2011年高考数学二轮考点专题突破检测(七)：数学思想方法
2011届高考数学二轮复习考点突破课件第20讲 数形结合思想
2011 届高考数学二轮复习考点突破课件第20 讲数
形结合思想
第四讲数形结合思想
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也即将抽象思维与形
象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法．数形结合思想
通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助
于
把握数学问题的本质．它是数学的规律性与灵活性的有机结合．
1．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：
(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表
现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意
其带来的负面效应．
(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．
(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
2．数形结合思想解决的问题常有以下几种：。
2011届高考数学第二轮第7课时专题复习教案
2011届高考数学第二轮第7课时专题复习教案第7课时高三数学综合练习二一、基础练习1、函数y=的定义域为_______________。
2、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是__________（填定符合题意的序号）3、函数y=lncosx的图象是____________（填写符合题意的序号）4、已知函数f(x)=x3+ax2+3bx+c(b≠0)，且g(x)=f(x)-2是奇函数，则a+c 的值为__________5、方程kx=有两个不相等的实根，求实数k的取值范围________________6、在同一平面直角坐标系中，函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称，而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称，若f(m)=-1，则m的值为_________7、已知函数f(x)=logsin1(x2+ax+3)在区间（-∞，1）上递增，则实数a 的取值范围是_________8、若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)-g(x)=ex，则f(2)、f(3)、g(0)的大小关系为________9、已知函数f(x)=，且f(2)=f(0)，f(3)=9，则关于x的方程f(x)=x的解的个数为________10、如果函数f(x)=ax(ax-3a2-1)（a>0，a≠1）在区间0，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是_______________11、已知函数f(x)（x∈R）满足：f(x+1)=f(x)+f(x+2)，且f(1)=1，f(2)=2010，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2009)=______12、设定义域为R的函数f(x)=，若关于x的方程f2(x)+af(x)+b=0有三个不同的实根x1，x2，x3，则的值为_________二、解答题13、已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+且f()=0，当x>时，f(x)>0。
高考数学(理)二轮复习：方法突破 专题二 数学思想方法
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那么方程|f(x)-3|=x3-6x2+9x-4+a 在区间[0,3]上有两解就是方程| log1 x|=x3-6x2+9x-4+a 在
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[0,3]上有两解 , 设 g(x)=x3-6x2+9x-4+a,g′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0,解得 x1=1,x2=3, 在 x∈[0,1]时,函数 g(x)单调递增, 当 x∈(1,3]时,函数 g(x)单调递减,如图所示,
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所以 n≥2 时,an=( 1 )n,又 a1= 1 ,即 n=1 时也成立.
2
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所以 an=( 1 )n,所以 bn=(2n+1)an=(2n+1)×( 1 )n.
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︱高中总复习︱二轮·理数
所以
Tn=
3 2
+
5 22
+
7 23
+…+
2n 1 , 2n
1 2
Tn=
3 22
+
5 23
+…+
︱高中总复习︱二轮·理数
【思维建模】 函数与方程思想在不等式中的应用 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决 相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造 新函数,建立函数关系求解.
︱高中总复习︱二轮·理数
强化训练1:(2017·山西三区八校二模)定义在R上的奇函数f(x)的导函数满
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间[0,3]上有两解,则实数a的取值范围是( ) (A)(0,5] (B)(-∞,5) (C)(0,5) (D)[5,+∞)
高考2011年二轮考点专题突破检测：数列专题(含详细答案)
专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 (A ．30B ．40C ．60D ．80解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60.答案：C2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 答案：C3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝⎛⎭⎫－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2＋19n 2，∴当n ＝9时，Πn 最大．故选C答案：C4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，∴1f (x )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于 ( ) A.1210 B.129 C.110 D.15解析：∵1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝12n ，∴a 10＝15，故选D. 答案：D6．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( )A.12n ＋1B.1n ＋1C.n 2n ＋1D.n n ＋1解析：由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝1b n ，∴b n ＝1n (n ＋1). ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：D二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________.解析：∵a 1－2＝－1∉N ，∴a 2＝3a 1＝3.∵a 2－2＝1＝a 1，∴a 3＝3a 2＝9，∵a 3－2＝7，∴a 4＝7，∵a 4－2＝5，∴a 5＝5，∵a 5－2＝3＝a 2，∴a 6＝3a 5＝15.答案：158．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：由已知得a n a n －1＝n ＋1n －1， a n －1a n －2＝n n －2， …a 2a 1＝31， a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)29．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2)＝(n ＋1)(n －2)2， a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22. 答案：n 2－n ＋2210．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________． 解析：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )＋(－x n )．[21世纪教育网 f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1. ∵函数在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)，与y 轴交点纵坐标为y ＝(n ＋1)·2n ＝a n ∴a n n ＋1＝2n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1成等比数列，首项为2，公比为2，∴前n 项和为2(1－2n )1－2＝2(2n －1)＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数， a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8 或⎩⎨⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证：∑i ＝1na i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2. (1)解：由已知得a n ＋1(n ＋1)2＝2·a n n 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是公比为2的等比数列，且首项为2，∴a n n 2＝2·2n －1，a n ＝2n ·n 2 (2)解：∵b n ＝(An 2＋Bn ＋C)·2n ，∴b n ＋1－b n ＝[A(n ＋1)2＋B(n ＋1)＋C]·2n ＋1－(An 2＋Bn ＋C)·2n ＝[An 2＋(4A ＋B) n ＋2A ＋2B ＋C]·2n .[来源:高,考资源,网] 若a n ＝b n ＋1－b n 恒成立，则An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C ＝n 2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝14A ＋B ＝02A ＋2B ＋C ＝0，解得A ＝1，B ＝－4，C ＝6，故存在常数A ＝1，B ＝－4，C ＝6满足条件．(3)证明：由(2)得，b n ＝(n 2－4n ＋6)·2n ，∴∑i ＝1n a i ＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n ＋1－b n )＝b n ＋1－b 1＝[(n ＋1)2－4(n ＋1)＋6]·2n ＋1－6＝(n 2－2n ＋3)·2n ＋1－6<(n 2－2n ＋3)·2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋32· 2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋12·2n ＋2 ＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－(n －1)22·2n ＋2≤(n 2－2n ＋2)·2n ＋2， ∴原不等式成立．13．(2010·四川)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n . (1)解：由题意，令m ＝2，n ＝1可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8.所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列． 则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2.另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2. 那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1＝8n －22－2n ＋1＝2n . 于是，c n ＝2nq n －1. 当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)．当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得 (1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋qn －1)－2nq n＝2·1－q n 1－q －2nq n ＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q ， 所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1) (q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).。
2011年高考数学第二轮复习探究
2011年高三数学第二轮复习方法初探阜阳四中李斌第一轮复习是知识点的过关，要把《考试大纲》及《考试说明》中的每一个知识点都要复习到，第一轮复习是知识的积累与量变的过程，是解决容易题与中档题的，而第二轮复习则不同，要抓住重点，以点代面，培养数学素质，提升分析问题与解决问题的能力、创新与探究能力，它是量变到质变的过程，是解决中档题与压轴题的。
安徽的高考数学自主命题已有五年，已经成熟，为了更好地推进新课程改革，高考导向作用会越来越明显。
所以要钻研新课程标准，分析《考试说明》，抓住重点模块，筛选或原创典型题型，一定要给学生思考的空间与时间，让学生限时训练；老师讲得精彩，学生听得痴迷，如果学生不能消化吸收，不能触类旁通、举一反三，不能从实践当中反思、总结，那么学生还是适应不了高考的，也不可能在高考中取得优异的绩，所以要根所据第一轮复习中学生出现过的问题，要进行专题复习，突出其重要的数学思想方法。
其中数学思想方法包括：函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类整合的思想方法、特殊与一般的思想方法、转化与化归的思想方法、必然与或然的思想方法。
数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。
高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构”。
而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度”。
“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。
[原创]2011高考数学二轮专题第7课时幂函数(函数)
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2011高考数学精品：函数专题第7课时 幂函数1．(2010年滨州模拟)函数y ＝(m －1)xm 2－m 为幂函数，则函数为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数解析：选B.由题意知m ＝2，则该函数为y ＝x 2，故选B.2．(2008年高考山东卷)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选C.原命题正确，所以逆否命题也正确；逆命题错误，所以否命题也错误，故真命题的个数是1.3．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，函数y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n ＞0时是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n ＜0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①④B ．④⑤C ．②③D ．②⑤解析：选D.当y ＝x －1时，不过(0,0)点，①错误；当n ＝0时，y ＝x n 中x ≠0，故其图象是去掉(0,0)点的一条直线，③错；y ＝x 2在(－∞，0)上是减函数，(0，＋∞)上是增函数，④错．故选D.4．函数y ＝|x |9n (n ∈N *，n ＞9)的图象可能是( )解析：选C.令n ＝18，则函数y ＝|x |12，∴该函数为偶函数，∴函数y ＝|x |12的图象关于y 轴对称，故排除A 、B ，当x ≥0时，由y ＝x 12在第一象限的图象可知应选C.5．已知函数f (x )＝x 1－a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D.∵f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}，∴1－a ＜0，即a ＞1.又∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数， ∴a －1＝2，即a ＝3，故选D.6．已知幂函数f (x )的图象经过点(18，24)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1＜x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)＞x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)＜x 2f (x 2)；③f (x 1)x 1＞f (x 2)x 2；④f (x 1)x 1＜f (x 2)x 2.其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③解析：选D.依题意，设f (x )＝x α，则有(18)α＝24，即(18)α＝(18)12，所以α＝12，于是f (x )＝x 12.由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1＜x 2时，必有f (x 1)＜f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f (x 1)x 1，f (x 2)x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f (x 1)x 1＞f (x 2)x 2，所以③正确．故选D.7．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点(12，22)，则k ＋α＝________.解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点(12，22)代入得22＝(12)α，从而α＝12，故k ＋α＝32. 答案：328．(2010年山东济南模拟)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 1(f 2(f 3(2010)))＝________.解析：f 1(f 2(f 3(2010)))＝f 1(f 2(20102))＝f 1((20102)－1)＝((20102)－1)12＝2010－1＝12010.答案：120109．0.312，2.212，2.112这三个数从小到大排列为________．解析：由于函数f (x )＝x 12在[0，＋∞)上是递增函数，所以f (0.3)<f (2.1)<f (2.2)，即0.312<2.112<2.212.答案：0.312<2.112<2.21210．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，求m 为何值时，f (x )是(1)二次函数；(2)幂函数．解：(1)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(2)若f (x )是幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.11．若函数f (x )＝(mx 2＋4x ＋m ＋2)－34＋(x 2－mx ＋1)0的定义域为R ，求实数m 的取值范围．解：设g (x )＝mx 2＋4x ＋m ＋2，①h (x )＝x 2－mx ＋1，②原题可转化为对一切x ∈R 有g (x )＞0且h (x )≠0恒成立．由①得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ1＝42－4m (m ＋2)＜0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0m 2＋2m －4＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ＜－1－5，或m ＞－1＋5， ∴m ＞－1＋ 5.由②得Δ2＝(－m )2－4＜0，即－2＜m ＜2. 综上可得5－1＜m ＜2. 12．已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解：(1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72.∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2) ＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＞0. ∴f (x 1)＞f (x 2)，即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．。
2011年高考数学二轮考点专题突破：函数、基本初等函数的图象与性质
第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质一、选择题1．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．9 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1.∵0<1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵f (0)＝2≥1，∴ f (f (0))＝22＋2a ＝4a ， ∴a ＝2，故选C. 答案：C2．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)， 则f (－1)＝ ( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3解析：因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，可求得b ＝－1，f (－1)＝－f (1) ＝－(21＋2＋b )＝－3.故选D. 答案：D3．(2010·安徽)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是 ( )解析：A 项，由图象开口向下知a <0，由对称轴位置知－b2a <0，∴b <0.又∵abc >0，∴c >0.而由图知f (0)＝c <0；B 项，由图知a <0，－b2a >0，∴b >0.又∵abc >0，∴c <0，而由图知f (0)＝c >0； C 项，由图知a >0，－b2a <0，∴b >0.又∵abc >0，∴c >0，而由图知f (0)＝c <0；D 项，由图知a >0，－b2a >0，∴b <0.又∵abc >0，∴c <0，由图知f (0)＝c <0.D 正确．答案：D4．(2010·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(22，＋∞)B ．[22，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：f (x )＝|lg x |的图象如图所示，由图知f (a )＝f (b )，则有0<a <1<b ，∴f (a )＝|lg a | ＝－lg a ，f (b )＝|lg b |＝lg b ，即－lg a ＝lg b ，得a ＝1b ，∴a ＋2b ＝2b ＋1b.令g (b )＝2b ＋1b ，g ′(b )＝2－1b 2，显然b ∈(1，＋∞)时，g ′(b )>0，∴g (b )在(1，＋∞)上为增函数，得g (b )＝2b ＋1b >3，故选C.答案：C5．(2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是 增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f [(x －4)－4]＝－f (x －4)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以8为周期的周期函数． f (80)＝f (8×10)＝f (0)， f (11)＝f (3＋8)＝f (3)＝－f (3－4) ＝－f (－1)＝－[－f (1)]＝f (1)，f (－25)＝f [8×(－3)－1]＝f (－1)＝－f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上递增，∴f (0)<f (1)．又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，∴f (1)>0，∴－f (1)<0， ∴－f (1)<f (0)<f (1)，f (－25)<f (80)<f (11)． 答案：D 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2； ②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，要使f (x 1)>f (x 2)恒成立，即f (|x 1|)>f (|x 2|)恒成立．∵f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2 上是增函数，∴|x 1|>|x 2|，即②成立，①③不成立． 答案：②7．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1.5)＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )∴T ＝4，∴f (1.5)＝f (1. 5－4)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.58．(2010·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 ________．解：y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示．由图可知y ＝1与y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点， 需满足a －14<1<a ，∴1<a <54.答案：1<a <549．(2010·重庆)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.解析：解法一：∵当x ＝1，y ＝0时，f (0)＝12；当x ＝1，y ＝1时，f (2)＝－14；当x＝2，y ＝1时， f (3)＝－12；当x ＝2，y ＝2时，f (4)＝－14；当x ＝3，y ＝2时，f (5)＝14；当x ＝3，y ＝3时，f (6)＝12；当x ＝4，y ＝3时，f (7)＝14；当x ＝4，y ＝4时，f (8)＝－14；… ∴f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 010)＝f (0＋335×6)＝f (0)＝12.解法二：∵f (1)＝14，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π3x ，∴f (2 010)＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3×2 010＝12. 答案：12三、解答题10．在直角坐标平面中，已知点P 1(1,2)，P 2(2,22)，对平面上任一点A 0，记A 1为A 0关于点P 1的对称点，A 2为A 1关于点P 2的对称点．(1)求向量A 0 A 2→的坐标；(2)当点A 0在曲线C 上移动时，点A 2的轨迹是函数y ＝f (x )的图象，其中f (x )是以3 为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f (x )＝lg x ．求以曲线C 为图象的函数在(1,4] 上的解析式． 解：(1)设A 0(x ，y )，根据已知条件A 1(2－x,4－y )，A 2(2＋x,4＋y )， ∴A 0 A 2→＝(2,4)．(2)∵f (x )为以3为周期的周期函数，且f (x )＝lg x ，x ∈(0,3] 当x ∈(3,6]时，x －3∈(0,3]． f (x )＝f (x －3)＝lg (x －3)，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2＋x ，y 2＝4＋y .当1<x ≤4时，3<x 2≤6，由y 2＝lg(x 2－3)得4＋y ＝lg (x －1)， 即y ＝lg(x －1)－4，(1<x ≤4)．11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x >0)，－f (x ) (x <0).若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时， g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1， ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 (x >0)，－x 2－2x －1 (x <0).(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6. 所以所求k 的取值范围为k ≤－2或k ≥6.12．(2009·江苏镇江)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f (m )＋f (n )m ＋n >0.(1)解不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )； (2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围． 解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)·(x 2－x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )是增函数．f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1－x ≤1，x ＋12<1－x⇔0≤x <14，即不等式f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f (1－x )的解集 为⎣⎡⎭⎫0，14. (2)由于f (x )为增函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝1，∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立⇔t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈ [－1,1]恒成立⇔t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立． 把y ＝t 2－2at 看作a 的函数， 由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段， ∴t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t 2－2×(－1)×t ≥0，t 2－2×1×t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ≥0，t 2－2t ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－2或t ≥0t ≤0或t ≥2，⇔t ≤－2，或t ＝0，或t ≥2。
高考数学二轮复习 第二篇 专题二 数学思想方法课件 理
热点训练
4:(1)(2017·河北保定市模拟)已知函数
f(x)=
|
x2
5x
4
|,
x
0,
c
4
又 e= c ,则 e2-4e+4=0,解得 e=2,所以双曲线 C 的离心率 e=2. a
答案:(2)2
二、数形结合思想
热点一 利用数形结合思想研究函数零点问题
【例 4】
已知函数
f(x)=
x2 2x
e
x
,
x
0,
1,
2
x 0, 若函数
g(x)=f(x)-ax+a 存在零点,
热点训练 1:(1)已知函数 f(x)=ln x-asin x 在区间[ π , π ]上是单调增函数,则实数 64
a 的取值范围为( )
(A)(-∞, 4 3 ] π
(B)(-∞, 4 2 ] π
(C)[ 4 2 , 4 3 ] (D)[ 4 2 ,+∞)
ππ
π
解析:(1)f′(x)= 1 -acos x, x
SP=
10 2
,所以
R
2
R
2
x2
x
1, 2
12
5, 2
解得 x= 3 ,R2= 11 , 24
所以该三棱锥外接球的表面积 S=4πR2=11π.故选 C.
答案:(1)C
(2)(2018·武汉市武昌区调研)在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1.边 DC 上的动点 P(包含点 D,C)与
ex
ex
即 g(x)在 R 上单调递减,g(1)= f 1 =1,f(x)<ex⇔ f x <1⇔g(x)<1=g(1),
高考2011年二轮考点专题突破检测：数列专题(含详细答案)
专题达标检测一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 (A ．30B ．40C ．60D ．80解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60.答案：C2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15. 答案：C3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( )A ．Π11B ．Π10C ．Π9D ．Π8解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝29n ⎝⎛⎭⎫－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2＋19n 2，∴当n ＝9时，Πn 最大．故选C答案：C4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)，∴1f (x )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：A5．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则这个数列的第10项等于 ( ) A.1210 B.129 C.110 D.15解析：∵1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，∴a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公 差为12的等差数列， ∴1a n ＝12n ，∴a 10＝15，故选D. 答案：D6．数列{a n }中，a 1＝1，a n 、a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，则数列{b n }的前n 项和S n ＝( )A.12n ＋1B.1n ＋1C.n 2n ＋1D.n n ＋1解析：由题意得a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，又∵a n －n ＝－[a n ＋1－(n ＋1)]，a 1＝1∴a n ＝n ，又a n ·a n ＋1＝1b n ，∴b n ＝1n (n ＋1). ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案：D二、填空题7．数列{a n }的构成法则如下：a 1＝1，如果a n －2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式a n ＋1＝a n －2，否则用递推公式a n ＋1＝3a n ，则a 6＝________. 解析：∵a 1－2＝－1∉N ，∴a 2＝3a 1＝3.∵a 2－2＝1＝a 1，∴a 3＝3a 2＝9，∵a 3－2＝7，∴a 4＝7，∵a 4－2＝5，∴a 5＝5，∵a 5－2＝3＝a 2，∴a 6＝3a 5＝15.答案：158．已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＝n ＋2n(n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 解析：由已知得a n a n －1＝n ＋1n －1， a n －1a n －2＝nn －2， …a 2a 1＝31， a 1＝1，左右两边分别相乘得a n ＝1·31·42·53·64·…·n －1n －3·n n －2·n ＋1n －1＝n (n ＋1)2. 答案：n (n ＋1)29．如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n (n ≥2)行的第2个数是________．解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2)＝(n ＋1)(n －2)2， a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22. 答案：n 2－n ＋2210．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和的公式是________． 解析：∵y ＝x n (1－x )，∴y ′＝(x n )′(1－x )＋(1－x )′·x n＝n ·x n －1(1－x )＋(－x n )．[21世纪教育网f ′(2)＝－n ·2n －1－2n ＝(－n －2)·2n －1.∵函数在点x ＝2处点的纵坐标为y ＝－2n .∴切线方程为y ＋2n ＝(－n －2)·2n －1(x －2)，与y 轴交点纵坐标为y ＝(n ＋1)·2n ＝a n∴a n n ＋1＝2n，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1成等比数列，首项为2，公比为2， ∴前n 项和为2(1－2n )1－2＝2(2n －1)＝2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2 三、解答题11．等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2q ＝8 或⎩⎨⎧ d ＝－65q ＝403(舍去)，故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).12．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋1n 2a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(An 2＋Bn ＋C )·2n ，试推断是否存在常数A 、B 、C ，使得对一切n ∈N *，a n ＝b n ＋1－b n 恒成立？若存在，求出A 、B 、C 的值；若不存在，说明理由；(3)求证：∑i ＝1na i <(n 2－2n ＋2)·2n ＋2. (1)解：由已知得a n ＋1(n ＋1)2＝2·a n n 2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 2是公比为2的等比数列，且首项为2，∴a n n 2＝2·2n －1，a n ＝2n ·n 2 (2)解：∵b n ＝(An 2＋Bn ＋C)·2n ，∴b n ＋1－b n ＝[A(n ＋1)2＋B(n ＋1)＋C]·2n ＋1－(An 2＋Bn ＋C)·2n ＝[An 2＋(4A ＋B) n ＋2A ＋2B ＋C]·2n .[来源:高,考资源,网] 若a n ＝b n ＋1－b n 恒成立，则An 2＋(4A ＋B)n ＋2A ＋2B ＋C ＝n 2恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝14A ＋B ＝02A ＋2B ＋C ＝0，解得A ＝1，B ＝－4，C ＝6，故存在常数A ＝1，B ＝－4，C ＝6满足条件．(3)证明：由(2)得，b n ＝(n 2－4n ＋6)·2n ，∴∑i ＝1n a i ＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋(b 4－b 3)＋…＋(b n ＋1－b n )＝b n ＋1－b 1＝[(n ＋1)2－4(n ＋1)＋6]·2n ＋1－6＝(n 2－2n ＋3)·2n ＋1－6<(n 2－2n ＋3)·2n ＋1＝⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋32· 2n ＋2＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－⎝⎛⎭⎫n 22－n ＋12·2n ＋2 ＝⎣⎡⎦⎤(n 2－2n ＋2)－(n －1)22·2n ＋2≤(n 2－2n ＋2)·2n ＋2， ∴原不等式成立．13．(2010·四川)已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m ，n ∈N *都有a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2.(1)求a 3，a 5；(2)设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；(3)设c n ＝(a n ＋1－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n . (1)解：由题意，令m ＝2，n ＝1可得a 3＝2a 2－a 1＋2＝6再令m ＝3，n ＝1可得a 5＝2a 3－a 1＋8＝20.(2)证明：当n ∈N *时，由已知(以n ＋2代替m )可得a 2n ＋3＋a 2n －1＝2a 2n ＋1＋8.于是[a 2(n ＋1)＋1－a 2(n ＋1)－1]－(a 2n ＋1－a 2n －1)＝8，即b n ＋1－b n ＝8. 所以，数列{b n }是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{b n }是首项b 1＝a 3－a 1＝6，公差为8的等差数列． 则b n ＝8n －2，即a 2n ＋1－a 2n －1＝8n －2.另由已知(令m ＝1)可得，a n ＝a 2n －1＋a 12－(n －1)2. 那么，a n ＋1－a n ＝a 2n ＋1－a 2n －12－2n ＋1＝8n －22－2n ＋1＝2n . 于是，c n ＝2nq n －1. 当q ＝1时，S n ＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)． 当q ≠1时，S n ＝2·q 0＋4·q 1＋6·q 2＋…＋2n ·q n －1. 两边同乘q 可得qS n ＝2·q 1＋4·q 2＋6·q 3＋…＋2(n －1)·q n －1＋2n ·q n . 上述两式相减即得(1－q )S n ＝2(1＋q 1＋q 2＋…＋qn －1)－2nq n＝2·1－q n 1－q －2nq n ＝2·1－(n ＋1)q n ＋nq n ＋11－q ， 所以S n ＝2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. 综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋1) (q ＝1)，2·nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2 (q ≠1).。
2011年高考数学二轮复习检测题及答案：回归分析基本思想
2011届高三数学查漏补缺专题训练：坐标系与参数方程一、选择题1. 在极坐标中，由三条曲线0,,cos sin 13πθθρθθ===围成的图形的面积是A 、8 B 、4C 、2D2. 设),(y x P 是曲线C ：θθθ(sin cos 2⎩⎨⎧=+-=y x 为参数，πθ20<≤）上任意一点，则x y的取值范围是 （ ）A .]3,3[-B .),3[]3,(+∞--∞C .]33,33[- D .),33[]33,(+∞--∞3. 直线0323=-+y x 与圆θθs i n23c o s 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是( )A ． 相离B ．相切C ． 相交但不过圆心D ． 相交且过圆心4. 在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=-5. 极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（ ）A ．极点B ．极轴C ．一条直线D ．两条相交直线6. 直线12()2x tt y t=+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）A ．125 B．CD7. 曲线25()12x tt y t =-+⎧⎨=-⎩为参数与坐标轴的交点是（ ）A ．21(0,)(,0)52、B ．11(0,)(,0)52、 C ．(0,4)(8,0)-、D ．5(0,)(8,0)9、 8. 把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）A ．1212x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 9. 极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆10. 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y =二、填空题11.若直线sin()42πρθ+=与直线31x ky +=垂直，则常数k = ．12. 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 ；13. 已知直线:40l x y -+=与圆{12cos 12sin :xy C θθ=+=+，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______．14. 极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
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专题达标检测七 一、选择题 1．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么 ( ) A．x＋y<0 B．x＋y>0 C．xy<0 D．xy>0 解析：设f(x)＝2x－3－x. 因为2x，－3－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数 又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)， 即f(x)>f(－y)， ∴x>－y，即x＋y>0.选B. 答案：B
2．设函数f(x)＝x3＋sin x，若0≤θ≤π2时，f(mcos θ)＋f(1－m)>0恒成立，则实数m的取 值范围是 ( ) A．(0,1) B．(－∞，0)
C．(－∞，1) D.－∞，12 解析：易知f(x)为奇函数、增函数，f(mcos θ)＋f(1－m)>0，即f(mcos θ)>f(m－1)， ∴mcos θ>m－1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]，
∴ m>m－1，0>m－1得m<1. 答案：C 3．方程x2－32x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是 ( )
A．m≤－916 B．－916C．m≥52 D．－916≤m≤52 解析：m＝x2－32x ＝x－342－916≤52， 又当x＝34时，m最小为－916， ∴－916≤m≤52. 答案：D
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4．已知函数f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，构造函数F(x)，定义如下：当f(x)≥g(x)时， F(x)＝g(x)；当f(x)A．有最大值3，最小值－1 B．有最大值7－27，无最小值 C．有最大值3，无最小值 D．无最大值，也无最小值 解析：
画图得到F(x)的图象：为射线AC、抛物线弧AB及射线BD三段，联立方程组 y＝2x＋3y＝x2－2x得xA＝2－7，
代入得F(x)最大值为7－27，由图可得F(x)无最小值，从而选B. 答案：B
5．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的 导函数)，以下四个图象中，y＝f(x)的大致图象是 ( )
解析：函数y＝xf′(x)是y＝f′(x)与y＝x的复合函数，当y＝0且x∈R时，必有f′(x) ＝0.因而其图象与x轴交点即为f′(x)＝0两根．由图象提供的信息，函数y＝f(x)在x ＝1和x＝－1处取得极值．观察图象，只有C项合适． 答案：C 6．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2
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A．(0,1) B．(1,2) C．(1,2] D.0，12 解析：
设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝logax的下方即可． 当0当a>1时，如图，要使在(1,2)上， f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，只需f1(2)≤f2(2)， 即(2－1)2≤loga2，loga2≥1， ∴1答案：C 二、填空题
7．已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式 为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________． 解析：由f1(x)＝f(x)和fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1且n∈N*)，得
f2(x)＝f1[f1(x)]＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，
f3(x)＝f2[f2(x)]＝x1－2x1－2x1－2x＝x1－22x，…，由此猜想 fn(x)＝x1－2n－1x(n∈N*)． 答案：x1－22x x1－2n－1x 8．若方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)只有一个根，则a的取值范围是________． 解析：
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原方程等价于 x－1>03－x>0a－x>0x－13－x＝a－x
即 a＝－x2＋5x－31构造函数y＝－x2＋5x－3(1与抛物线的交点情况为：
①当1
②当3③当a≤1或a>134时，原方程无解． 因此，a的取值范围是1答案：19．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ________．
解析：y2＝ x＋1，x≥0－x＋1，x<0，其图象如图所示，对直线y＝kx＋b，k≠0时，直线与曲 线一定相交，只有当k＝0，且－1故填k＝0；－1答案：k＝0，－110．若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围为 ________．
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解析：∵x2＋px>4x＋p－3， ∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.
令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要 g0>0g4>0， ∴x>3或x<－1. 答案：x>3或x<－1 三、解答题
11．若函数f(x)＝a＋bcos x＋csin x的图象经过点(0,1)和π2，1，且当x∈[0，π2]时， －2≤f(x)≤2恒成立，试求a的取值范围 解：∵f(x)过(0,1)和π2，1， ∴f(0)＝a＋b＝1，fπ2＝a＋c＝1， 即b＝c＝1－a. ∴f(x)＝a＋(1－a)(cos x＋sin x)
＝a＋2(1－a)sinx＋π4. ∵x∈0，π2，∴π4≤x＋π4≤34π.
∴22≤sinx＋π4≤1. f(x)的取值范围与1－a的正负有关系，从而讨论如下： ①当a≤1时，1≤f(x)≤a＋2(1－a)． ∵－2≤f(x)≤2， ∴只要a＋2(1－a)≤2 解得a≥－2，∴－2≤a≤1. ②当a>1时，a＋2(1－a)≤f(x)≤1， ∵－2≤f(x)≤2， 只要a＋2(1－a)≥－2， 解得a≤4＋32.∴1结合①②知，实数a的取值范围为[－2，4＋32]． 12．已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常 数． (1)试确定a，b的值； (2)讨论函数f(x)的单调区间；
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(3)若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围． 解：(1)由题意知f(1)＝－3－c， 因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
又对f(x)求导得f′(x)＝4ax3ln x＋ax4·1x＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)． 由题意f′(1)＝0，因此a＋4b＝0，解得a＝12. (2)由(1)知f′(x)＝48x3ln x(x>0)， 令f′(x)＝0，解得x＝1. 当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数． 因此f(x)的单调递减区间为(0,1)， 而f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)． (3)由(2)知，f(x)在x＝1处取得极小值 f(1)＝－3－c，此极小值也是最小值 要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2. 即2c2－c－3≥0，从而(2c－3)(c＋1)≥0，
解得c≥32或c≤－1.
所以c的取值范围为(－∞，－1]∪32，＋∞. 13．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6ln x＋m. (1)求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)； (2)是否存在实数m使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16. 当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1即3≤t≤4时，h(t)＝f(4)＝16； 当t>4时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减， h(t)＝f(t)＝－t2＋8t.
综上，h(t)＝ －t2＋6t＋7，t<3，16，3≤t≤4，－t2＋8t，t>4. (2)函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点． ∵Φ(x)＝x2－8x＋6ln x＋m，