则du/dx=1/x，∫v'(x)dx=∫xdx=(1/2)x^2、将上述结果带入分部积分公式∫f(x)dx=uv-∫v(x)du/dx中，得到∫f(x)dx=xln(x)-(1/2)x^2+C。
3.换元法：换元法是不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
分部积分法
第三章一元函数积分学及其应用3.3 两种基本积分法数学与统计学院武忠祥1 2 换元积分法分部积分法13 初等函数的积分问题主要内容⎰⎰-=vduuv udv 2 分部积分法)(x u )(x v v u v u uv '+'=')(设函数 及 有连续导数，则vu uv v u '-'=')(⎰⎰'-='vdxu uv dx v u⎰xdx x sin ⎰dx xe x例1 求下列不定积分 1） 2)⎰xdx e x sin ⎰xdxx ln 3） 4） 小结(1)何时用？ (2)如何用？⎰⎰-=vduuv udv 两类不同函数相乘 ⎰⎰⎰;cos )(p ,d sin )(p ,d )(p xdx x x x x x e x n n xnααα;cos ,sin ⎰⎰xdx e xdx exxββαα;sin ,arctan )(,ln )(xdx arc P xdx x P xdx x P nnn⎰⎰⎰定积分分部积分公式⎰⎰-=bab ab avduuv udv |v u v u uv '+'=')(vu uv v u '-'=')()(x u )(x v 设函数 及 有连续导数，则⎰1arctan xdx x 例1 计算 dx x xx ⎰-2121arcsin 例2 计算⎰⎰==2020cos sin ππxdxxdx I n n n 例3 计算 解 ⎰=2sin πxdx I nn ⎰--=201cos sinπxxd n ⎰---+-=2022201sincos )1(cos sinππdxx n x x n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin)1(ππxdxn xdx n nn nn I n I n )1()1(2---=-21--=n n I nn In 132231I n n n n I n ---=n 021231I n n n n I n ---=当 为奇数 当 为偶数21--=n n I nn I ⎪⎩⎪⎨⎧⋅---⋅---=为偶数为奇数n n n n n n n n n n I n ,221231,3254231πdxx x⎰-10241⎰π0sin xdxx n例4 计算 例5 计算1 2 换元积分法分部积分法13 初等函数的积分问题主要内容3.初等函数的积分问题。
第二类曲面积分例题
第二类曲面积分例题摘要：一、引言二、第二类曲面积分的概念和基本方法1.概念2.基本方法三、例题解析1.例题12.例题2四、总结正文：一、引言在数学中，曲面积分是一种常见的积分形式。
第二类曲面积分是曲面积分的一种，主要研究空间曲线或曲面与某个曲面的相对位置关系。
本文将介绍第二类曲面积分的概念和基本方法，并通过两个例题进行解析。
二、第二类曲面积分的概念和基本方法1.概念第二类曲面积分指的是空间中一个曲线或曲面在某个曲面上的投影面积与该曲面的有向法线长度的乘积的积分。
具体而言，设曲面S 由参数方程x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 表示，曲面S 上的曲线C 由参数方程x = x(u), y = y(u), z = z(u) 表示，曲面S 的单位法向量场为N(u, v)，则曲线C在曲面S 上的第二类曲面积分为：∫(C) = ∫∫(N·r) dμ其中，r 为曲线C 上的一个有向微元，dμ为曲面S 上的一个有向微元。
2.基本方法求解第二类曲面积分的基本方法有以下两种：(1) 直接积分法：通过在曲面上选取一个适当的坐标系，将曲线和曲面的参数方程转化为直角坐标方程，然后直接对直角坐标方程进行积分。
(2) 切平面法：在曲线或曲面上任取一点，在该点处作一个切平面，将切平面与曲面相交得到一个曲边三角形。
通过求解曲边三角形的面积，再乘以该点处的法向量长度，最后进行积分。
三、例题解析1.例题1设曲面S 由参数方程x = 2cosθ, y = 2sinθ, z = θ表示，曲线C 由参数方程x = 3cosφ, y = 3sinφ表示。
求曲线C 在曲面S 上的第二类曲面积分。
解：首先，计算曲面S 的单位法向量场N，有N = (x/θ, y/θ, z/θ) = (2sinθ, 2cosθ, 1)。
然后，计算曲线C 在曲面S 上的单位法向量场r，有r = (x/φ, y/φ, 0) = (3sinφ, 3cosφ, 0)。
积分方法总结
积分方法大盘点现把我们学了的积分方法做个大总结。
1、二重积分1.1 X 型区域上二重积分（必须的基本方法）（1）后x 先y 积分，D 往x 轴上的投影得区间[,]a b ； （2）[,]x a b ，Xx 截D 得截线12()()y x yy x （小y 边界1()y y x 大y 边界2()yy x ）；（3）21()()(,)(,)b y x ay x Df x y dxdydxf x y dy1.2 Y 型区域上二重积分（必须的基本方法）（1）后y 先x 积分，D 往y 轴上的投影得区间[,]c d ； （2）[,]y c d ，Yy 截D 得截线12()()x y xx y （小x 边界1()x x y 大x 边界2()xx y ）；（3）21()()(,)(,)d x y cx y Df x y dxdydyf x y dx1.2 极坐标二重积分（为简单的方法）（1）总是后先积分； （2）21()()(,)d (cos ,sin )d Df x y df其中，在D 上是最小的，是最大的；[,]，射线截D 得截线12()()（小边界1()大边界2()）。
用坐标关系cos x ，sin y 和面积元素d dxdy dd 代入（多一个因子）。
当积分区域D 的边界有圆弧，或被积函数有22x y 时，用极坐标计算二重积分特别简单。
离 散数 学2、三重积分2.1 二套一方法（必须的基本方法）（1）几何准备(i) 将积分区域投影到xOy 面，得投影区域xy D ；(ii) 以xy D 的边界曲线为准线，作一个母线平行于z 轴的柱面．柱面将闭区域的边界曲面分割为上、下两片曲面22:(,)z zz x y （大界）边；11:(,)z zz x y （小界）边（(,)xy x yD ，过(,)x y 点平行于z 轴的直线截得截线12(,)(,)z x y zz x y ）；（2）21(,)(,)(,,)d d d =(,,)d xyz x y z x y D f xy z x y z dxdyf x y z z 。
求不定积分的几种基本方法
求不定积分的几种基本方法不定积分是求函数的原函数的过程，也就是求导的逆过程。
下面介绍几种基本的求不定积分的方法：1.直接积分法：直接应用不定积分的定义，逐项求积即可。
这个方法适用于具备初等函数原函数的情况，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 分部积分法：适用于积分项为两个函数的乘积时，将其转化为一个函数的导数和另一个函数的不定积分的积的形式进行求解。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du，选择不同的u和dv，通过反复应用该公式，可以将原积分项转化为更简单的形式。
3.换元积分法：也称为代换积分法，适用于积分项中含有复杂的函数形式时，通过建立合适的替代变量，将原积分转化为简单的形式。
换元积分法的核心思想是对积分变量进行代换，一般采用的代换方法有三角代换、指数代换、倒代换等。
换元积分法的关键是选取合适的代换变量，使得原积分转化为更容易求解的形式。
4.幂函数积分法：当积分项中含有形如x^n（n是常数）的幂函数时，可以利用幂函数的积分性质求解。
幂函数积分法是直接求解幂函数不定积分的方法，通过对幂函数的不定积分公式进行推导，得到幂函数积分的一般公式。
5.三角函数积分法：当积分项中含有三角函数时，可以利用三角函数的积分性质求解。
三角函数积分法是根据三角函数的不定积分公式进行求解，通过对三角函数的积分公式进行推导，得到不同三角函数的不定积分形式。
6.无穷级数展开法：对于一些特殊的函数，可以通过将其展开为无穷级数的形式，然后对无穷级数逐项求积分来求解原函数。
以上是一些常见的不定积分的基本方法。
在实际求解过程中，还可以结合不同的方法灵活应用，选择最适合的方法求解不定积分。
同时，需要注意积分常数的添加和积分区间的确定，以保证求解结果的正确性。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是微积分中的重要概念之一，可以用不同的方法来求解。
下面将介绍四种常用的方法：基本函数法、换元法、分部积分法和定积分的性质。
第一种方法是基本函数法。
基本函数法是指利用基本函数的积分表达式求解定积分。
在基本函数法中，通过查表或记忆基本函数的积分公式，将被积函数转化为基本函数的积分形式，从而求解定积分。
例如，要求解$\int (x^2+2x+1)dx$，可以将被积函数分解为$(x^2+2x+1)=x^2+2x+1=\frac{1}{3}x^3+x^2+x$，由基本函数的积分表达式，可知$\int x^3dx=\frac{1}{4}x^4+C_1$，$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C_2$，$\int xdx=\frac{1}{2}x^2+C_3$。
因此，$\int (x^2+2x+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x^2+x+C$，其中C为常数。
第二种方法是换元法。
换元法是指通过变量代换，将原来的积分转化为更简单的形式。
在换元法中，通过选择合适的变量代换来使被积函数的形式简化，然后求解新变量下的积分，最后再将变量代换回原来的变量。
例如，要求解$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx$，可以令$u=x+1$，则有$du=dx$。
将变量代换后的积分形式$\int \frac{1}{u^2}du$，由基本函数的积分表达式可得$\int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{x+1}+C$，其中C为常数。
最后将变量代换回原来的变量，得到$\int \frac{1}{(x+1)^2}dx=-\frac{1}{x+1}+C$。
第三种方法是分部积分法。
分部积分法是指利用函数的乘积积分的性质，将原来的积分转化为两个函数的乘积积分的形式。
在分部积分法中，通过选择乘法中的两个函数，并将被积函数分解为这两个函数的乘积形式，然后利用乘积积分公式求解。